第四章 空间力系和重心
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有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行 力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系 的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方 向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向 的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体 的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方
工程力学-4
图 4-2 解：研究对象：起重杆 ABG 重物
受力分析：P， F1， F2， FA (AB 为二力杆) 球铰链如图 4-2b 特点：1) 可绕球心任意相对转动
2) 约束反力可用三个直交分力表示 选坐标 Axyz 列平衡方程：
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0,
F1 sin 45° F2 sin 45° = 0 FA sin 30° F1 cos 45°cos 30° F2 cos 45°cos 30° = 0 F1 cos 45°sin 30° + F2 cos 45°sin 30° + FA cos30° P = 0
2．空间汇交力系的合力与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得
(1) 空间汇交力系的合成：
① 几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
FR = F1 + F2 +……+Fn = F 即：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
② 解析法：
将 F = Fxi + Fyj + Fzk 代入上式得 FR = Fxi + Fyj + Fzk 即： FRx = Fx, FRy = Fy, FRz = Fz 空间合力投影定理：
M0(F)在三个坐标轴上的投影，即
[M0(F)]x = yFz – zFy
[M0(F)]y = zFx – xFz
(a)
[M0(F)]z =xFy – yFz
2．力对轴的矩
以门的转动为例来说明：力 F 与转轴不相垂直的情况：此时可把力 F
分解为平行 z 轴的 Fz 和垂直于 z 轴的平面 xy 上的分力 Fxy，(即力 F 在 xy 平面上的投影)很显然 Fz 对门没有转动效应，只有 Fxy 对门有转动效应，因 此，可用力 Fxy 对 O 点主矩来度量，即：
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
2、空间力系平衡、重心
解：取铰D 脱离体， 为 脱离体， 画受力图如 所示， 图b所示， 各力形成空 间汇交力系。 间汇交力系。
由ΣFx ＝0, cos60 sin60 60ºsin60º+ cos60 sin60 60ºsin60º= －NADcos60 sin60 + NBDcos60 sin60 =0 NAD=NAD 得 由ΣFy ＝0, Tcos60 +NCDcos60 －NADcos60 cos60 －NBDcos60 cos60 =0 cos60º+ cos60º－ cos60ºcos60 cos60º－ cos60ºcos60 cos60º=0 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 得 由ΣFz ＝0, NADsin60 +NCDsin60 +NBDsin60 ―T sin60 ―FG=0 sin60 60º+ sin60 60º+ sin60 60º― sin60 60º― 866( 866+ 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。 。
球形铰链
2、向心轴承 、
4、 、 向 心 推 力 轴 承
6、空间固定端 、
例 3 － 3 ： 用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图 所示。 为一等边三角形， 所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水 平面成60 的角。 60º的角 30kN, kN,各杆均为二力 平面成60 的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力 滑轮大小不计。 杆 ， 滑轮大小不计 。 试求重物匀速吊起时各杆所 受的力。 受的力。
[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求： 例 平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？
理论力学-空间力系与重心
右手螺旋法则：
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
工程力学之空间力系和重心
工程力学4.1力在空间坐标轴上的投影4.2力对轴的矩·合力矩定理4.3 空间任意力系的平衡方程4.4 平行力系的中心物体的重心工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；在(b)图中去了风力即为空间平行力系。
迎面风力侧面风力b4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：①由α、β、g 三个方向角确定②由仰角θ与俯角ϕ来确定。
F F=4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）由图可知：cos ,cos ,cos x y z F X F F Y F F Z F αβg==⋅==⋅==⋅4.1.2力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上，即Fsin cos cos cos cos x xy F X F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅sin sin sin cos sin y xy F Y F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅cos sin z F Z F F g θ==⋅=⋅ 4.2 力对轴的矩⋅合力矩定理一、力对轴的矩的概念与计算定义：()()2''z O xy xy m F m F F d OA B ==±⋅=∆的面积由于力和都不能使门转动，所以得出力与轴平行或相交时，力对轴之矩为零。
亦即力与轴共面时，力对轴之矩为零。
y F z F 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定，即大拇指方向与轴的正向一致的为正，反之为负。
4.2.2合力矩定理与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：12()()()()()z z z z n z i m R m F m F m F m F =+++=∑即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。
第四章 空间任意力系x
(4-4)
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
《工程力学》教学课件第四章空间力系和重心
O
b F1 A x
y
a
F
F2
M z ( F ) = M z ( F1 ) = ± F1h
力矩方向的判定
右手螺旋法则：用右手的四指来表示 力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴 正向相同，力矩为正，反之为负。
二、合力矩定理 对某一轴之矩， 空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分力 F1,F2,…,Fn对同一轴之矩的代数和。表达式为 对同一轴之矩的代数和。
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ Fz = F cosγ
Fx = F sinγ cosϕ Fy = F sinγ sinϕ Fz = F cosγ
本章小结
2.力F对轴 之矩，等于力 在垂直于轴 的平面 上的投 力 对轴 之矩，等于力F在垂直于轴 的平面S上的投 对轴z之矩 在垂直于轴z的平面 影对z轴与平面 的交点之矩。 影对 轴与平面S的交点之矩。 轴与平面 的交点之矩 空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分 1,F2, …，Fn 空间力系的合力 对某一轴之矩，等于各分F ， 对同一轴之矩的代数和。 对同一轴之矩的代数和。表达式为
二、重心位置的确定 1.一般计算公式 1.一般计算公式 对x轴用合力矩定理为
G ⋅ yC = ∆G1 ⋅ y1 + ∆G2 ⋅ y2 + .... + ∆Gn ⋅ yn = ∑ ∆Gi ⋅ yi
对y轴用合力矩定理为
G ⋅ xC = ∆G1 ⋅ x1 + ∆G2 ⋅ x2 + .... + ∆Gn ⋅ xn = ∑ ∆Gi ⋅ xi
Hale Waihona Puke 车 床 主 轴 手摇钻 飞行的飞机
空间力系的分类
空间任意力系
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平面解法：
Fz Fx
2r 2
z
z
F 45 F z Fx ° h
z
Fz
2r 2
Fy
x
O
O
y
Fy 30 °
O
y
x
解：1.将F沿坐标轴方向分解
2.在坐标平面分别取投影 2r 6Fh 2Fr M x ( F ) Fy h Fz yz平面 2 4 4
xz平面 xy平面
M y ( F ) Fx h Fz
2r 2
2r 6Fh 2Fr x 2 4 4 2r 2r 3Fr 3Fr 3Fr M z ( F ) Fx Fy 2 2 4 4 2
O
6F Fx 4
6F Fy 4
F Fz 2
2r 2
y Fy
45 Fx °
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
0: Fy 0 : Fz 0 : M x (F ) 0 : M y (F ) 0 : M z (F ) 0 :
Fx
M3 FR ( Fx) 2 ( Fy) 2 ( Fz) 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FBx (a b) F a 0 FBx FAx FBx F 0
F
y
FBx
F a O FAx ab
x
Fx
0:
FAx FBx F
Fb ab
例4-4 传动轴如图，已知带轮半径Ｒ＝0.6m，自重Ｇ2＝2kN；齿轮 半径r=0.2m，轮重G1=1kN。其中AC=CB=l=0.4m，BD=0.2m，圆周 力Fτ=12kN，径向力Fr=1.5kN，轴向力Fa＝0.5kN，紧边拉力FT,松边 拉力Ft，FT=2Ft 。试求轴承Ａ、Ｂ两处的约束反力。 解：画受力图列平衡方程求解
五、平面解法 解：已知各分力
6F 4 2F Fy 4 2F Fz 2 Fx
x
z
50
Fz
Fz C
Fx Fy
Fx Fxy
O
1.在yz平面取平面投影
M x ( F ) M 0 ( Fyz ) 2 1000 0.06 42.4N m 2
z O
40 20 F z Fy
y
2.在xz平面取平面投影
2.平衡方程
三、空间约束 1.轴承
FX
FZ FY FZ
FX
向心轴承：限制了轴端的上下移 动和前后移动，不限制轴向移动。 约束力用上下和前后两正交分力 表示。 推力轴承：限制了轴端的上下、 前后、轴向的移动。 约束力用上下、前后、和轴向三 个正交分力表示。 既限制了轴端的上下、前后、轴 向的移动，又限制了绕x、y、z轴的 转动。 约束端有三个约束力和三个约束 力偶矩。
FBz (a b) Fr a 0 FAz FBz Fr 0
FAZ+FBZ FAx FAx+FBxO x
FBZ M0 a
y
FBx Cb
Fr
B
0:
Fr a FBz ab
O
z FAZ
FBZ
y
xy平面：
M z (F ) 0 :
Fr b FAz FAz Fr ab
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
(4 1)
Fy
y
x z F F zz
2.二次投影法 已知力F与z轴的夹角为， 力与轴所确定平面与x轴的夹角为。
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
(4 2)
F
Fx F x x
F Fy y Fxy
y
3.力沿坐标轴方向分解 4.已知投影求作用力
2 2 2
F Fx Fy Fz Fy Fx F cos ;cos ;cos z F F F
( 4 3)
二、力对轴之矩
z y d Fxy
结论 y ： 力对轴之矩等于力在 x 垂直于轴的平面上的投影 x 对该轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数 量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针， 规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M1
F'1 O
一、空间力系的简化(力对点之矩为矢量)
F1
A
M2
F'2
M0
FR A C
F3
O C
B
F2 =
F3
=
O
B
1.主矢FR 2.主矩M0 M 0 [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程 1.空间力系平衡条件：主矢FR=0, 主矩M0=0。
M z (F ) 0 :
F
y
0:
Fx
0:
FAy Fa 0 FAy Fa 0.5 kN
本课节小结
一、空间力系的简化 1.主矢FR FR ( Fx) 2 ( Fy) 2 ( Fz) 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 2.主矩M0 M 0 [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程
M
F r ( FT Ft ) R 0 F r 12 0.2 Ft 4 kN FT 2Ft 8 kN R 0.6
y
(F ) 0 :
M x (F ) 0 :
FBz 2l ( F G1 )l ( FT sin 45 Ft sin 30 G 2 ) 2.5l 0
Fxy
d
Fz A
F
O
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d
M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz )
四、应用举例
例4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作 用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分 别求力F对x、y、z轴之矩。
2.空间固定端
MZ
MX z FZ FY MY y
x
FX
应用举例 例4-3 某传动轴图所示。已知轴B端联轴器输入外力偶矩为M0， 齿轮C分度圆直径为D, 压力角为,轮间距为a、b。求齿轮圆周力, 径向力和轴承的约束力。 Fn 解： 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标 z Fr F 轴方向分解为圆周力F和径向力Fr。 F M
第四章 空间力系和重心
◆ 课题4–1 ◆ 课题4–2 ◆ 课题4–3
空间力的投影 力对轴之矩 空间力系平衡方程的应用 重心 平面图形的形心
◆ 课题4–1
空间力的投影 力对轴之矩
z
F Fz z Fx x
一.力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 已知力F与三个坐 标轴的夹角分别为、β 、,
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与 平面交点之矩。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M z ( F ) M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz )
课后作业：《工程力学练习册》练习十一
◆ 课题4–2
简化中心
空间力系平衡方程的应用
50
Fx
C Fy y
M y ( F ) M 0 ( Fxz ) 2 1000 0.05 35.4N m 2
3.在xy平面取平面投影
M z ( F ) M O ( Fxy ) 6 19.1N m
O
FBz (8 0.707 4 0.5 2) 2.5 12 1 1.57 kN 2
Fz
0:
FAz FBz F G1 ( FT sin 45 Ft sin 30 G 2 ) 0 FAz 1.57 12 1 (5.66 2 2) 6.09 kN FBx 2l F l Fa r ( FT cos 45 Ft cos30) 2.5l 0 0.6 0.1 (5.66 3.46) 1 FBx 12.03 kN 2 0.4 FAx FBx Fr FT cos 45 Ft cos30 0 FAx 12.03 1.5 5.66 3.46 1.41kN
40 20
x
例4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平 夹角为30半径的切平面上作用力F，求 力F对x、y、z轴之矩。
解：1.将F沿坐标轴方向分解
6F Fx F cos30 sin 45 4 6F Fy F cos30 cos 45 4 F Fz F sin 30 2
平面解法：
解：取平面投影列平衡方程 M0 xz平面： x
M y (F ) 0 :
Fr
z F z FAZ
A
Fr
Fn F
yz平面：
M x (F ) 0 :
Fz
D M0 0 2 2M 0 2M 0 F Fr F tan tan D D F
0: Fy 0 : Fz 0 : M x (F ) 0 : M y (F ) 0 : M z (F ) 0 :
Fx
平衡方程
三、空间约束 1.轴承 约束力用上下和前后两正交分力表示 2.空间固定端 约束端有三个约束力和三个约束力偶矩。
课后作业：《工程力学练习册》练习十二
h
z
F
45 F z Fx °