2016年湖北省恩施州咸丰县城区学校中考数学三模试卷(解析版)

2016年湖北省恩施州咸丰县城区学校中考数学三模试卷一、选择题（12×3=36分）1．﹣3的倒数是（）A．B．﹣3 C．3 D．2．我县已初步完成“十三五”项目库建设工作，共选择了制造业、现代服务业、基础设施、生态环保、农林水利、社会发展六个类别的项目，共计1029个，估算总投资3036亿元．将3036亿用科学记数法表示法为（）A．3.036×103B．3.036×1011C．3036×108D．0.3036×10123．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°4．要使式子﹣x+2有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x≥1且x≠3 D．x≥35．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3 B．a5﹣a3=a2C．（3a3）2=6a9D．2（a3b）2﹣3（a3b）2=﹣a6b26．如图，已知某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的侧面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm27．若一元二次方程ax2﹣c=0（ac＞0）的两个根分别是n+1与2n﹣4，则=（）A．﹣2 B．1 C．2 D．48．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣19．某品牌商品，按标价八折出售，仍可获得10%的利润．若该商品标价为275元，则商品的进价为（）A．192.5元B．200元C．244.5元D．253元10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）A．7 B．10 C．11 D．1211．如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=62°，则∠BOC的度数为（）A．60°B．62°C．31°D．70°12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过（﹣3，0），对称轴直线为x=﹣1，给出四个结论：①16a﹣4b+c＞0；②abc＞0；③一元二次方程ax2+bx+c=5没有实数根；④（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，且x1＜﹣1＜x2，﹣1﹣x1＜x2+1，则y1＞y2．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．9的平方根是______．14．因式分解：4a3﹣12a2+9a=______．15．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是______．16．已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于______．三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为菱形；（2）连接AE、BE，求证：AE=BE．19．将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A 组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E 组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．20．在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=mx+n．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式＞0的解集．22．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．23．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）试判断DE与⊙O的位置关系并证明；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若tanC=，DE=2，求AD的长．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交于点C（0，﹣3），设该抛物线的顶点坐标为D，连接AC．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC的周长最小，请求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点M，使S△MAC=2S△BCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016年湖北省恩施州咸丰县城区学校中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（12×3=36分）1．﹣3的倒数是（）A．B．﹣3 C．3 D．【考点】倒数．【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数解答．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选A．2．我县已初步完成“十三五”项目库建设工作，共选择了制造业、现代服务业、基础设施、生态环保、农林水利、社会发展六个类别的项目，共计1029个，估算总投资3036亿元．将3036亿用科学记数法表示法为（）A．3.036×103B．3.036×1011C．3036×108D．0.3036×1012【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于360亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．【解答】解：3036亿=3036 000 000 0=3.6×1010，故选B．3．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【考点】平行线的性质．【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．【解答】解：过点B作BD∥l，∵直线l∥m，∴BD∥l∥m，∴∠4=∠1=25°，∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°，∴∠2=∠3=20°．故选A．4．要使式子﹣x+2有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x≥1且x≠3 D．x≥3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，x﹣3≠0，解得：x≥1，x≠3．故选C．5．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3 B．a5﹣a3=a2C．（3a3）2=6a9D．2（a3b）2﹣3（a3b）2=﹣a6b2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、a6÷a2=a4，故本选项错误；B、不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（3a3）2=9a6，故本选项错误；D、2（a3b）2﹣3（a3b）2=﹣a6b2，故本选项正确．故选D．6．如图，已知某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的侧面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【考点】由三视图判断几何体．【分析】首先根据几何体的三视图判断该几何体为圆锥，然后根据尺寸求得侧面积即可．【解答】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，其底面直径为6cm，高为4cm，故圆锥的母线长为=5cm，所以圆锥的侧面积为πrl=π×3×5=15πcm2，故选B．7．若一元二次方程ax2﹣c=0（ac＞0）的两个根分别是n+1与2n﹣4，则=（）A．﹣2 B．1 C．2 D．4【考点】根与系数的关系．【分析】根据题意得到n+1与2n﹣4互为相反数，求出n的值，确定出所求式子的值即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣c=0（ac＞0）的两个根分别是n+1与2n﹣4，∴n+1与2n﹣4互为相反数，即n+1+2n﹣4=0，解得：n=1，∴方程的两根为2和﹣2，则=4，故选D8．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解出两个不等式，再根据“大大小小找不到”的原则解答即可．【解答】解：，由①得：x＞a，由②得：x＜1，∵不等式组无解，∴a≥1，故选：A．9．某品牌商品，按标价八折出售，仍可获得10%的利润．若该商品标价为275元，则商品的进价为（）A．192.5元B．200元C．244.5元D．253元【考点】一元一次方程的应用．【分析】设商品的进价为x元，由已知按标价八折出售，仍可获得10%的利润，可以表示出出售的价格为（1+10%）x元，商品标价为275元，则出售价为275×80%元，其相等关系是售价相等．由此列出方程求解．【解答】解：设商品的进价为x元，根据题意得：（1+10%）x=275×80%，1.1x=220，x=200．故商品的进价为200元．故选：B．10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）A．7 B．10 C．11 D．12【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，∴AE=EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=4，AD=BC=6，∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，故选：B．11．如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=62°，则∠BOC的度数为（）A．60°B．62°C．31°D．70°【考点】切线的性质．【分析】由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=62°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣62°=118°，又∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣118°=62°．故选B．12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过（﹣3，0），对称轴直线为x=﹣1，给出四个结论：①16a﹣4b+c＞0；②abc＞0；③一元二次方程ax2+bx+c=5没有实数根；④（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，且x1＜﹣1＜x2，﹣1﹣x1＜x2+1，则y1＞y2．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】①根据函数图象可以得到当x=﹣4时，y＜0；②结合抛物线的开口方向，对称轴的位置来判断a、b、c的符号；③求出抛物线解析式，求出最大值为4，由此即可判断．④由题意可知x1，x2在原点两侧，点（x2，y2）离对称轴的距离远，由此即可判断．【解答】解：∵x=﹣4时，y＜0，∴16a﹣4b+c＜0，故①错误．∵开口向下，∴a＜0，∵﹣=﹣1，∴b＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故②正确．由题意抛物线为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴y的最大值为4，∴一元二次方程ax2+bx+c=5没有实数根，故③正确．∵（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，且x1＜﹣1＜x2，﹣1﹣x1＜x2+1，∴x1，x2在对称轴两侧，点（x2，y2）离对称轴的距离远，∴y1＞y2，故④正确，故选C．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．9的平方根是±3．【考点】平方根．【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．14．因式分解：4a3﹣12a2+9a=a（2a﹣3）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．【解答】解：4a3﹣12a2+9a，=a（4a2﹣12a+9），=a（2a﹣3）2．故答案为：a（2a﹣3）2．15．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是60°．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，∠ACO=∠A===70°，由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．故答案为：60°．16．已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于﹣50．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】设第n行的第1个数的绝对值为a n，根据数列排列方式找出部分a n的值，根据数值的变化找出变化规律“a n=+1”，依此规律再结合数列中所有奇数为正，偶数为负即可得出结论．【解答】解：设第n行的第1个数的绝对值为a n，观察，发现规律：a1=1，a2=|﹣2|=2=a1+1，a3=|﹣4|=4=a2+2，a4=7=a3+3，a5=11=a4+4，…，∴a n=a n+n﹣1．﹣1）=1+1+2+…+n﹣1=+1．∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1当n=10时，a10=+1=46，∴第10行从左边数第5个数的绝对值为：46+（5﹣1）=50．又∵该数列中奇数为正，偶数为负，∴第10行从左边数第5个数为﹣50．故答案为：﹣50．三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先化简分式，再把x=﹣1代入求解即可．【解答】解：﹣÷=﹣•，=﹣，=，当x=﹣1时原式=．18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为菱形；（2）连接AE、BE，求证：AE=BE．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，进而利用全等三角形的判定得出．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OC=AC=BD=OD，∴四边形OCED为菱形；（2）∵四边形OCED为菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=BE．19．将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A 组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E 组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．【分析】（1）根据题意可得：这部分男生共有：5÷10%=50（人）；又由只有A组男人成绩不合格，可得：合格人数为：50﹣5=45（人）；（2）由这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，可得：成绩的中位数落在C组；又由D组有15人，占15÷50=30%，即可求得：对应的圆心角为：360°×30%=108°；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少有1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵A组占10%，有5人，∴这部分男生共有：5÷10%=50（人）；∵只有A组男人成绩不合格，∴合格人数为：50﹣5=45（人）；（2）∵C组占30%，共有人数：50×30%=15（人），B组有10人，D组有15人，∴这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，∴成绩的中位数落在C组；∵D组有15人，占15÷50=30%，∴对应的圆心角为：360°×30%=108°；（3）成绩优秀的男生在E组，含甲、乙两名男生，记其他三名男生为a，b，c，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，他俩至少有1人被选中的有14种情况，∴他俩至少有1人被选中的概率为：=．20．在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD===，在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴1000+x=x•tan68°解得：x=≈≈308米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=mx+n．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式＞0的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由点B、D的坐标结合矩形的性质即可得出点C的坐标，由中点的性质即可得出点A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出反比例函数解析式；由点F的横坐标、点E的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点E、F 的坐标，再由点E、F的坐标利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；（2）通过分割图形并利用三角形的面积公式即可求出结论；（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．【解答】解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵点A为线段OC的中点，∴A点的坐标为（2，3），∴k=3×2=6，∴反比例函数解析式为y=；把x=6代入y=得y==1，则F点的坐标为（6，1）；把y=4代入y=得4=，解得：x=，则E点的坐标为（，4）．把F（6，1）、E（，4）代入y=mx+n中得：，解得：，∴直线EF的解析式为y=﹣x+5．﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF=4×6﹣k﹣k﹣×（6﹣）×（4﹣（2）S△OEF=S矩形BCDO1）=．（3）不等﹣x+5﹣＞0，可变形为﹣x+5＞．观察函数图象可发现：当＜x＜6时，一次函数y=﹣x+5的图象在反比例函数y=的图象的上方，∴不等﹣x+5﹣＞0的解集为：＜x＜6．22．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；（2）利用二次函数的性质得出销售单价；（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：w=（25+x﹣20）即：w=﹣10x2+200x+1250或w=﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）（2）∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，当时，销售利润最大此时销售单价为：10+25=35（元）答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．（3）由（2）可知，抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5当x=5时，利润最大最大利润为w=﹣10×52+200×5+1250=2000（元），方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16，解得：x≥11则11≤x≤25，故当x=11时，利润最大，最大利润为w=﹣10×112+200×11+1250=2240（元），∵2240＞2000，∴综上所述，方案B最大利润更高．23．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）试判断DE与⊙O的位置关系并证明；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若tanC=，DE=2，求AD的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OD，BD，由AB是直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=∠BDC=90°，由E是BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=EC，则∠EBD=∠EDB，而∠OBD=∠ODB，则有∠EDO=∠EBO=90°，根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；（2）OE是△ABC的中位线，根据中位线性质得到AC=2OE，根据相似三角形的判定易证得Rt△ABC∽Rt△BDC，则=，即BC2=CD•AC，即可得到BC2=2CD•OE；（3）由DE=BE=EC得到BC=2DE=4，在Rt△BDC中，根据正切的定义得到tanC==，则可设BD=x，CD=2x，然后利用勾股定理得到（x）2+（2x）2=42，解得x=±（负值舍去），则x=，在Rt△ABD中，由于∠ABD=∠C，则tan∠ABD=tan∠C，再根据正切的定义得=，于是有AD=BD=．【解答】（1）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=BE=EC，∴∠EBD=∠EDB，又∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∴∠EDO=∠EBO=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠ACB=∠BCD，∴Rt△ABC∽Rt△BDC，∴=，即BC2=CD•AC，∴BC2=2CD•OE；（3）解：在Rt△BDC中，∵DE=BE=EC，∴BC=2DE=4，∵tanC==，∴设BD=x，CD=2x，∵BD2+CD2=BC2，∴（x）2+（2x）2=42，解得x=±（负值舍去），∴x=，∴BD=x=，在Rt△ABD中，∵∠ABD=∠C，∴tan∠ABD=tan∠C，∴=，∴AD=BD=．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交于点C（0，﹣3），设该抛物线的顶点坐标为D，连接AC．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC的周长最小，请求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点M，使S△MAC=2S△BCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．（2）根据对称性判断出点P就是直线BC与对称轴的交点，再代入直线BC解析式中，求出点P的坐标；（3）先求出△BCD的面积，根据条件得出△MAC的面积，再作出平行线和垂直，利用它的特点求出点P坐标，【解答】解：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点（0，﹣3），∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4）．（2）连接BC，与对称轴交于P点，∵点A，B关于对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点就是所求的点，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=1时，y=﹣2，∴P点坐标为（1，﹣2），（3）如图，∵D（1，﹣4），P（1，﹣2），∴PD=2，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴S△BCD=S△BDP+S△CDP=×2×2+×2×1=3，∴S△MAC=2S△BCD=2×3=6，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC解析式为y=﹣3x﹣3，AC=过点A作AM⊥AC，∴直线AM解析式为y=x+，设N（m，m+），（m＞﹣1）∴AN==|m+1|∵S△MAC=×AC×AN=××AN=6，∴AN=，∴|m+1|=，∴m=，或m=﹣（舍），∴N（，），过点M作MN∥AC，∴直线MN解析式为y=﹣3x+9①，∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3②，联立①②得，或，∴P（3，0），或（﹣4，21）．2016年9月19日。