第2章 信 号 分 析李伟基版

在式（2-6）中右端的各项是互相正交 的，故信号功率可以表示为
P s (t )
2 2 a0
1 2 1∞ 2 2 2 2 2 a1 a2 b1 b2 a0 (an bn2 ) 2 2 n 1


（2-22）
（2）能量信号的频率特性。当图2-3 中矩形脉冲的周期T保持不变而T1/T 比值不同时，此周期性脉冲波形的频 谱图如图2-8所示。
（2-10）
式（2-10）中
an cn cosn
bn cn sin n （2-11）
cn
2 an
2 bn
（2-12）
这样，cn的实部an就表示此频率分量 的余弦部分大小；cn的虚部bn就表示此频 率分量的正弦部分大小；而就是此频率分 量的总振幅。
利用欧拉公式
1 jx jx sin x j(e e ) 2 1 jx jx cos x (e e ) 2
A ( f f0 ) ( f f0 ) （2-30） 4
2
图2-14 周期性信号的功率谱密度
若信号的傅里叶级数表示式如式（214）
∞ ∞
s (t )
n -∞

cn e
jn0t

n -∞

cn e
j2πnf 0t
则其功率谱密度可以表示为
G( f ) cn f nf0 （2-31）
图2-8 不同T1值时，周期性脉冲的频谱图
谱线的第1个零点出现在n = T/2T1处， 此处的频率为
FT 1 nF 2T1 2T1
（2-23）
若令 表示单个脉冲的宽度，则式 （2-23）中nF ＝ 1/。 这就是说，频谱的第1个零点出现在 1/ 处。
另一方面，若周期性脉冲信号的周期 T增大，而保持脉冲宽度 不变，则相邻谱 线的距离F＝1/T将缩小，如图2-9所示。
图2-11 双边和单边能量谱
（3）非周期性功率信号的频率特性。 设图2-12所示的非周期性功率信号 n1(t)从−∞延伸到+∞。现在定义一个 新的信号n2(t)，它在－T和＋T之间与 n1(t)相同；在此区间之外等于0。
图2-12 非周期性功率信号
这样，由于n2(t)是一个能量信号，故 可以按照式（2-24）计算其能量为 （2-25） E S ( f ) Δf
A sin t s (t ) 0
0 ≤ t ≤ t1 t 0, t t1
（2-1）
式中：A为振幅；为角频率；t为时间。
图2-1 一段正弦波
确知信号还可以分为周期性信号和非 周期性信号两种。 满足下式的信号称为周期性信号
s(t ) s(t T )
对于所有t （2-2）
P V / R I R V I
2 2 2
2
(W) （2-4）
式中：V为信号的有效电压（V）；I为信 号的有效电流（A）；R为电阻（）。
对于非周期性信号，若其能量为一个 正的有限值，则称其为能量信号。 例如，图2-2中的矩形脉冲，其能量等 于
E A (t2 t1 )
2
（2-5）
图2-13 功率谱密度曲线
（4）离散谱和连续谱的关系。周期 性功率信号的频谱是一根根离散的谱 线Cn，如图2-8所示，我们将其称为 离散谱。能量信号和非周期性功率信 号在频域中呈现为连续的能量谱密度 S(f )或功率谱密度G(f )曲线，称为连 续谱。
在数学上用单位冲激函数（ 函数） 来表示离散谱的谱密度。
2 n
在物理上常把 函数称为单位冲激脉 冲，简称冲激脉冲。
2．时域性质
时域性质主要包括自相关函数和互相 关函数。
自相关函数R()的定义是信号和其位 移时间 后的信号的乘积的时间平均值， 即
1 R( ) s(t )s(t ) lim T ∞ 2T
T
s(t )s(t )dt
s (t ) a0 an cos n0t bn sin n0t （2-6）
n 1 n 1 ∞ ∞
式中：s(t)为周期性信号；0 = 2/T = 2F， 0称为信号基频的角频率；F = 1/T，称为 信号的基频；
a0 s (t ) an 2 s (t ) cos n0 t bn 2 s (t )sin n0 t
例如，若图2-3所示的周期性矩形脉冲 的一个周期定义如下
1, s(t ) 0, t T1 T1 t T / 2
（2-8）
图2-3 周期性矩形脉冲
则此周期性矩形脉冲的傅里叶级数展 开式为
s (t ) a0 a1 cos 0t a3 cos30t a5 cos50t a0 a(2 n 1) cos(2n 1)0t
n 0 ∞
（2-9）
sin(n0T1 ) a a 式（2-9）中，0 2T1 / T ， n nπ ，
n≠0 当T = 4T1时，此波形是方波；式（2-9） 中各傅里叶系数为
a0 1/ 2, a1 2 / π, a3 2 / 3π, a5 2 / 5π,
将这些系数an（n = 0, 1, 2, …）的值 和其对应的谐波次数画出，如图2-4所示。
2.1.3 确知信号的性质
1．频域性质
频域是频率域的简称，频域性质指信 号的频率特性。
（1）周期性确知功率信号的频率特 性。由傅里叶分析可知，任何一个满 足狄利克雷条件①的周期性信号都可 以展开成傅里叶级数，即一个周期性 信号是由许多正弦波形组成的。
傅里叶级数的数学表示式可以用如下 三角级数表示
图（2-10）中在f1和f2之间的阴影区f ＝f2−f1的面积表示在此频率范围内信号的 能量。
图2-10 能量谱密度曲线
全部曲线下的面积就是此信号的能 量，它可以写为
E Sn ( f ) f
n
（2-24）
若用Ss( f ) 表示双边能量谱，Sd( f ) 表 示单边能量谱，则有Sd( f ) = 2Ss( f )，如图 2-11所示。
（2-13）
可以把式（2-6）作如下改变
s (t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
n 1 ∞ n 1 ∞ 1 jn0t 1 jn0t a0 an e e bn j e jn0t e jn0t 2 2 n 1 n 1 -∞ 1 1 jn0t a0 an jbn e (a n jb n )e jn0t n 1 2 n 1 2 ∞ ∞ ∞
cos(t ) cost ,
sin(t ) sint
（2-21）
可以看出：对于余弦波，数学上负频 率和正频率代表的是同一个波形；而对于 正弦波，负频率仅表示相位反转180°而已。
图2-6 方波的双边频谱图
需要注意，一般来说，cn是复数，但 是，在此周期性方波的例子中，由于系数 bn等于0，没有余弦项，所以按照式（2-16） 计算，cn为实数。 否则，此频谱图中画出的仅是cn的模 |cn|；还可以另外画出相应的cn的相位谱。
2

n
2n
S2n ( f )为 式中：E2为n2(t)的能量；
n2(t)的能量谱密度函数在一小区间内的平 均值。
将非周期性功率信号n1(t)的功率P定 义为其能量E被时间除，即
P lim E / 2T lim S ( f )Δf T ∞ T ∞ n / 2T Tlim Sn ( f ) / 2T Δf ∞ n
图2-7（a）、（b）、（c）、（d） 分别表示了双边谱和单边谱的振幅和相位。
图2-7 周期性信号的幅度谱和相位谱
在物理概念上，可以想象为，把单边 谱的每次谐波的振幅的一半分到负频率上， 就得到双边谱。 但是，按照式（2-16），需要把单边 谱的每个谐波的相位符号改变，才是双边 谱中对应负频谱分量的相位。
式中，T为常数。 满足上式的最小T称为信号的周期。
图2-2所示单个矩形脉冲波形，显然是 非周期性信号。
图2-2 矩形脉冲波形
2.1.2 能量信号和功率信号
一个信号的能量是它的平均功率和其 持续时间的乘积，即
E P T
（2-3）
式中：E为信号能量；P为信号平均功率； T为信号持续时间。
信号的功率可以表示为
若按照信号的确定性划分，则它可以 分为确知信号和随机信号。 若按照信号的能量划分，则可以分为 能量信号和功率信号。 若按照信号的周期性划分，则可以分 为周期性信号和非周期性信号。
2.1 确 知 信 号
2.1.1 什么是确知信号
确知信号是指在任何时间的取值都是 确定的和可以预知的信号。
例如，一段确定的正弦波就是一个确 知信号，如图2-1所示。 此信号可以用下面的公式表示


（2-26）
并将功率谱密度定义为
G( f ) lim S ( f ) / 2T
T ∞
（2-27）
式（2-26）可以改写为
P Gn ( f )f
n
（2-28）
式（2-28）中， Gn ( f ) 为G( f )在区间 f = f2 – f1上的平均值。 G( f )的曲线，如图2-13所示。 G( f )曲线下的面积等于此信号的总功 率。
或
T /2 jnຫໍສະໝຸດ 0t（2-17）1 jn0t cn s(t )e dt （2-18） T T / 2
式（2-16）中的cn和c－n之间为共轭复 数关系，即
cn
c n
（2-19）
而cn的模（幅度）等于
1 2 2 cn an bn 2
（2-20）
负频率没有物理意义，或者说在物理 上不存在负频率的信号。 但是，由三角公式
图2-4 周期性方波的频谱