高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方

程知识点总结

WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：1

21

22121tan x x y y x x y y k --=--=

=α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）

特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211

21

121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：

1=+b

y

a x 将已知截距坐标),0(),0,(

b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

①两点间距离：2

2122121)()(y y x x P P -+-=

②点到直线距离：2

2

00B

A C By Ax d +++=

③平行直线间距离：2

2

21B

A C C d +-=

4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A

①AB 中点),(00y x ：)2

,2(

2

121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3

2,32(2

1

21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3

2,32(2

121

y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）,对称后的点坐标为P ’（x ，y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；

②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。 2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：

①PB PA +的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PB PA -的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③2

2

PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。 3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0 => 必过点(-2,3)

②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：

① 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：

<1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.

2. 圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程——02

2

=++++F Ey Dx y x 其中圆心??

?

??--2,2

E D C ，半径

2

422F

E D r -+=

.

当0422 F E D -+时，方程表示一个圆， 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ?

?--2,2E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形.

第二种：圆的标准方程——222)()(r b y a x =-+-.其中点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆 第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：?

?

?+=+=θθ

sin cos r b y r a x （θ为参数）

注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A 3. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-?

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 4. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

①r d =时，l 与C 相切； ②r d 时，l 与C 相交；， ③r d 时，l 与C 相离. 5、圆的切线方程：

①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆

222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.(注:该点在圆上，则切线方程只有一

条)

②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则?

?

?

??+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出?k 切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。） 6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ（x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0

过两圆的交点的直线方程：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1- x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0（两圆的方程相减

得到的方程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

弦长的计算：AB=2*√R 2-d 2 其中R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离 AB=（√1+k 2）*∣X 1-X 2∣ 其中k 是直线的斜率，X 1与X 2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线

圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则（x-a ）/（y-b ）的最值可以转化为圆上的

点与该点（a ，b ）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则求x+y 或x-y 的最值可以转化为：设

T=x+y 或T=x-y ，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T 或y=x-T 在Y 轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出

已知圆

的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。

②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是

圆的圆

心坐标

圆锥曲线

椭圆

椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合

1、定义：12122(2)PF PF a a F F +=> 第二定义：(01)PF c

e e d a

==<<

2、标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 或 22

221(0)y x a b a b

+=>>；

3、参数方程cos sin x a y b θ

θ=??=? （θ为参数）θ几何意义：离心角

4、几何性质：（只给出焦点在x 轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点(,0),(0,)a b ±± ②、焦点(,0)c ± ③、离心率(01)c

e e a

=

<< ④准线：2

a x c

=±（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）

5、焦点三角形面积：12

2tan

2

PF F S

b θ

=?（设12F PF θ∠=）(推导过程必须会)

6、椭圆面积：S a b π=??椭（了解即可）

7、直线与椭圆位置关系：相离（0?<）；相交（0?>）；相切（0?=） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法

1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y

a b +=

22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x

a b

+=

2）切线斜率k 已知时， 22

221(0)x y a b a b +=>> 切线y kx =

22

221(0)y x a b a b

+=>> 切线y kx =

9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

22

221(0)x y a b a b

+=>> 0r a ex =±（左加右减）

22

221(0)y a a b a b

+=>> 0r a ey =±（下加上减）

双曲线

1、定义：122PF PF a -=± 第二定义：

(1)PF c

e e d a

==> 2、标准方程：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>（焦点在x 轴）

22

22

1(0,0)y x a b a b -=>>（焦点在y 轴） 参数方程：sec tan x a y b θ

θ

=???=?? （θ为参数） 用法：可设曲线上任一点P (sec ,tan )a b θθ

3、几何性质 ① 顶点(,0)a ±

② 焦点(,0)c ± 222c a b =+ ③ 离心率c

e a

=

1e > ④ 准线2

a x c

±

⑤ 渐近线 22221(0,0)x y a b a b -=>> b

y x a

=±或22220x y a b -=

22221(0,0)y x a b a b -=>> b

y x a

=±或22220y x a b -= 4、特殊双曲线

①、等轴双曲线22

221x y a a -= e =渐近线y x =±

②、双曲线22221x y a b -=的共轭双曲线22

221x y a b

-=-

性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系

① 相离（0?<）；② 相切（0?=）； ③ 相交（0?>） 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0?=时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>> 点P 在右支上 0r ex a =±（左加右减） 点P 在左支上 0()r ex a =-±（左加右减）

22

2

21(0,0)y x a b a b

-=>> 点P 在上支上 0r ey a =±（下加上减） 点P 在上支上 0()r ey a =-±（下加上减） 7、双曲线切线的求法

① 切点P 00(,)x y 已知 22221(0,0)x y a b a b -=>> 切线00221x x y y

a b -=

22221(0,0)y x a b a b -=>> 切线00221y y x x

a b

-=

② 切线斜率K 已知 22221x y a b -= 222()b

y kx a k b k a

=±->

8、焦点三角形面积：12

2cot

2

PF F S

b θ

=?（θ为12F PF ∠）

抛物线

1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）

2、几何性质：P 几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为P 标准方程：22(0)y px p => 22(0)y px p =->

图 像：

范 围： 0x ≥ 0x ≤ 对 称 轴： x 轴 x 轴 顶 点： （0，0） （0，0） 焦 点： （

,02p ） （,02

p

-） 离 心 率： 1e = 1e = 准 线： 2p x =-

2

p

x = 标准方程：22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图 像：

范 围： 0y ≥ 0y ≤ 对 称 轴： y 轴 y 轴 定 点： （0，0） （0，0） 焦 点： （0，

2p ） (0,)2

p - 离 心 率： 1e = 1e = 准 线： 2p y =-

2

p y = 3、参数方程2

22x pt y pt ?=?=?（t 为参数方程）?22(0)y px p =>

4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦

椭圆：双曲线通径长2

2b a

抛物线通径长2P

5、直线与抛物线的位置关系

1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点）； 3）相离（没有交点）

6、抛物线切线的求法

1）切点P 00(,)x y 已知：22(0)y px p =>的切线；00()y y p x x =+ 2）切线斜率K 已知：22(0):2p y px p y kx k

=>=+

此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用

附加：弦长公式：y kx b =+与曲线交与两点A 、B 则 解题指导：

轨迹问题：

(一)求轨迹的步骤

1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p （x ，y ）

2、立式：写出适条件的p 点的集合

3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （x ，y ）=0

4、化简：化成简单形式，并找出限制条件

5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 （二）求轨迹的方法

1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹

2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义

3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。

5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。

6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。

弦长问题：|AB|=]4))[(k 1(212212x x x x -++。 弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。 Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。 例1 （1994年全国）

已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-

1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L ：y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0).

设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A /

（12,11222+-+-k k k k ），B /（1

)1(8,116222+-+k k k k ）。因为A /、B /均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=

2

5

1+,p=552.

所以直线L 的方程为：y=

2

5

1+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

例3 （1994年全国）

已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN 切圆C 于点N ，则动点M

组成的集合是：

P={M||MN|=λ|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M 点坐标代入，可得：(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 当λ=1时它表示一条直线；当λ≠1时，它表示圆。 这种方法叫做直接法。

Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1．有关最值问题

例6 (1990年全国)

设椭圆中心为坐标原点，长轴在x 上，离心

率，已知点P （0，

2

3

）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标。

分析：最值问题，函数思想。关键是将点P 到椭圆上点的距离表示为某一变量

是函数，然后利用函数的知识求其最大值。

设椭圆方程为122

22=+b

y a x ，则由e=23得：a 2=4b 2，所以x 2=4b 2-4y 2.

设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则

:

|PQ|=22)23(-+y x =49

433)23(4422222++--=-+-b y y y y b (-b ≤y ≤b).

若b<21，则-2

1

<-b,当y=-b 时|PQ|max =749349433222=+-=++--b b b b b .

解得：b=7-23>21与b<21矛盾；若b ≥21，则当y=-2

1

时|PQ|max =7342=+b ,解得:b=1,a=2.

2．有关范围问题

例7 （2001春季高考题）

已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p 。

（1）求a 的取值范围；

（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关

于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L 的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得：设直线L

与抛物线两交点的坐标分别为A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则???

??=+=+>-+221212)(20

4)(4a

x x p a x x a p a ,又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,

,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221p a p p a p p p AB a p p x x x x y y x x AB ≤+<∴>+≤<+=-+=-+-=∴ 解

得:.4

2p a p -≤<-

(2)设AB 的垂直平分线交AB 与点Q ，令其坐标为（x 3,y 3），则由中点坐标公

式得：

p a x x x +=+=

2

2

13,.2

)

()(221213p a x a x y y y =-+-=+=

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p 2.又△MNQ 为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P 2，所以S △NAB =2222

2||22||||21p p p AB p QN AB =?≤?=?,即△NAB 面积的最大值为P 22。