4[1].2.1直线与圆的位置关系.ppt

由(1)说明点( x1, y1 )在直线x0 x y0 y r 2上 由(2)说明点 x2 , y2 )在直线x0 x y0 y r 2上 (
o
B
x
l AB : x0 x y0 y r
2
x0x+y0y=r2
思考4:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，过点M作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？
解：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则l AP : x1 x y1 y r 2 , lBP : x2 x y2 y r 2
A
y
M
x1 x0 y1 y0 r 2 (1) x2 x0 y2 y0 r 2 (2)
( y 2) 2 25
如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
4 5 2 5 ( ) 5 即圆心到所求直线的距离为 5 ． 2 因为直线l 过点 M (3,，3)
2
所以可设所求直线l 的方程为：y 3 k ( x 3)
kx y 3k 3 0
；
x1 把, x2 1代入方程① ，得 y2 3． 2
所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：
A（2，0），B（1，3）
例3 已知过点 M (3,3) 的直线被圆 x 2 y 2 4 y 21 0 所截得的弦长为 4 5 ，求直线的方程． 解：将圆的方程写成标准形式，得：x 2
y
M
o x
x0x+y0y=r2
思考3:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2外一点，如何 求过点M的圆的切线方程？ M y
o
x
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的 切线，切点为A、B。 求切线直线PA、PB的方程；
2 1 -1 O -1
y
C
A
x

B 1 2
典型例题
3 例1 如图，已知直线l： x y 6 0 和圆心为C的 x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆
果相交，求它们交点的坐标． 解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0, 2 2 x y 2 y 4 0.
果相交，求它们交点的坐标． 解法二：圆 x y 2 y 4 0可化为 x ( y 1) 5.
2 2
2
2
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 直线 l 的距离
5，点C （0，1）到
d
| 3 0 1 6 | 32 12
5 5 10
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
5 5k 2
2
两边平方，并整理得到： 2k 3k 2 0
1 解得： k ，或k 2 2
所以，所求直线l有两条，它们的方程 分别为： 1 y 3 ( x 3) 或 y 3 2( x 3) 2
即:
x 2 y 9 0,或2x y 3 0
2 2
2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气 象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知 港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不 改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
港口
台风
轮船
知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定 思考1:在平面几何中,直线与圆的位置关 系有几种？ 思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线 与圆的位置关系？ d r r
思考题：求过点P（2，1），圆心在 直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
y
2x+y=0
P
o X
知识小结
有无交点，有几个．
判断直线与圆 的位置关系
直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解，有几个解．
判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系（大 于、小于、等于）．
作业:P132习题4.2A组：2，3，5．
即 7x y 15 0 或 x y 1 0 .
典型例题
3 例2 如图，已知直线l： x y 6 0 和圆心为C的 x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆
果相交，求它们交点的坐标． 分析：方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解； 方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系， 判断直线与圆的位置关系．
典型例题
3 例1 如图，已知直线l： x y 6 0 和圆心为C的 x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆
果相交，求它们交点的坐标． 解： 由 x 2
3x 2 0 ，解得：
x1 2, x2 1
把
x1 2,代入方程①，得 y1 0 x2 1
消去y，得：
x 2 3x 2 0
因为： (3) 2 4 1 2 =1>0 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
3 例1 如图，已知直线l： x y 6 0 和圆心为C的 x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如 圆
P
解：由题知切线斜率存在则设方程为：y 1 k ( x 2)
即 kx y 2k 1 0. 由已知圆C的圆心为（1，2），半径为 2
则 k 3 1 k
2
2
k 6k 7 0 解得 k 7 或 k 1.
2
故所求切线方程为： 1 7( x 2) 或 y 1 ( x 2) y
d
r
d
d<r
D=r
d>r
思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线 与圆的位置关系？
两个公共点
一个公共点
没有公共点
思考4:在平面直角坐标系中，我们用方程表 示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断 它们之间的位置关系？
直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
方法一:根据直线与圆的联立方程组的 公共解个数判断；
方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径 的大小关系判断.
思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何？
代数法 1.将直线方程与圆方程联立成方程组； 2.通过消元，得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值； 4.比较△与0的大小关系： 若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线 与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离． 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
Ax By C 0 设方程组 的解的个数为 n 2 2 2 ( x a) ( y b) r
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 n=2
直线与圆相离 直线与圆相切
直线与圆相交
几何法：
1.把直线方程化为一般式,并求出圆心坐标和半径r； 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
d
| 2 3k 3 | k2 1 | 2 3k 3 | 5 2 k 1
因此：
例3 已知过点 M (3,3) 的直线被圆 x 2 y 2 4 y 21 0 所截得的弦长为 4 5 ，求直线的方程．
解：即： 3k 1 | |
4．2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系
问题提出
1、点到直线的距离公式,圆的标准方 程和一般方程分别是什么？
d
| Ax0 By0 C | A B
2 2
( x a) ( y b) r
2 2
2 2
2
x y Dx Ey F 0( D E 4F 0)
d
aA bB C A B
2 2
3.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
d=r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d<r
知识探究（二）：圆的切线方程 思考1:过圆上一点、圆外一点0，y0)为圆x2＋y2=r2上一点，如何 求过点M的圆的切线方程？