初中几何第二册第三章

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【说课稿】相似三角形的性质

相似三角形的性质各位老师：今天我说课的课题是初中二年级几何课中的“相似三角形的性质”一节，用的教材是人教版初中三年制《几何》第二册。

下面，我分五个部分来汇报我对这节课的教学设计，这就是“教材分析”、“教学方法与教学手段的选择”、“学法指导”、“教学过程的设计”和“评价分析”。

一、教材分析1、教材的地位及作用“相似三角形的性质”是初中几何第二册“相似形”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。

它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。

2、教学目标根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，确定本课的教学目标为：（1）知识目标：使学生掌握相似三角形的性质定理1及其证明方法，能运用相似三角形性质定理解决问题。

（2）能力目标：通过性质定理的推导，培养学生的逻辑推理能力和动手实践能力。

（3）德育渗透：通过全等三角形和相似三角形的类比学习，树立学生从特殊到一般的认识规律，通过先实验后归纳再推理强化学生“实践出真知”的求知意识。

3、教学重、难点因为相似三角形的性质是解决与相似三角形有关问题的重要依据，也是研究相似多边形性质的基础，因此，本课的重点是：相似三角形的性质。

由于初二学生推理归纳的能力较低，所以本课的难点是：性质定理1的证明。

二、教学方法与教学手段的选择为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，使几何课上得有趣、生动和高效，教学中从实验入手，利用相似比为1的全等三角形的性质，类比发现并归纳相似比不为1的相似三角形的性质定理1。

在教学中，启发、诱导贯穿于始终。

采用多媒体、投影仪等电教手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和教学质量。

三、学法指导为了培养学生的逻辑思维能力、自学能力和动手实践能力，这节课采用自制学具、动手实验，自已发现结论的学习方法。

使学生通过本节课的学习，进一步理解观察、类比、分析、归纳等数学方法。

湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第3章 3.3 复数的几何表示

2 --2 < 0,
解得m=1,所以z=-2.
则 2
-3 + 2 = 0,
探究点三复数加减法的几何意义
【例 3】已知平行四边形 ABCD 中, 与对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i,
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求:
(1) 对应的复数;
(2)对应的复数;
①在虚轴上;
②在实轴负半轴上.
解(1)依题意可知1 =(-3,4),2 =(2a,1).
因为1 ⊥ 2 ,所以1 ·2 =0,
即-6a+4=0,解得
2
a= .
3
(2)①若复数z的对应点P在虚轴上,
则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.
此时,z=6i或z=0.
②若复数z的对应点P在实轴负半轴上,
2.若=(0,-3),则对应的复数(
)
A.等于0
B.等于-3
C.在虚轴上
D.既不在实轴上,也不在虚轴上
答案 C
解析向量对应的复数为-3i,数的模:对任意复数z=a+bi(a,b∈R),我们将它在复平面上所对应的向
量的模
2 + 2
称为复数z的模,也称为z的绝对值,记作|z|.写成公式,
数为-4+6i,则对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析由复数加法、减法的几何意义可得 =
1
(-6-8i+4-6i)=-1-7i.
2
1
(
2
− ),其对应的复数为
重难探究•能力素养全提升
探究点一复数与复平面内点的对应
【例1】当复数z=
2 --6
+3

上海上海中学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(有答案解析)

一、选择题1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n2．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直3．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（） A ．2258cm B ．2414cm C ．2416cm D ．2418cm 4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面 6．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．2C ．3D ．237．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1ABE 8．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 为棱1AA 的中点，P 为棱1CC 的动点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，直线n 为平面ABCD 与平面11B D Q 的交线，下列结论中错误的是( )A ．//m 平面11B D QB ．平面PBD 与平面11B D P 不垂直C ．平面PBD 与平面11B D Q 可能平行 D ．直线m 与直线n 可能不平行 10．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,EF 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A ．92B ．310C ．32D ．10 12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．61cmC 61cmD ．234cm 13．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m14．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（）A ．①④B ．②④C ．①D ．④二、解答题15．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 16．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥；（2）若3SAP APD S S =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由. 17．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．21．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．（1）证明：AD CE ⊥；（2）若在梯形ABCD 中，π3ADC ∠=，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 22．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.23．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.24．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．25．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm ，侧棱长都相等，E 为BC 的中点，高为PO ，且30OPE ∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（1）求证：AD ⊥平面PBE ；（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ；（3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CP CQ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 2．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例． 3．C解析：C【分析】设出长方体的三条棱的长度为,,a b c ，根据表面积公式()2S ab bc ac =++求解出,,a b c 在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为,,a b c ，所以长方体表面积()()()()2222S ab bc ac a b b c a c =++≤+++++，取等号时有a b c ==，又由题意可知a b c ==不可能成立，所以考虑当,,a b c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：8,8,9，用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9，所以最大表面积为：()22888989416cm ⨯+⨯+⨯=. 故选C.【点睛】本题考查基本不等式与长方体表面积最大值的综合，难度一般.求解()0,0ab a b >>的最2a b ab +≤可知最大值为2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时要注意取等号的条件a b =是否成立，若取等号的条件不成立，则满足条件的,a b 相差最小时可取得最大值.4．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.5．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.6．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则13122MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.7．C解析：C【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题8．D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．D解析：D【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BD B D ，根据线面平行的判定定理和性质定理可得11////m BD B D ，可判断选项A 结论；分别取11,BD B D 中点1,O O ，连1,OP O P ，则1OPO ∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，判断1OPO ∠是否为直角，即可判断选项B 的结论；若P 为1CC 中点时，可证平面PBD 与平面11B D Q 平行，即可判断选项C 的结论；根据面面平行的性质定理可得11//n B D ，即可判断选项D 的结论.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BB D D 为矩形，11//,BD B D BD ∴⊂平面PBD ，11B D ⊄平面PBD ，11//B D 平面PBD ，11B D ⊂平面11B D P ，平面BDP 与平面1111////P B D m m B D BD =∴，选项A ，11//,m B D m ⊄平面11B D Q ，11B D ⊂平面11B D Q ，//m 平面11B D Q ，选项A 结论正确；选项B ，分别取11,BD B D 中点1,O O ，连11,,OP O P OO ，设正方体的边长为2，设CP h =，则22114,4(2)BP DP h B P D P h ==+==+-，,PO BD PO m ∴⊥⊥，同理1PO m ⊥，1OPO ∴∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，在1OO P △中，22222112,2(2),4OP h O P h OO =+=+-=，22211OP O P OO +>，1OPO ∴∠不是直角，所以平面PBD 与平面11B D P 不垂直，选项B 结论正确；选项C ，若P 为1CC 中点，取1BB 中点E 连1,C E QE ，则1//C E BP ，又Q 为棱1AA 的中点，1111//,QE C D QE C D ∴=，四边形11C D QE 为平行四边形，1111//,//,D Q C E D Q BP D Q ∴∴⊄面PBD ，BP ⊂平面PBD ，1//D Q ∴平面PBD ，同理11//B D 平面PBD ，1111111,,B D D Q D B D D Q =⊂平面11B D Q ，∴平面//PBD 平面11B D Q ，选项C 结论正确；选项D ，在正方体中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面ABCD 平面11B D Q n =，平面1111A B C D 平面1111B Q D B D =11//,//n B D n m ∴∴，选项D 结论不正确.故选：D .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，涉及到线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定，掌握平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题.10．C解析：C【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题. 11．A解析：A【分析】画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求.【详解】如图所示，经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形为四边形BDEF .,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，//EF BD ∴，且12EF BD =. 正方体棱长为2，22,2BD EF ∴==∴四边形BDEF 是一个等腰梯形.在1Rt BB F 中，22215BF =+= 2232522⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以梯形BDEF 的面积为322+229222⨯=. 故选：A .【点睛】本题考查正方体的性质，属于基础题. 12．A解析：A如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．A解析：A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．A解析：A①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．二、解答题15．（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则1111262213232C DBE E CBD V V h --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：233h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.16．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 【分析】（1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.【详解】连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSDSD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 由3SAP APD S S =，可得3SP PD =取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点所以在BFD △中，//BF OP .BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP又EF BE E =，所以平面//BEF 平面ACP又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC .由//FE PC ，则SE SF EC FP =, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SE EC= 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC .【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2239 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =， 1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△ 1132231322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+== 21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++= 22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯ 1390sin ABC ∴∠=1390392102202ABC S ∴=⨯⨯⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 的距离为239. 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33.【分析】（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD . （3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积. 【详解】（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ，由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥，又PA CD ⊥，DMCD D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，213433334D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.19．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin dA C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ， ∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C . （2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， ∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-=22 1122AB AO OB=+=，∵11AA B中，11122A B AB==，12AA=，∴117AA BS=，∴1112237323d⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2217d=，设11A C与平面11AA B所成角为θ，∴11A C与平面11AA B所成角的正弦值为：1121sin7dACθ==.【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出DE//AB，AB//A1B1，从而DE//A1B1，由此能证明A1B1//平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE//AB，AB//A1B1，∴DE//A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1//平面DEC1．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥AA1，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题． 21．（1）证明见解析；（2）3V =. 【分析】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出四棱锥A BCDE -的高为32，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形，所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，ABBD B =，所以EC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥．（2）因为在菱形BCDE 中，π3EDC ∠=，2BC BE ==，所以2CE =，23BD =因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以134BH BD ==．因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ，又π3ABD ∠=，所以3tan 2AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32．即三棱锥D ABC -的高为32. 易得BCD 的面积11231322BCDSBD OC =⋅=⨯=，所以三棱锥D ABC -的体积133332A BCD D ABC V V --===【点睛】方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下：（1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质. （2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法. 22．(I)证明见解析；(II)3 . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥ PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内， ∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， EP PQ EQ a PQ ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，cos 3PQ EQP EQ ∠==．∴二面角A CD E --. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．23．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ；（2）求出菱形ABCD 的面积，结合PD ⊥平面ABCD ，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P ABCD -的体积. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为45DBP ∠=，PD ⊥平面ABCD 因此2BD PD ==. 又2AB AD ==所以菱形ABCD 的面积为sin6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题. 24．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3na a ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，13,222PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,32PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111113022302x y z z ⎧--=⎪⎪-=，令12z =，所以()3n =． 233cos ,4n n ==，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 25．()232cm ，()248cm【分析】根据直角三角形边角关系得出PE ，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积. 【详解】如图，2,30OE cm OPE ︒=∠=，∴在Rt POE 中，4sin 30OEPE ︒==． PB PC =，E 为BC 的中点，()21,8cm 2PBC PE BC S BC PE ∴⊥=⋅⋅=侧棱长都相等，()2432cm PBCS S∴==侧，()2321648cm S =+=全【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）83. 【分析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证AD 垂直平面PBE 内两条相交直线，由，E 是AD 的中点，易得AD 垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以AD 垂直于PA ，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证PC 平行于平面内一条直线，根据1h 是的中点，联想到取AC 中点O 所以OQ 为△PAC 中位线．所以OQ // PA 注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.【详解】（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA．因为PA 平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为2h，1h，所以V P-BCDE=13S BCDE2h，V Q-ABCD=13S ABCD1h．因为V P-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．所以，因为，所以．。

成都市必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(有答案解析)

一、选择题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π22．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 3．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（） A ．30尺B ．32尺C ．34尺D ．36尺 4．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（）A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥ 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面8．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于() A ．43π B ．323π C ．12π D ．643π 9．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．24C ．3D ．2310．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β11．用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为,,A B C ，将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为( )A 333B 33cmC ．333cmD ．33cm12．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（）A ．①④B ．②④C ．①D ．④ 13．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．A 、B 、C 均有可能 14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，22CD =，现将ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知点P 为11A B 的中点．（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.（1）求证:11B F AC ⊥ ；（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．18．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥；（2）若3SAP APD S S =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由.19．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.20．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；21．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .23．如下图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A-BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．（1）求证：//AB 平面EFGH ；（2）若4AB =，6CD =，求四边形EFGH 周长的取值范围．24．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.25．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 2．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅⋅⋅⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.3．C解析：C【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺，所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺. 故选：C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 4．B解析：B【分析】n α⊥必有n 平行α的垂线，或者n 垂直α的平行平面，依次判定选项即可.【详解】解：αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，A 错误； //αβ，n β⊥能够推出n α⊥，正确；αβ⊥，//n β可以得到n 与平面α平行、相交，所以不正确. //m α，n m ⊥则n 与平面α可能平行，所以不正确.故选：B .【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题. 5．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．6．B解析：B【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．7．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.8．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 9．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则13122MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.10．D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11．D解析：D【分析】由等边三角形的性质，求出ABC 内切圆半径3r cm =，其面积293ABC S cm =，从而可求四面体MABC 的高max 3h =，进而可求出体积的最大值.【详解】解：设球的圆心为O ，半径为R ，ABC 内切圆圆心为1O ，由题意知ABC 三边长为6cm ，则ABC 内切圆半径1cos3033r AB cm =⋅⋅︒=，则2211OO R r =-=，所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223934ABC SAB cm =⋅=，所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933ABC V S h cm =⋅=.故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离. 12．A解析：A【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．13．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．14．A解析：A【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A .【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、解答题15．（1）证明见解析（2）6【分析】（1）利用22211EP EB PB +=可得1PE EB ⊥，又根据CE ⊥平面1PEB 可得CE PE ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE ⊥平面1B CE ；（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，可得1CB PG ⊥，可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，在直角三角形PEG 中计算可得结果.【详解】（1）因为点P 为11A B 的中点，11=2A B EF ，11//A B EF ，所以EF 与1A P 平行且相等，所以四边形1FEPA 为平行四边形，所以12EP A F AF ===，又12EB EB ==，11112PB A B EF CD ==== 所以22211EP EB PB +=，所以1PE EB ⊥，因为1,CE EF CE EB ⊥⊥，1EFEB E =，所以CE ⊥平面1PEB ，所以CE PE ⊥，因为1CE EB E =，所以PE ⊥平面1B CE ，（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，因为PE ⊥平面1B CE ，所以1PE CB ⊥，又PEEG E =，所以1CB ⊥平面PEG ，所以1CB PG ⊥，所以PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，因为1CE =，12EB =，所以2211145CB CE CB =+=+= 所以11255CE EB EG CB ⋅===，所以22423045PG PE EG =+=+=，所以sin EP PGE PG ∠==230=306=. 【点睛】关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE ⊥平面1B CE ，过垂足点E 作棱1CB 的垂线EG ，连PG ，则可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角.16．（1）证明见解析；（243 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；（2）取EF 中点P ，BC 中点K ，找到二面角，再在三角形中计算就可以了.【详解】（1）证明：1AA ⊥平面11,ABC B F AA ∴⊥ ，又111A B C 为正三角形，F 为11A C 中点，111B F AC ∴⊥得1B F ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以11B F AC ⊥；（2）设所有棱长都为2，取EF 中点P ，BC 中点K ，连,,PK AK PA . 易知,PK BC AK BC ⊥⊥，则PKA ∠为平面EFCB 的与底面ABC 所成二面角的平面角，在PKA 中，取AK 中点O ，连PO ，有PO ⊥平面ABC ，则PO AK ⊥，且32,PO OK ==，43tan 332PO PKA OK ∠===,【点睛】第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了. 17．（1）证明见解析；（2）823π. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)33V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.18．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 【分析】（1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.【详解】连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSDSD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 由3SAP APD S S =，可得3SP PD =取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点所以在BFD △中，//BF OP .BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP又EF BE E =，所以平面//BEF 平面ACP又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC . 由//FE PC ，则SE SF EC FP =, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SE EC = 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC=时，//BE 平面PAC .【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2239 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△ 113223132=⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++= 22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin 20ABC ∴∠=， 1390392102202ABC S ∴=⨯⨯⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 的距离为239. 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.20．（1）证明见解析；（2）62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.【详解】（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC， ∴C 1B ⊥平面ABC .（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =1222 由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B 3所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =2236 （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，∴1EB ⊥平面ABE .又∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()222225714x x x x -+++-=，解得x =1或x =2(舍去).故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.【点睛】关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.21．（1）答案见解析；（2）3311. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°，∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥， AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM=，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 62QF =， ∴33sin QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为33.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB .（2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，PB ∴⊥平面EFD .【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.23．（1）证明见解析；（2）()8,12．【分析】（1）首先证得//EF 平面ABD ，然后根据线面平行的性质定理得到//EF AB ，由此证得//AB 平面EFCH .（2）设EF x =，EH y =，通过比例求得146x y +=，由此化简四边形EFCH 周长的表达式，进而求得四边形EFCH 周长的取值范围. 【详解】（1）∵四边形EFGH 为平行四边形，//EF GH ．∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴//EF 平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =，∴//EF AB ．∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFCH ，∴//AB 平面EFCH ．（2）同（1）可证//EH CD ，设EF x =，EH y =，∵//EF AB ，//EH CD ， ∴EF CE AB CA =，EH AE CD AC =， ∴1EF EH CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==，又4AB =，6CD =， ∴146x y +=，∴6(1)4x y =-，且04x <<， ∴四边形EFCH 的周长为2()26(1)124x l x y x x ⎡⎤=+=+-=-⎢⎥⎣⎦ ∴81212x <-<．故四边形EFGH 周长的取值范围是()8,12．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题. 24．（1）证明见解析；（2）18.【分析】（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF .（2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解.【详解】（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ，又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ，所以GH ∥EF .（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD ，又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ，因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高，由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4，由已知可得OB ＝42，PO ＝2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝2GH EF +·GK ＝482+×3＝18.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．（1）证明见解析；（2）217．【分析】（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，证明1B C ⊥平面ABO ，可得1B C AB ⊥；（2）作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，证明1CBB 为等边三角形，求出1B 到平面ABC 的距离，即可求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，侧面11BB C C 为菱形，11BC B C ∴⊥，AO ⊥平面11BB C C ，1AO B C ∴⊥，1AO BC O =，AO ⊂平面ABO ，1BC ⊂平面ABO1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，1B C AB ⊥∴；（2）解：作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O ⋂=，AO ⊂平面AOD ，OD ⊂平面AODBC ∴⊥平面AOD ，OH BC ∴⊥，OH AD ⊥，BC AD D ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AD ⊂平面ABCOH ∴⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，1CBB ∴△为等边三角形，1BC =，3OD ∴=， 1AC AB ⊥，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =，可得227AD OD OA =+=，21OH ∴=， O 为1B C 的中点， 1B ∴到平面ABC 的距离为21， ∴三棱柱111ABC A B C -的高21．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．∴BE AD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ，∴BE 平面PAD ，又EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

北京师范大学大兴附属中学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 2．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（） A ．30尺 B ．32尺 C ．34尺 D ．36尺 3．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰14．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π5．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．[2,3]B ．5,2⎡⎤⎢⎥⎣C ．325,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．51,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面8．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（）A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1A C 垂直C ．1PC 与平面11ABD 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行9．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A ．183B ．182C ．123D ．243 10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．186+B ．206+C ．2010+D ．1810+ 12．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（）A ．3B ．123C ．76123D ．610313．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32 ）A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．（1）求证：1//AD 平面EMN ；（2）求异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE 平面PBC .（2）若四面体PABC 的体积为33，求PCD 的面积. 17．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2AB CB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ；（2）若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 20．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC 2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离.21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .22．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，22BC =，M 为BC 的中点.（1）证明：AM PM ⊥；（2）求二面角P AM D --的大小；（3）求点D 到平面APM 的距离.23．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90//22ADE AF DE DE DA AF ∠====，，.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：//AC 平面BEF ；（3）若AC 与BD 相交于点O ，求四面体BOEF 的体积.24．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，,2,2PA AD AB AD ===.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B MNC -的高.25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．（1）求证：D 为BC 的中点;（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求证：1AC D ∆为直角三角形.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为1122223226⋅⋅⋅⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.2．C解析：C【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺，所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺.故选：C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．D解析：D【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则33MN a =，233MA a =，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以33OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r a =， 233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径15R a =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.4．C解析：C【分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴26R ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.5．C解析：C【分析】分别取111,BB B C 的中点,N M ,可得平面1//A MN 平面AEF ，从而点P 的轨迹为线段MN ，然后计算出线段1A P 的范围.【详解】分别取111,BB B C 的中点,N M ,则1//A M AE ,1A M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，则1//A M 平面AEF . //EF NM ,MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则//MN 平面AEF又1MN A M M ⋂=,所以平面1//A MN 平面AEF又平面1A MN ⋂面11BCC B MN =所以点P 的轨迹为线段MN当P 为线段MN 的端点M （或N ）时，1A P 最长，此时112P M A A ===当P 为线段MN 的中点时，1A P 最短，此时22111322P A N MN A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以325,42AP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题. 6．D解析：D【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．【详解】解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形， PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形， AD BM ∴⊥，PM BM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBMAD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则3BM =3PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PM PBM BM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误，对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．7．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.8．D解析：D【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示：对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误；对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 9．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝2=2. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 10．C解析：C【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题11．B解析：B【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥111B A C M -，正方体的棱长为2，M 为1BB 的中点，则111111111B MC A B C A B M A C M S S S S S S =---+正方体 ()()22211116212221222522222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯- 206=+故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题.12．B解析：B【分析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABC V S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=，得12nh =， ,12m h mn ≥∴≥，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC 中223412241242AB =+-⨯=，则2AB =，在Rt ABS 中22124SB =+=，在Rt ACS 中121628SC =+=所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：B.【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.13．B解析：B【分析】如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．【详解】如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .∵四棱锥P ABCD -中，32AB =，∴3AO '=.∵4PO '=，∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，∴2223(4)R R =+-，解得258R =， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.14．A解析：A【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A .【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、解答题15．（1）证明见解析（2）88585【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果.【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175********+-⨯⨯88585=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．（1）证明见解析；（2）27.【分析】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，利用面面平行的判定定理证明平面//AEF 平面PBC ，再用面面平行的性质可得//AE 平面PBC ；（2）根据体积求出PA ，过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，求出PQ 和CD 后，根据三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PC ，又120BCD AFD ∠=∠=︒，∴//BC AF ，∴平面//AEF 平面PBC ，∴//AE 平面PBC .（2）因为90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，2AC =，所以1,3BC AB ==由已知得：113323P ABC V AB BC PA -=⋅⋅⋅=，即11331323PA ⨯⨯=，可得2PA =.过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AQ ⊥，PA CD ⊥，∴CD PQ ⊥，ACD △中，2AC =，90CAD ∠=，30ADC ∠=，∴4CD =，23AD =，22334AC AD AQ CD ⋅⨯===， 222237PQ PA AQ =+=+=，∴11742722PCD S PQ CD =⋅=⨯⨯=△. 【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键.17．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.18．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有AC =在AEC 中CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)3V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.19．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =（5，﹣3，4），结合平面MB 1C 的一个法向量CA =（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．（2）因为AC =BC =2，22AB = 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13 (0,2,)2B M=--．设平面1AMB的法向量(,,)n x y z=，则0n AM⋅=，10n B M⋅=．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y zx y z⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x=，则3,4y z=-=，即(5,3,4)n=-．又平面MB1C的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以2cos,>=||||n CAn CAn CA⋅<=．由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为CC1⊥平面ABC，进而以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题20．（1）证明见解析；（2）33.【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF⊥平面BCD；（2）首先作辅助线，取AC的中点M，连结EM，首先证明ECM∠是直线EC与平面ABC所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）F是斜边BD的中点，∴FC=12BD=1∵E，F是AD、BD的中点，∴EF=12AB=1，又∵2∵EF2+FC2=EC2∴EF⊥FC又∵AB⊥BD，EF∥AB∵EF⊥BD，又BD∩FC=F∴EF⊥平面BCD∴平面EFC ⊥平面BCD(2）取AC 的中点M ，连结EM∵AB=BD=2且∠ABD=90°，∴AD=22∵2=12AD ， ∴ΔACD 为直角三角形且∠ACD=90°， ∴DC ⊥AC ，又DC ⊥BC ，∴AC∩BC=C ，又∵AC ，BC ⊂面ABC ，∴DC ⊥面ABC ，又E ，M 分别为AC ，AD 中点，∴EM ∥CD∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，∴ME=12CE=22∴2S ΔFCD =11122222⨯= ∵V E-FCD =13EF×S ΔFCD =1111236⨯⨯=，在RtΔECD 中，2， ∴S ΔECD =133222=，设点F 到平面CDE 的距离为h ， ∵V E-FCD =V F-ECD ，11363=，解得3即点F 到平面CDE 3. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直和点到平面的距离，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.22．（1）证明见解析；（2）45；（3）26. 【分析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，根据面面垂直的性质可知PE ⊥平面ABCD ，从而AM PE ⊥，由勾股定理可求得AM EM ⊥，又PE EM E =，满足线面垂直的判定定理则AM ⊥平面PEM ，根据线面垂直的性质可知AM PM ⊥；（2）由（Ⅰ）可知EM AM ⊥，PM AM ⊥，根据二面角平面角的定义可知PME ∠是二面角P AM D --的平面角，然后在三角形PME 中求出此角即可；（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则根据等体积得P ADM D PAM V V --=，建立关于d 的等式解之即可得到点D 到平面PAM 的距离．【详解】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ．PCD 为正三角形，PE CD ∴⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥平面ABCDAM PE ∴⊥四边形ABCD 是矩形ADE ∴、ECM 、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得：3EM =，6AM =3AE =222EM AM AE ∴+=AM EM ∴⊥又PE EM E AM =∴⊥平面PEMAM PM ∴⊥（2）由（1）可知EM AM ⊥，PM AM ⊥PME ∴∠是二面角P AM D --的平面角3tan 13PE PME EM ∴∠=== 45PME ∴∠=︒∴二面角P AM D --为45︒（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则P ADM D PAM V V --=，∴11··33ADM PAM S PE S d =而1·222ADM S AD CD ==，在Rt PEM 中，由勾股定理可求得6PM =1·32PAM S AM PM ∴==，所以：11223333d ⨯⨯=⨯⨯ 26d ∴= 即点D 到平面PAM 的距离为263. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找→作→证→指→求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【分析】（1）证明DE AC ⊥，AC BD ⊥，AC ⊥平面BDE 即得证；（2）设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，证明//AO 平面BEF ，即证//AC 平面BEF ；（3）先求出四面体BDEF 的体积43V =，再根据12BOEF BDEF V V =求解. 【详解】（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥．ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,AC ∴⊥平面BDE .（2）证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ， OG 为BDE 的中位线 1//2OG DE ∴ //AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，∴四边形AFGO 是平行四边形，//FG AO ∴．FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ，//AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ．3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥， AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，，DEF ∴的面积为122DEF S ED AD =⨯⨯=， ∴四面体BDEF 的体积1433DEF V S AB =⋅⨯= 又因为O 是BD 中点，所以1223BOEF BDEF V V == 2.3BOEF V ∴= 【点睛】方法点睛：求几何体的体积的方法：方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 24．（1）证明见解析；（2）2. 【详解】（1）取PD 的中点G ，连接NG ，AG ，如图所示：因为G ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以//GN CD ，1=2GN CD . 又因为M 为AB 的中点，所以//AM CD ，1=2AM CD . 所以//AM GN ，=AM GN ，四边形AMNG 为平行四边形，所以//AG MN .又因为22213PM PA AM =+=+=22123MC MB BC =+=+=所以PM MC =，则MN PC ⊥.又因为AD PA =，G 为PD 中点，所以AG PD ⊥.又因为//AG MN ，所以MN PD ⊥.所以MN PD MN PCMN PC PD P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面PCD . 又MN ⊂平面MPC ，所以平面MPC ⊥平面PCD .（2）设点B 到平面MNC 的距离为h ，因为B MNC N MBC V V --=，所以111332MNC MBC S h S PA ⋅=⋅△△.因为1222MBC S BC MB =⋅⋅=△， 1122122MN AG PD ===+=，22312NC MC MN =-=-=，所以122MNC S MN NC =⋅⋅=△. 所以1212232322h ⨯⨯=⨯⨯，解得22h =. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键.25．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D 为BC 的中点；（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD ⊥C 1D 即可．【详解】证明:(1) 联结1A C 交1AC 于O ，联结OD .∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形.∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1A C 的中点.∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC ⋂平面1AC D OD =，1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点.（2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面ABC平面11BCC B BC =， ∴AD ⊥平面11BCC B .∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥ 1C D ，∴1AC D ∆为直角三角形.【点睛】本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．∴BE AD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，又EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难。

初中数学知识点大全(完整版)

第一册第一章有理数1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。

以前学过的０以外的数叫做正数。

数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示量具有相反的意义1.2有理数1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a＋b＝b＋a三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

尺规作图

初中几何第二册第三章第三单元尺规作图一、教法建议【抛砖引玉】本单元要向同学们介绍尺规作图，何谓尺规作图：在几何里，把限定用直尺（没有刻度）和圆规来画图，称为尺规作图．最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．在平面几何的学习中和工程绘图中，经常应用．因而，在教学中，首先复习几何第一章中学过的作一条线段等于已知线段，用尺规法画图十分方便，免去了度量，准确度更高些，以激发他（她）们的兴趣．在此基础上先后引入“作一个角等于已知角”和“平分已知角”．首先分析标题，通过分析命题，分清已知什么，求作什么，才能画出已知条件，写好已知、求作．在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写出作法，证明（或引导学生写证明），讲完后要反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便切实掌握作图方法，并且从课本中给出的锐角推广到直角和钝角，仍然能掌握它们的作图方法并会证明．通过前两个基本作图的学习，再继续讲授“经过已知点作已知直线的垂线”和“作线段的垂直平分线”．对于“经过已知点作已知直线的垂线”应分两种情况：已知点在直线上或已知点在直线外，两种情况缺一不可．对于已知点在直线外的情况，证明略去，在教学中，应引导学生补证一下，这样可使学生确信作图的正确性，另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法，这样新旧知识交叉，互相渗透，相辅相成，将收到较好的教学效果．在学好练好，掌握好五种（初一学过的一种）基本作图的基础上，再介绍其应用．即什么是几何作图以及几何作图的一般步骤．在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺（没有刻度）和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画．比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法．教学中对比较复杂的作图不要涉及，只要求学生掌握经过简单分析就可以作出的题目，如求作出三角形，会写出最简单的几何作图的已知、求作、作法即可．并通过实例、习题的教学，进一步强调几何作图的三个步骤．在叙述作法中，不需要重述基本作图过程．【指点迷津】四种基本作图是本单元学习主要内容，尤其对前两种更是重中之重．因而，在学习中一定要准确地使用作图工具画出符合要求的正确图形，每一步画图都要有根有据．准确精练的几何语言，同学们叙述起来比较困难，为此，教学中可分步进行．一、教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂；二、教师叙述作法，让学生作图；三、教师画图学生叙述作法、交错进行，反复练习，最后再要求学生自己作图，写作法．学过基本作图后，遇有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．与此同时，画图的方法更多了，如没有特别指出，可以选用任何一种你认为方便的方法画图．二、学海导航【思维基础】回答下列问题：1．在几何里把了限定用直尺和图规来画图，称为，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．2．基本作图包括：（i ）作一个角等于；（ii ）平分；（iii ）经过一点；（iv ）作线段的．第一章学过的作一条线段等于．3．于一条线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．【学法指要】例1．已知：直线AB 及直线AB 外一点C ．求作：过点C 作CD ∥AB ．（画出图形，不写作法，保留作图痕迹）思路分析：假设符合条件的图形已作出（如左图），那么直线CD 过点C ，且CD ∥AB ．符合条件．我们从左图可知：CD ∥AB反之，只要∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，那么CD ∥AB ．这时就将问题转化为“作一个角等于已知角”的基本作图上来．因为直线AB 和点C 是固定的，所以∠FEB 与∠AEC 均是固定的．另要作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC 即可．于是便得到如下两种画法：过C 作ECF 与AB 交于点E ，作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，得如下两图，均符合条件．（作图痕迹略）例2．如图，已知平角AOB ，试用直尺和圆规将平角AOB 三等分．（不写已知，求作，画法，保留作图痕迹）思路分析1：已知角AOB 为平角，∴∠AOB =180°，要把∠AOB 三等分，那么它三等分的每一个角是60°，由60°这一特殊角度，引起我们构造两个等边三角形，即以OA ，OB 分边作等边三角形，问题就解决，也就找到作法，如左图．（作图痕迹略）思路分析2：由思路1的分析，启发我们又有多种思路可以找到．如上作图，当作出等边三角形AOC 后，因∠BOC = 120°，再作∠BOC 的平分线即可．或作出等边△AOC 后，再作∠COD=∠AOC （或∠COD=∠CAO 或∠COA ）即可．或作出等边△AOC 后，再作∠BOD=∠OAC 即可．于是又可找到三种作法，画图如下：（作图痕迹略）∠FCD=∠FEB ∠AEC=∠DCE（作∠COB 的平分线）（作∠COD=∠AOC ）（作∠BOD=∠OAC ）这就是将求作的问题转化为基本作图──平分已知角，而中图与右图又将问题转化为基本作图而作一个角等于已知角．可见，必须熟悉基本作图，才有利于打开作图题的思路，望同学们一定要掌握好五种基本作图，遇到有关作图问题才能得心应手．例3．已知：线段a ，s ，s ＞2a求作：等腰三角形，使它的底边等于a ，周长等于s （作图痕迹略）．思路分析：本例要作的等腰三角形已知底边a ，周长为s ，关键是知道等腰三角形的腰长．因为等腰三角形两腰相等，现又知两腰之和为(s －a )．所以将线段(s －a )平分即可求出等腰三角形腰长为 (s －a )．那么等腰三角形的三边为a ， (s －a )， (s －a )便知道，仿课本P38知道三边画三角形方法即可画出符合要求的等腰三角形．作法：（如前页图）（i ）在线段AD(AD=s)上用圆规截取AB=a ；（ii ）作线段BD (BD=s －a )的中垂线L 与BD 交于点O ；（iii ）以AB (AB=a )为底，BD (BD = (s －a ))为腰作等腰三角形ABC 即为所求．证明：由作图可知：AB=a ，AC=BC=BO= (s －a )，∴AB+AC+BC=a+ (s －a )+(s －a )=s故所求作的等腰三角形符合要求．例4．已知斜边，求作一锐角为15°的直角三角形．已知：线段c ．求作：直角三角形，并使斜边为c ．一锐角为15°（作图痕迹略）．思路分析：本例要作Rt △，知道斜边及直角，是没法作出这样的三角形．必须知道15°的角才能作出符合条件的三角形．如何作出15°的角呢？我们可以发现15°角是60°角的四分之一．由60°角又启发我们作等边三角形，便出现60°角再把60°角四等分，便得出15°角，问题便解决了．得作法如下：i ）作出15°角（∠B ′A ′D ′=15°），作AB=c ；ii ）作∠BAD =∠B ′A ′D ′=15°；iii）过点B作AD的垂线BC交AD于C点．则△ABC为所求作的Rt△．本例在探索15°角时，将问题转化为“平分已知角(60°)”问题，进而又得出“作一个角等于已知角(15°)”．最后又用到“经过一点作已知直线的垂线”，使问题圆满解决．一道问题用到三种基本作图，才把思路打开．如果对基本作图不十分熟悉，是很难找到思路的．只有对基本作图熟练驾驭，遇到陌生问题，才能借助基本作图这位“向导”找到思路．【思维体操】例作已知锐角α的平分线（不要求写已知，求作，作法，以下各题要求相同，保留作图痕迹）．扩散一：作已知直角的平分线扩散二：作22.5°的角扩散四：作已知钝角的平分线．扩散五：如图，将已知角四等分扩散六：作15°的角扩散七：如图，作△ABC的∠A，∠B，∠C的平分线．扩散八：如图，已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图．由扩散一～扩散八，试题进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图──平分已知角，所以在学习中一定要抓住基本作图的“精髓”，才能进一步的深化与提高，才能把较复杂的作图题转化到基本作图上来，从而打开思路．三、智能显示【心中有数】本单元向同学们介绍了什么是尺规作图，并能够用尺规完成下列基本作图：（1）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线．能用五种基本作图作三角形：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形等．了解尺规作图的一般步骤，会写出已知，求作，作法．通过基本作图练习，并能解决生产、生活中的一些简单的实际问题，并能将一些较复杂的作图题转化为基本作图题去解决．学会转化的方法，学会基本作图的方法，以适应社会的需求．【动脑动手】1．如图．l 为一段直的河岸，A ，B 是河岸同侧的两个村庄，在河岸l 上修建一个水泵站C ，分别向A ，B 两个村抽水，这个水泵站应建在什么位置，可使水泵站到两个村庄距离相等？请问圆规和直尺在图中作出满足条件的水泵站C 的位置（不写作法，证明，保留作图痕迹）2．如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且交角为90°某仓库G 在A 区，到铁路，公路的距离相等（即G 点在∠NOQ 的平分线上），且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m ，（1）在图上标出仓库G 的位置（比例R ，1 : 10000）用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；（2）求出仓库G 到铁路的实际距离． 3．如图，A ，B ，C 三点表示某平原的三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置P ．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）4．已知：线段a ．求作：△ABC ，使∠ACB =90°，AB=a ，并且∠A =30°（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不必写作法与证明）5．如图，请作出由A 地经过B 地去河边l 的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）参考答案：（作图痕迹略）点C 为水泵站位置．2．（1）∵200m =200cm ．∴图距为：20000×＝2(cm )即OG ＝2cm ．如图，G 为仓库位置．（2）自G 作GB ⊥MN ，垂足为B 点（这里不要求用尺规作）依题设知△OBG 为等腰直角三角形．OG ＝200m∴2GB 2=2002 ∴GB ＝200∴GB ＝100 (m ) 答：仓库到铁路的实际距离为1002m ．4．1．以上三图中的△ABC 均符合条件，都为所求作的三角形如图，线段AB 与BP 即为所求．【创新园地】1．已知：线段a ，c 和角α，用圆规和直尺作出△ABC ，使AB ＝c ，BC ＝a ，∠ABC ＝α（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．2．已知：线段a 和∠α求作：直角三角形ABC ，使∠C ＝90°，BC ＝a ，∠B ＝∠α（要求：不写作法，每步都要用尺规作图并保留作图痕迹）3．已知：线段m 和∠α求作：等腰△ABC ，使顶角A ＝2α，腰AB ＝m（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法和证明）．4．已知：∠α，∠β和线段a求作：△ABC，使∠B =∠α，∠C＝β，BC=a．（要求：不要写作法及证明，要用尺规作图，并保留作图痕迹）四、同步题库填空题1.（1）尺规作图是指用来画图.（2）基本作图包括：；；；；；它们是几何作图的 .（3）最基本的几何作图语句有：①过点，点，作直线或作直线；②连结两点，或连结 .③延长到点，使 = .④在上截取 = ；⑤以点为为圆心，，为半径作弧，交于点；⑥分别以点点为圆心；以，为半径作弧，两弧交于点 .⑦一般几何作图应有下面几个步骤：；目前我们只要求写出三个步骤.2.用尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）作出△ABC的AB边的中点D，再作出DE∥BC交AC于点E.（如图1-3-17）3.已知斜边，一锐角，作直角三角形.4.已知△ABC，求作一点P，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等.图1-3-17 图1-3-185.如图1-3-18，在直线MN上求作一点P，使点P到OA，OB的距离相等.（注3～5尺为尺规作图）6.已知：线段a、b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形（要求用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹.7.如图1-3-19，A，B两个村子在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管总费用F.图1-3-198.已知：如图1-3-20，直线MN和线段AB.求作：线段AB关于直线MN的对称线段A'B'（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）.9.要求用尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，不证明.已知二边和夹角作三角形.10.已知线段AB，求作以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.11.如图1-3-21，一块三角形ABC，阴影部分已破损.（1）只要从残留的玻璃片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'，请简单说明理由.（2）用（1）中度量的边，角作△A'B'C'（要求尺规作图，保留作图痕迹）.12.用尺规作图，已知两边及第三边上的高求作三角形.图1-3-20 图1-3-21参考答案同步题库1.（2）直尺和圆规；（2）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一条射线平分已知角；过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线；依据（3）①A，A，AB，BA；②A，B，AB；③AB，E，AB，BE；④OA，OM，a；⑤O，OD，OA，D；⑥D，E，OD，OE，C；⑦尺规作图，基本作图.2.如图1-3-273.已知：∠α，线段m.求作：Rt△ABC,使∠A=α，斜边AB=m.作法：（1）作线段AB=m（2）以A为顶点作∠BAO=α（3）过点B过AO的垂线BC，BC交AO于C.△ABC即为所求.图1-3-27 图1-3-28 图1-3-294.已知：△ABC（如图1-3-30）.求作：点P，使PA=PC，且点P到边AB、AC的距离相等.作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN；（2）作∠BAC的平分线AO，AO交MN于P.点P即为所求.图1-3-30 图1-3-315.已知：∠AOB及直线MN（如图1-3-31）.求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.作法：作∠AOB的平分线OE交直线MN于点P.点P即为所求.6.已知：线段a ，b a b 求作：等腰△ABC ，使底BC=a ，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，交BC 于点D ；（3）在MN 上截取DA=b ；（4）连结AB ，AC ，△ABC 即为所求.图1-3-327.解：（参照原题图）要使铺设水管费用最省，关键是使水厂到两村距离最短，因之，应延长AC 到A '，使A 'C=AC ，连结A 'B ，与CD 相交于点O ，点O 就是我们要选择的水厂O 的位置.∵ △BDO ∽△A 'CO ，∴ OD ∶OC=BD ∶A 'C=3即OD ：（OD+OC ）=3∶4，也即OD ∶DC=3∶4∴ BO=4154932222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+OD BD 又OC=CD-OD=3-4349= ∴ 45431222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2OC AC AO ∴ 铺设的管道最短为：AO+BO=5∵ 每公里工程费用为：20000元∴ 总费用F 至少为5×20000=100000（元）.8.略9.见下图10.见图1-3-33图1-3-3311.（1）只要度量出∠B，∠C的度数和边BC的长，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'.其理由是根据“角边角定理”知△ABC、△A'B'C'.（2）见图1-3-34图1-3-3412.已知：线段b,c,h.求作：△ABC，使AC=b，AB=c，AD⊥BC，D为垂足，且AD=h作法：（1）作△ABD，使AD⊥BD，AB=c,AD=h.（2）以A为圆心，b为半径作弧，分别交BD或它的延长线上一点C1，C.（3）连结AC，AC1.△ABC及△ABC1均为所求作的三角形.图1-3-35。

选择性必修第二册导数专题--03导数的几何意义(学生版)

导数专题--- 03导数的几何意义学习目标1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。

必备知识1.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为． 2.类型应用：（1）求切线斜率或倾斜角（2）求曲线上某点处切线的方程（2）已知切线求参数值或范围（3）数学情境关键能力分层练一、求切线的斜率或倾斜角1.设函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为43y x =-，则()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆（）A ．4B ．2C ．1D ．3-2.若()2f x x =，则()f x 在1x =处的切线的斜率为______．3.函数cos ()ex xf x =（e 是自然对数的底数）图象在点()0(0)f ，处的切线的倾斜角是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．2π34.已知函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=（）A ．2B ．3C ．4D ．1-5.如图，直线l 是曲线()y f x =在点(4,(4))f 处的切线，则(4)(4)f f '+的值等于______ ．6.一质点沿直线运动，如果由起始点经过t 秒后的位移s 与时间t 的关系是321383s t t t =-+，那么速度为0的时刻是（） A ．1秒末 B ．2秒末 C ．4秒末 D ．2秒末或4秒末7.有一机器人的运动方程为2()6s t t t =+，（t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻2t =时的瞬时速度为（） A ．5B ．7C ．10D ．13二、求曲线上一点处切线的斜率或切线方程1.设函数()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（） A ．10x y --= B ．210x y --=C ．20x y --=D ．220x y --=2．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x 的切线方程． 3．已知曲线31433y x =+.(1)求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.4．已知函数()()32,f x x ax b a b =-+∈R 的图象过点()1,0-，且()24f '=．(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．三、由切线或斜率求参数的值或范围1.曲线2y x ax b =++在点()0,1M 处的切线方程为10x y -+=，则a ，b 的值分别为（）A ．-1，1B ．-1，-1C ．1，1D ．1，-12.直线12y x b =+是曲线y ＝ln x （x >0）的一条切线，则实数b 等于（） A ．－1＋ln2B ．1C ．ln2D ．1＋ln23.直线1y kx =+与曲线()3f x ax b =+相切于点()1,2P ，则b =（）A ．13B ．1C ．53D ．24.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（） A ．1B ．2C ．3D ．45.曲线3()2f x x x =+-在P 0处的切线垂直于直线114y x =--，则P 0的坐标为（） A ．()1,0 B ．()2,8C ．()1,0或()1,4--D ．()2,8或()1,4--6.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（） A ．1B ．1-C ．3-D ．37．已知函数()e 23x f x mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，求实数m 的取值范围．四、数学情境我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设()ln f x x =，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为______；用此结论近似计算4001e ______．。

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初中几何第二册第三章第五单元直角三角形一.教法建议【抛砖引玉】本单元向同学们介绍勾股定理这个古老的数学问题，2000多年前我们的祖先对其就有专门研究，并取辉煌成就。

这是中华民族自毫，炎黄子孙的骄傲，今天我们又来学习这个问题──勾股定理，它是几何中最重要的定理之一，勾股定理反映了一个直角三角形三边之间关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，由勾股定理及逆定理，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c 2=a 2+b 2）。

它把形与数密切地联系起来，拓宽了视野。

勾股定理是解直角三角形的主要根据之一，在生产生活实际中用处很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

为此，我们对它进行专门的学习与研究，并向同学们介绍一种面积证法，即同一种图形用两种面积关系式表示，列出关系式，使问题得到解决。

例如：直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边及斜边上的高分别c 、h ，其面积为s △ ，则有s ab ch ab ch ∆==⇒=1212这个问题同学们在小学已不陌生，应用这种面积思维几何问题又熠熠生辉。

我们祖先发现：图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变，利用计算可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法，也是我国古代证明几何题常用方法。

如何掌握及应用面积法，要认真观察图形，发现它的图形整体特征及分割后的图形特征或拼凑（割补）成不同图形的特征，分别用面积公式表示出来，再找出面积相等关系，列出等式，计算一下，便达目的。

教学必须紧紧扣住这一点，用面积法证明勾股定理就迎刃而解。

再通过生产生活实际问题引导同学们用勾股定理去解决，以强化勾股定理的应用。

把勾股定理的题设和结论交换（一对一的交换），可以得到它的逆命题，能够证明这个命题是真命题，即“勾股定理的逆定理”，它是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，与前面学过的判定方法（直角三角形定义或两直角边互相垂直）不同，它需要通过代数方法“算”出来。

这点在教学中通过实例与练习让同学们弄清楚用代数法证几何问题妙处，进一步开阔学生眼界。

【指点迷津】勾股定理及其应用是本单元重点之一。

采取面积法证明勾股定理有些陌生。

为此，应复习小学学习过的面积公式，如直角形面积公式，正方形面积公式，长方形面积公式等，并复习小学学过的用拼凑法证明平行四边形面积公式等。

然后再研究用面积法证明勾股定理便容易接受了。

勾股定理应用很重要，要通过例习题进行强化练习，以便熟练掌握。

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要依据，也是介绍用代数法证几何题的开拓，因此对其证法进行详细说明，使学生弄清证明的依据及方法，并掌握用代数法证几何题方法及技巧，以便今后的应用。

二.学海导航【思维基础】1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于；如果两条直角边长为a 、b ，斜边为长c ,则c 2= 。

2.由勾股定理已知直角三角形任意两边可求3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下列关系：a 2+b 2=c 2，哪么这个三角形为三角形。

4.运用勾股定理的逆定理可用来判定三角形或用来确定角。

【学法指要】例1.如图已知Rt △ABC 中，∠A =90°,D 、E 分别是AB 、AC 上的点，求证：CD 2+BE 2=BC 2+DE 2思路分析：题设告知Rt △ABC ，且∠A =90°，或观察图形，又发现三个Rt △，即Rt △ADE ，Rt △ABE ，Rt △ACD ，同时，结论又告知平方和的关系式，结论已暗示我们用勾股定理作“向导”，是最佳“人选”。

于是在Rt △ABC ，Rt △ADE ，Rt △ABE ，Rt △ACD 中，分别由勾股定理，得： BC 2=AB 2+AC 2 BE 2=AB 2+AE 2CD 2=AC 2+AD2DE 2=AD 2+AE 2⇒CD 2+BE 2=AB 2+AC 2+AD 2+AE 2⇒CD 2+BE 2=BC 2+DE 2例2.已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上任一点，求证：AB 2－AD 2=BD ·DC思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。

本例首先作AE ⊥BC 于E ，便出现两个全等的直角三角形。

由AB =AC ⇒BE =EC 结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt △ABE ，Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AB 2=AE 2+BE 2AD 2=AE 2+DE 2由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是AB 2－AD 2=(BE +DE )(BE －DE ) 结合图形知：BE +DE =BD BE －DE =CE －DE =CD例3.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =90°,AD =BD =CD ,G 为AD 上一点,且GD =12AG , 求证:BG 2+CG 2=5AG 2思路分析:结论关系式左边告知平方和的关系式,通常联想勾股定理解之为先,又BG ,CG 与直角三角形没有“姻缘”。

必须添设垂线作引线，使它与直角三角形牵上“红线”，便可促成“美满姻姻”。

于是作GE ⊥BC 于点E ,便出现 Rt △BGE ,Rt △CGE ,由勾股定理,得BG 2=GE 2+BE 2 CG 2=GE 2+CE 2在Rt 中,DG 2－DE2=GE 2结合图形发现：BE 2=(BD +DE )2，CE 2=(CD －DE )2 ⇒BG 2+CG 2=2(DG 2－DE 2)+(BD +DE )2+(CD －DE )2此时便想借“数”的一臂之力，用完全平方公式“帮忙”，得：BG 2+CG 2=2DG 2－2DE 2+BD 2+DE 2+2BD ·DE +CD 2+DE 2－2CD ·DE 又知BD =CD⇒BG 2+CG 2=2DG 2+2BD 2结合已知条件知：GD =12AGAD =BD =AG +GD =AG +12AG =32AG∴BG 2+CG 2=2·(12AG )2+2(32AG )2=2AG 2(1494+)=2AG 2·104=5AG 2例1～例3都是用勾股定理当主力军，担任“主攻”。

可见遇到平方和与平方差问题，通常应迅速作出决策，应用勾股定理作开路“先锋”，一般会旗开得胜。

但是孤军作战还是挺冒险的，必须“友军相助”，运筹帷幄，才能立于不败之地，例1～例3是形的问题，借助“友军”数中平方差公式，完全平方公式，提取公因式等，使问题向予定的胜利目标前进，最终夺取胜利。

可见打开问题既要确定主攻路线，又要有策略──思维方法，如数形结合法，转化法等，才能从胜利走向胜利。

例4.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ,试判断△ABC 的形状思路分析：“遇到平方想配方”，即遇到平方关系，设法配成完全平方式。

通常可达到目的，根据本例的题设条件，出现上述所说的特征，应立即对题设进行配方变换，于是有： (a 2－10a +25)+(b 2－24b +144)+(c 2－26c +169)=0 ⇒(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0∴(a －5)2=0,(b －12)2=0 (c －13)2=0 ∴a =5 b =12 c =13∴52+122=25+144=169=132⇒AB 2－AD 2=BE 2－DE 2 ⇒AB 2－AD 2=BD ·CD ⇒BG 2+CG 2=2GE 2+BE 2+CE 2∴a 2+b 2=c 2,由勾股定理逆定理知： ∴△ABC 是直角三角形。

例5.如图，已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别为3、4、13、12，∠CBA =90°,求S 四边形ABCD思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC 为佳，因∠CBA =90°，便出现了直角三角形ABC ，由勾股定理可求AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25在△CAD 中，我们又可发现： AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169∴AC 2+AD 2=CD 2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △，且∠DAC =90°此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。

S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=121212341251263036AB BC AC AD ()平方单位判定一个三角形是否是直角形，用定义，即证明三角形中有一个角有直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直，这是已学过的两种方法，现又增加判定一个三角形是否是直角形的新方法──应用勾股定理逆定理，用代数法计算一下三边的关系，便可果断作出判定，例4与例5用勾股定理逆定理进行判断，使思路打通了，也可给同学们开辟了证解几何题的新思路──代数法。

望同学们按照新开辟的“航道”大胆“启航”吧！一定会一帆风顺。

【思维体操】例1.已知：△ABC 中,∠BAC =120°,∠ABC =15°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，那么a ∶b ∶c = (本题结论保留根号)思路分析1：本例题设告知∠BAC =120°，很容易想到它的邻补角为60°，它已隐含告知我们构造一个含30°的特殊直角三角形。

这时，只要过B 作BD ⊥CA 交其延长线于点D ,含30°的直角三角形便出现了,以其为”领路人”,便可顺利前进了。

如图，设AD =1，则AB =2，由勾股定理，得 BD AB AD =-=-=2222213 又∠BAC =120°，∠ABC =15°∴∠ACB =45° ∵∠D =90°∴∠DBC =45° ∴∠DCB ＝∠DBC ⇒CD =DB =3 ∴b =AC =CD －AD =3－1 在Rt △BCD 中,由勾股定理,得a BC CD BD abc ==+=+=∴=-=-2222336631236222()()()∶∶∶∶∶∶思路分析2:仿思路分析1便构造出两个特殊直角三角形,即含30°的直角三角形ABD 及等腰直角三角形DBC 。

再过D 作DE ⊥BC 于E ，又构造出两个等腰直角形，为解题创造出更有利的条件。