概率

第十一章 概率与统计第一节 离散型随机变量的分布列 数学期望 方差1、随机变量①如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母ηξ,来表示.②离散型随机变量:对于随机变量的取值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 2、随机变量的分布列①设离散型随机变量ξ可能的取值为 ,,,,21n x x x ,ξ取每一个值i x 的概率p x P ==)(ξ,则称表②分布列的两个性质:Ⅰ、10≤≤i p Ⅱ、121=++ p p③二项分布:如果在一次实验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次的概率是k n kk n n p p C k P --=)1()(,称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ～),(p n B .④几何分布: 如果在一次实验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中,某事件第一次发生所需实验的次数ξ是一个随机变量),3,2,1( =ξ,则1)1()(--==n p p k P ξ.称这样的随机变量复从几何分布. 3、随机变量的数学期望和方差则称n n 2211,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为随机变量ξ的方差,它反映了离散型随机变量取值的集中与离散程度. ξσξD =为随机变量ξ的标准差.②期望的性质:b aE b a E +=+ξξ)(. ③方差的性质: ξξD a b a D 2)(=+ ④若ξ～),(p n B ,则npq D np E ==ξξ,. ⑤如果离散型随机变量ξ服从几何分布,那么p E 1=ξ,2pqDE = 其中p q -=1例1、两封信随机投入到C B A ,,三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的数学期望=ξE ___________.例3、 某人进行射击,每次中靶的概率为0.8,现规定中靶就停止射击;若没有中靶,则继续射击,如果只有3发子弹,则射击次数ξ的数学期望为_____________.例4、 甲,乙两人进行围棋比赛,每盘比赛甲胜的概率为31,而围棋比赛规则中不会出现平局.规定某人胜3局则比赛结束. (1)4盘结束比赛且甲胜的概率是多少? (2)求比赛盘数ξ的分布列和数学期望.【解】(1) 4盘结束比赛且甲胜的概率2723132)31(223=⨯⨯⨯=C P ;(2)比赛结束所需的盘数5,4,3=ξ,且31)32()31()3(33=+==ξP27103231)32(3132)31()4(223223=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==C C P ξ2782710311)5(=--==ξP所以ξ的分布列为2727527433=⨯+⨯+⨯=ξE例5 、从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相同,在下列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数ξ的分布列.(1)每次取出的产品都不放回此批产品中;(2)每次取出的产品都放回此批产品中,然后再取出一件新产品; (3)每次取出一件产品总把一件合格品放回此批产品中.例6 某人抛掷一枚骰子,出现各数的概率都是61,构造数列的}{n a .使⎩⎨⎧-=)(1)(1次掷出奇数时当第次掷出偶数时当第n n a n ,记n n a a a S +++= 21. (1)求24=S 的概率;(2)若前两次均为奇数,求17-=S 的概率.课后练习四十二1、设随机变量ξ～),(p n B ,且6.1=ξE ,28.1=ξD ,则 ( ) .A 2.0,8==p n .B 4.0,4==p n .C 32.0,5==p n .D 45.0,7==p n2、如果随机变量ξ～)41,15(B ,则使)(k P =ξ取最大值的k 值为 ( ).A 3 .B 4 .C 5 .D 3或43、一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则)12(=ξP 等于 ( ).A 2101012)85()83(C .B 210911)85()83(C .C 92911)85()83(C .D 29911)85()83(C4、一个蓝球运动员投蓝一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c ()1,0(,,∈b c a ),已知他投蓝一次得分的数学期望值为2,则ab 的最大值为 ( ) .A 481 .B 241 .C 121 .D 615、在6个电子产品中,有2个次品,4个合格品,每次任取一个测试,测试完后不放回,直到两个次品都找到为止,则所需测试的次数ξ的数学期望是 ( ).A 4 .B 5 .C 35 .D 3146、袋中有大小相同的5个球分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值 的个数( ) .A 5 .B 9 .C 10 .D 257、连续向一目标射击,直至击中目标为止,已知一次射击命中目标的概率为43,则射击次为3的概率等于_________.8、随机变量ξ的分布列 ,3,2,1,)32()(===k a k P k ξ,则a 的值为9、随机变量ξ等可能取值为1,2,3,…,n ,如果3.0)4(=<ξP ,那么=n10、在独立重复实验中,如果一次试验某事件发生的概率为41,那么该事件第二次发生时所需试验次数ξ的数学期望为 . 11、随机变量ξ的分布列如下表:其中c b a ,,成等差数列,若31=ξE ,则_______=ξD .12、5个旅行团到3个风景点观光.(1)求每个风景点至少一个个旅行团观光的概率; (2)求观光甲风景点的旅行团数ξ的数学期望.第二节 统计1、抽样方法①简单随机抽样:设一个总体含有N 个个体,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,称这样的抽样为简单随机抽样.简单随机抽样的方法通常有抽签法和随机数表法.这种抽样方法适合于个体数较少的总体.②分层抽样:把N 个个体进行编号,然后根据样本容量n 求得分段的间距mNk =,用抽样方法确定一个起点个体编号m ,从而得出以后的各个样本的编号依次是k n m k m k m )1(,,2,-+++ .③分层抽样:如果总体数有若干个层,则每个层中所抽取的个体数可按各层个体中所占比例抽取.2、总体分布的估计①利用频率分布直方图估计某个区间内的数据个数;②利用总体密度曲线进行估计某个区间内的个体分布的百分比. 3、正态分布①若连续型随机变量ξ的概率密度函数22)(21)(σμσπ--=x ex f ,称ξ服从正态分布,记作ξ～),(2σμN ，其中分别是正态分布的期望和标准差. ②标准正态分布Ⅰ、当1,0==σμ时的正态分布称为标准正态分布,记作ξ～)1,0(N ,其密度函数为2221)(x ex f -=π.Ⅱ、标准正态分布中,记)()(00x x x P Φ=≤.21)0(=Φ; )(1)(00x x Φ-=-Φ)()()(1221x x x x P Φ-Φ=≤≤ξ③正态曲线的性质和概率的计算,记 )()(x P x F ≤=ξⅠ、)()()(1221x F x F x x P -=≤≤ξⅡ、21)(=μFⅢ、)()(x u P x u P +≥=-≤ξξⅣ、)()(σμ-Φ=x x F例1 、某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是 ( ) .A 15,16,19 .B 15,17,18 .C 14,17,19 .D 15,16,20 例2、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为 ( ).A 0.27,78 .B 0.27,83 .C 2.7,78 .D 2.7,83 解析】由频率分布直方图知组矩为0.1.3.4～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1. 4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3. 又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87人．从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27，∴a ＝0.27，设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87.∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32(－5)＝78.答案：A例3 、以)(x Φ表示标准正态总体在区间),(x -∞内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ,则概率)|(|σμξ<-P 等于( ).A )()(σμσμ-Φ-+Φ .B )1()1(--Φ.C )1(σμ-Φ .D )(2σμ+Φ例4 若公共汽车车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在%1以下设计的，如果某地成年男子的身高ξ～)36,175(N (单位:cm ),则该地公共汽车车门的高度应设计为多高?(其中,9901.0)33.2(=Φ,结果精确定到1) 【解】设该地公共汽车的车门应设计为x ,则99.0)(≥≤x F ξ即99.0)6175(≥-Φx ,33.26175≥-x ,解得98.188≥x 故车门应设计为cm 189课后练习四十三1、某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10,方差为2,则||y x -的值为 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 42、某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人、1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了 ( ) .A 105人 .B 200人 .C 185人 .D 165人3、为了了解某地区高三学生的身体发育情况,调查了方地区100名年龄为17～18周岁的男生体重)(kg ,得到了频率分布直方图如下:根据上图可得这100名学生中体重在)5.64,5.56[的学生人数是 ( ) .A 20 .B 30 .C 40 .D 504、已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ,84.0)4(=≤ξP ,则)0(≤ξP 等于 ( ) .A 16.0 .B 32.0 .C 68.0 .D 84.05、在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布),1(2σN ,若4.0)10(=≤≤ξP ,则_________)20(=≤≤ξP6、某县农民年均收入服从)400,500(N ,则此县农民年均收入在500元到520元间人数怕的百分比为____________)kg .0.0.0。