工程力学-第五章 空间任意力系
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第五章 空间任意力系
z B x
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
材料力学 空间任意力系分析
工程力学
作用线位于不同平面的力系称为空间力系。
z
x
y
2
第五章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影
§5–2 力对轴的矩 · 力对点的矩
§5–3 空间汇交力系的合成与平衡
§5–4 空间力偶理论
§5–5 空间任意力系
§5–6 空间平行力系的中心 · 物体的重心
习题课
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cos F F F
Fx
Fz
Fy
6
[例1]已知：F=100N， 30, 60 ，计算图示力 在各坐标轴上的投影。
解：
Y F cos 50 3N
X F sin cos 25N Z F sin sin
的平面，方向用右手螺旋来确定 （右手握住平面的法线，卷曲四
指表示旋转方向，拇指的指向即
为力矩矢的方向）。 力矩矢的大小：
r
O
A
x
h
y
mo ( F ) F h 2AOB
13
空间力对点的矩可用矢积表示：
mO ( F ) F h F r sin rF
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
15
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
对点的矩。
mo ( F ) [mo ( F )]x i [mo ( F )]y j [mo ( F )]z k mx ( F )i m y ( F ) j mz ( F )k
作用线位于不同平面的力系称为空间力系。
z
x
y
2
第五章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影
§5–2 力对轴的矩 · 力对点的矩
§5–3 空间汇交力系的合成与平衡
§5–4 空间力偶理论
§5–5 空间任意力系
§5–6 空间平行力系的中心 · 物体的重心
习题课
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cos F F F
Fx
Fz
Fy
6
[例1]已知：F=100N， 30, 60 ，计算图示力 在各坐标轴上的投影。
解：
Y F cos 50 3N
X F sin cos 25N Z F sin sin
的平面，方向用右手螺旋来确定 （右手握住平面的法线，卷曲四
指表示旋转方向，拇指的指向即
为力矩矢的方向）。 力矩矢的大小：
r
O
A
x
h
y
mo ( F ) F h 2AOB
13
空间力对点的矩可用矢积表示：
mO ( F ) F h F r sin rF
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
15
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
对点的矩。
mo ( F ) [mo ( F )]x i [mo ( F )]y j [mo ( F )]z k mx ( F )i m y ( F ) j mz ( F )k
工程力学(静力学与材料力学)单辉祖5
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工程力学电子教案
第五章 空间任意力系
X 0, TA TB cos60 0
T A TB cos60 3 1 80 11.5 ( N ) 6 2
Z F cos F sin
力沿坐标轴分解
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由式（*）知 合力的大小：
* 合力的方向：
空间汇交力系的合力与方向余弦为：
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力对轴的矩的概念
P39--P40
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[例] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内。求:力P对坐标轴的矩。
解：
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
力对轴的矩的解析式
mx ( F ) yFz zFy m y ( F ) zFx xFz mz ( F ) xFy yFx
力对轴的矩的解析式
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第5章 空间任意力系
7
例题
空间任意力系
例题2
解：
由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m
y= b = 6 m
z= c =－3 m
8
例题
空间任意力系
例题2
则可求得力F 对坐标轴之矩 以及对原点O之矩的大小和方向。
FD 5.8 kN
解方程得 FB 7.777 kN
28
FA 4.423 kN
例题
空间任意力系
例题9
镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴向力 Fx的作 用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A 的约束 力的各个分量。
M y 0, F2xl2 Fzr Fx (l1 l2 ) 0
Mz 0, Fyr MO 0
由以上方程可以求出所有未知量。
20
例题
空间任意力系
例题6
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力T1=3 400 N，T2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
系统受空间任意力系的作用， 可写出六个平衡方程。
Fx 0,
FAx FBx (F3 F4 ) sin 30 0
工程力学第五章：重心及形心
Wi
W x
i i
yC
y
W Wi yi
zi xC xi
zC
zC
W Wi zi W
yC
x
有影响，可使物体
被分割成任意个部分进行计算。通常，对均质连续的物体 通常对物体在极限情况下 (n-∞)进行分割， 此时重心坐标 公式转化成积分形式。
2 R sin 3
y
R
2 C
x
扇形形心为
xC 2 R sin 3
y
当α为90°时，扇形为半圆
R C
x
xC
2 R sin
2 4R 3 3 2
对这类常用的简单几何图形和均质物体的重心或形心位置，均 可采用积分法进行求解。也可直接查询工程手册的形心表。
常 见 平 面 图 形 的 形 心 公 式 表
C
C
C
2. 积分法
例2：求半径为R，顶角为2 的扇形的形心。
如图所示建立参考直角坐标系，x为对称轴 yC 0
y
微元部分的面积为:
A
d
1 1 2 dA dL R R d 2 2
dA
O
C
B
扇形形心为
2 微元部分的形心坐标：x R cos 3 2 1 2 xdA R cos R d 3 2 A x x C 2 A R 2 2 1 3 R cos d 3 R 2 sin 2 R 3
M z ( FR ) M z ( F1 ) M z ( F2 ) M z ( Fn ) M z ( Fi )
即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有 分力对同一轴的矩的代数和。
W x
i i
yC
y
W Wi yi
zi xC xi
zC
zC
W Wi zi W
yC
x
有影响，可使物体
被分割成任意个部分进行计算。通常，对均质连续的物体 通常对物体在极限情况下 (n-∞)进行分割， 此时重心坐标 公式转化成积分形式。
2 R sin 3
y
R
2 C
x
扇形形心为
xC 2 R sin 3
y
当α为90°时，扇形为半圆
R C
x
xC
2 R sin
2 4R 3 3 2
对这类常用的简单几何图形和均质物体的重心或形心位置，均 可采用积分法进行求解。也可直接查询工程手册的形心表。
常 见 平 面 图 形 的 形 心 公 式 表
C
C
C
2. 积分法
例2：求半径为R，顶角为2 的扇形的形心。
如图所示建立参考直角坐标系，x为对称轴 yC 0
y
微元部分的面积为:
A
d
1 1 2 dA dL R R d 2 2
dA
O
C
B
扇形形心为
2 微元部分的形心坐标：x R cos 3 2 1 2 xdA R cos R d 3 2 A x x C 2 A R 2 2 1 3 R cos d 3 R 2 sin 2 R 3
M z ( FR ) M z ( F1 ) M z ( F2 ) M z ( Fn ) M z ( Fi )
即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有 分力对同一轴的矩的代数和。
河南理工大学《工程力学》课件5 空间任意力系
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第五章 空间任意力系
1) 空间任意力系简化为平衡的情形 当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0，主矩 MO ＝ 0 ，这是空间任意力系平衡的情形。 2) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 F'R＝0，MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶 矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化 中心位置无关。
4R yC = 3π
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第五章 空间任意力系
∑F
∑M
z
x
= 0， FA+FB+FC－F－W =0
( F ) = 0 ，1.5 m·FA－0.6m·F－0.5 m·W = 0 1.5 0.6m·F 0.5
∑M
y
( F ) = 0 ，－0.5 m·FA－1m·FB +0.4m·F+0.5 m·W = 0
从而求得 FA =5.667kN，FB =3.667kN，FC =5.666kN
y=
3 r 2
, z=h
M x ( F ) = yFz − zFy =
F ( h − 3r ) 4
M y ( F ) = zFx − xFz =
3 F (r + h) 4
1 M z ( F ) = xFy − yFx = − Fr 2
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工程力学
第五章 空间任意力系
§5-3 空间任意力系向一点简化
0 ∑ F =， F + F − ( F + F )cosθ = 0 0 ∑ M (F ) =， FBz (a + b + c) − ( F3 + F4 )(a + c)cosθ = 0
工程力学
第五章 空间任意力系
1) 空间任意力系简化为平衡的情形 当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0，主矩 MO ＝ 0 ，这是空间任意力系平衡的情形。 2) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 F'R＝0，MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶 矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化 中心位置无关。
4R yC = 3π
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工程力学
第五章 空间任意力系
∑F
∑M
z
x
= 0， FA+FB+FC－F－W =0
( F ) = 0 ，1.5 m·FA－0.6m·F－0.5 m·W = 0 1.5 0.6m·F 0.5
∑M
y
( F ) = 0 ，－0.5 m·FA－1m·FB +0.4m·F+0.5 m·W = 0
从而求得 FA =5.667kN，FB =3.667kN，FC =5.666kN
y=
3 r 2
, z=h
M x ( F ) = yFz − zFy =
F ( h − 3r ) 4
M y ( F ) = zFx − xFz =
3 F (r + h) 4
1 M z ( F ) = xFy − yFx = − Fr 2
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工程力学
第五章 空间任意力系
§5-3 空间任意力系向一点简化
0 ∑ F =， F + F − ( F + F )cosθ = 0 0 ∑ M (F ) =， FBz (a + b + c) − ( F3 + F4 )(a + c)cosθ = 0
《工程力学(静力学)》全套精品课件第5章-空间任意力系
F2
A FAy
y
FAx
B
xW
C FC
谢传锋:工程力学(静力学)
7
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
方法二：六矩式方程
M Cy 0 FAz M x 0 F2 M z 0 FC M y 0 F1 M Dz 0 FAx
M Cz 0 FAy
谢传锋:工程力学(静力学)
z
n
n
•主矢 FR Fi Fi '
i1
i1
n
n
•主矩 MO Mi ri Fi
i1
i1
谢传锋:工（程与力简学(静化力点学无) 关）
（与简化点有关）
4
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
一、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i1
i1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
空间任意力系平衡的条件：
FR 0
Fx 0
Fy 0 MO 0
M Ox (F ) 0 M Oy (F ) 0
谢传锋:工程力学(静力学)
x
Fz M
0 x (F
)
0
M y (F ) 0
z
2
A
By
W
C
6
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
z
解：取板为研究对象 画受力图
第5章 空间任意力系
求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
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22
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
各桥壳上的简支梁。A处是径向止推轴 承， B 处是径向轴承。已知汽车匀速
A D B E
直线行驶时地面的法向约束力 FD=20 kN，锥齿轮上受到有切向力Ft , 径向力
Fr ，轴向力Fa的作用。 已知Ft=117 kN， Fr=36 kN， Fa=22.5 kN，锥齿轮的节
15
例题3
解：
z
1.取镗刀杆为研究对象,
MAz FAz
A
受力分析如图。
FAy FAx MAx
B
MAy
y
刀杆根部是固定端 ，一般
Fz Fy
x
情况下可用作用在A点的三个正
交分力和作用在坐标轴上的三个 力偶来表示。
Fx
2013-8-2
16
例题3
z
2.列平衡方程。
MAz FAz
A
FAy
MAy
y
FAx MAx
力F 对坐标轴之矩分别为：
M x ( F ) cF cos sin aF sin 105 N m
M y ( F ) cF cos cos bF sin 66 N m
M z ( F ) bF cos sin aF cos cos 8 N m
FAy 22.5 kN , FAz 28.6 kN FBx 123 kN , FBz 44.6 kN , F 13 kN
20
例题5
B C A E
车床主轴如图所示。已知车床对工 件的切削力为：径向切削力Fx=4.25 kN， 纵向切削力Fy=6.8 kN，主切削力Fz=17
FAy FAx FBx
F
x
FD
F
x
0,
y
F FAx FBx Ft 0
F
2013-8-2
0,
FAy Fa 0
FD FAz FBz Fr 0
19
F
z
0,
z
锥齿轮的节圆平均直径d= 98 cm，车轮
FAz
A D B
FBz Fr
E
Ft Fa
半径r=440 cm
2013-8-2 9
例题1
解：
取整个系统为研究对象，画 出系统的受力图。
其中在径向推力轴承O1处的约 束力有三个分量。在径向轴承O2处
的约束力只有两个分量。 在斜齿轮上所受的压力F 可 分解成三个分力。周向力Fy ，径 向力Fx 和轴向力Fz 。三个分力的 大小为：
Fx F sin , Fy F cos cos ,
O
kN，方向如图所示。Ft与Fr分别为作用在
直齿轮C上的切向力和径向力，且 Fr=0.36Ft。 齿轮C的节圆半径为R=50 mm，
被切削工件的半径为r=30 mm。卡盘及工
件等自重不计，其余尺寸如图。求: (1)齿 轮啮合力Ft 及Fr ；(2)径向轴承A和止推轴 承B的约束力；(3)三爪卡盘E在O处对工 件的约束力。
圆 平 均 直 径 d= 98 cm ， 车 轮 半 径
r=440 cm，l1=300 mm，l2=900 cm， l3=80 cm。如果不计重量，试求地面
的摩擦力和 A ， B 两处轴承中约束力的
大小。
2013-8-2 18
例题4
z
解：
FAz
A D B
FBz Fr
E
y
Ft Fa
1.取整体系统为研究对象， 受力分析如图。 2.列平衡方程。
z
x
Fr FAz Fz 0
0.488 0.076FBz 0.076 Fr 0.388Fz 0 Fr R Fz r 0
Bx
M F 0,
y z
M F 0, 0.488 m 0.076 mF
2013-8-2
Ft 0.076 m Fy 0.03 m Fx 0.388 m 0
分析如图。 列平衡方程
解方程得
FOx 4.25 kN, FOz 17 kN, FOy 6.8 kN M x 1.7k N m M z 0.22 kN m
F F F
x
0, 0, 0,
FOx Fx 0 FOy Fy 0 FOz Fz 0 M x Fz 0.1 m 0 M y Fz 0.03 m 0 M z Fx 0.1 m Fy 0.03 m 0
14
例题3
镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴向力 Fx的作 用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A 的 约束力的各个分量。
2013-8-2
2013-8-2
7
2,空间任意力系的平衡方程
平衡条件
平衡方程
2013-8-2
8
例题1
涡轮发动机的涡轮叶片上受
到的燃气压力可简化成作用在涡轮 盘上的一个轴向力和一个力偶。图 示中FO ， MO , 斜齿轮的压力角为α， 螺旋角为β，节圆半径r及l1 , l2尺寸 均已知。发动机的自重不计，试求 输出端斜齿轮上所受的作用力F 以 及径向推力轴承O1 和径向轴承O2 处的约束力。
M y 0.51k N m,
y
100
z
FOz
M x F 0, M F 0,
y
Mz
Mx O FOx My FOy Fx Fz
30
M z F 0,
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Fy
24
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Fz F cos sin
Fx F sin ,
Fy F cos cos ,
例题1
Fz F cos sin
系统受空间任意力系的作用，建
立如图坐标系 O1xyz，可写出六个平衡
方程。
x
F 0, F 0, F 0, M 0,
拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
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例题2
解：
以整个系统为 研究对象，画出系 统的受力图。
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13
例题2
两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 系统受空间任意力系的作用， 建立如图坐标系Oxyz，可写出六 个平衡方程。
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例题5
解：
齿轮C的节圆半径为R=50 mm，被切削工件的半径 为r=30 mm。
1. 以整体为研究对象，主 动力和约束力组成空间任意力 系。 列平衡方程
F F
x
0, 0,
FBx Ft FAx Fx 0 FBy Fy 0
Bz
y
F 0, F M F 0,
B
Fz
Fy
x
Fx
F 0, FAx Fx 0 F 0, FAy Fy 0 F 0, FAz Fz 0 M 0, M Ax FZ 0.075 m 0 M 0, M Ay FZ 0.2 m 0 M z 0,
x
y
y
F1x F2 x Fx 0
F1 y F2 y Fy 0
z
F1z Fz FO 0
F2 y l1 Fy (l1 l2 ) 0
x
M
由以上方程可以求出所有未知量。
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y
0, F2 xl1 Fz r Fx (l1 l2 ) 0
M M
y z
0, ( F1 F2 ) 0.4 m ( F3 F4 ) 0.2 m 0 0,
FAx 0.25 m FBx 1.25 m ( F3 F4 ) sin 30 0.75 m 0
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
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例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
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R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
各桥壳上的简支梁。A处是径向止推轴 承， B 处是径向轴承。已知汽车匀速
A D B E
直线行驶时地面的法向约束力 FD=20 kN，锥齿轮上受到有切向力Ft , 径向力
Fr ，轴向力Fa的作用。 已知Ft=117 kN， Fr=36 kN， Fa=22.5 kN，锥齿轮的节
15
例题3
解：
z
1.取镗刀杆为研究对象,
MAz FAz
A
受力分析如图。
FAy FAx MAx
B
MAy
y
刀杆根部是固定端 ，一般
Fz Fy
x
情况下可用作用在A点的三个正
交分力和作用在坐标轴上的三个 力偶来表示。
Fx
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例题3
z
2.列平衡方程。
MAz FAz
A
FAy
MAy
y
FAx MAx
力F 对坐标轴之矩分别为：
M x ( F ) cF cos sin aF sin 105 N m
M y ( F ) cF cos cos bF sin 66 N m
M z ( F ) bF cos sin aF cos cos 8 N m
FAy 22.5 kN , FAz 28.6 kN FBx 123 kN , FBz 44.6 kN , F 13 kN
20
例题5
B C A E
车床主轴如图所示。已知车床对工 件的切削力为：径向切削力Fx=4.25 kN， 纵向切削力Fy=6.8 kN，主切削力Fz=17
FAy FAx FBx
F
x
FD
F
x
0,
y
F FAx FBx Ft 0
F
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0,
FAy Fa 0
FD FAz FBz Fr 0
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F
z
0,
z
锥齿轮的节圆平均直径d= 98 cm，车轮
FAz
A D B
FBz Fr
E
Ft Fa
半径r=440 cm
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例题1
解：
取整个系统为研究对象，画 出系统的受力图。
其中在径向推力轴承O1处的约 束力有三个分量。在径向轴承O2处
的约束力只有两个分量。 在斜齿轮上所受的压力F 可 分解成三个分力。周向力Fy ，径 向力Fx 和轴向力Fz 。三个分力的 大小为：
Fx F sin , Fy F cos cos ,
O
kN，方向如图所示。Ft与Fr分别为作用在
直齿轮C上的切向力和径向力，且 Fr=0.36Ft。 齿轮C的节圆半径为R=50 mm，
被切削工件的半径为r=30 mm。卡盘及工
件等自重不计，其余尺寸如图。求: (1)齿 轮啮合力Ft 及Fr ；(2)径向轴承A和止推轴 承B的约束力；(3)三爪卡盘E在O处对工 件的约束力。
圆 平 均 直 径 d= 98 cm ， 车 轮 半 径
r=440 cm，l1=300 mm，l2=900 cm， l3=80 cm。如果不计重量，试求地面
的摩擦力和 A ， B 两处轴承中约束力的
大小。
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例题4
z
解：
FAz
A D B
FBz Fr
E
y
Ft Fa
1.取整体系统为研究对象， 受力分析如图。 2.列平衡方程。
z
x
Fr FAz Fz 0
0.488 0.076FBz 0.076 Fr 0.388Fz 0 Fr R Fz r 0
Bx
M F 0,
y z
M F 0, 0.488 m 0.076 mF
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Ft 0.076 m Fy 0.03 m Fx 0.388 m 0
分析如图。 列平衡方程
解方程得
FOx 4.25 kN, FOz 17 kN, FOy 6.8 kN M x 1.7k N m M z 0.22 kN m
F F F
x
0, 0, 0,
FOx Fx 0 FOy Fy 0 FOz Fz 0 M x Fz 0.1 m 0 M y Fz 0.03 m 0 M z Fx 0.1 m Fy 0.03 m 0
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例题3
镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴向力 Fx的作 用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A 的 约束力的各个分量。
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2013-8-2
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2,空间任意力系的平衡方程
平衡条件
平衡方程
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例题1
涡轮发动机的涡轮叶片上受
到的燃气压力可简化成作用在涡轮 盘上的一个轴向力和一个力偶。图 示中FO ， MO , 斜齿轮的压力角为α， 螺旋角为β，节圆半径r及l1 , l2尺寸 均已知。发动机的自重不计，试求 输出端斜齿轮上所受的作用力F 以 及径向推力轴承O1 和径向轴承O2 处的约束力。
M y 0.51k N m,
y
100
z
FOz
M x F 0, M F 0,
y
Mz
Mx O FOx My FOy Fx Fz
30
M z F 0,
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Fy
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Fz F cos sin
Fx F sin ,
Fy F cos cos ,
例题1
Fz F cos sin
系统受空间任意力系的作用，建
立如图坐标系 O1xyz，可写出六个平衡
方程。
x
F 0, F 0, F 0, M 0,
拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
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例题2
解：
以整个系统为 研究对象，画出系 统的受力图。
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例题2
两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 系统受空间任意力系的作用， 建立如图坐标系Oxyz，可写出六 个平衡方程。
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例题5
解：
齿轮C的节圆半径为R=50 mm，被切削工件的半径 为r=30 mm。
1. 以整体为研究对象，主 动力和约束力组成空间任意力 系。 列平衡方程
F F
x
0, 0,
FBx Ft FAx Fx 0 FBy Fy 0
Bz
y
F 0, F M F 0,
B
Fz
Fy
x
Fx
F 0, FAx Fx 0 F 0, FAy Fy 0 F 0, FAz Fz 0 M 0, M Ax FZ 0.075 m 0 M 0, M Ay FZ 0.2 m 0 M z 0,
x
y
y
F1x F2 x Fx 0
F1 y F2 y Fy 0
z
F1z Fz FO 0
F2 y l1 Fy (l1 l2 ) 0
x
M
由以上方程可以求出所有未知量。
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y
0, F2 xl1 Fz r Fx (l1 l2 ) 0
M M
y z
0, ( F1 F2 ) 0.4 m ( F3 F4 ) 0.2 m 0 0,
FAx 0.25 m FBx 1.25 m ( F3 F4 ) sin 30 0.75 m 0