数学分析报告中求极限地方法总结材料
求极限的方法总结
求极限的方法总结求极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点的变化趋势，包括函数趋于无穷大、无穷小、某一常数以及其他特殊情况等。
在解题过程中，需要灵活运用各种极限的计算方法，掌握不同类型极限的求解技巧。
下面将对常见极限的求解方法进行总结。
一、几种常见的极限类型1. 无穷大与无穷小极限当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限值称为无穷大或无穷小极限。
在计算过程中，可以利用以下方法求解：（1）使用等价无穷小替换法，将复杂的函数替换为更简单的无穷小，从而求出极限；（2）利用夹逼准则，通过找到两个函数夹住待求函数，确定其极限范围；（3）使用洛必达法则，计算函数的导数与求导后函数的极限，进而求得原函数的极限。
2. 常数极限当自变量趋于某一常数时，函数的极限称为常数极限。
常见的求解方法包括：（1）直接计算法，将自变量带入表达式中，求解对应的极限值；（2）利用函数的连续性，根据定义进行计算；（3）使用复合函数的性质，将函数分解为多个部分，然后计算各部分的极限。
3. 极限的两侧性质当自变量趋于某一点的左右两侧时，函数的极限可能存在不同的值。
这时可根据函数的性质和定义来判断其左右极限是否相等，常用的方法有：（1）利用函数的连续性，判断函数在特定点处是否连续，以及左右极限是否相等；（2）使用夹逼准则，确定左右极限的取值范围。
4. 极限存在性的判定在有些情况下，函数的极限可能不存在。
判断函数是否存在极限的方法有多种：（1）使用保号性质，判断是否存在有界变量和无穷小数列；（2）利用函数的性质，如奇偶性、周期性等，判断函数在某一点的趋势。
二、极限的计算方法1.常用求极限的基本运算法则（1）常数运算法则：如果f(x)和g(x)的极限都存在，那么常数c * f(x)和f(x) ± g(x)的极限也存在，并且满足以下关系：lim(c * f(x)) = c * lim(f(x)),lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))。
求极限的计算方法总结
求极限的计算方法总结在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述一个函数或者数列在一些点或无穷远处的趋势。
计算极限是解决微积分、数学分析以及其他数学领域中问题的基础。
极限的计算方法种类繁多，以下是一些常见的极限计算方法的总结：1.代入法：直接将要计算的极限值代入函数中。
这个方法通常适用于简单的极限，例如多项式的极限。
2. 分子有理化法：对于含有根式的极限，可以通过有理化方法将分子有理化，从而更容易求得极限。
例如，对于极限lim(x->0)((sinx)/x)，可以通过将分子分母都乘以(conj(x))来有理化。
3. 倍角公式和和差化积公式：对于一些三角函数的极限，可以使用倍角公式或和差化积公式进行化简。
例如，对于极限lim(x->0)((sin2x)/(x^3))，可以使用倍角公式将分子化简为2*sin(x)*cos(x)，进而求得极限。
4. 指数函数和对数函数的性质：对于一些指数函数和对数函数的极限，可以利用它们的性质进行计算。
例如，对于极限lim(x->0)(e^x-1)/x，可以利用指数函数的性质e^0=1进行计算。
5. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些特定类型极限的强大工具。
该法则适用于极限形式为0/0或无穷/无穷的情况。
它的基本思想是将函数的求导转化为简化问题。
例如，对于极限lim(x->0)((sinx)/x)，可以使用L'Hospital法则将其转化为lim(x->0)(cosx)/1=16. 夹逼准则：夹逼准则适用于求解一些不能直接计算的极限，它的基本思想是找到两个函数夹住要计算的函数，并且这两个函数的极限相等。
然后可以利用夹逼准则得到要计算函数的极限。
例如，对于极限lim(x->0)(x*sin(1/x))，我们可以利用夹逼准则，将其夹逼在两个函数0和x之间，从而得到0。
7. 泰勒级数展开：对于一些复杂的函数，可以利用泰勒级数展开来近似求解极限。
数学分析中极限的求法总结
数学分析中极限的求法总结第一篇：数学分析中极限的求法总结数学分析中极限的求法总结1.1 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：limf(x)=A的ε-δ 定义是指：∀ε＞0，∃δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|x→x0＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ时，就有|f(x)-A|＜ε.x+x+...xn=a.例：设limxn=a则有lim1 2n→∞n→∞nε∣xn-a∣<于是当证明：因为limxn=a,对∀ε>0，∃N1=N1(ε),当n>N1时，n→∞2x+x+...+xn∣x+x+...+xn-na∣12-a∣=12 n>N1nn0<ε<1其中A=∣x1-a∣+∣x2-a∣+∣xN1-α∣是一个定数,再由解得n>2AAε<，n2x+x+...+xnεε⎧⎡2A⎤⎫,故取N=max⎨N1,⎢⎥⎬当n>N12-α<+=ε。
εn22⎩⎣ε⎦⎭1.2 利用极限的四则运算性质求极限定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)±g(x)，f(x)⋅g(x)当x→x0x→x0x→x0时也存在且①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)x→x0x→x0x→x0②lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)x→x0x→x0x→x0limf(x)f(x)f(x)x→x又若c≠0，则在x→x0时也存在，且有lim.=0x→x0g(x)g(x)limg(x)x→x0利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0∞一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现，∞-∞等情况，都0∞不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。
求函数极限的方法总结（精选3篇）
求函数极限的方法总结（精选3篇）求函数极限的方法总结篇1(一) 四则运算法则四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。
但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。
四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。
如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。
当然，在用洛必达的时候需要注意：(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。
化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。
考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。
考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
(三) 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。
泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如(四) 定积分定义考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。
常用的是这种形式只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）
求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）第一篇：求极限方法小结(实用易懂)求极限的方法小结极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：一、利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
11lim(-)3x→11-x1-x例 1.lim(12n-1++Λ+)n2n2n2 2.n→∞二、利用两个重要极限1sinx1xlim=1,lim(1+)=elim(1+x)x=e.x→0x→∞xx两个重要极限为：或x→0使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
1lim(1-)kxx 例 1.x→1lim(x+32x+1)x+2 2.x→∞三、利用夹逼准则求极限关键在于选用合适的不等式。
lim(n!)nnnlim(na1+Λ+am)n例1.n→∞a1,Λ,am}，且ak>0(k=1,2,Λ,m)求n→∞ 2.设a=max{ / 4四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
x=a,x2=a+a=a+x1,Λ,xn+1=a+xn(n=1,2,Λ)例1.设a>0，1limxn求极限n→∞。
五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1.x→0 lim(1+xsinx-1sinsin(x-1))lim2lnxex-1 2.x→0六、利用函数连续性求极限limf(x)=f(x0)xf(x)x0设在点处连续，则→x0。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1（1（2（3）若B ≠0（4（5）[]0lim ()lim ()nnn x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦（n 为自然数）i由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1. 求225lim3x x x →+- 解：由定理中的第三式可以知道()()22222lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=--22222lim lim5lim lim3x x x x x x →→→→+=+225923+==--例2. 求3x →33x x→→=3x→=14=式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯观察11=1122-⨯111=2323-⨯因此得到()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯11111111223311n nn=-+-+-+---1lim lim11nn nxn→∞→∞⎛⎫=-=⎪⎝⎭2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)如果()()00lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限值就称函数f(x)()'f x。
即f(x)在定点0x 的导数。
例4.lim()212lim'22x x f x f x f πππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭12=3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1（2）1lim 1xx ex →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭但我们经常使用的是它们的变形：（1，（2例5：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为e x xx =+→10)1(lim 1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
求极限方法总结
求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1〕根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方〔有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上〕2〕分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式〔常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限〔基本〕。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos 二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出〔x-常数〕的形式，然后约分〔因为x不等于该常数所以可以约分〕最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1〕将x放在相同的位置2〕用无穷小量与有界变量的乘积3〕2个重要极限4〕分式解法〔上述〕求极限方法总结 400字部分规律小结1 带根式的分式或简单根式加减法求极限：a根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方〔有分式又同时出现未知数的不同次幂∶将未知数全部化到分子或分母的位置上〕b分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式 2 分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3 等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4 分母是乘积分子是相同常数的 n 项的和求极限：列项求和。
5 分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
求极限的方法总结
千里之行，始于足下。
求极限的方法总结求极限是微积分的重要内容，也是解决数学问题中常用的方法之一。
下面是对求极限的方法进行总结：1. 代入法：当在不断插入一个趋于该极限的数值时，假如函数表达式有意义，且极限存在，则取其极限值作为函数的极限。
2. 四则运算法则：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都存在，那么可以利用加减乘除等基本运算的极限法则求解。
3. 夹逼定理：当存在两个函数 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且函数 f(x)，h(x)的极限都为 L，那么 g(x)的极限也为 L。
4. 函数的连续性：假如函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么函数 f(x) 在x = a 处也存在极限。
5. 分解因式法：可以通过将函数进行分解因式，使得函数变为两个函数之比，然后利用极限的分解限求解。
6. 无穷小与无穷大：假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为 0，那么称函数 f(x) 为无穷小。
假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为∞或 -∞，那么称函数 f(x) 为无穷大。
通过争辩函数的无穷小和无穷大性质，可以求解极限。
7. 等价无穷小法：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都为 0，并且极限 lim(x→a) [f(x)/g(x)] 存在且为 L (L ≠ 0)，那么可以使用“等价无穷小”来求解极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
8. 数列极限法则：假如数列 {an} 在 n →∞时有极限 L，则函数 f(x) = an 在 x →∞时的极限也为 L。
通过数列的极限法则，可以推导出函数的极限。
9. 泰勒开放：对于光滑函数，可以利用泰勒开放来近似求解极限。
10. 形式不确定型：对于一些形式不确定的极限，可以通过化简、将其转换成其他形式来求解。
11. 极限存在定理：对于一些特定的函数和性质，可以通过极限存在定理来判定函数的极限是否存在。
上述是常用的一些求解极限的方法总结，通过运用这些方法，可以更加精确地求解各种极限问题。
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数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1（1（2（3）若B ≠（4（5）[]0lim ()lim ()nnn x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦（n 为自然数） i由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1. 求225lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道()()22222lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=--22222lim lim5lim lim3x x x x x x →→→→+=+225923+==--例2. 求3x →3322x x→→=3x→=14=式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯解：观察11=1122-⨯111=2323-⨯因此得到()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯111111113311n n n=-+-+-+---所以1lim lim11nn nxn→∞→∞⎛⎫=-=⎪⎝⎭2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)如果()()00limlimx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限值就称函数f(x)()'f x。
即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。
然后把所求极限都表示成f(x)在定点0x 的导数。
例4.()212lim'22x x f x f x f πππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭12=3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式： （1（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭但我们经常使用的是它们的变形：（1，（2例5：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限e x xx =+→10)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
xx x x 10)1()21(lim +-→=xx xx 10)131(lim +-+→1x 13x3x x 1x03x =lim 11x x +-⋅⋅-+→-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=313310])131[(lim -+--+→=+-+e x x xx xx例6：20cos 1limx xx -→解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以20cos 1limx x x -→=2202sin 2limx xx →=21)2(2sin 21lim 220=→x x x例7: 求xx x 1)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lim e x x xx x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。
一般常用的方法是换元法和配指数法。
4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且0x 是)(x f 的定义区间内的点, 则)()(lim 00x f x f x x =→。
例8： 612arcsinlim 1+→x x解 :因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此612arcsin612arcsinlim 1+=+→x x x1=arcsin =26π例8：求xx sin ln lim 2π→解： 复合函数x sin ln 在2π=x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有2sin ln sin ln lim 2ππ=→x x=1ln 2sinlim =π=0 5 利用两个准则求极限。
（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N 时，有n n n x y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞=。
利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。
n x =例9 ： 求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项.......n x ≥+=.......n x ≤+=n x ≤≤又因为1x x ==lim 1n x x →∞=（2 ） 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
例12：设)1110,1,2,n x x n n +===。
试证数列{}n x 的极限存在, 并求此极限。
解: 由110x =及24x =知12x x ≥。
设对某个正整数k 有1k k x x +≥， 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x从而由数学归纳法可知, 对一切自然数n , 都有1+>n n x x ， 即数列}{n x 单调下降, 由已知易见...)2,1(0=>n x n 即有下界,根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。
令A x n n =∞→lim 对n n x x +=+61两边取极限，有A =260A -A -=解得A=3,或2A =-。
因为...)2,1(0=>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞=6 利用洛必达法则求未定式的极限定义6.1：若当x a →（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为0型和∞∞型未定式。
例如：xx x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim→, (∞∞型).定理6.2：设 （1）当x →∞时, 函数()f x 和()F x 都趋于零;（2）在a 点的某去心邻域内,()'f x 和()'F x 都存在且()'0F x ≠; （3） )()(lim)(x F x f x a x ∞→→存在(或无穷大),则)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→定义6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例10：x x xx x x 222220sin cos sin lim-→在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例，例11：求lim 0+→x xex-1解：lim 0+→x xex-1=111lim lim 00-=-=-++→→tt t t e e t洛必达法则通常适用于以下类型：0⨯∞型：例12 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+. ∞-∞型：例13 求 ()2lim sec tan x x x π→-. 解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x --=-=，故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x x x x ππ→→--===-. 00型：例14 求0lim xx x +→.解 原式ln 0lim ln ln 0lim lim 1x xxx e x x xx x e e e+→++→→====.1∞型：例15 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e eex e e x →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∞型：例16 求tan 01lim ()xx x +→.解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 0lim lim x xxx e x xxx x e e e-+→++-→→===，而tan ~00lim(tan ln )lim(ln )0x x x x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1.7. 用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。
对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项, 使运算十分简便。
例17：4202cos limx e x x x -→-解：因为)(!4!21cos 442x o x x x ++-=所以例18：)]1ln([lim 2x x x +-+∞→解：因为当x →+∞)()1(()1(*211ln(22+∞→+-=+x x o x x x从而+∞→+-=+x o x x x )1(21)11ln(2于是)]11([lim 2x x x x +-+∞→11lim[(1)]22x o →+∞=+=注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。
8. 利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。
凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n 项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求 。
利用定积分可求如下二种形式的极限:n n n f n f n f x )(...)2(1(lim+++∞→型 定理8.1：设()f x 在[0，1]上可积，则有⎰=+++∞→1)()(...)2()1(lim dxx f n n nf n f n f x例19：求极限n n n n nx +++∞→...21lim解：令()f x x =，()f x 在[0,1]上可积。
1012...1lim 2x n n n n xdx n →∞+++==⎰ n x nnf n f n f )(...)2()1(lim+++∞→型 定理8.2：若)(x f 在[0,1]上可积，则10[ln ()]x epx f x dx =⎰例20：求n n nx !lim∞→解：令()f x x =,则有：n n nx !lim∞→ 110[ln ]x epx xdx e -===⎰例21：求)212111(lim n n n n +++++∞→解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：n ni J ni n 1111lim ⋅+=∑=∞→ 不难看出，其中的和式是函数发x x f +=11)(在区间[]1,0上的一个积分和。