工程力学第四章摩擦
工程力学中不可忽略的摩擦力
理论研究工程力学中不可忽略的摩擦力文/李 华摘 要：工程力学中作静力学分析时，通常把物体之间的接触面看成是光滑的，不考虑摩擦的存在。
虽然绝对光滑面是不存在的，但是在有些问题中接触面比较光滑或有较好的润滑条件，摩擦力比法向反力小得多，摩擦的影响非常小，为了方便计算，摩擦力可忽略不计。
本文主要讨论在一些特殊情况下，摩擦上升为主要因素，摩擦力是不可忽略的。
关键词：摩擦 摩擦力 平衡 不可忽略摩擦是机械运动中普遍存在的一种自然现象（摩擦分滑动摩擦和滚动摩擦，本文只讨论滑动摩擦）。
人类行走、机械运转、车辆行驶等都存在摩擦。
通常情况下，当摩擦不是影响机械运动的主要因素时，往往被忽略。
工程力学中作静力学分析，当接触面比较光滑或有较好的润滑条件，摩擦力比法向反力小得多，摩擦的影响非常小，为了方便计算，摩擦力可忽略不计。
但是，在一些特殊情况下，摩擦上升为主要因素，是不可忽略的。
例如，车床上的三爪卡盘就要依靠摩擦力才能将工件夹紧，皮带传动也需要依靠摩擦力来实现。
一、摩擦力两个相互接触的物体，如果有相对滑动或相对滑动趋势，在接触面间就产生彼此阻碍滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力。
如上图所示，地面上的物体M只受重力G和法向反力N的作用处于平衡，显然物体M在水平方向没有滑动或滑动趋势，接触面间不存在摩擦。
当在水平方向施加一拉力P时（其大小可在弹簧秤上读出），只要P的大小不等于0，物体若保持平衡，则在水平方向上必须有一力与P力抵消，围绕物体一周，唯有水平地面与物体底部接触，故只能依靠接触面间的摩擦形成的摩擦力F与P力抵消。
现对摩擦力F分析如下。
1.静摩擦力当拉力P由0逐渐增加且不超过某一特定值时，物体保持静止状态，说明力F和力P之间是大小相等的。
即，力F的大小随力P的大小变化而变化，物体保持静止状态。
物体只有运动趋势，此时因外力作用而引起的摩擦力称为静摩擦力。
F力大小随P力大小增加而不断增加，因此静摩擦力的大小不是固定值，物体只要保持静止，静摩擦力F的大小就由平衡条件确定，方向与物体运动趋势方向相反。
工程力学判断选择
第一章静力学基础一、判断题1-1、如物体相对于地面保持静止或匀速运动状态,则物体处于平衡。
（）1-2、作用在同一刚体上的两个力,使物体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反、沿同一条直线。
( ) 1-3、静力学公理中,二力平衡公理和加减平衡力系公理仅适用于刚体。
( ) 1-4、二力构件是指两端用铰链连接并且指受两个力作用的构件。
( ) 1-5、对刚体而言，力是滑移矢量，可沿其作用线移动。
（）1-6、对非自由体的约束反力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向相反。
（）1-7、作用在同一刚体的五个力构成的力多边形自行封闭，则此刚体一定处于平衡状态。
（）1-8、只要两个力偶的力偶矩相等，则此两力偶就是等效力偶。
（）二、单项选择题1-1、刚体受三力作用而处于平衡状态,则此三力的作用线( )。
A、必汇交于一点B、必互相平行C、必都为零D、必位于同一平面内1-2、力的可传性（）。
A、适用于同一刚体B、适用于刚体和变形体C、适用于刚体系统D、既适用于单个刚体，又适用于刚体系统1-3、如果力F R是F1、F2二力的合力,且F1、F2不同向，用矢量方程表示为F R= F1+ F2，则三力大小之间的关系为()。
A、必有F R= F1+ F2B、不可能有F R= F1+ F2C、必有F R＞F1, F R＞F2D、必有F R＜F1, F R＜F21-4、作用在刚体上的一个力偶，若使其在作用面内转移，其结果是（）。
A、使刚体转动B、使刚体平移C、不改变对刚体的作用效果D、将改变力偶矩的大小第二章平面力系一、判断题2-1、平面任意力系向作用面内任一点简化，主矢与简化中心有关. （）2-2、平面任意力系向作用面内任一点简化，主矩与简化中心有关。
( ) 2-3、当平面一任意力系对某点的主矩为零时,该力系向任一点简化的结果必为一个合力。
( ) 2-4、当平面一任意力系对某点的主矢为零时,该力系向任一点简化的结果必为一个合力偶。
工程力学课后习题答案
工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第二章 平面力系2-1 电动机重P=5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A 端以铰链固定，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A 、B 处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F FF F F B A yA B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F FP F F F BC yBC AB x解得: PF P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交NF N F F F FF F F C A GA yC A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
摩擦(工程力学课件)
称为动摩擦因数 。动滑动摩擦力的大小是一个定值。
*归纳：
（1）在静止时，静滑动摩擦力 Fs的大小由静力平衡方程确定。其值在0与Fmax之间
，随作用于物体上的其他外力的变化而变化。
（2）在临界状态时，此时静滑动摩擦力 Fs 满足库伦定律，其大小由静力平衡方程
确定，即 FS Fmax s FN
பைடு நூலகம்
（3）在相对滑动时，动滑动摩擦力满足动滑动摩擦定律，即
有多大，物体必保持静止， 这种现象称为自锁现象。
（2）若作用于物体上的主动力的合力 FP 的作用线在摩擦
角m之外，则无论这个力有多小，物体一定滑动。
摩擦角与自锁现象
❖ 自锁现象的工程应用
考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑有摩擦时构件的平衡问题，其解题方法、步骤与前面的在 不计摩擦时的情形大致相同。但在具体分析求解平衡问题时， 还应注意以下几点：
选择直角坐标系，建立平衡方程 ：
Fy 0
解此方程得
FN G cos 0
FN 849N
最大静滑动摩擦力Fmax ：
Fmax s FN 0.2 849 170N 求静滑动摩擦力 Fs ，假设物体在斜面上处于静止，设摩擦力 Fs 的 方向如图（b）所示，建立平衡方程，即：
Fx 0
Fs F G sin 0
Fmax s FN
上式称为静滑动摩擦定律，又称库伦定律。式中的比例
常数 s 称为静摩擦因数 。
静摩擦力的大小并不是一个定值，而是介于零到最大静
摩擦力之间，即 0 FS Fmax s FN 。
滑动摩擦
2、动滑动摩擦力：两物体已经产生相对滑动的摩擦力
F ' FN
上式称为动滑动摩擦力的计算公式。式中的比例常数
工程力学4章—理论力学
结论：平面任意力系向作用面内任 一点简化，可得一力和一个力偶。这个 力的作用线过简化中心，其力矢等于原 力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系 对简化中心的主矩。
二．解析法求主矢FR′的大小与方向
FR’
按图所选定的坐标系 Oxy,有
主矢FR′的大小及方向分别由下式 确定：
'2 '2 FR' FRx FRy ( X )2 ( Y )2 FRx=X1+X2+…Xn＝Σ X
二．物体系统的平衡
工程中的结构，一般是由几个构件通过一定的约束联系在一起的， 称为物体系统. 系统外的物体作用于该物体系统的力称为外力. 系统内部各物体之间的相互作用力称为内力. 对于整个物体系统来说，内力总是成对出现的，两两平衡，故无需考 虑，如图b的铰C处。而当取系统内某一部分为研究对象时，作用于系统 上的内力变成了作用在该部分上的外力，必须在受力图中画出，如图c中 铰C处的FCx和FCy。
l
B
l FBC
FP D
C MA ( F ) = 0 : FBC d - FP 2l = 0
解得：FBC=22FP
MB ( F ) = 0 : Fx = 0 :
FAy l - FP l = 0 解得： FAy= - FP FAx+FBCcos = 0 解得： FAx=-2FP
合力作用线位置：
合力作用线上一点坐标为(x,y)
O
F' R
(x,y)
M0
F R
A
x
M O ( FR ) M O ( F )
即：xFRy yFRx M O
' 4. FR
0， M O 0
(平衡)
第五章 工程力学摩擦li
F1max
sin f s cos P cos f s sin
PAG 15
Northeastern University
§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
y
（二）下滑 (1)取物体为研究对象
(2) 受力分析
(3) 建坐标系，列平衡方程
' 0 Fx 0, F1 cos P sin Fmax
PAG 21
③ M max与滚子半径无关;
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§4-4
滚动摩阻的概念
4.滚动摩擦系数 的说明 ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关; ③ 的物理意义见图示。
根据力线平移定理
R
' N
P F
A
R
Fs A
§4-1 2、状态
P
Fs
FN
滑动 摩擦实验
滑动摩擦 ①静止： （静摩擦力）
FT
Fs FT (FT Fs 不固定值)
②临界：（将滑未滑）（最大静摩擦力）
力 静摩擦因数
Fx 0, FT FS 0 FS FT
法线间夹角的最大值
tan f Fmax f s FN fs FN FN
Fmax Fs
摩擦角的正切=静摩擦系数
PAG 9
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§4-2
摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
①如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦 锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。
PAG 17
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工程力学课后习题答案单辉祖著
工程力学课后习题答案单辉祖著工程力学是一门重要的基础学科，对于理解和解决工程中的力学问题具有关键作用。
单辉祖所著的《工程力学》教材涵盖了丰富的知识点和各类习题。
下面，我们将为您提供一份详细的课后习题答案。
在第一章静力学基础中，我们首先遇到的是力的基本概念和受力分析。
比如习题中要求画出某个物体的受力图，我们需要明确各个力的作用点、方向和大小。
对于常见的约束类型，如光滑接触面、铰链约束等，要准确判断其所提供的约束力的方向。
在第二章平面力系中，重点是合力与分力的计算以及力系的平衡问题。
例如，通过力的多边形法则或解析法来求解多个力的合力。
在处理力系平衡问题时，要正确列出平衡方程，根据已知条件求解未知量。
第三章空间力系的习题相对复杂一些。
涉及到空间力在坐标轴上的投影、空间力对轴之矩等知识点。
解题时需要建立合适的坐标系，将空间力分解为各个坐标轴方向的分量，然后进行计算。
第四章摩擦的习题主要围绕静摩擦力和动摩擦力的分析。
要注意静摩擦力的取值范围以及动摩擦力的计算公式。
通过具体的实例，判断物体是否达到滑动状态，从而正确计算摩擦力的大小和方向。
第五章点的运动学中，需要掌握点的位置、速度和加速度在直角坐标系和自然坐标系下的描述和计算。
通过给定的运动方程，求导得出速度和加速度的表达式。
第六章刚体的简单运动，重点是刚体的平动和定轴转动。
对于平动，刚体上各点的速度和加速度相同；对于定轴转动，要熟悉角速度、角加速度与线速度、线加速度之间的关系。
第七章点的合成运动是一个难点。
需要区分动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理求解问题。
在解题过程中，要正确画出速度平行四边形和加速度矢量图。
第八章刚体的平面运动，要掌握平面运动刚体的角速度和角加速度的计算，以及用基点法、瞬心法求平面图形上各点的速度和加速度。
第九章动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。
通过对物体的受力分析，结合运动学方程，运用这些定理求解动力学问题。
341农业知识综合三(工程力学、机械设计、农业机械与装备)
农业知识综合三考试大纲江西农业大学硕士研究生《机械设计》考试大纲I 考查目标机械设计是机械类、近机械类专业中培养学生机械设计能力的一门重要的技术基础课程。
考生应系统复习本课程考试内容，除学习和掌握通用零部件的基础理论外，也要对各种零件的类型、特点、适用场合及工作原理、零件的失效形式、设计准则、零件的受力分析、设计计算（即承载能力的计算）、主要参数的选择、常用材料及结构设计等。
试卷覆盖面广，涉及考试内容的各个方面。
复习时既要重视分析计算，也要注重结构设计。
II 考查内容第一章绪论（1）机械工业在现代化建设中的作用；（2）机器的基本组成要素；（3）本课程的内容、性质和任务。
第二章机械设计总论（1）机器组成；（2）设计机器的一般程序；（3）对机器的主要要求；（4）机械零件的主要失效形式；（5）设计机械零件时应满足的基本要求；（6）机械零件的设计准则；（7）机械零件的设计方法；（8）机械零件设计的一般步骤；（9）机械零件的材料及其选择；（10）机械零件的标准化；（11）机械现代设计方法简介。
第三章机械零件的强度（1）材料的疲劳特性；（2）机械零件的疲劳强度计算；（3）机械零件的接触强度。
第四章摩擦、磨损和润滑（1）摩擦；（2）磨损；（3）润滑剂、添加剂和润滑方法；（4）流体润滑原理简介。
第五章螺纹联接和螺旋传动（1）螺纹联接的类型和标准联接件；（2）螺纹联接的预紧；（3）螺纹联接的防松；（4）螺纹联接的强度计算；（5）螺纹联接的设计；（6）螺纹联接的材料及许用应力；（7）提高螺纹联接强度的措施；（8）螺旋传动。
第六章键、花键联接等（1）键联接；（2）花键联接；（3）无键联接；（4）销联接。
第七章带传动（1）概述、带传动工作原理、特点和主要型式；（2）带传动工作情况分析、受力分析、应力分析、弹性滑动、打滑及传动比；（3）V带传动的设计计算；（4）V带轮的结构；（5）带传动张紧装置；（6）其它带传动简介。
第八章链传动（1）链传动的特点及应用；（2）传动链的结构特点；（3）链轮结构和材料；（4）链传动的运动特性、运动不均匀性和动载荷；（5）链传动的受力分析；（6）链传动的设计计算、主要参数及其选择；（7）链传动的布置、张紧和润滑。
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所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N （物体已运动）
例4：已知：P , , fs ; 求:使物块静止时，水平推力 F 的大小。
解：1）使物块有上滑趋势时，推力为 F1 画物块受力图
Fx 0, F1 cos P sin Fs1 0
Fy 0, F1 sin P cos FN1 0
§4–1 §4–2 §4–3
滑动摩擦 摩擦角和自锁现象 考虑摩擦时的平衡问题
1
§4-1 滑动摩擦
滑动摩擦力：相互接触的两物体，彼此间产生相对滑动（趋势） 时，在接触面内将产生阻碍物体相对滑动的作用 力，称为滑动摩擦力。
一、静滑动摩擦力
1、定义：当仅有滑动趋势时产生的摩擦力，用FS表示。
2、性质：
1）方向：Fs与物体相对滑动趋势方向相反
解（1）先取砖块为研究对象，受力分析
列平衡方程，由对称性得： FNA=FND , FSA=FSD
砖块不下滑的条件是：2FSA W
（2）再取AGB为研究对象，受力分析， 列平衡方程。
ΣMG(F)＝0, 95F+30FSA’-bFNA’=0
由于FSA =FSA’，FNA=FNA’， FSA =fsFNA
FS Fmax fSFN
代入数据并解得 F＝120 N
这是制动鼓轮转动所需的力F的最小值。
练习1 砖夹的宽度为25cm,曲杆AGB与GCED在G点铰 接。砖的重量为W=120N，提砖的合力F作用在砖夹的 对称中心线上，尺寸如图。如砖夹与砖之间的摩擦系数 fs=0.5，试问b应为多大才能把砖夹起？
解 (1) 先取鼓轮为研究对象,受力
分析如图，列平衡方程求解。
ΣMO(F)＝0 ,
Wr FSR 0 得FS Wr / R
（2）再取杆AB(包括制动块)为研究对象，受力分析如图 所示。 列力矩平衡方程 。
ΣMA(F)＝0， FNb FSh Fa 0
由于FN FN，FS FS,
并考虑平衡的临界状态，由静摩擦定律有
amin
0 ( 3 )
临界状态时，有
FA f NA，FB f NB
得
: a m in
arctg
2W (1 2(W
f2 P)
)P
例题6 制动器的构造如图 a) 所示。已知重物重W＝500 N，制 动轮与制动块间的静摩擦因数fS＝0.6，R＝250 mm，r＝150 mm，a＝1000 mm，b＝300 mm，h＝100 mm。求制动鼓轮转 动所需的力F。
梯子与地面间的最小夹角a ？
解：1）当人在梯子最上端时梯子最容易倾
倒。以梯子为研究对象，受力分析如下图。
2）列平衡方程
由 Fx 0, NB FA 0 ( 1)
Fy 0, NA FB P W 0 ( 2 )
MB
0,
P
l 2
cos
amin
FA
l
sin
amin
N
A
l
cos
擦角之内，则不论这个力的大小如何，物体总能处于平衡状态，这
种现象称为自锁。
②
自锁条件：
f
斜面自锁条件 f
螺纹自锁条件 f
自锁应用举例——千斤顶
§4-3 考虑滑动摩擦时的平衡问题
一、解题步骤： 1、受力分析、列平衡方程时必须考虑静摩擦力在内； 2、解题方法：①解析法 ② 几何法
3、除平衡方程外，增加补充方程 Fmax f sFN (一般在临
一.全约束力（全反力）
定义：静摩擦力与法向反力的合力。
F RA F N F S
二.摩擦角
1）定义：当物体处于临界平衡状态时，全约 束力和法线间的夹角。
tan f Fmax
FN
fs FN FN
fs
即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。
2）确定物体的平衡范围： 0 f
3）静摩擦系数测定的一种简易方法
界平衡状态计算） 4、解题步骤同前，讨论解的平衡范围。
二、解题中注意的问题 1、摩擦力的方向不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断。 2、由于静摩擦情况下，摩擦力有一定范围 0 Fs fs FN，所 以解（力、尺寸或角度）也常常是的一个平衡范围。
[例1] 作出下列各物体的受力图
12
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡状态受力图； ② P 最大维持平衡状态受力图
13
例题3 已知：Q=10N， f ′动 =0.1 f 静 =0.2，求：P=1 N; 2N, 3N 时摩擦力F？ 解： Fmax f静 N 0.210 2N
P1N 时,由X 0, F P1N （没动，F 等于外力）
P2N 时,由 X 0, F P2N （临界平衡）
2) 大小：由平衡条件确定。 Fx 0
是一个变值，即 3）库伦定律： Fmax fs FN
0 Fs Fmax
其中：f s— 静滑动摩擦系数；FN是法向反力。
fs 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关
2
§4-1 滑动摩擦
二、动滑动摩擦力
1、定义：当物体相对滑动时产生的摩擦力，用F表示。
tan tanf fs
三.摩擦锥
当物体运动趋势方向改变时，Fmax及支承面 的全约束力FRA的方向也将改变。
当全约束力的作用线在空间连续改变时， 将描出一个空间锥面，称为摩擦锥。 摩擦锥表示物体平衡范围：FRA在锥内平衡
四.自锁现象 ① 定义：如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩
且由图1知道F=W
可得
FSA
FS'A
95 Ff s b 30 fs
95 120 0.5 5700 b 30 0.5 b 15
（3）砖块不下滑的条件是：2FSA W 所以有2 5700 120， b -15 b 110mm
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
FS1 fs FN 1
解得
F1
sin cos
fs cos fs sin
P
2）使物块有向下滑趋势时， 推力为 F2 画物块受力图
解得：
Fx 0, F2 cos P sin Fs2 0
Fy 0, F2 sin P cos FN 2 0
FS 2 fs FN 2
解得
F2
sin cos
2、性质：
1）方向：与物体相对运动的方向相反
2) 大小： F fd FN
（无平衡范围）
其中：f d— 动滑动摩擦系数,与材料和表面情况有关；
通常情况下， f d f s
增大摩擦力的途径为：①加大正压力， ②加大摩擦系数 f 减小摩擦力的途径：降低接触面的粗糙度或加入润滑剂
3
§4-2 摩擦角和自锁现象
- fs cos fs sin
P
为使物块静止：
F2
sin cos
fs cos fs sin
P
F
sin cos
fs cos fs sin
P
F1
注意：在临界状态下求解有摩擦的平衡问题时，必须根 据相对滑动的趋势，正确判定摩擦力的方向，即摩擦力 的方向不能假定，必须按真实方向给出。
例题5 梯子长AB=l，重为P，现有一重为W的人在梯子上爬行。 若梯子与墙和地面的静摩擦系数 f ，求保证梯子处于平衡时，