怪獣数学定理之——皮克定理
燕尾定理公式
燕尾定理公式燕尾定理，又称为“皮克定理”或“握手定理”，是平面几何中的一个定理，已有两百多年的历史。
它描述的是一个简单多边形内部的点数与边数及顶点数之间的关系。
通过该定理，我们可以方便地计算出由卡片拼成的形状中的点数、边数和顶点数，以及对一些技术问题的解决。
下面是详细介绍。
燕尾定理公式为：对于一个平面图形，内部的点数I等于边数B减顶点数V加2，即I=B-V+2。
其中，点数I表示几何图形内部的点的数量；边数B表示几何图形的边数；顶点数V表示几何图形的顶点数。
公式的意义在于，当我们知道了任意两个值时，就可以非常方便地求出第三个值。
例如，当我们知道一张图形内部有m个点，其中包含n条边，那么该图形的顶点数就等于n-m+2。
此外，燕尾定理中的“燕尾”一词来源于几何形状。
燕尾的具体形状为带有斜切角的直角三角形，其两个直角边长度分别与相邻边相等，不同于其他三角形的长和宽的形状。
而燕尾定理中的“燕尾”则指的是这种三角形的形状。
燕尾定理的应用十分广泛。
例如，在计算地图中某个地区所覆盖的面积时，可以利用该定理计算出图形内部的点数、边数和顶点数。
而在计算工艺制图中特定形状的尺寸时，也可以用燕尾定理来计算图形内部的点数、边数和顶点数。
当然，在应用定理时，还需要注意一些细节。
例如，燕尾定理只适用于简单多边形，即多边形内部没有自交（即交叉）。
此外，如果多边形存在空洞或孔，则需要分别计算内外多边形的点数、边数和顶点数，然后用两个结果相减得到最终结果。
总的来说，燕尾定理作为平面几何中的一个基础定理，可以在很多领域中得到应用。
对于初学者而言，掌握该定理的公式和应用方法是十分重要的，有助于提高几何计算的效率和准确性。
课件皮克定理PPT
在数值计算中，皮克定理的近似形式也可以通过蒙特卡洛方法或随机抽样方法来实现。这些方法通过随机生成大 量的点或粒子，并计算这些点或粒子落在整个形状内部的概率来近似计算整个形状的面积或体积。
04
皮克定理的几何意义和物理应用
几何意义
01 02
面积与点密度关系
皮克定理描述了点密度与区域面积的关系，即在一个二维区域中，如果 将每个点赋予一个权重，则该区域的总面积等于所有点的权重与其距离 的平方之和的总和。
特例二
在平面几何中，如果一个点位于多边形的边上，那么这个点 与多边形的顶点相连形成的线段将把多边形的面积分成若干 个小三角形，这些小三角形的面积之和等于多边形的面积。
高维几何中的变种
变种一
在高维几何中，如果一个点位于多面体的内部，那么这个点与多面体的顶点相连形成的 线段将把多面体的体积分成若干个小四面体，这些小四面体的体积之和等于多面体的体
在深度学习中，皮克定理也常被用于优化神经网络的架 构和参数，提高了模型的性能和泛化能力。
06
皮克定理的进一步研究和发展方向
深入研究皮克定理的数学性质
皮克定理的精确表述
进一步明确皮克定理的数学定义和适用范围，以便更准确地应用 和推广。
皮克定理的证明方法
研究和发展新的证明方法，以验证皮克定理的正确性和可靠性。
在量子力学中，皮克定理可以用于描 述量子态的几何属性，例如量子态的 曲率、流形等。
量子干涉与波函数
几何相位
在量子力学中，皮克定理还可以用于 计算几何相位，即量子态在演化过程 中由于几何形状改变而产生的相位差 。
通过皮克定理，可以分析波函数的形 状和干涉现象，从而理解量子力学的 本质和规律。
物理应用二：流体动力学
皮克定理的证明与应用
皮克定理的证明与应用
180360(E-2)= 2E
二．皮克定理的应用例1．（2010，泉州中考）如图2，大正方形网格是由25个边
长为1的小正方形组成，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影
部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ．
例2.（2011，台湾中考）图3为一张方格纸，纸上有一灰色
三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为4
21平方厘米，则此方格纸的面积为多少平方厘米？（ ）
4×4×3
4
=12平方厘米，选B.
例3.（2006，湖州中考）一青蛙在如图4的8×8的正方形（每
个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青
A开始连续跳六次正好跳回到点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是 .
解析：对于一个周长为定值的多边形来说，当其成为正多边形时，
面积最大.
1
sin60·13.。
皮克公式的证明上课课件
即：ａ＝（Ｍ－１）×（Ｎ－１）
又有：８＝２×４＝２×（２＋２） １２＝２×６＝２×（３＋３） １４＝２×７＝２×（３＋４）
即： ｂ＝２×（Ｍ＋Ｎ）
综上可得：ａ＝Ｍ×Ｎ－（Ｍ＋Ｎ）＋１
ｂ＝２×（Ｍ＋Ｎ）
ｓ＝Ｍ×Ｎ
则
ｓ＝ａ＋ｂ／２－１
故
皮克公式对于矩形成立
由皮克公式在矩形中成立，下证 在直角三角形中皮克公式也成立
所以“[ ]”中的式子的值都等于-1
因此有s=a+b/2-1,即一般三角形中皮克公式也成立
最后证明对于一般形式的具有n个格点的多边形，皮 克公式成立
由于任一个n个格点的多边形都可以分割成许多 个格点三角形，且每个格点三角形都满足皮克公式。
综上所述，皮克公式对于任意边格点多边形都成立。
练习题 运用皮克公式解下列格点形的面积
解：六边形的内格点数a=4, 边界上的格点数b=8 面积s=a+b/2-1=4+8/2-1=7
答：六边形的面积为7。
回顾总结：
在本节课探索皮克公式的过程中，从矩形 直角
三角形 一般三角形
n边格点形，最终我们
证出了皮克公式，这就是一个从特殊到一般的过程。
我们还补充了数学归纳法这一证明问题的重要方 法。
在上图中，L=0,带入公式显然成立。
下证对于一般三角形皮克公式成立： 对于普通三角形AEF,过其三个顶点作矩 形ABCD,如下图所示：
D
A
E C F B
记矩形的边长为M,N,设：
三角形 面积
AEF
S
ADE
s1
CEF
s2
ABF
s3
内部格点 边上格点
格点多边形 皮克定理 推导证明
格点多边形皮克定理推导证明下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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匹克公式_皮克公式过程证明应用
皮克公式在中考中的出现和应用奥地利数学家皮克（Georg Pick，1859～1943）发现了一个计算正方形点阵中格点多边形面积的公式：121-+=nxS，其中n表示多边形内部的点数，x表示多边形边界上的点数．熟悉这个公式的人不多，但是还是被中考命题者挖掘来作为中考命题的内容．用这个公式来求格点多边形面积是非常方便的．首先来探究这个公式是怎么来的？例1 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．答：________ =S。
多边形的序号①②③④…多边形的面积S 2 2.5 3 4 …各边上格点的个数和 4 5 6 8 …（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：________ =S。
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？答：________=S．（江苏省常州市2004年中考试题）分析皮克公式的证明是采用特殊到一般的方法，考查学生推理的能力．本题是按多边形内部的点来分情况深究的．（1）当多边形内部的点数为1时，本题第一问画出了四个不同的图形，并且列表给出相应的数据，因此学生容易得出S 与x 之间的关系式：x S 21=。
（2）当多边形内部的点数为2时，本题第二间要求画出一些图形，再得出S 与x 之间的关系式．这时可以仿照第一问，画出上面的图形并且列出下面的表格．多边形的序号⑤ ⑥ ⑦ ⑧ … 多边形的面积S 3 3.5 4 5 … 各边上格点的个数和x 45 6 8 … 学生也容易得出S 与x 之间的关系式：121+=x S 。
皮克公式
皮克公式
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。
一个多边形的顶点如果在格点上，这多边形就叫做格点多边形。
有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
那么格点与面积间有什么公式呢？
奥地利数学家皮克(Georg Pick，1859---1943年)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式：S＝Q+ P÷2－1，其中多边形面积S，内部格点数Q，边上格点数P。
例1：下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。
每一部分面积的求法，因图而异。
如：
解答：三角形面积=3×3÷2×2=9，长方形的面积为4×7=28，所以礼盒面积为9＋28=37
我们若用皮克公式直接计算：Q＝28，P ＝20，S＝28＋20÷2－1＝37，简单。
例2：计算下面三角形格点中多边形的面积。
个格点，运用皮克公式计算面积，S＝Q+ P÷2－1 =57＋14÷2－1=63。
巧用皮克定理求格点上的多边形面积
巧用皮克定理求格点上的多边形面积1. 什么是皮克定理皮克定理（Pick’s Theorem）是一个用于计算相邻格点上的多边形面积的几何学定理。
它描述了在一个坐标系中，由相邻格点和连接它们的线段所构成的多边形的面积。
定理的表述如下：定理1（皮克定理）：设多边形P的顶点都是整点，P内部没有其他的整点，则P 的面积S可以通过以下公式计算：S = B + I/2 - 1其中，B表示P边界上的整点数量，I表示P内部的整点数量。
2. 皮克定理的应用场景皮克定理可以在很多场景下得到应用。
以下是一些常见的应用场景：2.1 计算整点多边形的面积通过皮克定理，我们可以直接计算由整点顶点和整点边界组成的多边形的面积。
这在一些几何学问题中非常有用，尤其是当我们只知道顶点坐标而无法通过其他几何学方法求解面积时。
2.2 判断整点多边形利用皮克定理，我们可以判断一个多边形是否由整点构成。
如果一个多边形的面积和边界上的整点数量都是整数，那么该多边形就是由整点构成的。
2.3 寻找满足条件的整点在某些数学问题中，我们需要寻找满足一定条件的整点。
皮克定理可以帮助我们找到满足条件的整点的范围，从而简化问题的求解过程。
3. 皮克定理的证明以下，我们将给出皮克定理的一个简单证明。
3.1 证明思路我们可以通过将多边形划分为一系列的小三角形来进行证明。
然后，我们可以对每个小三角形进行分析，得到一个公共的结论，从而推导出皮克定理的结果。
3.2 证明过程假设多边形P的边界上有n个顶点。
我们可以将多边形P划分为n个三角形，每个三角形有一个顶点位于多边形P的一个顶点上，另外两个顶点位于相邻顶点上。
这样，我们就得到了n个与多边形边界平行的三角形。
设这n个三角形的面积之和为A1。
显然，A1是所有三角形面积之和的一半。
我们观察每个三角形，其中一个顶点是整点，另两个顶点也是整点。
因此，每个三角形的面积也是一个整数。
根据三角形的面积公式，我们可以得到每个三角形的面积与它底边的长度之间存在一个整数倍的关系。
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=45（cm²）
图②
现在我们用皮克定理来求六边形面积。 首先，如图，红色点表示六边形外部的 格点数量，蓝色点表示六边形内部格点数 量，运用公式S=内部格点数+外部格点数 ÷2-1，即可求出面积。 内部格点数为39，外部格点数为14, S=39+14÷2-1 =39+7-1 =45（cm²）
怪獣数学定理之——皮克定理
天眼教育工作室制作 2015/4/11 第一期
认识皮克定理
一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式： S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边 形边界上的格点数，s表示多边形的面积。
注意：是格点数，就是在有格子的情况下，横竖两条线相 交叉的地方叫做格点。
本期内容到这里就结束了，有兴趣的朋友可以继续下载本 期内容的练习，我们下一期再见，88！
如右图，红笔标注的地方就是格点。让我们简单验证一下 皮克定理的准确性。
请计算图1六边形的面积（单位：厘米）
首先，我们用割补的方法来求面积。 做辅助线，如图2 图①
S=10×7-（1+7）×2÷2-（1+2）×4÷2
-2×2÷2-2×3÷2-3×4÷2 =70-8-6-2-3-6
具体做法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等， 这样两组平行线的交点，就是所谓格点。 如果取一个格点做原点 O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别 做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。 这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、 P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。 一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是， 这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目 及图内的点的数目，就可用公式算出。 这个公式是皮克 (Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实 用而有趣的定理。 给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其 面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系： S=a+b÷2-1。 (其中a表示多边形内部的点数 ,b表示多边形边界上的点数 ,S表示多边形的面 积)