一元二次方程4
第四章一元二次方程 复习
的积，右边是0的方程
一.一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2，这样的整式方程叫做一元二 次方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、 c是已知数，a≠0)
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次 项系数和常数项； 2
2 8 x 2 x1 1 2 ，x 2 1 2
解法二：（配方法）
移项得： x 2 x 1
2
配方得：x 2 即
2x 1 2
2
( x 1) 2
x 1 2 x1 1 2 ，x2 1 2
x 1 2 两边开方：
例9、选用适当方法解下列方程：
解：∵ x 2是方程的根.
把x 2
t 3. 2 把t 3代入方程得：x 3x 2 0
一元二次方程为x 3x 2 0;
2
代入方程得： 2
2
2t 2 0
其根x1 2, x 2 1. 所以方程的另一个根为1，且t 3.
练习一：
4
3 2 3 (x ) 2 4 3 3 3 3 3 3 x1 ，x 2 x 2 2 2 2
2
4
用配方法解一元二次方程要注意两点： ①首先将二次项系数变为1； ②把常数项移到方程右边；
③方程两边各加上一次项系数一半的
平方，这是配方法的关键的一步，方程 左边配成完全平方式，当右边是非负实 数时，用开平方法即可求得方程的解．
3、已知：方程x2－5x＋5=0的一个根 5 为m，求m＋ 的值.
m
解：∵m是x2-5x+5=0的根 ∴m2-5m+5=0 ∵m≠0 5 ∴m-5+ =0
一元二次方程四种解法
一元二次方程解法【知识梳理】1. 对一元二次方程的概念及根的考察；2. 一元二次方程的求解；一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02（2）配方法：02=++c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ （3）求根公式法：条件()04,02≥-≠ac b a 且 aac b b x 242-±-= （4）因式分解法：()()021=--x x x x一元二次方程的求解直接开方法：由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解。
（注：两边同时开平方的时候记得不要忘记加上±号，两根相等时记得要写成x 1=x 2=…；而不是x= ） 例1：直接开方解方程：2x 2-8=0 3592=-x ()0962=-+x配方法：1)现将已知方程化为一般形式；2)化二次项系数为1；3)常数项移到右边；4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1：配方法解方程0462=++x x 03422=-+x x 0142=++x x例2. 试说明：无论x 取何值，代数式542+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式542+-x x 的值最小？最小值是多少？公式法（用公式法解一元二次方程是记得要先把方程化成一般式）要点：找出a,b,c 判断：ac b 42-=∆ 应用：aac b b x 242-±-= 例1、用公式法解下列方程（1）解方程x 2-2x-1=0 （2）解方程：-x 2+3x-2=0；变式：用公式法解下列方程（1）3x 2+2x-5=0 （2） x 222-x+1=0．不解方程说明方程根的情况（1） x 2+x-3=0 （2）x （x+8）=16．因式分解的方法：提公因式法、公式法和十字相乘法.1.乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+.2.十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成:()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22. 题型一：因式分解【例1】（1））（）（3x 3x x +=+； （2） 016x 2=— （3）09a 1242=++a ；题型二：十字相乘法分解因式【例1】（1）232x x ++=0； （2）212x x --=0； （3）2215x x +-=0.题型三：解一元二次方程【例1】用适当的方法解下列方程：（1）2410x x ++=； （2）210x x +-=； （3）22310x x -+=.【变式练习1】解下列一元二次方程：（1）21304x x ++=； （2）2420x x -+=；（3）2200x x --=； （4）24920x x -+=.【作业布置】（时间：20分；总分：60）用合适的方法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）x 2+2x-3=0．（3）x 2+35=12x （4）（x-3）2+9（x-3）=0（5）220x x -=； （6）2430x x +-=；(7） 22)3(4)23(-=+x x (8) )2(5)2(3+=+x x x。
第四讲 一元二次方程的解法
第4讲 一元二次方程的解法一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元 二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数， c 为常数项．二、一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程． ⑵配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程，一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方(两边同时加上一次项系数一半的平方)．④化成2()x m n +=的形式．⑤若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式②确定a 、b 、c 的值．③计算24b ac -的值．④若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤若240b ac -<，则方程无解．⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．常用解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴ 因式分解法 适用于右边为0(或可化为0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． ⑵ 公式法 适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值． ⑶ 直接开平方法 用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． ⑷ 配方法 配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数，0a ≠)转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为：2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以方程20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数，0a ≠)就转化为224024b ac b a x a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 典例分析：知识点1：一元二次方程的定义 例1:（1）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．x2+2y=1 B．x3﹣2x=3 C．x2+=5 D．x2=0（2）方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5（3）下面关于x的方程中：①（a2+1）x2+x+2=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④x2﹣a=0（a为任意实数）；⑤x2﹣3x+8=（x+1）（x﹣1），一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8=0不含一次项，则a=．（5）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．4 C．1或4 D．0（6）关于x的方程（4﹣a）x﹣ax﹣5=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．4或﹣1（7）把方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项及常数项．（8）已知关于x的方程（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）=0．（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求这个一元一次方程的根；（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．知识点2:利用一元二次方程的根求值例2：（1）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018（2）已知m是方程x2﹣2009x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2008m++11的值等于（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019（3）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定知识点3：一元二次方程的解法之直接开平方法例3：（1）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．（2）解方程：1. 16x2﹣81=0；2. x2﹣144=0．3.（x﹣1）2=9．4.（2x﹣3）2=9；5. 25x2+=5x6. x2﹣8x+16=（5﹣2x）2知识点4：一元二次方程的解法之配方法例4：（1）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4（2）已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5（3）若方程4x2﹣（m﹣2）x+1=0的左边是一个完全平方式，则m的值是（）A．﹣6或﹣2 B．﹣2 C．6或﹣2 D．2或6（4）用配方法解下列方程，配方正确的是（）A．2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B．x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8C．x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D．x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4（5）填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2＋12x＋＝(x＋6)2;(2)x2-4x＋＝(x-)2;(3)x2＋8x＋＝(x＋)2.在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?（6）用配方法解下列方程.(1)x2-4x＝5; (2)x2-100x-101＝0;(3)x2＋8x＋9＝0; (4)y2＋2y-4＝0.（7）用配方法解下列方程.(1)3x2-4x-2＝0;(2)2x2＋3x-2＝0;(3)4(x-3)2＝225;(4)2x2＋1＝3x;(5)3y2-y-2＝0; (6)3x2-4x＋1＝0;(7)2x2＝3-7x. (x-2)2-4(x-2)-5＝0（8）用配方法求解下列问题.(1)求—2x2-2x＋2的最大值;(2)求3x2＋4x＋5的最小值.知识点5：一元二次方程的解法之公式法例5：（1）用公式法解下列方程.(1)3x 2-x-2＝0; (2)2x 2＋1＝3x ; (3)4x 2-3x-1＝x-2; (4)3x (x-3)＝2(x-1)(x ＋1).(5) 25720x x -+= (6) 22310x x +-=（7）2362x x =- （8）2952n n =-知识点6：一元二次方程的解法之因式分解法例6：因式分解法解方程：（1）21904x -= （2）281030x x +-=（3）26x -= （4）2670x x --=（5）()()23430x x x -+-= （6）222320x mx m mn n -+--= (m 、n 为常数)知识点7：一元二次方程的解法的选用例7：选择适当的方法解一元二次方程（1）﹣3x 2+4x +1=0； （2）x （x +4）=﹣3（x +4）．（3）7x 2﹣23x +6=0． （4）（x ﹣1）（x +3）=12（5）（x+2）2=2（x2+3）（6）3x2+5（2x+1）=0．（7）5x2﹣4x﹣12=0 （8）2x2+x﹣6=0．知识点8：利用方程的解法解决综合问题例8:(1)用配方法说明：无论实数x取何值，代数式﹣2x2+8x﹣15的值为负，并求出当x取何值时代数式的值最大，最大是多少？（2）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2ac﹣8a﹣2b+17=0，试判断此三角形的形状．（3）若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．（4）已知x2+y2﹣6x+10y+34=0，求3x﹣2y的值夯实基础：1.方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22.用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+3=0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（）A．a=3，b=2，c=3 B．a=﹣3，b=2，c=3C．a=3，b=2，c=﹣3 D．a=3，b=﹣2，c=33.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．24.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八，九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50+50（1+x2）=196 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=196C．50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965.已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不能确定6.把一元二次方程x（x+5）=5（x﹣2）化为一般形式；它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为7.解方程（1）x2﹣10x+25=7．（2）2x2+3x﹣7=0（3）﹣x2+3x+4=2．（4）3x（x﹣1）=2﹣2x（5）x2+8x﹣9=0 （6）（x﹣3）2=（2x+1）28.已知关于x的方程22-=-是一元二次方程，求a的取值范围()(2)x a ax9.解方程:2560--=x x10.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．11.已知a2+b2+c2+ab﹣3b+2c+4=0，求a+b+c的值。
一元2次方程4种解法
一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。
本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。
这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。
第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。
通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
这种解法适用于无理数根的情况。
第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。
该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。
这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。
第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。
根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。
这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。
结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。
无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。
掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。
一元二次方程的标准解法
一元二次方程的标准解法
一元二次方程的标准解法如下：
对于一元二次方程形如ax²+bx+c=0的情况，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 首先，计算该方程的判别式Δ = b² - 4ac。
根据Δ的值可以分
为三种情况：
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式可得: x₁ = (-b + √Δ) / 2a
x₂ = (-b - √Δ) / 2a
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根据求根公式可得：
x₁ = x₂ = -b / 2a
- 当Δ < 0时，方程没有实数根，只有两个共轭虚根。
根据求根
公式可得：
x₁ = (-b + √-Δ) / 2a
x₂ = (-b - √-Δ) / 2a
2. 根据计算得到的解x₁和x₂验证是否满足原方程。
将x₁和x₂代
入方程ax²+bx+c=0中，若两个解均使方程成立，则证明解是正确的。
标准解法中，通过求解方程的判别式Δ，可以判断方程的根的性质。
然后利用求根公式得到方程的实数根或共轭虚根。
最后通过验证解的
方法，验证计算得到的解是否满足原方程。
22.2.4一元二次方程的解法-公式法
参考答案： 1.x1 2; x2 4. 2.x1 2 6; x2 2 6.
b b 4ac x . 2a 2a 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 .
2
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2.
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
4.2 一元二次方程的解法(4)公式法
7 81 x . 2 2
∴ x1=4，
1 x2 . 2
例.用公式法解下列方程： (3) x2=3x－8.
解（3）移项，得x2－3x+8=0． ∵a=1，b=－3，c=8， b2－4ac=9－4×1×8=－23＜0. ∴原方程无解.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般 形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2－4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac ＜0时，方程无实数解(根) .
由题意,得 x( x 2) 168.
整理, 得x2 2x 168 0. 解这个方程, 得x1 12, x2 14.
x是正偶数, x 12, x 2 14.
答 : 这两个正偶数是12和14.
归纳总结
1、解一元二次方程一般有哪几种方法？
2.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程时要注意什么？ 3、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？
6 0 x . 29 1 x1 x2 . 3
检测练习
3、已知等腰三角形的底边长为9，腰长是方程 x 的一个根，求这个三角形的周长．
2
10 x 24 0
解 : 解方程x2 10 x 24 0, a 1, b 10, c 24, b2 4ac (10)2 4 1 24 4 0.
10 4 x 6, x 4. x . 1 2 2 1
若腰长为6,6 6 9, 符合题意.
此时三角形的周长为6+6+9=21.
若腰长为4, 4 4 9, 不合题意，舍去. 答：这个三角形的周长为21.
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《一元二次方程(1)》科目：初三数学 课型：新授 设计人： 审核人：第一环节：单元导入 呈现目标；1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
第二环节：模块导学 探究展示；一、自主学习 1、根据题意列出方程：（1）、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？（2）、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（3）、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.2．思考、讨论观察上述三个方程结构特征，显然，这三个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢? 类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
一元二次方程特征：（1） __________________________ （2） _________________________ （3）_______________________________一元二次方程的概念:________________________________________ 概念巩固练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x二、探究新知：一元二次方程的一般形式:任何一元二次方程经过化解后通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0 (a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。
注意：（1）其中2ax 叫做_________，a 叫做___________；bx 叫做________，b 叫做________________c 叫做__________________(2)为什么要a ≠0? 若a=0并且b ≠0则它是_______________ (3)注意： 几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ____________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④____________ (a ≠0,b=0,c=0)自学指导1：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1）y y =26 2）（x-2）(x+3)=8 3）2)2()43)(3(+=-+x x x展示自己：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4 ()()()()2311222-+=+--y y y y自学指导2： 方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？第三环节：思维拓展 能力提高；关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？问题反思：通过本节课学习，你还有哪些未解决的问题？第四环节：课堂小结 回归目标；第五环节：达标检测当堂反馈。
1、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是：A x2+2x=x2-1B ax2＋bx＋c＝0C 3（x+1）2=2（x+1）D x2-2y-3=02.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。
①3x(x+1)=4(x-2) ②(x+3)2=(x+2) (4x-1)③2(y+5)(y-1)=y2 -8 ④2t=(t+1)23、已知关于x的方程（m2-4）x 2-6（m-2）+3m-4=0 。
问（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？《一元二次方程（配方法2）》科目：初三数学课型：新授设计人：审核人：一、第一环节：单元导入呈现目标；1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
3、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；第二环节：模块导学探究展示；（一）、课前复习：1、怎样配方？2、解方程：x2+4x+3=0（二）、探究活动一：1．解方程：3x2+8x―3=0思路：解：两边都除以3，得移项，得：配方，得：（方程两边都加上一次项系数一半的平方）. 解方程：20x+5=—4x22．小结：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）化为一般形式。
（2）方程两边同除以二次项系数（3）移项。
（4）配方。
（5）求根。
3．巩固练习解下列方程：2(1)3920x x -+=2(2)2320x x +-=2(3)267x x += 2(4)542x x =-（5）25x 2-30x+9=0 （6）(选作)02-31322=+y y（三）探究活动二：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系： h=15 t ―5t 2小球何时能达到10m 高？第三环节：思维拓展 能力提高；某辆汽车在公路上加速行驶，行驶的路程s （米）各时间t （秒）之间的关系为2103s t t =+，那么行驶200米需要多长时间？第四环节：课堂小结 回归目标；用配方法解一元二次方程的步骤？第五环节：达标检测 当堂反馈。
1.解下列方程：2(1)6710x x -+=2(2)59180x x --=（3）选作024b 4b 2a -a 22=+++,求a+b 的值课题：《用公式法解一元二次方程》（2）科目：初三数学 设计人： 审核人： _ 课型:新授课第一环节：单元导入 呈现目标；1.知道什么是一元二次方程的根的判别式。
2.会用判别式判定根的情况。
3.在探索和应用求根公式过程中，进一步认识特殊和一般的关系，渗透唯物主义观点。
第二环节：模块导学 探究展示；自学指导一 问题导学1：该方程一定有解吗？如果不一定，那么它有解的条件是什么？为什么？ 我们发现当____________时，方程有解。
我们把______________称为一元二次方程根的判别式。
问题导学2：判别式和根的个数之间具有怎么样的关系呢？（阅读课本54页） 巩固练习1：第三环节：思维拓展 能力提高；m 取什么值时，方程 x 2+(2m+1)x+m 2-4=0有两个相等的实数解？通过本节课学习你还有哪些未解决的问题？yx x m m x x 24.2)09.0(y 4 )4(2350.2 )3(01)1(4 )2(03542 )1(:,22=+=-=+-=++况判别下列方程的根的情不解方程第四环节：课堂小结回归目标；第五环节：达标检测当堂反馈。
1、一元二次方程（x+1）(3x－2)=10的一般形式是___________________。
2、关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____________。
3、如果关于x的方程ax2+x–1= 0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞–14 B．a≥–14 C．a≥–14 且a≠0 D．a＞–14 且a≠04、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（）A．20 B．20或24 C．26 D．285、不解方程，判断下列方程根的情况：1）3x2－x＋1 = 3x （2）(2x+1)(9x+8)=1（3）3x2－4 x =－42）、关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是( )A、有两个不相等的同号实数根B、有两个相等的实数根C、有两个不相等的异号实数根D、没有实数根3）、已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x＋m＋2＝0．若方程有两个相等的实数根，求m的值；《一元二次方程根与系数的关系》设计人：审核人：课型：授课时间：第一环节：单元导入呈现目标；1、掌握一元二次方程根与系数关系，并进行简单应用。
2、经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，培养学生自主学习的能力。
第二环节：模块导学探究展示；自学指导11 用十字相乘法求出方程的两根，并计算出和与积2探索两根和，两根积与系数的关系________________________3 X2+px+q=0的两根和X1＋X2= _________________,两根积X1. X2= _______________探究活动（二）ax2+bx+c+0(a≠0)1 依据作业把两根填入，并求出两根和，两根积。
2探索两根和，两根积与系数的关系________________________3 ax2+bx+c+0 =0(a≠0)的两根和X1＋X2= _______________,两根积X1. X2= _______________探究活动（三）用严谨的理论去验证（要求学生独立完成）温馨小提示：一元二次方程ax2+bx+c+0(a≠0)当————————————时，方程有解。
方程的两根X1 = X2=则X1＋X2= X1. X2=小组归纳总结：一元二次方程根与系数关系：（一）练习1、 一同桌合作，口答方程两根和与两根积 1) x 2-3x+1=0 2) 2 x 2-9x+5=0 3)4 x 2-7x=1 4)2 x 2+3x=0提问：你认为在使用一元二次方程根与系数关系式时，应注意什么？2、不通过代入方程检验，判断下列方程后面括号里的两个数是不是它的根 1) x 2-5+4=0 （1，4） 2) 3 x 2+5x-2=0 (1/3,2) 3）x 2 -6x+7=0 (-1,7) 4) 2x 2-3x+1=0 (1/2,1) 自学指导2已知关于x 的方程3x 2-4x+2m-1=0的一个根是-2/3，求另一个根及的值（尝试用多种方法）（二）练习1、关于x 的方程2x 2-kx-1=0的一个根为1，求另一个根及的值。
2、课本随堂练习2第三环节：思维拓展 能力提高；1、 x 1,x 2是方程x 2+3x-5=0的两个根，求下列代数式的值 ①(x 1 +2)( x 2+2) ②x 12+ x 222、关于x 的方程x 2+(k 2-4)x+k+1=0两根互为相反数，求k 的值（选做）通过本节课学习你还有哪些未解决的问题？根与系数的关系第五环节：达标检测当堂反馈。
1、已知方程7x2+6x-1=0的两根为x1，x2.则x1 + x2.= x1 . x2.=2、如果x2+mx+1=0的一个根为—1—，2则它的另一根是3、方程2x2+3x-5=0的两根为x1，x2求1/ x1 + 1/ x2的值4、方程3x2-5x-2k=0的一个根为2，求另一根及的值我主动我参与我体验我收获初三年级数学（学科）第10 页共20《用分解因式法解一元二次方程》科目：初三数学课型：新授设计人：审核人：第一环节：单元导入呈现目标；1、会用分解因式法解某些简单的数字系数的一元二次方程。