一元二次方程难题、易错题
一元二次方程
已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132
=-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
（2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012
≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4
)2(222
-+-b a ab 的值。
2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-=
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．
3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.
例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2
2=+-+x a x a 有两个实数根.
例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,
求k 的取值范围.
例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-
≤k (B)04
9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222
()5()60x x x x ---+=，求x 的值
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x
m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2
B.m=2,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242
++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422
2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582
=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31
1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值；
⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
★★5、方程()()02
=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -
★★★6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。
例3、若()()2
221619+=-x x ，则x 的值为 。 例2、若()()044342
=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。 变式1：()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。 变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式3：若142=++y xy x ，282
=++x xy y ，则x+y 的值为 。 例3、方程062
=-+x x 的解为（ ） A.2321=-=，x x B.2321-==，x x C.3321-==，x x D.2221-==，x x
例4、解方程： ()
04321322=++++x x
例5、已知023222=--y xy x ,则y
x y x -+的值为 。 变式：已知02322
2=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。 例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式7422
2+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 013642
2=+-++为实数，求y x 的值。
★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+
x x x
x ，则=+x x 1 .
★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--+
+b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
例1、 已知0232=+-x x ，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。
例2、 如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3、 已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
例1、若关于x 的方程0122
=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程()0212
=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m
例3、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。
例4、已知二次三项式2)6(92
-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.
例5、m 为何值时，方程组???=+=+.
3,6222y mx y x
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .
★★4、k 为何值时，方程组?
??=+--+=.0124,22y x y kx y （1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
例1、关于x 的方程()03212
=-++mx x m ⑵ 两个实数根，则m 为 ,
⑵只有一个根，则m 为 。
例2、不解方程，判断关于x 的方程()322
2-=+--k k x x 根的情况。
例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92
=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(2
2=+++-x m x m 有实根。
四、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、
n 的值。
五、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4）
，并说明理由。