工程力学之空间力系和重心

工程力学4.1力在空间坐标轴上的投影4.2力对轴的矩·合力矩定理4.3 空间任意力系的平衡方程4.4 平行力系的中心物体的重心工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；在(b)图中去了风力即为空间平行力系。

迎面风力侧面风力b4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：①由α、β、g 三个方向角确定②由仰角θ与俯角ϕ来确定。

F F=4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）由图可知：cos ,cos ,cos x y z F X F F Y F F Z F αβg==⋅==⋅==⋅4.1.2力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上，即Fsin cos cos cos cos x xy F X F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅sin sin sin cos sin y xy F Y F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅cos sin z F Z F F g θ==⋅=⋅ 4.2 力对轴的矩⋅合力矩定理一、力对轴的矩的概念与计算定义：()()2''z O xy xy m F m F F d OA B ==±⋅=∆的面积由于力和都不能使门转动，所以得出力与轴平行或相交时，力对轴之矩为零。

亦即力与轴共面时，力对轴之矩为零。

y F z F 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定，即大拇指方向与轴的正向一致的为正，反之为负。

4.2.2合力矩定理与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：12()()()()()z z z z n z i m R m F m F m F m F =+++=∑即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。

sin 45cos 45cos 45sin 60cos 45cos 60z xy x y P P P P P P P P =⋅︒=⋅︒=-︒⋅︒=⋅︒⋅︒解：例4-1 已知：P =2000N,C 点在Oxy 平面内。

求：力对三个坐标轴的矩。

P()()()()6(5)06cos 45sin 605cos 45cos 6038.2(N m)x y z z z z z x y m P m P m P m P P P P P =++=⨯+-⨯+=︒︒-︒︒=⋅()()()()0066sin 4584.8(N m)x y z x x x x zm P m P m P m P P P =++=++=︒=⋅()()()()0055sin 4570.7(N m)x y z y y y y zm P m P m P m P P P =++=++=︒=⋅4.2.3力对轴之矩的解析表达式在最一般的情况下，位于空间的力对于三个坐标轴都可以产生力矩。

由合力矩定理可以推导出力对轴之矩的解析表达式：()()()x z y y x z z y x M F F y F z M F F z F xM F F x F y⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩式中F x 、F y 、F z 是力在坐标轴上的投影，x 、y 、z 是力作用点的坐标。

建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，都是采取力系向一点简化的方法。

只是对于空间力系推导平衡条件的过程比较复杂。

这里只用比较直观的方法得出空间任意力系平衡方程。

4.3空间任意力系的平衡方程123,,nF F F F 设作用在刚体上有空间任意力系4.3.1空间任意力系平衡方程的建立如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x 、y 、z 三轴移动，也不能绕x 、y 、z 三轴转动。

即满足：0, ()00, ()00, ()0x x y y z z F m F F m F F m F ======∑∑∑∑∑∑空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴力矩的代数和都必须分别等于零。

共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。

对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点）则()0()0()0x i y i z i m F m F m F ≡≡≡∑∑∑成为恒等式故空间汇交力系的平衡方程为：x y z F F F ===∑∑∑4.3.2空间汇交力系的平衡方程对于空间平行于z 轴的平行力系：则()000zi x ym F F F≡≡≡∑∑∑成为恒等式Oxyz故空间平行于z 轴的平行力系的平衡方程为：0()0()0z x i yFm F mF ===∑∑∑3F 2F 1F nF 4.3.3空间平行力系的平衡方程4.3.4空间任意力系的平衡方程平面解法及应用当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影所组成的平面任意力系也是平衡的。

因而在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视和侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。

这种将空间问题转化为平面问题的研究方法，称为空间问题的平面解法。

这种方法特别适用于受力较多的轴类构件。

例4-2 已知:R C =100mm, R D =50mm,P x =466N, P y =352N, P z =1400N求：平衡时(匀速转动)力Q =？和轴承A , B 的约束反力？最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。

(Q 力作用在C 轮的最低点）解：①选研究对象②作受力图③选坐标列方程0;0,352(N)0;501000,746(N)y A y A y yz x F Y P Y P mP Q Q =-====-⨯+⨯=∴=∑∑由00; 3005020050 cos 200, 437(N)0; cos 200, 729(N)0; 20030050 sin 200, 2040(N)0; sin 200, 385(N)AAz x y B B yA B x A x B z B zA B z A m P P X Q X F X X P Q X m Z P Q Z FZ Z P Q Z =---=∴==+--=∴==+-=∴=-=+++=∴=∑∑∑∑方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请自己试着求解。

本节小结：1.力在空间直角坐标轴上投影的计算方法：直接投影法、间接投影法。

2.力对轴之矩是力使物体绕某轴转动效果的度量，其计算方法有：根据定义计算、应用合力矩定理计算。

3.空间力系平衡问题的解法：直接利用空间力系平衡方程求解、把空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题求解。

4.4平行力系的中心物体的重心4.4.1空间平行力系的中心、物体的重心空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C就是此空间平行力系的中心。

而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。

1、平行力系的中心由合力矩定理可得：iiC i i C i iC F xx R F y y R F z z R===∑∑∑如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。

由合力矩定理：C i i C ii P x P x P y P y ⋅=∆⋅=∆∑∑2、重心坐标公式根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y 轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：, i iC i i C PzPz Pz z P∆=∆∴=∑∑综合上述得重心坐标公式为：,,i iiii iC C C PxP yPzx y z PPP∆∆∆===∑∑∑若以△P i = △m i g , P =Mg 代入上式可得质心公式:,,iiiiiiCCCm x m y m z x y z MMM∆∆∆===∑∑∑4.4.2物体的质心公式和形心公式设ρi 表示第i 个小部分每单位体积的质量，⊿V i 第i 个小体积，则i i im V ρ∆=∆代入上式则可得：又若该物体还是均质体，则其形心（几何中心）坐标为：,,iiiiiiCCCV x V y V z x y z VVV∆∆∆===∑∑∑ii iC iiii iC iiiiiCiiV x x V V y y V V z z Vρρρρρρ∆=∆∆=∆∆=∆∑∑∑∑∑∑同理，可写出均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：:,,iiiiiiC C C A xA yA zx y z AAA∆∆∆===∑∑∑平板:,,iiiiiiCCCl x l y l z x y z lll∆∆∆===∑∑∑细杆iCiC iC Px x P Py y P Pz z P∆=∆=∆=∑∑∑物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。

在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。

∞4.4.3物体的重心的精确公式设g i 表示第i 个小部分每单位体积的重量，⊿V i 第i 个小体积，则,,VVVCCCx dV y dV z dV x y z PPPg g g ===⎰⎰⎰i i i P V g ∆=∆代入重心坐标公式并取极限，可得：上式为重心C 坐标的精确公式。

VP dVg =⎰式中，对于均质物体，g =恒量，上式成为：,,VVVC C C x dV y dV z dV x y z VVV⋅⋅⋅===⎰⎰⎰同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式：,,AAAC C C x dA y dA z dA x y z AAA⋅⋅⋅===⎰⎰⎰,,LLLC C C x dL y dL z dL x y z LLL⋅⋅⋅===⎰⎰⎰解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox 轴，即y C =0。

取微段dL R d θ=⋅2cos 2LC x dL x LRd Rααθθα-⋅∴=⋅⋅⋅=⎰⎰sin C R x αα=下面用积分法求物体的重心实例：例4-3 求半径为R ，顶角为2α的均质圆弧的重心。

Ocos x R θ=⋅解：取坐标系O xy 如图所示，将L 形界面分割成I 、II 两部分。

【例4-4】求如图所示L 形界面的形心位置，图中单位尺寸为cm 。

2211122222103cm 30cm 1.5cm 5cm 53cm 15cm 5.5cm 1.5cmA x y A x y ∆=⨯===∆=⨯===，，，，1122C 121122C 1230 1.515 5.52.83cm301530515 1.53.83cm3015iiiix AA x A x x AA A y AA y A y y AA A ∆∆+∆⨯+⨯====∆+∆+∆∆+∆⨯+⨯====∆+∆+∑∑如果物体被切去一部分，则其重心和形心仍可用组合法的公式去求，只是切去部分的形体要代负值。