工程力学第三章空间力系与重心重点

课时授课计戈I 」第三章空间力系与重心掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念空间力系的平衡条件力对轴的矩的计算第三章 空间力系与重心第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心课本教学方法 课堂教学授课日期2011.10.22 1044-3目 的 要 求教学过程：复习：1、复习约束与约束反力概念。

2、复习物体受力图的绘制。

课:第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。

在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为(4-1)O图4一1書Zjr乙ZX=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk(4-4)如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为F =J 护+尸+0 £ cos( F , i)= F(4-5)例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。

已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。

(4-2)(4-3)3川y/iat解:先将力耳!向z轴和Oxy平面投影，得FM cos a再将力役向X、y轴投影，得F FX=-刊sin p =- n cos a sin pF FY=- 硏cos P =- n cos a cos P则人沿各轴的分力为人=-E cos a sin p i，珂二乙cos a cos P j，儿=-E sin a k式中i、j、k为沿X、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。

人称为轴向力，F）■称为圆周力，儿称为径向力。

第二节力对轴的矩1.力对点的矩对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。

但是在空间的情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，而且还要注意力与矩心所组成的平面的方位。

方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。

例如，作用在飞机尾部铅垂舵和水平舵上的力，对飞机绕重心转动的效果不同，前者能使飞机转弯，而后者则能使飞机发生俯仰。

因此，在研究空间力系时，必须引人力对点的矩这个概念；除了包括力矩的大小和转向外，还应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。

这三个因素可以用一个矢量来表示：矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h（力臂）的乘积；矢量的方位和该力与矩心组成的平面的法线的方位相同；矢量的指向按以下方法确定：从 这个矢量的末端来看，物体由该力所引起的转动是逆时针转向，如图4-7所示。

也可由右手螺旋规则来确定。

力F 对点O 的矩的矢量记作。

即力矩的大小为= Fh=2A OAB式中△ OAB 为三角形OAB 勺面积。

由图4-7易见，以r 表示力作用点A 的矢径，则矢积r3 F 的模等于三角形OAE 面积的两倍，其方向与力矩矢 M 册一 」致。

因此可得=r3 F(4-11)上式为力对点的矩的矢积表达式，即：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的 矢径与该力的矢量积。

若以矩心O 为原点，作空间直角坐标系 Oxyz 如图4-7所示，令i 、j 、k 分别 为坐标轴x 、y 、z 方向的单位矢量。

设力作用点 A 的坐标为A(x,y,z)，力在 三个坐标轴上的投影分别为 X 、Y 、Z ,则矢径r 和力F 分别为r =xi + yj + zk F=X +Yj +Zk 代人式(4-11),=r3 F=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(zY-yX)k?? (4-12)由于力矩矢量Mo 的的大小和方向都与矩心O 的位置有关，故力矩矢的始端 必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。

2. 力对轴的矩并采用行列式形式，得 ■I7^工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对绕定轴转动 刚体的作用效果，必须了解力对轴的矩的概念。

如图 4-8a 所示，门上作用一 力F ，使其绕固定轴z 转动。

现将力F 分解为平行于z 轴的分力人和垂直于z 轴的分力每（此力即为力F 在垂直于z 轴的平面Oxy 上的投影）。

由经验可知, 分力兀不能使静止的门绕z 轴转动，故力从对z 轴的矩为零；只有分力©才 能使静止的门绕z 轴转动。

现用符号 MfP ）表示力F 对z 轴的矩，点O 为平r面Oxy 与z 轴的交点,h 为点O 到力 剳作用线的距离。

因此，力F 对，轴的矩 就是分力巧对点0的矩，即MJF ）见（FJ =±^ h于是，可得力对轴的矩的定义如下 度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这 个平面与该轴的交点的矩的大小。

其正负号如下确定 ：从，轴正端来看，若力 的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向技妥， 则取正号，反之取负号。

也可按 右手螺旋规则确定其正负号，如图 4-8b 所示，姆指指向与z 轴一致为正，反 之为负。

力对轴的矩等于零的情形:（1）当力与轴相交时（此时h=0）;（2）当力与轴平行 =0）。

这两种情形可以合起来说：当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。

力对轴的矩的单位为N2m力对轴的矩也可用解析式表示。

设力F 在三个坐标轴上的投影分别为 X 、X 、乙 力作用点 A 的坐标为 X 、y 、Z ，如图 4-9 所示。

根据合力矩定理，得(4-13)(a):力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的 时（此时n图4-8J-=± OABA3fb)Mgdo佻丿=%(FJ +MJFJ即孔的=xY-yX同理可得其余二式。

将此三式合写为见的=yZ-zY孔的=xY-yx以上三式是计算力对轴之矩的解析式。

=zX-xZ （4 一14）手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F,如图4-10 如果CD=a ,杆BC试求力F对x、y 例4-5所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于I o和z三轴的矩。

解:将力F沿坐标轴分解为Ft和人两个分力，其中E=Fsin根据合力矩定理，力F对轴的矩等于分力人和耳对同一轴的矩的代数和。

注意到力与轴平行或相交时的矩为零，于是有a , E =FC0Sa oF龙代丿=-E(AB+CD)=-F(l+a)cos aM 阳=M/FJ 二-E BC 二Ficos a Me =M 亿)=迅(AB+CD)=-F(l+a)s in a本题也可用力对轴之矩的解析表达式(4-14)计算。

力F 在X 、y 、z 轴上的投影 为X=Fsin a ,Y=0,Z=Fcos a 力作用点D 的坐标为 x=-l , y=l+a , z=0按式(4-14)，得"工的?=yZ-zY=(l+a)(-Fcos例=xY-yX=O-(l+a)(Fsin 两种计算方法结果相同。

3. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系由矢量解析式(4-12)可知，单位矢量i 、j 、k 前面的三个系数，应分别表示力对点的矩矢在三个坐标轴上的投影，即in =yZ-zY切=zX-xza )-0=-F(l+a)cos a叫的=zX-xZ=0-(-l)(-Fcosa )=-FlC0S aa )=-F(l+a)sin a(4-15)F./FM 妙A 為丿=?△ Oab而^ Oab 是△ OAB 在平面Oxy 上的投影。

根据几何学中的定理， 面积等于八QAB 的面积乘以这两三角形所在平面之间夹角的余弦。

夹角等于这两平面法线之间的夹角Y,也就是矢量的与,(图 4-11)，故 △ OAB CO Y =△ Oab则肚個COS Y 丸旳此式左端就是力矩矢 2) 在z 轴上的投影，可用血例AQ 访的这两平面的 轴之间的夹角■S 表示。

于是上式M 肿 L=xY-yX比较式(4-15)与(4-14)，可得[%例]尸叫的 上式说明：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。

上述结论也可指就由力矩的定义来证明。

设有力F 和任意定O,如图4-11所示, 作矢表示该力对点O 的矩，他垂直于三角形 OAB 的平面，其大小为过点O 作任意轴z 。

将力F 投影到通过O 点且垂直于z 轴的平面Oxy 上，根据 式(4-13)，求得力F 对z 轴的矩为(4-16)=?△ OABAClffl4-U可写为即式(4-16)的第三等式。

同理可证得式(4-16)的另外两个等式。

式(4-16)建立了力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。

因为在理论分析时用力 对点的矩矢较简便，而在实际计算中常用力对轴的矩，所以建立它们二者之间 的关系是很有必要的。

如果力对通过点0的直角坐标轴X 、y 、z 的矩是己知的，则可求得该力对点 0 的矩的大小和方向余弦为 肚0 (F)L 拋血+册■K 的fcos a =艸cos P =cos 丫 = 第三节空间力系的平衡条件1. 空间汇交力系的合力与平衡条件将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得：空间汇交力系力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。

合力矢为F*=Fj +为+...+ 尸山二呂 ‘ (4-6)由式(4-3)可得 场工％巧+冯k其中 为合场沿X 、y 、z 轴投影。

由此可得合力的大小和方向 ________________________灯+S 厅+苗空cos( A , i )=艮只(4-17)式中a 、 P 、丫分别为矢 M 的与X 、y 、 z 轴间的夹角。

(4-7)COS ( A , j )= COS (场,k)= 空禺(4-8) 空 如图4-6a 所示，用起重杆吊起重物。

起重杆的 A 端用球铰链固 定在地面上，而B 端则用绳CB 和DB 拉住，两绳分别系在墙上的点 C 和D,连 线CD 平行于。

轴。

已知:CE=EB=DE a =30°, CDB^面与水平面间的夹角/ EBF=30 (参见图4-6b)，物重P=l0kN 。

如起重杆的重量不计，试求起重杆所 受的压力和绳子的拉力。