广东省湛江二中2009-2010学年高一下学期期中考试数学试题

湛江市第二中学2009-2010学年度第二学期期中考试高一年级数学试题（必修4）（考试时间：120分钟，满分150分） 命题：周建幼 审题：宋立春请同学们将答案写在答题卷上！一、选择题（5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．=0210cos （ ）A ．12-B ．12C．2-D．22．已知θθtan sin ⋅＜0，那么角θ是 （ ） 学_科_网Z_X_X_K] Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角3．如果角θ的终边经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23，那么θtan 的值是 （ ） A ．33-B ．23-C ．3D ．214．0sin 27cos63cos 27sin 63+= （ ） A ．1 B ．1－ C ．22 D ．22- 5．为了得到函数)32sin(3π-=x y 的图象，只需要把函数x y 2sin 3=的图象上所有的点（ ）A ．向右平移3π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向左平移6π学*科*网Z*X*X*K]6．函数2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数7.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝ （ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)--8．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则 （ ）A ．26ωϕπ==，B ．123ωϕπ==，C ．23ωϕπ==，D ．126ωϕπ==，9．已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 （ ） A ． 函数)(x f 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D ． 函数)(x f 是奇函数10．已知F E D 、、分别是ABC ∆的边AB CA BC 、、的中点，且=a ，=b ，=c ，则下列命题中正确命题的个数为 （ ）①=21c 21-b ； ②=a 21+b ； ③=CF 21b 21-a ； ④=++CF BE ADA ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题(共100分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)11．已知21cos =θ，且)2,0(πθ∈，则=θsin ． 12．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 ．13．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是 . 14．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．三、解答题(本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)A B CDE已知向量2123e e -=，214e e +=，其中)01(1，=e ，)1,0(2=e求： （1） b a ⋅+的值；（2） 与夹角θ的余弦值．16．（本小题共12分） 已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （1）求()f x 的最小正周期； 网Z §X §X §K]（2）求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值和最小值．17.（本小题满分14分） 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合． 18．（本小题满分14分）已知向量)1,cos 3(α=，)sin 3,2(α-=，且b a ⊥，其中)2,0(πα∈（1）求αsin 和αcos 的值；（2）若ββαcos 53)sin(5=+，),0(πβ∈，求角β的值． 19．（本小题满分14分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数，图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2．（1）求()f x 的解析式 ； （2）若 (,)32ππα∈- 且1()33f πα+=，求 )352sin(πα+ 的值．设函数2622cos 2sin 4cos )(22+-+⋅--=t t xx t x x f （R x ∈），其中R t ∈，将 ()f x 的最小值记为()g t ．（1）求()g t 的表达式；（2）当 11≤≤-t 时，要使关于t 的方程kt t g =)(有且仅有一个实根，求实数k 的取值范围．湛江市第二中学2009-2010学年度第二学期期中考试高一年级数学（必修4）评分参考答案一、选择题1234567891C BAABABCDC二、填空题 11．23 12．1313．－1 14． ①②③ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15．（本小题共12分）已知向量2123e e -=，214e e +=，其中)01(1，=e ，)1,0(2=e 求： （1）b a ⋅+的值；（2）与夹角θ的余弦值．解：由已知，)1,4(),2,3(=-= ……………………………6分 （1） 10=⋅25)1,7(=-=+； （2）22122110cos ==θ． ……………………………12分 16．（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值和最小值． 解：（1）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，……………………………4分∴函数()f x 的最小正周期为π. (6)分 （2）由323263ππππ≤≤-⇒≤≤-x x ，∴23sin 1≤≤-x ，……………………………8分∴()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值为23，最小值为1-．……………………12分17.（本小题满分14分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的单调递增取间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合．解：（1）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． ……4分当222242k x k Z πππππ-≤-≤+∈，（k ） 即 384k x k ππππ-≤≤+∈，（k Z ）……6分因此，函数()f x 的单调递增取间为 384k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（k Z ） ………………7分（2）有已知，())4g x x π=+ ……………………12分∴ 当 sin()1224424x x k x k Z ππππππ+=+=+=+∈，即 ，也即 （k ）时，max ()g x =∴ 当24x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（k ） ，()g x ．……………………………14分 18．（本小题满分14分）已知向量)1,cos 3(α=a ，)sin 3,2(α-=b ，且⊥，其中)2,0(πα∈（1）求αsin 和αcos 的值；（2）若ββαcos 53)sin(5=+，),0(πβ∈，求角β的值．解：（１）∵⊥， ∴ 0sin 3cos 6=+-=⋅αα，即ααcos 2sin = …………3分 又∵1cos sin 22=+αα， ∴ 51c o s 2=α，54sin 2=α∴24sin 5θ= ……………5分又 )2,0(πα∈，∴ 55cos ,552sin ==αα …………………7分 (2) ∵ ββββαβαβαcos 53sin 5cos 52)sin cos cos (sin 5)sin(5=-=+=+ ∴ ββs i n c o s -=，即 1t a n -=β， …………………12分 ∵),0(πβ∈ ∴ 43πβ=…………………14分 19．（本小题满分14分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数，图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2． （1） 求()f x 的解析式 ； （2） 若 (,)32ππα∈-且1()33f πα+=，求 )352sin(πα+ 的值． 解：（1） 图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2,π2=∴T , 则12==Tπω. )sin()(ϕ+=∴x x f . ……………………………3分 )(x f 是偶函数, )(2Z k k ∈+=∴ππϕ, 又πϕ≤≤0，2πϕ=∴．则 x x f cos )(=． …………………………7分（2）由已知得)2,3(,31)3cos(ππαπα-∈=+ ，)65,0(3ππα∈+∴． 则 322)3sin(=+πα． …………………………10分 ∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα． …………14分20．（本小题满分14分）设函数2622cos 2sin 4cos )(22+-+⋅--=t t xx t x x f （R x ∈），其中R t ∈，将()f x 的最小值记为()g t ． （1）求()g t 的表达式；（2）当 11≤≤-t 时，要使关于t 的方程kt t g =)(有且仅有一个实根，求实数k 的取值范围． 解：（1）由已知有： 262cos 2sin4cos )(22+-+⋅--=t t xx t x x f 16)(sin 162sin 2sin 2222+-+-=+-+⋅-=t t t x t t x t x由于R x ∈，∴ 1sin 1≤≤-x ……………………………3分 ∴ 当 1-<t 时，则当1sin -=x 时，242)(2min +-=t t x f ； 当 11≤≤-t 时，则当t x =sin 时，16)(2min +-=t t x f ； 当 1>t 时，则当1sin =x 时，282)(2min +-=t t x f ；综上，222242,(,1)()61,[1,1]282,(1,)t t t g t t t t t t t ⎧-+∈-∞-⎪=-+∈-⎨⎪-+∈+∞⎩……………………………7分（2）当 11≤≤-t 时，2()61g t t t =-+，方程kt t g =)( 即：261t t kt -+= 即方程 2(6)10t k t -++=在区间[1,1]-有且仅有一个实根， (8)分令 2()(6)1q t t k t =-++，则有：解法1：①若 2(6)40,k ∆=+-=即k=-4或k=-8；当k=-4时，方程有重根t=1，当k=-8时，方程有重根t=-1 ∴ 48t t =-=-或 (10)分② 628k k k +⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩＜-8＜-1k ＜-8q(-1)＜0＜k ＜-4q(1)＞0 或624k k k +⎧⎪⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩＞1＞-4q(-1)＞0k ＞-8＞k ＞-4q(1)＜0 综上，当(,8][4,)k ∈-∞--+∞时，关于t 的方程kt t g =)(在区间[1,1]-有且仅有一个实根． ……………………………………………………14分 解法2：由),4[]8,(0)4)(8(0)1()1(+∞---∞∈⇒≥++≤- k k k q q ，得．（以上答案仅供参考，其他方法请酌情给分！）。