工程力学——空间力系和重心
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
夹角未知，欲求力 F 在 x 轴、y 轴上的投影，可先将力 F 投影到直角坐标平面 Oxy 上，得到分力 Fxy，然后再 把这个分力 Fxy 投影到 x 轴、y 轴上，则有
Fx=Fsin cos Fy =Fsin sin Fz =F cos
应该注意：力在坐标 轴上的投影是代数量，而在 平面上的投影是矢量。这时 因为Fxy的方向不能像在轴上 的投影那样可简单地用正负 号来表明，而必须用矢量来 表示。
(5-3) 图5.3
反之，如果力 F 在 3 个坐标轴上的投影是已知的， 则可以求此力的大小和方向。力 F 的大小为
F= Fx2 Fy2 Fz2
其方向余弦为 cos = Fx F
cos = Fy
F
cos = Fz
F
(5-4) (5-5)
例5-1 如图 5.4(a)所示，一斜齿圆柱齿轮传动时， 受到另一齿轮对它作用的啮合力 FN，FN 沿齿廓在接触 处的公法线方向，且垂直于过 A 点的齿面的切面。
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上 的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分 力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系 的合力投影定理。
此六面体的三棱边长度正好就是 F 在 x，y 和 z 三轴上的
投影值，分别记成 Fx，Fy，Fz，显然有
Fx= F cos Fy= F cos
(5-2)
FFra Baidu bibliotek= F cos
2. 二次投影法 在有些问题中，不容易找到全部力与每个坐标轴的 夹角，此时可先将力投影到坐标面上，然后再投影到坐
标轴上。如图 5.3 所示，已知力 F 与 z 轴的夹角为 ， 与 z 轴组成的平面与 x 轴的夹角为 ,而与 x 轴、y 轴的
5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用
5.2.1 空间汇交力系的简化
设作用于刚体的空间力系 F1，F2，…，Fn 汇交于同 一点 O，如图 5.5 所示，选力系汇交点 O 为原点，建立
空间坐标系 Oxyz，把各力用分解表达式表示，即
Fi=Fixi+Fiy j+Fizk (i=1，2，…，n)
(5-6)
图 5.4 中 为压力角， 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。 分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道 和 ，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中， ， ， 分别为合力 FR 与轴 x，y，z 正向间的
夹角，而合力 FR 的作用线过力系的汇交点 O。
5.2.2 空间汇交力系的平衡方程及应用
由于空间汇交力系合成的结果是一合力，因此空
间汇交力系平衡的充分与必要条件是：该力系的合力等
于零，即
FR = Fi=0 FRx= Fix =0
(5-10)
图5.6
解：(1) 选 AB 杆为研究对象，画出主动力和约束反力。 (2) 根据力系特点，建立坐标系，如图 5.6(a)所示。 (3) 列平衡方程
FRx= Fix =0
F1cos 45 +F2cos135 =0
5.1.1 力沿空间直角坐标轴的分解
按照矢量的运算法则，可将一个力分解成两个或两 个以上的分力。最常用的是将一个力分解成为沿直角坐标 轴x，y，z的分力。设有力F，根据矢量分解公式有
F=Fx i +Fy j +Fzk (5-1) 式中，i，j，k是沿坐标轴 正向的单位矢量，如图5.2所示， Fx，Fy，Fz分别是力F在x，y，z 轴上的投影。
求得合力的投影 FRx、FRy、FRz 后，则合力 FR 的大小及 方向余弦为
( ) ( ) ( ) FR = FRx2 FRy2 FRz2
Fix 2
Fiy 2
Fiz 2
cos FRx Fix
FR
FR
cos FRy Fiy
FR
FR
cos FRz Fiz
FR
FR
(5-9)
第5章 空间力系和重心
第5章 空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
亦即 FRy= Fiy =0
(5-11)
FRz= Fiz =0
于是得出结论，空间汇交力系平衡的充分与必要 条件是：该力系中所有的分力在 x，y，z 3 个坐标轴 上投影的代数和分别等于零。
例5-2 如图 5.6(a)所示，用起重杆吊起重物。 起重杆的 A 端通过球铰支座固定在地面上，而 B 端则 用分别固定在墙上 C 和 D 点的绳 CB 和 DB 拉住，CD 连线平行于 x 轴。已知 CE=EB=DE， = 30 ，CBD 平面与水平面间的夹角为 30 ，如图 5.6(b)所示，物重 W=10kN。如 果起重杆 的重量不计 ，试求起 重杆所受 的压力和绳子的拉力。
图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的 投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为 ， 和 ，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
Fxy=FN cos (3) 将啮合力 FN 向 z 轴投影得径向力 Fr，如图 5.4(c) 其大小为
Fr=FN sin
(4) 将 Fxy 向 x、y 轴上投影，可以求得轴向力 Fa 和周
向力 Fτ 的大小为
Fa = Fxysin =FNcos sin Fτ= Fxycos =FNcos cos
Fx=Fsin cos Fy =Fsin sin Fz =F cos
应该注意：力在坐标 轴上的投影是代数量，而在 平面上的投影是矢量。这时 因为Fxy的方向不能像在轴上 的投影那样可简单地用正负 号来表明，而必须用矢量来 表示。
(5-3) 图5.3
反之，如果力 F 在 3 个坐标轴上的投影是已知的， 则可以求此力的大小和方向。力 F 的大小为
F= Fx2 Fy2 Fz2
其方向余弦为 cos = Fx F
cos = Fy
F
cos = Fz
F
(5-4) (5-5)
例5-1 如图 5.4(a)所示，一斜齿圆柱齿轮传动时， 受到另一齿轮对它作用的啮合力 FN，FN 沿齿廓在接触 处的公法线方向，且垂直于过 A 点的齿面的切面。
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上 的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分 力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系 的合力投影定理。
此六面体的三棱边长度正好就是 F 在 x，y 和 z 三轴上的
投影值，分别记成 Fx，Fy，Fz，显然有
Fx= F cos Fy= F cos
(5-2)
FFra Baidu bibliotek= F cos
2. 二次投影法 在有些问题中，不容易找到全部力与每个坐标轴的 夹角，此时可先将力投影到坐标面上，然后再投影到坐
标轴上。如图 5.3 所示，已知力 F 与 z 轴的夹角为 ， 与 z 轴组成的平面与 x 轴的夹角为 ,而与 x 轴、y 轴的
5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用
5.2.1 空间汇交力系的简化
设作用于刚体的空间力系 F1，F2，…，Fn 汇交于同 一点 O，如图 5.5 所示，选力系汇交点 O 为原点，建立
空间坐标系 Oxyz，把各力用分解表达式表示，即
Fi=Fixi+Fiy j+Fizk (i=1，2，…，n)
(5-6)
图 5.4 中 为压力角， 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。 分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道 和 ，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中， ， ， 分别为合力 FR 与轴 x，y，z 正向间的
夹角，而合力 FR 的作用线过力系的汇交点 O。
5.2.2 空间汇交力系的平衡方程及应用
由于空间汇交力系合成的结果是一合力，因此空
间汇交力系平衡的充分与必要条件是：该力系的合力等
于零，即
FR = Fi=0 FRx= Fix =0
(5-10)
图5.6
解：(1) 选 AB 杆为研究对象，画出主动力和约束反力。 (2) 根据力系特点，建立坐标系，如图 5.6(a)所示。 (3) 列平衡方程
FRx= Fix =0
F1cos 45 +F2cos135 =0
5.1.1 力沿空间直角坐标轴的分解
按照矢量的运算法则，可将一个力分解成两个或两 个以上的分力。最常用的是将一个力分解成为沿直角坐标 轴x，y，z的分力。设有力F，根据矢量分解公式有
F=Fx i +Fy j +Fzk (5-1) 式中，i，j，k是沿坐标轴 正向的单位矢量，如图5.2所示， Fx，Fy，Fz分别是力F在x，y，z 轴上的投影。
求得合力的投影 FRx、FRy、FRz 后，则合力 FR 的大小及 方向余弦为
( ) ( ) ( ) FR = FRx2 FRy2 FRz2
Fix 2
Fiy 2
Fiz 2
cos FRx Fix
FR
FR
cos FRy Fiy
FR
FR
cos FRz Fiz
FR
FR
(5-9)
第5章 空间力系和重心
第5章 空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
亦即 FRy= Fiy =0
(5-11)
FRz= Fiz =0
于是得出结论，空间汇交力系平衡的充分与必要 条件是：该力系中所有的分力在 x，y，z 3 个坐标轴 上投影的代数和分别等于零。
例5-2 如图 5.6(a)所示，用起重杆吊起重物。 起重杆的 A 端通过球铰支座固定在地面上，而 B 端则 用分别固定在墙上 C 和 D 点的绳 CB 和 DB 拉住，CD 连线平行于 x 轴。已知 CE=EB=DE， = 30 ，CBD 平面与水平面间的夹角为 30 ，如图 5.6(b)所示，物重 W=10kN。如 果起重杆 的重量不计 ，试求起 重杆所受 的压力和绳子的拉力。
图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的 投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为 ， 和 ，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
Fxy=FN cos (3) 将啮合力 FN 向 z 轴投影得径向力 Fr，如图 5.4(c) 其大小为
Fr=FN sin
(4) 将 Fxy 向 x、y 轴上投影，可以求得轴向力 Fa 和周
向力 Fτ 的大小为
Fa = Fxysin =FNcos sin Fτ= Fxycos =FNcos cos