一元二次方程经典考题难题
一元二次方程经典考题难题
一元二次方程1、用适当的方法解下列方程16)5(42=-x 0)12(532=++x x04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=-20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x2、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2-=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（）A △=MB △＞MC △＜MD 大小关系不能确定3、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______4、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______5、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________6、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________7、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________8、已知,)21(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 9、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？10、关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。
11、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________12、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______13、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程14、已知关于x 的一元二次方程0322)1(22=+--+-k k x x k 的一个根为零，求k 的值15、若a 是方程0132=+-x x 的根，求1325222++--a a a 的值。
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.2．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程难题、易错题1.一元二次方程已知关于x的方程mx^2-3(m-1)x+2m-3=0，求证：m取任何实数时，方程总有实数根。
解析：根据一元二次方程的判别式，当判别式大于等于0时，方程有实数根。
将方程化简得到 mx^2-(3m-3)x+2m-3=0，判别式为 (3m-3)^2-8m(m-1) = m^2-2m+1 = (m-1)^2 ≥ 0，因此对于任何实数m，方程都有实数根。
已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+1=0有两个相等的实数根，求ab^2-22(a-2)+b-4的值。
解析：由于方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的求根公式，可得到 b^2-4ac=0，即 b^2-4a=0.将b^2-4a代入ab^2-22(a-2)+b-4中，得到 ab^2-22(a-2)+b-4 = ab^2-22b+44+b-4 = ab^2-21b+40 = (ab-16)(b-5)。
因此，要求的值为(ab-16)(b-5)。
2.方程的实数根1）已知关于x的方程2x^2+kx-1=0，求证：方程有两个不相等的实数根。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
将2x^2+kx-1=0的判别式代入得到k^2+8 ≥ 0，即对于任何实数k，方程都有两个不相等的实数根。
2）若方程2x^2+3x+1=0的一个根是-1，求另一个根及k 值。
解析：由于方程的一个根是-1，则另一个根为 -1/2.将-1和-1/2代入方程得到两个方程：2-3+k=0和4+3/2+k=0，解得k=-11/2.3.三角形形状已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x^2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△XXX的形状。
解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知bc，b+c>a，a+c>b，因此△ABC是一个等腰三角形。
一元二次方程经典难题
1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根为2，求另一个根及的值。
2、已12x x 、知是方程22340x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求42241212**x x x x +的值。
3、已知关于x 的方程22(1)10x m x m --++=的两根满足关系式121x x -=，求的值及方程的两个根4、已知关于的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根12x x 、满足122+=m+1x x ，求的值。
5、122+=m+1x x ，12+=m-2x x ， 211*32x x m =-，求m 6、已知方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
7、已知关于的一元二次方程22(1)(1)10a x a x --++=两实根互为倒数，求a8、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
0、已知方程240x mx ++=和2(2)160x m x ---=一个相同的根，求的值及这个相同的根。
10，求23610x x -+-的最值11、已知a,b 是方程221140x x -+=的解，求22920a a b -+=的值12、关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k -++-=，实数在什么范围取值时①有正的实数根？②同号？13、解不等式x 2+3x-10<0 14、已知关于的一元二次方程01x 1()122=++--）（a x a 两实根互为倒数，求a 15、已知a 、b 是方程0522=-+x x 的两个实数根，求22a ab a ++的值。
16、已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
17、是否存在实数，使关于的方程9x 2-(4k-7)x+6k 2=0的两个实根x 1、x 2，满足123||2x x =，如果存在，试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。
一元二次方程难题精选
1，财政预计，三峡工程投资需2039亿元，由静态投资901亿元，贷款利息成本a 亿元，物价上涨价差(a +360)亿元三部分组成。
但事实上，因国家调整利率，使贷款利息减少了15.4％；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨价差减少了18.7％。
2004年三峡电站发电量为392亿度，预计2006年的发电量为573亿度，这两年的发电量年平均增长率相同。
若年发电量按此幅度增长，到2008年全部机组投入发电时，当年的发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量,以后每年发电量按最高发电量计算。
从2009年，将三峡电站和葛洲坝电站的发电收益全部用于返还三峡工程投资成本。
葛洲坝年发电量为270亿度，国家规定电站出售电价为0.25元/度。
（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？（结果精确到1亿元）（2）大约到哪一年可以收回三峡工程的投资成本？3，已知方程()011996199419952=-∙-x x 的较大根是r ，0199519942=-+x x 的较小值是s ，求s r -的值。
1．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，•某城市到2006•年要将该城市的绿地面积在2004•年的基础上增加44%，同时，要求该城市到2006年人均绿地的占有量在2004年基础上增加21%，•为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%）1．解：设2004年城市的人口总量为m ，绿地面积为n ，•这两年该城市人口的年平均增长率为x ，由题意，得2(144%)(1)n m x nm++=1+21%，整理，得（1+x ）2=1.44 1.2,11.21 1.1x +=±． ∴x 1=21239%,1111x ≈=-（舍去）．设m 为整数，且4<m<40，方程x 2－2（2m －3）x+4m 2－14m+8=0有两个整数根，求m 的值． 分析：由△=b 2－4ac ，得△=4（2m －3）2－4（4m 2－14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4<m<40，∴9<2m+1<81，∴2m+1=16，25，36或49，∵m 为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m 为12，或24．17.如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm,P 、Q 、M 、N 分别从A 、B 、C 、D 出发沿AD 、BC 、CB 、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=xcm(x ≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=2x cm.(1)当x 为何值时，以PQ 、MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）得一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求出x的值。
九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大)
九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大）一、选择题：1、若关于x的方程2x m－1＋x－m＝0是一元二次方程,则m为（）A．1 B．2 C．3 D．02、一元二次方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（)A．3，﹣4，﹣2 B．3,﹣2，﹣4 C．3，2，﹣4 D．3，﹣4，03、已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为（)A．0 B．1 C．2 D．44、一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤15、已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b,则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣26、下列对方程2x2－7x－1＝0的变形，正确的是( )A．（x＋)2＝ B．（x－）2＝C．(x－)2＝ D．(x＋)2＝7、一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根8、关于x的方程（m﹣1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＜2 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠29、用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为（）A．(x＋1）2＝6 B．(x－1)2＝6 C．（x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 10、根据下面表格中的对应值：x 3。
23 3.24 3.25 3。
26ax2＋bx＋c －0。
06 －0.02 0.03 0.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a,b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3。
23＜x＜3.24 C．3。
24＜x＜3。
25 D．3.25＜x＜3。
26 11、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-10x+21=0的根，则该三角形的周长为 ( ） A．14 B．10 C．10或14 D．以上都不对12、关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种二、填空题：13、一元二次方程的一般形式是，其中一次项系数是．14、关于x的方程（m﹣2）x|m｜+3x﹣1=0是一元二次方程,则m的值为．15、若x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一个解，则方程的另一个解是．16、若关于x的一元二次方程（m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,则m的值等于_______．17、关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是．18、已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根,则2m2－4m＝______．19、若一元二次方程x2－2x－m=0无实数根，则一次函数y=(m＋1）x＋m－1的图像不经过第象限20、若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．三、计算题：21、3x2＋x－5＝0；(公式法) 22、x2＋2x－399＝0。
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.2．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月801513． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵a b）2=a﹣ab b≥0∴a+b ab a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25． 【解析】 【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x ⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0． ∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x+的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x=，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】 【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值． 【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2． ∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.。
一元二次方程20道题
一元二次方程20道题一、基础型题目1. 有一个一元二次方程，你能找出这个方程的两个根吗？就像找藏在树洞里的小松鼠一样哦。
2. 方程，这就像一个神秘的小盒子，你得打开它找到里面的答案（也就是方程的根）呢。
3. 对于一元二次方程，先把它化简一下，再求根呀，就像给小宠物梳理毛发一样，先整理好再找问题的关键。
4. 一元二次方程，这个方程看起来很简洁呢，快把它的根找出来，就像从简单的迷宫里找到出口一样容易。
5. 看这个方程，你可以先提取公因式，然后再求解，就像拆礼物一样，一层一层来。
6. 方程，想象你是一个小侦探，要找到让这个方程成立的那些数字（根）哦。
7. 一元二次方程，这个方程就像一个等待被解开的小谜题，你能解开它求出根吗？8. 对于，你得想办法把这个方程破解了，找到那两个能让等式成立的神秘数字（根）呀。
9. 方程，它在向你求救呢，快用你的数学魔法把它的根找出来吧。
10. 一元二次方程，就像走在一条有宝藏（根）的小路上，你要找到那些宝藏哦。
二、稍复杂型题目（含系数不是1的二次项或者配方相关）11. 看这个有点难的一元二次方程，你要像超级英雄一样克服困难求出它的根哦。
12. 方程，这就像一个复杂的拼图，你得把每一块（通过求根的步骤）都放对位置呢。
13. 对于一元二次方程，这个方程可是可以用配方的方法轻松求解的哦，就像给蛋糕做漂亮的装饰（配方）然后再享用（求出根）。
14. 一元二次方程，这个方程看起来有点棘手，不过你要是掌握了配方或者求根公式就没问题啦，就像掌握了魔法咒语一样。
15. 方程，你要想办法把这个方程的根找出来，就像在茂密的森林里找到特定的花朵一样。
16. 对于，先把方程化简一下再求根，就像给杂乱的房间先收拾一下再找东西一样。
17. 一元二次方程，这个方程很适合用配方来求解呢，就像给小机器人调整零件（配方）让它正常运转（求出根）。
18. 方程，你得动动脑筋，是用求根公式还是先化简再求根呢？就像选择走哪条路去远方（求出根）。
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一元二次方程经典考题难题
用适当的方法解下列方程
16)5(42=-x 0)12(532=++x x
04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x
9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x
0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x
6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=-
20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2-=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（）
A △=M
B △＞M
C △＜M
D 大小关系不能确定
2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______
3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______
4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________
5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________
6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________
7、已知,)2
1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？
9、关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。
10、已知012=--x x ，则200922
3++-x x 的值为__________
11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______
12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程
13、已知关于x 的一元二次方程0322)1(22=+--+-k k x x k 的一个根为零，求k 的值
14、若a 是方程0132=+-x x 的根，求1325222++
--a a a 的值。
15、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长时方程03522=+-x x 的根，求三角形的周长。
16、已知直角三角形的两条边长分别是方程048142
=+-x x 的两根，求此三角形的第三边长。
18已知等腰三角形的边长x 满足)3()3(22-=-x x x ，求这个等腰三角形的周长。
19、先用配方法说明7422+-x x 的值总大于0，再求出当x 为何值时，代数式7422+-x x 的值最小，最小值是多少。
20、已知实数x ，y 满足2496322-=++x y xy x ，试求x ，y 的值。
21、已知关于x 的方程0142
=+-mx mx 有两个相等的实数根，求m 的值。
22若一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根，求k 的最小整数值。
23、已知31-是方程022=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值
24、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足式子)300(436.21.02≤≤++-=x x x y
（1）第几分钟时，学生的接受能力能达到59？
（2）你知道学生的最大接受能力是多少吗？。