郝桐生--第6章空间力系和重心(执行)
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空间力系和重心.ppt
有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行 力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系 的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方 向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向 的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体 的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方
力偶矩的大小
第6章 空间力系和重心
※ 空间任意力系的平衡方程 ※ 空间约束和约束反力 ※ 空间力系平衡问题举例 ※ 重心 ※ 结论与讨论
§6-1 空间汇交力系
1. 空间力的投影和分解
z
直接投影法
X F cos
Y
F
cos
Z F cos
F
O
y
x
F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk
M z (F ) Fxb Fy a
Fb cos sin Fa cos cos
MO(F) Mx(F) i M y(F) j Mz(F)k
Fbsin i Fa sin j (Fb cos sin Fa cos cos ) k
§6-3 空间力偶
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件(解析法)
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线
通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1 X ii Yi j Zik
FR
( X )2 (Y )2 ( Z)2
MO (F )
MO(F) =Fh=2△OAB
r xi yj zk
z
F Xi Yj Zk
i jk
MO(F)
MO(F) r F x y z
XYZ
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k O
r
h
BF
A(x,y,z) y
x
MO (F )
二次投影法
z
F
O
y
Fxy
※ 空间任意力系的平衡方程 ※ 空间约束和约束反力 ※ 空间力系平衡问题举例 ※ 重心 ※ 结论与讨论
§6-1 空间汇交力系
1. 空间力的投影和分解
z
直接投影法
X F cos
Y
F
cos
Z F cos
F
O
y
x
F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk
M z (F ) Fxb Fy a
Fb cos sin Fa cos cos
MO(F) Mx(F) i M y(F) j Mz(F)k
Fbsin i Fa sin j (Fb cos sin Fa cos cos ) k
§6-3 空间力偶
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件(解析法)
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线
通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1 X ii Yi j Zik
FR
( X )2 (Y )2 ( Z)2
MO (F )
MO(F) =Fh=2△OAB
r xi yj zk
z
F Xi Yj Zk
i jk
MO(F)
MO(F) r F x y z
XYZ
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k O
r
h
BF
A(x,y,z) y
x
MO (F )
二次投影法
z
F
O
y
Fxy
建筑力学课件 第六章 空间力系的平衡
Fz= Fz×sin30° =200×sin30°=100N
6.2 空间一般力系
因分力Fxy与x、y轴都相 交，它对x、y轴之矩都
为零，因此
Mx（F） =Mx（Fxy）+Mx（Fz）
= Mx（Fz） =100×2=200N·m
6.2 空间一般力系
My（F） =My（Fxy）+My（Fz） = My（Fz） =－100×2 =－200N·m
6.1 空间汇交力系
根据平衡条件，建 立平衡方程并求解
6.1 空间汇交力系
F2
1 2
F3
1 2
0力对轴之矩 在生活和生产实际中，经常会遇到物体绕定轴转 动的问题。门的开启和关闭即是最常见的例子。 如图所示的门，设力F作用于门上的A点，为了 研究力F使门绕z轴转动的 效应，可将它分解为一个 与转轴z平行的分力Fz和 一个通过A点且垂直于z 轴的平面上的分力Fxy。
6.1 空间汇交力系
如果力F与三条坐标轴的夹角分别为α、β、γ，根 据力在坐标轴上投影的定义,显然力在x、y、z坐 标轴上的投影Fx、Fy、Fz 的大小分别为
6.1 空间汇交力系
上面式中cosα、cosβ、cosγ称为力 矢量F的方向余弦。所以力在某 轴上的投影等于力矢量与该轴 正方向之间的夹角的余弦与力 的大小的乘积。
6.1 空间汇交力系
二、空间汇交力系平衡
根据平面汇交力系平衡的解析条件，同理 可得，空间汇交力系平衡的充分与必要条 件是合力等于零，或者空间汇交力系的各 分力在空间直角坐标系三个坐标轴上的投 影的代数和都等于零。其表达式为
6.1 空间汇交力系
例6-1 如图所示， 重为W的物体用 三根连杆支承， 求每根连杆所受 的力。
即平 F矢投有面量影xFo到xyy，上z轴的和投xy影坐F标xy与平x面轴上得，夹分角别得，到则投可影先F将z 力和 FFzxy＝＝FFcsoins
6.2 空间一般力系
因分力Fxy与x、y轴都相 交，它对x、y轴之矩都
为零，因此
Mx（F） =Mx（Fxy）+Mx（Fz）
= Mx（Fz） =100×2=200N·m
6.2 空间一般力系
My（F） =My（Fxy）+My（Fz） = My（Fz） =－100×2 =－200N·m
6.1 空间汇交力系
根据平衡条件，建 立平衡方程并求解
6.1 空间汇交力系
F2
1 2
F3
1 2
0力对轴之矩 在生活和生产实际中，经常会遇到物体绕定轴转 动的问题。门的开启和关闭即是最常见的例子。 如图所示的门，设力F作用于门上的A点，为了 研究力F使门绕z轴转动的 效应，可将它分解为一个 与转轴z平行的分力Fz和 一个通过A点且垂直于z 轴的平面上的分力Fxy。
6.1 空间汇交力系
如果力F与三条坐标轴的夹角分别为α、β、γ，根 据力在坐标轴上投影的定义,显然力在x、y、z坐 标轴上的投影Fx、Fy、Fz 的大小分别为
6.1 空间汇交力系
上面式中cosα、cosβ、cosγ称为力 矢量F的方向余弦。所以力在某 轴上的投影等于力矢量与该轴 正方向之间的夹角的余弦与力 的大小的乘积。
6.1 空间汇交力系
二、空间汇交力系平衡
根据平面汇交力系平衡的解析条件，同理 可得，空间汇交力系平衡的充分与必要条 件是合力等于零，或者空间汇交力系的各 分力在空间直角坐标系三个坐标轴上的投 影的代数和都等于零。其表达式为
6.1 空间汇交力系
例6-1 如图所示， 重为W的物体用 三根连杆支承， 求每根连杆所受 的力。
即平 F矢投有面量影xFo到xyy，上z轴的和投xy影坐F标xy与平x面轴上得，夹分角别得，到则投可影先F将z 力和 FFzxy＝＝FFcsoins
lllx第六章静力学空间力系重心-精选文档
z
F
B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z
a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
Northeastern University
第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
Northeastern University
§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
Northeastern University
§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量
F
B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z
a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
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第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
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§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
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§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量
静力学 第6章空间力系及重心
3
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
空间力系 重心
（2）方向:转动方向
（3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
第六章 空间力系 重心
§6–3 力对点的矩和力对轴的矩
力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 对该轴的矩为零。
重心C的矢径
Pi ri rC Pi
式中的ΔPi可以是物体中任一部分的重量，而不仅限于微元体。 对由简单形体组成的物体，可用这种方法求重心，称为分割法。
第六章 空间力系 重心
1．计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
P xC P x1 P x2 .... P xn P xi 1 2 n i
（1)实际重心偏后，飞机拉起时尾部摩擦跑道导致起火； （2)实际重心偏前，飞机冲到跑道尽头仍然拉起困难；
（3)直升机重心偏离旋翼轴心，使飞行员难以操纵飞机。
第六章 空间力系 重心
•重心：物体所受的重力是一种体积 分布力。不论物体如何放置，其重力 的合力作用线相对于物体总是通过一 个确定的点，这个点称为物体的重 心 。
如一空间力系由F1、F2、…、Fn组成，其合
力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分力对同
一轴之矩的代数和。
M z ( FR ) M z ( Fi )
i
第六章 空间力系 重心
§6–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
•简化过程：
将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
R
z
Rx
第六章 空间力系 重心
活页铰
第六章
空间力系 重心
滑动轴承
第六章
第六章空间力系
Fx Fy Fz
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
理论力学 第六章 空间力系.ppt
r = x i + y j + z k 则：
z
i x MO(F) = r F =
jk yz
B
MO(F）
F
Od y
Fx Fy Fz
rA
x
=( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
其中 [MO (F)] x = y·Fz - z ·Fy [MO (F)] z = x·Fy - y ·Fx
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
14
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同 ③转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。
[MO (F)] y = z·Fx - x ·Fz 为力矩式在坐标轴上的投影。
19
二 力对轴的矩
z
力对物体绕轴转动效果的度量
1)定义:力对轴的矩等于此力在垂直
于矩轴的平面上的投影矢量对
于矩轴与这平面的交点的距 。
o
用FXY表示F在XY平面上的投影，
则力F对Z轴的矩为
x
mZ (F) Fxyd
各力偶矩矢在三个坐标轴的每一坐标轴上投影的代数和等于零.
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第六章 空间力系和重心
§6－3 空间力偶理论
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
同平面内力偶等效条件：力偶矩大小相等，转向相同。
平行平面间的力偶的等效条件：作用面平行的两个力偶，若其力 偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。P107
注意：分别作用在不平行平 面内的两个力偶对于刚体的 效应是不同的 空间力偶的三要素：P107 大小、力偶在作用面内的转向 和力偶作用面在空间的方位。
Fx FR
cos
FRy FR
Fy FR
y
cos
FRz FR
Fz FR
x
Fn
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第六章 空间力系和重心
平衡的必要与充分条件：该力系的合力为零。 空间汇交力系的平衡方程
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0,
各力首尾连接形成封闭空间力多边形。P105
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第六章 空间力系和重心
§6－2 空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的几何法与平面汇交力系类似。
FR F1 F2 F3 Fi
各力首尾连接形成 空间力多边形，封闭边 代表合力；P104
注意合力作用线通 过汇交点。
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第六章 空间力系和重心
空间汇交力系的解析法 各分力 Fi Fixi Fiy j Fizk
力偶矩矢是一矢量。
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第六章 空间力系和重心
力偶矩矢是一矢量。 力偶的矢量方向用右手螺旋法则确定。从力偶矢末端看去，
逆时针转动为正。 空间力偶是一个自由矢量（在作用面内或平行平面可自由移转）。 P107
力对刚体来讲是滑动矢量，可沿作用线移动。
力对变形体来讲是定位矢量
空间力对点之矩是定位矢量 空间力偶的等效定理：凡矩
rOA(x,y,z) OA AB FAB(Fx,Fy ,Fz )
x
y Fy
z Fz
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第六章 空间力系和重心
２.力对轴之矩P109
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第六章 空间力系和重心
§6－1 空间力沿坐标轴的分解与投影
空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可 分为空间汇交力系，空间平行力系，空间力偶系，空间任 意力系。
其研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于各 力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概念、理 论和方法要作推广和延伸。
3.合力偶矩矢M 的大小和方向。
M
M
2 x
M
2 y
z
M
2 z
42.7N m
M1 M3
M2
45° 45°
y
O
x
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第六章 空间力系和重心
§6－4 力对于点之矩与力对于轴之矩
1. 空间力对于点之矩矢量：P108
M
O
( FAB
)
FAB
AB
rOA
FAB
矩心、力矩作用面、力矩矢量三要素(力矩大小、力矩作用面在空间方位、力使
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第六章 空间力系和重心
第六章 空间力系和重心
§6－1 空间力沿坐标轴的分解与投影 §6－2 空间汇交力系的合成与平衡 §6－3 空间力偶理论 §6－4 力对于点之矩与力对于轴之矩
§6－5 空间任意力系向已知点的简化·主矢 与主矩·空间力系的合力矩定理
§6－6 空间任意力系的平衡条件与平衡方程 §6－7 平行力系的中心与重心
空间合力投影定理 合力在某一轴上的投影，等于力系中所有各
力在同一轴上的投影的代数和
FRx Fx FRy Fy
FRz Fz
则合力
FR FRxi FRy j FRzk
z
F1
FR
F2
FRx2 FRy 2 FRZ 2 ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F
cos
FRx FR
矢相等的力偶均为等效力偶。 P108
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第六章 空间力系和重心
例 6-3 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自
作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩M1=20 N·m；力偶 （F2， F 2 ）的矩M2=10 N·m；力偶（F3 ，F 3）的矩M3=30 N·m 。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一 个力偶。
若引入单位矢量，则力F沿直角 坐标轴分解的表达式为
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
z Fz
F
Fx
Fy
Fxy y
x
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第六章 空间力系和重心
图示斜五面体OABCDE沿坐标轴正向三个棱边的长度OA＝4，OC ＝3，OE＝3（单位m），斜平面ABDE沿对角线EB间作用一力P ＝10kN，则该力在x轴上的投影Px=_______kN。在y轴上的投影 Py=_______kN。在z轴上的投影Pz=_______kN。
z
F2
F2
F3
O
y
F3
F1
x
F1
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第六章 空间力系和重心
解： 1.画出各力偶矩矢。 2.合力偶矩矢M 的投影。
M x M1x M 2x M3x 0
M y M1y M 2 y M 3y 0 10 30 cos 450 11.2N m
M z M1z M 2z M 3z 20 0 30 sin 450 41.2N m
物体在力矩作用面内绕过矩心且垂直于力矩作用面的轴转动的转向)
空间力对点之矩由右手法则确定矢量方向，以矩心为力矩矢
量起点。由于力对点之矩大小和方向均与矩心有关因此是一个 定位矢量；而力偶矩是自由矢量。P109
空间力对点之矩矢量与矩心位置有关；
而空间力偶矩矢量与矩心位置无关。
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M (F ) r ຫໍສະໝຸດ Fx O AB理论力学电子教程
第六章 空间力系和重心
1、研究空间力的合成。
FR F1 F2 F3
2、研究空间力沿坐标轴的投影。
（1）直接投影法P102
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos x
z
Fz
F
Fx Fy
y
理论力学电子教程
第六章 空间力系和重心
（2）二次投影法(先向包括投影轴在内的平面投影)P103
Fx
FFxy xcy os
F
sin
F sin
cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量 而力向某平面投影是矢量。P103