工程力学第三章空间力系与重心重点

课时授课计戈I 」

第三章空间力系与重心

掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念

空间力系的平衡条件

力对轴的矩的计算

第三章 空间力系与重心

第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩

第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心

课本

教学方法 课堂教学

授课日期

2011.10.22 1044-3

目 的 要 求

教学过程：

复习：1、复习约束与约束反力概念。

2、复习物体受力图的绘制。

课:

第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影

1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解

若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1

所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即

X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫

当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐

标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为

(4-1)

O

图4一

1

書

Z

jr

乙Z

X=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫

若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k

分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk

由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk

(4-4)

如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为

F =J 护+尸+0 £ cos( F , i)= F

(4-5)

例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。已知斜齿

轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。

(4-2)

(4-3)

3

川y

/

iat

解:先将力耳!向z轴和Oxy平面投影，得

FM cos a

再将力役向X、y轴投影，得

F F

X=-刊sin p =- n cos a sin p

F F

Y=- 硏cos P =- n cos a cos P

则人沿各轴的分力为人=-E cos a sin p i，珂二乙cos a cos P j，儿=-E sin a k

式中i、j、k为沿X、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。人称为轴向力，F）■称为圆周力，儿称为径向力。

第二节力对轴的矩

1.力对点的矩

对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但是在空间的情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，而且还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。例如，作用在飞机尾部铅垂舵和水平舵上的力，对飞机绕重心转动的效果不同，前者能使飞机转弯，而后者则能使飞机发生俯仰。因此，在研究空间力系时，必须引人力对点的矩这个概念；除了包括力矩的大小和转向外，还应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这三个因素可以用一个矢量来表示：矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h（力臂）的乘积；矢量的方位

和该力与矩心组成的平面的法线的方位相同；矢量的指向按以下方法确定：从 这个矢量的末端来看，物体由该力所引起的转动是逆时针转向，如图4-7所示。 也可由右手螺旋规则来确定。

力F 对点O 的矩的矢量记作

。即力矩的大小为

= Fh=2A OAB

式中△ OAB 为三角形OAB 勺面积。

由图4-7易见，以r 表示力作用点A 的矢径，则矢积r3 F 的模等于三角形OAE 面积的两倍，其方向与力矩矢 M 册一 」致。因此可得

=r3 F

(4-11)

上式为力对点的矩的矢积表达式，即：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的 矢径与该力的矢量积。

若以矩心O 为原点，作空间直角坐标系 Oxyz 如图4-7所示，令i 、j 、k 分别 为坐标轴x 、y 、z 方向的单位矢量。设力作用点 A 的坐标为A(x,y,z)，力在 三个坐标轴上的投影分别为 X 、Y 、Z ,则矢径r 和力F 分别为

r =xi + yj + zk F=X +Yj +Zk 代人式(4-11),

=r3 F

=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(zY-yX)k?? (4-12)

由于力矩矢量Mo 的的大小和方向都与矩心O 的位置有关，故力矩矢的始端 必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。

2. 力对轴的矩

并采用行列式形式，得 ■

I

7^

工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对绕定轴转动 刚体的作用效

果，必须了解力对轴的矩的概念。如图 4-8a 所示，门上作用一 力F ，使其绕固定轴z 转动。现将力F 分解为平行于z 轴的分力人和垂直于z 轴的分力每（此力即为力F 在垂直于z 轴的平面Oxy 上的投影）。由经验可知, 分力兀不能使静止的门绕z 轴转动，故力从对z 轴的矩为零；只有分力©才 能使静止的门绕z 轴转动。现用符号 MfP ）表示力F 对z 轴的矩，点O 为平

r

面Oxy 与z 轴的交点,h 为点O 到力 剳作用线的距离。因此，力F 对，轴的矩 就是分力巧对点0的矩，即

MJF ）见（FJ =±^ h

于是，可得力对轴的矩的定义如下 度量，是一个代数量，其绝对值等

于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这 个平面与该轴的交点的矩的大小。其正负号如下确定 ：从，轴正端来看，若力 的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向技妥， 则取正号，反之取负号。也可按 右手螺旋规则确定其正负号，如图 4-8b 所示，姆指指向与z 轴一致为正，反 之为负。

力对轴的矩等于零的情形:（1）当力与轴相交时（此时h=0）;（2）当力与轴平行 =0）。这两种情形可以合起来说：当力与轴在同一平面时，力对该

轴的矩等于零。

力对轴的矩的单位为N2m

力对轴的矩也可用解析式表示。设力F 在三个坐标轴上的投影分别为 X 、X 、乙 力作用点 A 的坐标为 X 、y 、Z ，如图 4-9 所示。根据合力矩定理，得

(4-13)

(a)

:力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的 时（此时

n

图4-8

J-

=± OAB

A

3

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