一元二次方程难题集锦讲解学习
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.2．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲
一元二次方程（考题猜想，15种题常考题型）➢直接开平方➢配方法➢因式分解法➢公式法➢用适当的方法解方程➢含绝对值的一元一次方程➢换元法➢判断一元二次方程根的情况➢确定字母的取值或范围➢根与系数关系的综合应用➢与几何图形的综合应用➢储蓄问题➢行程问题➢工程问题➢进制问题一．直接开平方（共3小题）1.（23-24九年级上·吉林长春·期中）方程260x -=的解是（ ）A．12x x ==B．1x =2x =C ．126x x ==D ．16x =，26x =-2.（23-24九年级上·广东韶关·期中）一元二次方程260x -=的根为 .3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：()22910x x --=．二．配方法（共3小题）4.（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程2610x x --=配方后可变形为（ ）A ．2(3)8x -=B ． ()2310x -=C ．2(3)8x +=D ．2(3)10x +=【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．【详解】解：2610x x --=Q ，261x x \-=，26919x x \-+=+，()2310x \-=，故选：B ．5.（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程2810x x ++=时，则方程需变形为()24x += ．【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【详解】解：∵2810++=，x x∴281+=-，x x∴2816116++=．x xx x++=-+，即281615故答案为：156．（23-24九年级上·福建福州·期中）解方程：(1)()224x-=(2)213-=x x三．因式分解法（共3小题）7.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x 满足()()222616=0x x x x +-+-，则2x x +的值为（ ）A ．8B ．2-C ．8或2-D ．8-或2【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，把2x x +看成一个整体，利用因式分解法解方程即可．【详解】解：()()2226160x x x x +-+-=，因式分解得，()()22820x x x x +-++=，∴280x x +-=，220x x ++=，∴28x x +=，22x x +=-（满足此式实数不存在，舍去），故选：A ．8.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程232x x =的根为 ．9．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解下列方程(1)2350x x -=(2)2314x x+=四．公式法（共3小题）10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）x）A．2x x2310-+=2310x x++=B．2C．22310x x+-=+-=D．22310x x-的值互为相反数，那么x的值为．2x12．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程．(1)2--=；2510x x2五．用适当的方法解方程（共3小题）13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：(1)22410x x -+=（公式法）(2)2926x x -=+（因式分解法）14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程：(1)2540x x -+=；(2)2(1)40x +-=．【答案】(1)11x =，24x =(2)11x =，23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【详解】（1）2540x x -+=，(1)(4)0x x --=，10x \-=或40x -=，解得：11x =，24x =；（2）2(1)40x +-=，2(1)4x +=，12x +=或12x +=-，解得：11x =，23x =-．15.（22-23九年级上·山东济宁·期中）（1）解方程：()24190x --=；（2）解方程：2420x x --=．六．含绝对值的一元二次方程（共2小题）16.（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：2560x x --=．解：分两种情况：（1）当0x ³时，原方程可化为：2560x x --=，解得16x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为：2560x x +-=，解得16x =-，21x =（舍去）．综上所述：原方程的解是16x =，26x =-．任务：请参照上述方法解方程：220x x --=．【答案】12x =，22x =-【分析】分两种情况讨论∶ 当0x ³时，当0x <时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当0x ³时，原方程可化为220x x --=解得：12x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为220x x +-=解得：12x =-，21x =（舍去）；∴综上所述，原方程的根是12x =，22x =-．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．17．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程22||30x x --=．解：①当0x ³时，原方程为2230x x --=，解得11x =-（与0x ³矛盾，舍去），23x =．②当0x <时，原方程为2230x x +-=，解得11x =（与0x <矛盾，舍去），23x =-．所以原方程的根是13x =，23x =-．在上面的解答过程中，我们对x 进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解方程：2||10x x --=．七．换元法（共3小题）18.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于x 的方程()20a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ¹），则方程()220a x m b +++=的解是（ ）A ．10x =，21x =-B ．10x =，23x =C ．14x =-，21x =-D ．14x =，23x =19.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若()()2222260x y x y +-+-=，则22x y +的值为．【答案】3【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将22x y +看成一个整体计算即可．【详解】解：设22z x y =+，原方程为：260z z --=，解得123,2z z ==-，Q 220³+x y ，223x y \+=．故答案为：3．20．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=…①，那么原方程可化为2540y y -+=，解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =，故原方程的解为1x =，2x =3x =4x =以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：()()22260x x x x +++-=八．判断一元二次方程根的情况（共3小题）21．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）关于x 的一元二次方程2810x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：2810x x +-=∵()2248411680b ac --D ==´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．22.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程26100x x +=-根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．【答案】没有【分析】此题考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的判别式24b ac D =-判断方程的根的情况即可，熟练掌握方程的判别式24b ac D =-，当0D >时方程有两个不相等的实数根，当0D =时方程有两个相等的实数根，当0D <时方程无实数根．【详解】解：()2246411040b ac D =-=--´´=-<，∴方程没有实数根，故答案为：没有23.（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k 取何值，关于x 的方程()2310k x kx -++=恒有实数根所以方程有两个不相等的实数根，所以不论k 取何值，方程总有实数根九．确定字母的取值或范围（共3小题）24.（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，则k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【答案】D【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程20ax bx c ++=（0a ¹）的根与24b ac -有如下关系：①当240b ac ->时，方程有两个不相等的两个实数根；②当240b ac -=时，方程有两个相等的两个实数根；③当240b ac -<时，方程无实数根．根据关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根可知240b ac -=，求出k 即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，\2(4)40k D =--=，解得：4k =．故选：D ．25.（21-22九年级上·天津滨海新·期中）若关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个实数根，则c 的取值范围为 ．26.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x 的方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．求实数m 的取值范围．十．根与系数关系的综合应用（共3小题）27.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数a ，b 满足 23510a a +-=，2530b b --=，且1ab ¹，则ab的值为（ ）A ．53-B ．1-C ．3-D ．13-28.（22-23九年级上·四川内江·期中）如果m n 、是两个不相等的实数，23m m -=，23n n -=，那么代数式2222021n mn m -++ ．【答案】2032【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键．由题意得m ，n 是230x x --=的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：2226n n -=，1m n +=，3=-mn ，变形2222021n mn m -++，为222222021n n mn m n --+++，代入求解即可．【详解】mn Q 是两个不相等的实数，且满足2233m m n n -=-=，，mn \是方程230x x --=的两根，2226n n \-=，1m n +=，3=-mn ，2222021n mn m \-++222222021n n mn m n =--+++6322021=+++2032=．故答案为：2032．29.（23-24九年级上·山西临汾·期中）已知关于x 的一元二次方程()2931104kx k x k -+++=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使得两根互为相反数．若存在，求出此时k 的值，若不存在，请说明理由．十一．与几何图形的综合应用（共4小题）30.（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程21090-+=，则x x此三角形的周长是()A．11B．19C．20D．11或1931.（20-21九年级上·四川凉山·期中）已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程22860x x -+=，则这个等腰三角形的周长为，【答案】7【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【详解】解：22860x x -+=Q ，(1)(3)0,x x \--=解得：1x =或3x =，∵等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，∴当1是等腰三角形的腰时，113+<，不能组成三角形，舍去；当3是等腰三角形的腰时，133+＞，则这个三角形的周长为1337++=．故答案为：7.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程．解题的关键是注意分类讨论思想的应用32．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰ABC V 的两边长是关于x 的一元二次方程()()21210x k x k -++-=的两个实数根．(1)当5k =时，求ABC V 的周长．(2)若ABC V 为等边三角形，求k 的值．【答案】(1)10(2)3k =【分析】（1）将5k =代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解；（2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到240b ac D =-=，求解即可．【详解】（1）解：当5k =时，一元二次方程为2680x x -+=，解得2x =或4x =．∴ABC V 是等腰三角形，∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去），∴ABC V 的周长44210=++=．（2）∵ABC V 为等边三角形，∴方程有两个相等的实数根，∴()()()22222418121886930b ac k k k k k k k k -=-+--=++-+=-+=-=éùëû，解得3k =．【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．33．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x 的一元二次方程()()220b c x ax b c +-+-=，其中a ，b ，c分别为ABC V 三边的长．(1)已知1x =是方程的根，求证：ABC V 是等腰三角形；(2)如果ABC V 是直角三角形，其中90B Ð=°，请你判断方程的根的情况，并说明理由．十二．储蓄问题（共2小题）34.（21-22九年级上·广西河池·期中）王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（ ）A ．5%B ．20%C ．15%D ．10%【答案】D【分析】设年利率为x ，根据“两年后的定期本息=本金´（1+年利率）2”建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年利率为x ，由题意得：()2500016050x +=，解得120.110%, 2.10x x ===-<（不符题意，舍去），即年利率为10%，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．35.（22-23九年级上·广东佛山·期中）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为 ．【答案】24001484x +=（）【分析】本题为复利问题，一般形式为21a x b +（）＝，如果设年利率为x ，那么根据题意可得出方程．【详解】解：设年利率为x ，则根据公式可得：24001484x +=（）；故答案为：24001484x +=（）．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式21a x b +（）＝，其中a 是变化前的原始量，b 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率十三．行程问题（共3小题）36.（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为212s at =，如 果飞机起飞前滑行距离750m ，其中215m/s a =，则飞机起飞的时间t = s ．故答案为：10．37．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s v t =×．现有一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5m 1.41»）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2)小球滚动5m 约用了1.2秒【分析】（1）根据以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动5m 约用了x 秒，由时间´速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少()54 1.25m/s ¸=，十四．工程问题（共1小题）39.（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A 点平均每人采样720份，B 点平均每人采样700份．(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现，B 点每减少1名医护人员，人均采样量增加份，A 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点？【答案】(1)A 检测队有6人，B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】（1）设A 点有x 名医护人员，B 点有y 名医护人员，根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x ，y 的且当天共采样9220份，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点，则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m 的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人，依题意得：137207009200x y x y +=ìí+=î，分解得：67x y =ìí=î答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样()70010m +人，依题意得：()()()72067001079360m m m +++-=，解得：29140m m -+=，解得：12m =，27m =，由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则7m <故2m =，答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程十五．进制问题（共1小题）40（22-23九年级上·河北保定·期中）第十四届国际数学教育大会（-14ICME ）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021´+´+´+´=，表示-14ICME 的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；（2）小华设计了一个n 进制数120，则n 的值为．【答案】 2022 9【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以08，18，28，38，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n 进制数和十进制数的计算方法得到关于n 的方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）3210374638784868=´+´+´+´1536448326=+++2022=．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：21043120n n n +´+´=，解得19n =，213n =-（舍去）．故n的值是9．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．。
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程难题、易错题1.一元二次方程已知关于x的方程mx^2-3(m-1)x+2m-3=0，求证：m取任何实数时，方程总有实数根。
解析：根据一元二次方程的判别式，当判别式大于等于0时，方程有实数根。
将方程化简得到 mx^2-(3m-3)x+2m-3=0，判别式为 (3m-3)^2-8m(m-1) = m^2-2m+1 = (m-1)^2 ≥ 0，因此对于任何实数m，方程都有实数根。
已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+1=0有两个相等的实数根，求ab^2-22(a-2)+b-4的值。
解析：由于方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的求根公式，可得到 b^2-4ac=0，即 b^2-4a=0.将b^2-4a代入ab^2-22(a-2)+b-4中，得到 ab^2-22(a-2)+b-4 = ab^2-22b+44+b-4 = ab^2-21b+40 = (ab-16)(b-5)。
因此，要求的值为(ab-16)(b-5)。
2.方程的实数根1）已知关于x的方程2x^2+kx-1=0，求证：方程有两个不相等的实数根。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
将2x^2+kx-1=0的判别式代入得到k^2+8 ≥ 0，即对于任何实数k，方程都有两个不相等的实数根。
2）若方程2x^2+3x+1=0的一个根是-1，求另一个根及k 值。
解析：由于方程的一个根是-1，则另一个根为 -1/2.将-1和-1/2代入方程得到两个方程：2-3+k=0和4+3/2+k=0，解得k=-11/2.3.三角形形状已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x^2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△XXX的形状。
解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知bc，b+c>a，a+c>b，因此△ABC是一个等腰三角形。
中考数学一元二次方程组（大题培优易错难题）附答案解析
中考数学一元二次方程组（大题培优易错难题）附答案解析中考数学一元二次方程组(大题培优易错难题)附答案解析一、一元二次方程1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12PB?QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x13x2=13【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1，x2=13．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．4．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．5．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝，∴x1＝2，x2＝26．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），。
一元二次方程的重难点及题型
一元二次方程的重难点及题型【重难点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【思路点拨】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【题型】①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x+3＝1/x属于分式方程，故错误；⑤√x+1＝x﹣1属于无理方程，故错误；故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
【重难点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【题型】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，得m²﹣9＝0，解得m＝﹣3或3，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念【重难点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤【思路点拨】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【重难点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．【题型】（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；（2）由题意知a＝3，则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac的关系是解答此题的关键．【重难点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂。
专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训(解析版)
专题01一元二次方程的解法重难点题型专训【题型目录】题型一用直接开方法解一元二次方程题型二用配方法解一元二次方程题型三用公式法解一元二次方程题型四用因式分解法解一元二次方程题型五用换元法解一元二次方程题型六根据判别式判断一元二次方程根的情况题型七根据一元二次方程根的情况求参数题型八配方法的应用【经典例题一用直接开方法解一元二次方程】【解题技巧】开平方法：对于形如n x 2或)0()(2 a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x 2的方程的解法：当0 n 时，n x ;当0 n 时，021 x x ;当0 n 时，方程无实数根。
【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程 20ax b ab 的两根分别是1m 和23m ，则ba的值为（）A ．16B ．259C ．25D ．259或25【答案】B【分析】直接开平方得到：bx a，得到方程的两个根互为相反数，所以1230m m ，解得23m ，则方程的两个根分别是153x ，253x ，则有53b a ，然后两边平方即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程2ax b 的两个根分别是1m 与213m ，且bx a，∴1230m m ，解得：23m ，即方程的根是：153x ，253x ，∴2259b b a a，故选：B ．【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程2(0)ax b ab ＝的两根互为相反数是解题关键．【变式训练】1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程22(1)3x 的解（）A ．12x ，23x B ．132x ，232x C ．1612x，612x D ．1612x，2612x 【答案】C【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解： 2213x ，2312x，612x，解得，1612x ，2612x ，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有： 20x a a ；2ax b （a b，同号且0a ）； 20x a b b ； 2( a x b c a c ，同号且0)a ．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，已知AOB 的面积等于16，则b 的值为______．【答案】8【分析】依据题目求出1,02A b， 0,B b ，再根据AOB 的面积等于16，即可得出答案．【详解】当0y 时，02x b∴12x b ，∴1,02A b，当0x 时，y b ∴ 0,B b ，∵直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，∴12OA b ，OB b∵AOB 的面积等于16，∴ 111622b b，解得：8b ，8b （不合题意，舍去）．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了一次函数与x 轴、y 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一次函数与x 轴、y 轴的交点的求法是解题的关键．3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程： 2222x a a ab b ．【答案】12x a b ，2x b ．【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解： 22x a a b ，∴ x a a b ，∴x a a b 或 x a a b ，解得：12x a b ，2x b ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程．【经典例题二用配方法解一元二次方程】【解题技巧】配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x 2)(的方程，再运用开平方法求解。
完整版)一元二次方程难题集锦
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1.已知方程$x^2-x-1=0$的两个实数根为$\alpha$和$\beta$，则代数式$\alpha^2+\alpha(\beta^2-2)$的值为
2.
2.已知一元二次方程$2x^2-2x+3m-1=0$的两个实根为
$x_1$和$x_2$，且满足不等式$x_1<x_2$，则实数$m$的取值
范围为：
3.若$a$、$b$为质数，且方程$a^2-13a+m=0$和$b^2-
13b+m=0$有相同的实数根，则：
4.在直角三角形$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$a$、$b$、$c$分别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边，$a$、$b$是关于$x$的方程$x^2-7x+c+7=0$的两根，则$AB$边上的中线长为：
5.已知方程$x^2+(m-1)x+m-2=0$的两个实数根之和为5，
则$m$的值为：
6.在直角三角形$\triangle ABC$中，$CD$为斜边上的高线，$AD$、$BD$为方程$x^2-6x+4=0$的两根，则$\triangle
ABC$的面积为多少？
7.设$a$、$b$、$c$为三个不同的实数，使得方程
$x^2+ax+1=0$和$x^2+bx+c=0$有一个相同的实数根，且方程$x^2+x+a=0$和$x^2+cx+b=0$也有一个相同的实数根，则
$a+b+c$的值为：
8.设$m$是不小于$-1$的实数，且方程$x^2+2(m-2)x+m^2-
3m+3=0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2$。
1）若$x_1^2+x_2^2=6$，求$m$的值；。
一元二次方程难题解析
一元二次方程难题解答 （一）1.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式)12)((2+--mm m m 的值是______ 解： m 是方程022=--x x 的一个根∴022=--m m 即22=-m m 0≠m 方程两边除以m 得： 021=--mm 12=-m m∴4)11(2)12)((2=+⨯=+--m m m m 2.已知a x =是方程0120162=+-x x 的一个根，求代数式12016140312222+-+-a a a a 的值解： a x =是方程0120162=+-x x 的一个根∴0120162=+-a a ∴120162-=-a a 或a a 201612=+12016140312222+-+-a a a a =aa a a a 2016201614032222-++-a a a a -++-=1)2016(22 3.关于m 的方程02722=--m n nm 的一个根为2，求22-+n n 的值。
解：由题意得：2=m 把2=m 代入方程得：022742=--n n整理得：01722=+-n n 方程两边除以n 得：0172=+-n n 721=+nn 方程两边平方得：281222=++nn 2622=+∴-n n 4.已知36)41(222=-+m m ，求m m 1-的值。
解： 36)41(222=-+m m 64122±=-+∴m m10122=+∴m m 或2122-=+∴mm （舍去）102)1(2=+-∴m m 即8)1(2=-m m 221±=-∴mm 5.用换元法解下列方程：解：设y x =-12，则原方程为032=-y y 0)3(=-y y 3021==∴y y当0=y 时，012=-x 1±=x 当3=y 时，312=-x 2±=x∴原方程的解为22114321-==-==x x x x6.设y x 、为实数，求542222+-++y y xy x 的最小值，并求出此时x 与y 的值。
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1.已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，则代数式α2+α（β2-2）的值为
2.已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式
，则实数m取值范围是；
（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是．
3..如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（）
A．B．或2 C．D．或2
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方
程x2﹣7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是（）
A．B．C．5 D．2
5.已知关于x的方程
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2．
6.CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根，则△ABC的面积
为多少?
7.设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，
并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．
8.
9.设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等
的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）求的最大值．。