专升本工程力学第4章 空间力系与重心
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工程力学-第四章-空间力系
即：
g X F s i cn o F x c s y o F c sc oo s s
g Y F s i sn iF x n s y iF n cs ois n
g Z F co F s sin
⒋ 力沿坐标轴分解
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿
直角坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
⒈ 力矩的大小 ； ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中， 由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
⒈ 若 R'0,MO0则力系可合成为一个合力，力系合力R 等于主矢 R ' ，合力 R 通过简化中心O点。（此时主矩与简 化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)
⒉ 若 R'0,MO0 , R'MO 时， 可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R
(MORd) 由于做 M O R d, dM R OM R O ' , 合 R 力 F i
g 方向： com sx(F ), co s m y(F ), co m sz(F )
m O (F )
m O (F )
m O (F )
§4-4 空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的 简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有 空间一般力系 F1,F2,Fn
定理:
RxXi RyYi RzZi
空间力系和重心.ppt
有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行 力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系 的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方 向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向 的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体 的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方
工程力学-4
图 4-2 解：研究对象：起重杆 ABG 重物
受力分析：P， F1， F2， FA (AB 为二力杆) 球铰链如图 4-2b 特点：1) 可绕球心任意相对转动
2) 约束反力可用三个直交分力表示 选坐标 Axyz 列平衡方程：
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0,
F1 sin 45° F2 sin 45° = 0 FA sin 30° F1 cos 45°cos 30° F2 cos 45°cos 30° = 0 F1 cos 45°sin 30° + F2 cos 45°sin 30° + FA cos30° P = 0
2．空间汇交力系的合力与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得
(1) 空间汇交力系的合成：
① 几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
FR = F1 + F2 +……+Fn = F 即：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
② 解析法：
将 F = Fxi + Fyj + Fzk 代入上式得 FR = Fxi + Fyj + Fzk 即： FRx = Fx, FRy = Fy, FRz = Fz 空间合力投影定理：
M0(F)在三个坐标轴上的投影，即
[M0(F)]x = yFz – zFy
[M0(F)]y = zFx – xFz
(a)
[M0(F)]z =xFy – yFz
2．力对轴的矩
以门的转动为例来说明：力 F 与转轴不相垂直的情况：此时可把力 F
分解为平行 z 轴的 Fz 和垂直于 z 轴的平面 xy 上的分力 Fxy，(即力 F 在 xy 平面上的投影)很显然 Fz 对门没有转动效应，只有 Fxy 对门有转动效应，因 此，可用力 Fxy 对 O 点主矩来度量，即：
工程力学——空间力系和重心
图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的 投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为 ， 和 ，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
第5章 空间力系和重心
第5章 空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
图 5.4 中 为压力角， 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。 分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道 和 ，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上 的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分 力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系 的合力投影定理。
2、空间力系平衡、重心
解：取铰D 脱离体， 为 脱离体， 画受力图如 所示， 图b所示， 各力形成空 间汇交力系。 间汇交力系。
由ΣFx ＝0, cos60 sin60 60ºsin60º+ cos60 sin60 60ºsin60º= －NADcos60 sin60 + NBDcos60 sin60 =0 NAD=NAD 得 由ΣFy ＝0, Tcos60 +NCDcos60 －NADcos60 cos60 －NBDcos60 cos60 =0 cos60º+ cos60º－ cos60ºcos60 cos60º－ cos60ºcos60 cos60º=0 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 得 由ΣFz ＝0, NADsin60 +NCDsin60 +NBDsin60 ―T sin60 ―FG=0 sin60 60º+ sin60 60º+ sin60 60º― sin60 60º― 866( 866+ 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。 。
球形铰链
2、向心轴承 、
4、 、 向 心 推 力 轴 承
6、空间固定端 、
例 3 － 3 ： 用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图 所示。 为一等边三角形， 所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水 平面成60 的角。 60º的角 30kN, kN,各杆均为二力 平面成60 的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力 滑轮大小不计。 杆 ， 滑轮大小不计 。 试求重物匀速吊起时各杆所 受的力。 受的力。
[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求： 例 平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？
《工程力学》7 空间力系
r F2
r F3
•
r FR = 0 r r r M = ∑ M (F ) = 0 r r r r r r = ∑ M ( F ) i+M ( F ) j+M ( F )k
o i
x y z
r F1
r F2
r F3
•
Fxi = 0 ∑
∑F ∑F
yi
=0 =0
zi
∑M ∑M ∑M
xi yi zi
力偶对刚体的转动效应（ 力偶对刚体的转动效应（大小和转 力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。 向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
r M
F
力偶矩矢定义： 力偶矩矢定义：
r r
F’
r r r M = r ×F
力偶矩矢等于力偶中一个力对另一个力 作用线上任意点之矩. 作用线上任意点之矩.
力偶矩矢的大小、作用面方位、转向 r r r Z M F1′ M r
2
r FR ≠ 0
r M =0
r FR
r FR
O•
O•
M O′ •
r r FR
r M• o
问题：若简化中心为 点 简化结果如何? 问题：若简化中心为O’点，简化结果如何
结论: 过此O点与主矢作用线平行的线 很特殊. 结论 过此 点与主矢作用线平行的线 很特殊
r 3 F ≠0 R
r r r M ≠ 0 FR ⊥ M
第4章 空间力系
4-1 基本知识 空间任意力系向一点简化-----主矢和主矩 4-2 空间任意力系向一点简化---主矢和主矩 4-3 空间任意力系的平衡方程 4-4 重心
4-1
基本知识
力在直角坐标系上 直角坐标系上的投影 一次投影法） 一. 力在直角坐标系上的投影（一次投影法） 已知力及其与三个轴的夹角) (已知力及其与三个轴的夹角)
《工程力学》第四章 空间一般力系 重心
• 对于平面平行力系，若令O-xyz系中Oz轴平
• 行于该力系的诸力，则该力系中诸力对Ox轴和Oy轴上 的投影以及诸力对Oz轴之矩均为零，则无论力系平衡 与否，都有∑X≡0，∑Y≡0以及∑mz(F)≡0。于是，由方 程(4-17)，(4-18)可知，对于空间平行力系的有效平 衡方程为
• 三、空间一般力系平衡方程的应用举例 • 例4-3 一起重机正在起吊一质量为2 t的重物(图 4-6(a))，
A处为球形铰链。求当重物在图示位置时A处约束反力及 缆风绳BD，BE中的拉力。不计桅杆AB、吊杆AC以及钢丝 绳的自重。尺寸如图所示，单位为m。
图4-6
• 解：选择起重机ABC机架为研究对象，解除约 束，作受力分析，其受力图如图4-6(b)。球形 铰链A的约束反力的方向不定，但可用NAx， NAy，NAz三个分力表示，其指向如图所示。 当重物处于平衡时，钢丝绳所受之张力T的大 小为
• 3.
• 若物体为匀质等截面细线条，则其被分割成的 微体体积可写为ΔVi=ΔSiΔli，ΔSi为等截面面 积，Δli为微体线度，代入(4-27)式，则得匀质 等截面细线条之形心(重心)的位置坐标公式
• 四、求物体形心的几种方法 • 1.对称法 • 工程实际中，许多零部件常常是均质的，其形
状常呈现出一定的对称性。 • (1) • (2)若形体具有对称轴线，其形心必在此对称轴
• R′和MO在实际计算中，多采用解析式。设过 简化中心O作一直角坐标系，它们在三个直角 坐标轴上的投影分别为
• 将(4-14)式与力矩关系定理(4-6)，(4-7)，(4-8) 比较，则有关系式
•
• 由(4-11)和(4-12)式可知，空间一般力系向简 化中心O点简化后，其主矢、主矩均为零，这
表明该空间一般力系处于平衡。故
• 行于该力系的诸力，则该力系中诸力对Ox轴和Oy轴上 的投影以及诸力对Oz轴之矩均为零，则无论力系平衡 与否，都有∑X≡0，∑Y≡0以及∑mz(F)≡0。于是，由方 程(4-17)，(4-18)可知，对于空间平行力系的有效平 衡方程为
• 三、空间一般力系平衡方程的应用举例 • 例4-3 一起重机正在起吊一质量为2 t的重物(图 4-6(a))，
A处为球形铰链。求当重物在图示位置时A处约束反力及 缆风绳BD，BE中的拉力。不计桅杆AB、吊杆AC以及钢丝 绳的自重。尺寸如图所示，单位为m。
图4-6
• 解：选择起重机ABC机架为研究对象，解除约 束，作受力分析，其受力图如图4-6(b)。球形 铰链A的约束反力的方向不定，但可用NAx， NAy，NAz三个分力表示，其指向如图所示。 当重物处于平衡时，钢丝绳所受之张力T的大 小为
• 3.
• 若物体为匀质等截面细线条，则其被分割成的 微体体积可写为ΔVi=ΔSiΔli，ΔSi为等截面面 积，Δli为微体线度，代入(4-27)式，则得匀质 等截面细线条之形心(重心)的位置坐标公式
• 四、求物体形心的几种方法 • 1.对称法 • 工程实际中，许多零部件常常是均质的，其形
状常呈现出一定的对称性。 • (1) • (2)若形体具有对称轴线，其形心必在此对称轴
• R′和MO在实际计算中，多采用解析式。设过 简化中心O作一直角坐标系，它们在三个直角 坐标轴上的投影分别为
• 将(4-14)式与力矩关系定理(4-6)，(4-7)，(4-8) 比较，则有关系式
•
• 由(4-11)和(4-12)式可知，空间一般力系向简 化中心O点简化后，其主矢、主矩均为零，这
表明该空间一般力系处于平衡。故
第四章空间力系与重心
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
2r
2
y
O
2r
45 Fx
2
° Fy
xz平面
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
x
xy平面
M z (F ) Fx
2r 2
Fy
2r 2
3Fr 4
3Fr 4
3Fr 2
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
1.一次投影法
Fx F cos Fy F cos
Fx F cos30sin 45
6F 4
h
6F
Fy F cos30cos 45
Fz
F sin 30
F 2
4
2.求F对x.y.z轴之矩
z F
45 °
Fz
Fx
Fy
30
°
O
y
x
M x (F ) Fy h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
Fz F cos
Fx F sin cos
2.二次投影法 Fy F sin sin
Fz F cos
二、力对轴之矩
M z (F) MO (Fxy ) Fxy d
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与
平面交点之矩。
三、合力矩定理
力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
yi
四、求重心的方法
1.对称法 对于均质物体，若在几何体上具有对称面、对称轴或对 称点，则物体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。
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4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念 力对轴之矩等于零的情形： ①当力与轴相交时（d=0）， ②当力与轴平行时（ Fxy=0 ）。即当力与轴共面时，力对轴 之矩为零。
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4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
合力对平面上任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。 空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴
1）力对轴之矩的概念
当力F不作用于Oxy坐标面内时， 则可将其分解为两个分力：位于Oxy 内的分力Fxy和平行于z轴的分力Fz。 经验证明，如果一个力平行于z轴， 例如作用于门上的力F1，它是不可能 使物体绕z轴转动的。因此，分力Fz 对z轴之矩等于零。
z
F O d Fz A Fxy
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1）力对轴之矩的概念
力对轴之矩的单位是N· m，它是一个代数量。 正负号可用右手螺旋法则来判定：用右手握住转轴，四指 与力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为 正； 反之，为负。
也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正， 顺时针 z z z 转向力矩为负。
－ ＋ － ＋
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F B2 B
NC
2m
B NB
Ft1 (c)
Fr1 FBx
(b)
2
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第4章 空间力系与重心
4.1 空间力系的平衡
4.2 重心和形心
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4.1 空间力系的平衡
4.1.1 力在空间轴上的投影
4.1.2 力对轴之矩
4.1.3 平衡方程及其应用
4
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工程力学
宋清华
第4章 空间力系与重心
C D B 4 5° 4 5° FC O FB 4 5°
凡各力的作用线不在同一个平 面内的力系称为空间力系。
G
A
(a) G2 C 1 60 2 00 1 60
0.6 m
0 .8 m G1 A NA
0.6 m
0.2 m
FAz A FAx
Fr2
F t2 r2 r1
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4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
解 （2）计算力矩 力F与z轴相交，它对z轴之矩等于零
M z (F ) 0
在计算力F对x、y轴之矩时利用合力矩定理。将力F分解为 两个分力Fxy和Fz，因分力Fxy与x、y轴都相交，它对x、y轴之
2）二次投影法
当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法，
即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个 过渡矢量进一步投影到所选的坐标轴上。
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4.1.1 力在空间轴上的投影
2）二次投影法
若已知γ和φ，则可先将力 F投影到Oxy坐标平面上，得
z D Fz A F
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4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念
于是，力F对z轴之矩就等于分力Fxy对z轴之矩，即 Mz(F)=Mz(Fxy)=±Fxyd 力对某轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的投影对于该轴 与此平面交点之矩。力对轴之矩是代数量。
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4.1.2 力对轴之矩
4.1.1 力在空间轴上的投影
4.1.2 力对轴之矩
4.1.3 平衡方程及其应用
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4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念
力F使齿轮绕轴心O的转动，实际上是使齿轮绕转轴（过O 点且垂直于图平面）的转动。
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4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念
之矩的代数和，即
Mx(FR)=Ｍx(F1)+Mx(F2)+…+Mx(Fn)=∑Mx(Fi) My(FR)=Ｍy(F1)+My(F2)+…+My(Fn)=∑My(Fi) Mz(FR)=Ｍz(F1)+Mz(F2)+…+Mz(Fn)=∑Mz(Fi) 这就是空间力系的合力矩定理。
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以z 轴表示转动，力F使物体绕 z轴转动的效应，用力 F对 z 轴之矩MO(F)来度量。当力F作用于Oxy坐标面内时，显然有
MO(F)=MO(F)=±Fd
正负号按右手螺旋法则确定，即 以四指表示力矩转向，如大拇指 所指方向与 z 轴正向一致则取正 号，反之取负号。
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4.1.2 力对轴之矩
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4.1.1 力在空间轴上的投影
1）一次投影法 若已知力F与x、y、z轴正向的夹角α、β、γ，则力F在三个坐 标轴上的投影分别为力 z
D F A
Fx=F cosα Fy=F cosβ
E
Fz
O Fx
Fz=F cosγ
B x
5
F Fy G
C y
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4.1.1 力在空间轴上的投影
Fxy F cos30
再将Fxy向x、y轴上投影，得
Fx Fxy cos 45 F cos30 cos 45 122.5N Fy Fxy cos 45 F cos30 cos 45 122.5N
Fz F sin 30 100N
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4.1.1 力在空间轴上的投影
2）二次投影法 力在轴上的投影为代数量，其正负号规定：从力的起点 到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正； 反之为负。而力沿坐标轴分解所得的分量则为矢量。虽然两 者大小相同， 但性质不同。
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4.1 空间力系的平衡
4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理 【例4.1】正方形板ABCD用球铰A和铰链B与墙壁连接，并用 绳索 CE 拉住使其维持水平位置。已知绳索的拉力 F=200N ， 求力F在x、y、z轴上的投影及对想x、y、z轴之矩。
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4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
解 （1）计算投影 利用二次投影法求力F在x、y、z轴上的投影。力F在Oxy平 面上的投影为
到Fxy；再将Fxy投影到x轴和 y轴上。于是，力F在三个坐 标轴上的投影可写为
O B Fx
Fy C y Fxy
A
x
Fz F cos Fx Fxy cos F sin cos F Fxy F sin F F sin F sin sin xy y