高考数学人教版一轮复习模拟试题附答案
高考数学人教版一轮复习模拟试题第I 卷一， 选择题：（本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。
1.已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则AB =(A) }{3,5 (B) }{3,6 (C) }{3,7 (D) }{3,9 2. 复数3223i i+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -3．设集合{}{}260,10P x x x Q x mx =+-==+=,若Q P ⊆，则实数m 可取不同值的个数是( ). A ．2 B.3 C.4 D .5.4.对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关5.有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+=其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p 6.定义在R 上的偶函数0)(log ,0)21(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合为A ．),2()21,(+∞⋃-∞B ．)2,1()1,21(⋃C ．),2()1,21(+∞⋃ D ．),2()21,0(+∞⋃7.已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数()4+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f >8.如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于 （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.59.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值。
设{}()min 2,2,10xf x x x =+- (x ≥0),则()f x 的最大值为 （A ） 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 710.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,19}的“孪生函数”共有 A ．4个 B ．8个 C ．9个 D ．12个第II 卷二 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
11．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的 . 12．当54x >，14245y x x =-+-的最小值是 . 13.0,0x y >>，且911xy+=，则x y +的最小值为 . 14.不等式x x 3212-<-的解集为 。
15.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的一段图象过点()0,1，如图所示,函数()f x 的解析式___ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知全集}.125|{},2)3(log |{,2≥+=≤-==x x B x x A U 集合集合R （1）求A 、B ； （2）求.)(B A C U ⋂ 17．已知幂函数3()p y xp N -+=∈的图象关于y 轴对称，且在),0(+∞上是减函数，求满足33(1)32)p p a a +-<(的a 的取值范围．18．（13分）设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值．19．定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，3()91x x f x =+。
111π125π12-π12oyx⑴求()f x 在[]2,2-上的解析式；⑵判断()f x 在()0,2上的单调性，并给予证明； ⑶当λ为何值时，关于方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解？ 20．(1) 设函数)(21)(R x x x g ∈-=，且数列}{n c 满足1c = 1，)(1-=n n c g c (n ∈N ，1>n )；求数列}{n c 的通项公式．(2)设等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且827643b b a b b a +++ 52=，721++=n An T S n n ， 62=S ；求常数A 的值及}{n a 的通项公式． 21．已知函数22)(,ln )(-==x x g x x f ．（1）试判断2()(1)()()F x x f x g x =+-在),1[+∞上的单调性；（2）当0a b <<时，求证函数))((b x a x f ≤≤的值域的长度大于22)(2b a a b a +-（闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m ）．D C B C A D D B C C11.必要不充分条件 12.5， 13.16 14.3(,)5-∞ 15.()2sin(2)6f x x π=+16. 解：（1）由已知得：⎩⎨⎧>-≤-∴≤-,03434log )3(log 22x x x解得}.31|{,31<≤-=∴<≤-x x A x由.32,02,0)3)(2(,125≤<-≠+≤-+≥+x x x x x 解得且得 }.32|{≤<-=∴x x B（2）由（I ）可得}.31|{≥-<=x x x A C U 或故}.312|{)(=-<<-=⋂x x x B A C U 或17.解：由幂函数3()p y x p N -+=∈在),0(+∞上是减函数，得30p -<，即3p <； 又幂函数3()p y x p N -+=∈的图象关于y 轴对称，∴3p -为偶数，∴正整数p=1. 所以不等式33(1)32)pp a a +-<(即为1133(1)32)a a +<-（；又因为103>， 所以132a a +<-，解得23a <；故a 的取值范围是)32,(-∞． 18.解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A φ=⊆得，当1m =时，{}1B =-，符合B A ⊆； 当1m ≠时，{}1,B m =--， 而B A ⊆，∴2m -=-，即2m = ∴1m =或219．解：⑴当20x -<<时，3302,(),9191x xxx x f x --<-<-==++ 又()f x 为奇函数，3()()19xxf x f x ∴=--=-+， 当0x =时，由(0)(0)(0)0f f f -=-⇒=()f x 有最小正周期4，(2)(24)(2)(2)(2)0f f f f f ∴-=-+=⇒-==12()(),()f x f x f x ∴>∴在()0,2上为减函数。
⑶即求函数()f x 在[]2,2-上的值域。
当()0,2x ∈时由⑵知，()f x 在()0,2上为减函数，91(2)()(0)822f f x f ∴=<<=， 当()2,0x ∈-时，02x <-<，91()822f x ∴<-<， 19()(),282f x f x ⎛⎫=--∈-- ⎪⎝⎭当{2,0,2}x ∈-时，()0f x =()f x ∴的值域为{}1991,0,282822⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭λ∴∈{}1991,0,282822⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时方程方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解。
20.解：(1) 由题意：)1(211-=-n n c c ，变形得：)1(2111+=+-n n c c ， （1分） ∴数列}1{+n c 是以21为公比，211=+c 为首项的等比数列. （3分） ∴1)21(21-⋅=+n n c ，即1)21(2-=-n n c ． （5分）(2) ∵由等差数列}{n a 、}{n b 知：573582642,2a a a b b b b b =+=+=+；∴由52827643=+++b b a b b a 得：5255=b a ， （6分）∴52929255919199==⨯+⨯+=b a b b a a T S ，∵721++=n An T S n n ，∴5279219=+⨯+A ，解得1=A ；（8分） ∴)72()1(721++=++=n n n n n n T S n n ，n S 和n T 分别是等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和； ∴可设)72()1(+=+=n kn T n kn S n n ，； ∵62=S ， ∴1=k ，即n n S n +=2. （10分） 当1=n 时，211==S a ，当n ≥2时，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[(221=-+--+=-=-. 综上得：n a n 2=. （12分）21.解：（1）∵22()(1)()()(1)ln (22)F x x f x g x x x x =+-=+--， （1分）∴xx x x x x x x x F 22)1(ln 221)1(ln 2)(-+=-⋅++='， （2分）∴1>x 时0)(>'x F ，1=x 时0)(='x F ；∴函数)(x F 在),1[+∞上为增函数． （4分） （2）由（1）知1,()(1),(1)0,()0x F x F F F x >>=∴>当时又； （6分）即0)22(ln )1(2>--+x x x ， ∴122ln 2+->x x x （﹡） （8分）令a b x =， ∵0a b <<， ∴1>ab， （9分）∴由（﹡）式得1)(22ln 2+-⋅>ab a b ab ，即为22222ln ln b a a ab a b +->-； （10分）∵函数)(ln )(b x a x x f ≤≤=的值域为]ln ,[ln b a ，∴函数))((b x a x f ≤≤的值域的长度为a b ln ln -，∴函数))((b x a x f ≤≤的值域的长度大于22)(2ba ab a +-． （13分）。
【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案
教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)1．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )A．2 B．2 3C．4 D．4 3答案D解析∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c ＝4.故选D.2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1答案A解析圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.又e＝＝，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.3．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是( )A. B. 3C. D.13答案A解析因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝.4．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )A．3 B．3或253C. D.或5153答案B解析若焦点在x轴上，则有∴m＝3.若焦点在y轴上，则有∴m＝.5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．6．(20xx·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线－＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A. B.45C. D.34答案B解析因为双曲线的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a ＝10⇒a＝5，则c＝＝4，e＝＝，故选B.7．(20xx·广东广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )A. B.13C. D.33答案D解析设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.由勾股定理，得|F1F2|＝|PF1|2－|PF2|2＝|PF2|.由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝.所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.故选D.8．(20xx·河北邯郸一模)已知P是椭圆＋＝1(0<b<5)上除顶点外一点，F1是椭圆的左焦点，若|＋|＝8，则点P到该椭圆左焦点的距离为( ) A．6 B．4C．2 D.52答案C解析取PF1的中点M，连接OM，＋＝2，∴|OM|＝4.在△F1PF2中，OM 是中位线，∴|PF2|＝8.∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，解得|PF1|＝2，故选C.9．(20xx·北京海淀期末练习)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )A. B.332C. D.154解析由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，所以·＝y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，·的最大值为.故B正确．10．(20xx·河北唐山二模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )A．[，1) B．[，]C．[，1) D．[，1)答案C解析在椭圆长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.∴sinα＝≤sin45°＝，解得a2≤2c2，∴e2≥.即e≥.而0<e<1，∴≤e<1，即e∈[，1)．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x 轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．答案＋＝1解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.12．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足＝(＋)，则||＝________.解析设右焦点为F′，由＝(＋)知M为线段PF中点，∴||＝||＝(10－6)＝2.13．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．答案 3解析∵·＝0，∴⊥.∴||2＝||2－||2＝||2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝.14．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆＋＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值为________．答案10＋210解析显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为2a＋|A1B|＝2×5＋＝10＋2.15.如右图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．答案(1) (2)＋＝1解析(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.16．(20xx·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.答案(1) (2)a＝7，b＝27思路本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．(1)将M，F1的坐标都用椭圆的基本量a，b，c表示，由斜率条件可得到a，b，c的关系式，然后由b2＝a2－c2消去b2，再“两边同除以a2”，即得到离心率e的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF1F2是“焦点三角形”，则可利用△MF1F2的三边比值快速求解，有：|F1F2|＝2c，|MF2|＝2c×＝c，则|MF1|＝c，由此可得离心率e＝＝.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”，可得yM＝＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN|＝5|F1N|”为向量形式，可得到N的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a，b的值．解析(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则⎩⎨⎧－c －＝c ，－2y1＝2，即⎩⎨⎧x1＝－32c ，y1＝－1.代入C 的方程，得＋＝1.② 将①及c ＝代入②得＋＝1. 解得a ＝7，b2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝2.1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b ＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a ，又e ＝＝，即c ＝a ，∴a2－c2＝a2＝b2＝16. ∴a ＝5，△ABF2的周长为20.2．椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A. B.22C. D.34答案 A解析 由d1＋d2＝2a ＝4c ，∴e＝＝.3．设e 是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，)C ．(0,3)∪(，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析 当k>4时，c ＝，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c ＝， 由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.4．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y ＝k(x ＋)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k(x ＋)过定点N(－，0)，而M ，N 恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当||最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)＋＝1 (2)1≤m≤4解析 (1)由题意知 解之得⎩⎨⎧a2＝16，b2＝12.∴椭圆方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，且＋＝1， ∴||2＝(x0－m)2＋y 20 ＝x －2mx0＋m2＋12(1－) ＝x －2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．∴||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，||2最小，∴4m≥4，∴m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m≤4.。
2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)(含答案)
2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{}0，1，3，5，6，8 ，A ＝{}3，5，8 ，B ＝{}2 ，则()∁U A ∪B ＝( ) A ．{}0，1，2，6 B ．{}0，3，6 C ．{}1，2，5，8 D ．∅2．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－23．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法( )A ．6B ．12C ．18D ．24 4.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一．传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中，就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为8 cm ，圆柱部分高度为6 cm ，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm 3的木质材料做成，其总质量为70 g ，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为( )A ．2.2 cmB ．2.4 cmC ．2.6 cmD ．2.8 cm5．从边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个点，其中这4个点中任意两点间的距离都相等的概率为( )A ．15B ．17C ．335D ．1356．2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：h ＝m ·a t .若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果四舍五入取整数)( )A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天7．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的一点，则AP → ·AB →的取值范围是( ) A ．[2，6] B ．[2，4] C ．(2，4) D ．(0，4)8．已知定义在R 上的奇函数f ()x 满足f ()π＋x ＝f ()－x ，当x ∈()0，π 时，f ()x ＝sin xx 2－πx ＋π，则下列结论正确的是( )A ．π是函数f ()x 的周期B ．函数f ()x 在R 上的最大值为2C ．函数f ()x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上单调递减 D ．方程f ()x －12＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为3π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线的方程为x 216 －y 29＝1，则下列说法正确的是( )A ．焦点为(±7 ，0)B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0C ．离心率e ＝54D ．焦点到渐近线的距离为410．函数f ()x ＝A sin ()ωx ＋φ ()ω>0，A >0 的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2 B ．A ＝6C ．φ＝－π4D ．f ()0 ＝－311．已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则( ) A ．e a －e b >1 B ．a e －b e <1C ．9a －1b≤4 D ．2log 2a －log 2b ≥212．下列命题中，说法正确的是( )A ．已知随机变量服从二项分布B (n ，p )，若D (X )＝20，E (X )＝30，则p ＝23B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ≤0)＝12－pD ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1).若(a ＋b )⊥(a －b )，则x ＝________．14．在各项都为正数的等比数列{}a n 中，已知0<a 1<1，其前n 项之积为T n ，且T 12＝T 6，则T n 取最小值时，n 的值是________．15．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数，则△MFN 的面积为________．16．过曲线y ＝x ＋1x(x >0)上一点P 作该曲线的切线l ，l 分别与直线y ＝x ，y ＝2x ，y 轴相交于点A ，B ，C .设△OAC ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1＝________，S 2的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C .(1)求角A 的大小．(2)若sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313，求tan B 的值．18．(12分)已知首项为32的等比数列{}a n 的前n 项和为S n (n ∈N *), 且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).19．(12分)华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查了100个2021年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30(1)龄有关？(2)若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．附：χ2＝n ()ad －bc 2()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()b ＋d .20．(12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，∠BAA 1＝60°，E 是棱BB 1的中点，CA ＝CB ，F 在线段AC 上，且AF ＝2FC .(1)证明：CB 1∥平面A 1EF ；(2)若CA ⊥CB ，平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，求二面角F A 1E A 的余弦值．21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－12，点D 在线段AB 上，且AD →＝13 AB → ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE ||OD | 是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝x e x .(1)求f (x )在x ＝－2处的切线方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＝a 有两个实根x 1，x 2，当－1e <a <－2e2 时，求证：|x 1－x 2|＜(e 2＋1)a ＋4.2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)1．答案：A解析：由题设知：∁U A ＝{0，1，6}，而B ＝{}2 ， ∴()∁U A ∪B ＝{0，1，2，6}．故选A. 2．答案：A解析：a －i1＋i ＝()a －i ·()1－i ()1＋i ·()1－i＝a －1－()a ＋1i 2 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1≠0 ，a ＝1.故选A.3．答案：C解析：从六科中选考三科的选法有C 36 ，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有C 33 ，因此考生的选考方法有C 36 －2C 33 ＝18种．故选C. 4．答案：A解析：由题可得该陀螺的总体积为700.7＝100 cm 3， 设底面半径为r ，则可得πr 2×6＋13 πr 2×()8－6 ＝100，解得r ＝ 15π≈2.2 cm.故选A.5．答案：D解析：从边长为1的正方体的8个顶点中选取4个点，共有C 48 ＝70种情况，满足4个点中任意两点间的距离都相等的有ACB 1D 1，BDA 1C 1这2种情况，所以4个点任意两点间的距离都相等的概率为135，故选D.6．答案：B解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧10%＝m ×a 1020%＝m ×a 20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝2，m ＝5%，∴50%＝5%×a t ， ∴a t＝10，即2t 10＝10，∴t ＝10log 210，∴t ≈33， 故选B. 7.答案：B解析：如图所示，D 为AB 的中点，AP → ·AB → ＝|AP → ||AB →|cos ∠BAP ，当P 在B 时，AP → 在AB →方向上的投影AB 最大， ∴(AP → ·AB →)max ＝2×2＝4，当P 在C 时，AP → 在AB →方向上的投影AD 最小， (AP → ·AB →)min ＝2×1＝2， ∴AP → ·AB →的取值范围是[2，4].8．答案：D解析：∵f ()x 是R 上的奇函数，∴f ()－x ＝－f ()x ，∵f ()π＋x ＝f ()－x ＝－f ()x ≠f ()x ，故π不是函数f ()x 的周期，且f ()x ＋2π ＝－f ()x ＋π ＝f ()x ，故2π是函数f ()x 的周期，故A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，y ＝sin x >0且单调递增，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递减，则f ()x 单调递增，故C 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π 时，y ＝sin x >0且单调递减，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递增，则f ()x 单调递减；且f ()0 ＝f ()π ＝0，又f ()x 是奇函数且周期为2π，∴f ()x max＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝44π－π2 ≠2，故B 错误；由f ()π＋x ＝f ()－x 可得f ()x 关于x ＝π2对称，方程f ()x －12 ＝0的根等价于y ＝f ()x 与y ＝12的交点的横坐标，根据f ()x 的单调性和周期可得，y ＝f ()x 与y ＝12 在()0，π 有两个关于x ＝π2 对称的交点，在()2π，3π 有两个关于x ＝5π2对称的交点，在()－2π，－π 有两个关于x ＝－3π2 对称的交点，所以方程f ()x －12＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为π2 ×2＋5π2×2＋⎝⎛⎭⎫－3π2 ×2＝3π，故D 正确．故选D.9．答案：BC解析：对A ，焦点为(±5，0)，故A 错误；对B ，渐近线方程为x 216 －y 29＝0⇒3x ±4y ＝0，故B 正确；对C ，e ＝c a ＝54，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为d ＝3×542＋32 ＝3，故D 错误；故选BC.10．答案：ABD解析：由已知，T 2 ＝8.5－6.5＝2，所以T ＝4＝2πω ，解得ω＝π2 ，所以f ()x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ . 又f ()8.5 ＝f ()0.5 ＝0，所以A sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ ＝0，则π4 ＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π4＋k π，k ∈Z ①. 又f ()5 ＝3 ，即A sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋φ ＝3 ，所以A cos φ＝3 ②.由①②可得A ＝6 ，所以f ()x ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π4 .故f ()0 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫－π4 ＝－3 .故选ABD. 11．答案：ACD解析：对A ，由a >0，b >0，且a －b ＝1可得a >b >0，则e a －e b ＝e b ()e a －b －1 ＝e b ()e －1 ，∵b >0，∴e b>1，又e －1>1，∴e b()e －1 >1，即e a－e b>1，故A 正确；对B ，令a ＝2，b ＝1，则a e －b e ＝2e －1>1，故B 错误；对C ，9a －1b ＝⎝⎛⎭⎫9a －1b ()a －b ＝10－⎝⎛⎭⎫9b a ＋a b ≤10－2 9b a ·a b ＝4，当且仅当9b a ＝a b时等号成立，故C 正确；对D ，2log 2a －log 2b ＝log 2a 2b ＝log 2()b ＋12b＝log 2⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋2 ≥log 2⎝⎛⎭⎫2 b ·1b ＋2 ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时等号成立，故D 正确．故选ACD.12．答案：BCD解析：A 选项：⎩⎪⎨⎪⎧np （1－p ）＝20np ＝30 ，两式相除得1－p ＝23 ，故p ＝13，故A 错误；B 选项：由D (aX ＋b )＝a 2D (X )知，当a ＝1时D (X ＋b )＝D (X )，故B 正确；C 选项：由ξ～N (0，1)可知P (ξ≤0)＝12，且P (ξ≤－1)＝P (ξ≥1)＝p ，所以P (－1<ξ≤0)＝P (ξ≤0)－P (ξ<－1)＝12 －p ，故C 正确；D 选项：P （X ＝k ）P （X ＝k ＋1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－kC k ＋110×0.8k ＋1×0.29－k ＝k ＋14（10－k ），P （X ＝k ）P （X ＝k －1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－kC k －110 ×0.8k －1×0.211－k ＝4（11－k ）k令⎩⎪⎨⎪⎧k ＋14（10－k ）≥14（11－k ）k ≥1 ，解得395 ≤k ≤445，又k ∈Z ，故k ＝8，故k ＝8时概率最大，故D 正确．故选BCD. 13．答案：±2解析：(a ＋b )＝(1＋x ，3)，(a －b )＝(1－x ，1)，(a ＋b )⊥(a －b )＝(1－x )(1＋x )＋3＝1－x 2＋3＝4－x 2＝0，所以x ＝±2. 14．答案：9解析：由T 12＝T 6得T 12T 6＝1，即a 7a 8a 9a 10a 11a 12＝()a 9a 10 3＝1故a 9a 10＝1，因为a 1a 18＝a 9a 10，则a 1a 18＝1，由于0<a 1<1，得a 18>1，所以等比数列{}a n 是递增数列，故0<a 9<1<a 10， 则T n 取最小值时，n ＝9. 15．答案：2解析：设∠MAF ＝θ，||AF ＝a ，||BF ＝b ，由抛物线定义可得||AM ＝a ，||BN ＝b ， 且180°－2∠AFM ＋180°－2∠BFN ＝180°，故∠AFM ＋∠BFN ＝90°， 故∠MFO ＋∠NFO ＝90°即MF ⊥NF .由余弦定理得||MF 2＝2a 2(1－cos θ)，||NF 2＝2b 2(1＋cos θ)，S △MAF ＝12 a 2sin θ，S △NBF ＝12b 2sin θ因为△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数， 所以有12 a 2sin θ·12b 2sin θ＝1，即a 2b 2sin 2θ＝4，所以(S △MFN )2＝(14 ||MF 2 ||NF 2)＝a 2b 2sin 2θ＝4，所以△MFN 的面积为2.16．答案：2 (0，2)解析：由y ＝x ＋1x ，得y ′＝1－1x 2 ，设P (x 0，x 0＋1x 0 )(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝1－1x 20，∴曲线在P 处的切线方程为y －x 0－1x 0 ＝(1－1x 20 )(x －x 0).分别与y ＝x 与y ＝2x 联立，可得A (2x 0，2x 0)，B (2x 0x 20 ＋1 ，4x 0x 20 ＋1 )，取x ＝0，可得C (0，2x 0 )，又O (0，0)，∴△OAC 的面积S 1＝12 ×2x 0 ×2x 0＝2；OA ＝4x 20 ＋4x 20 ＝22 x 0，点B 到直线x －y ＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 20 ＋1－4x 0x 20 ＋12 ＝2x 0x 20 ＋1 .∴△OAB 的面积S 2＝12 ×22 x 0×2x 0x 20 ＋1 ＝2x 20 x 20 ＋1 ＝21＋1x 20∈(0，2).17．解析：(1)因为b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C ， 所以由正弦定理，得b (b ＋c )＝a 2－c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0<A <π，故A ＝2π3 .(2)由(1)知，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3 ，则C －π6 ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6 . 因为sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313 ，所以cos ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝23913 ， 故tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝123因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－C ＝tan ⎣⎡⎦⎤π6－⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝tan π6－tan ⎝⎛⎭⎫C －π61＋tan π6tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝13－1231＋13×123＝37 .18．解析：(1)设等比数列{}a n 的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3 ＋ 2S 2 ＝4S 4－S 3，即2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3 ＝－12 ，又a 1＝32，所以等比数列{}a n 的通项公式为a n ＝32 ×(－12 )n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－(－12 )n ，所以S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12 n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n （2n ＋1），n 为奇数，2＋12n （2n －1），n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1 ＝136 ；当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2 ＝2512 ，故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.19．解析：(1)列联表χ2＝100×()12×36－24×28236×64×40×60＝2524 ≈1.042<2.706，所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关．(2)由9×1236 ＝3，9×2436 ＝6，即年轻用户抽取3人，非年轻用户抽取6人．所以X 所有可能的取值为0，1，2，3P ()X ＝0 ＝C 03 C 36 C 39 ＝521 ，P ()X ＝1 ＝C 13 C 26C 39 ＝1528 ，P ()X ＝2 ＝C 23 C 16 C 39 ＝314 ，P ()X ＝3 ＝C 33 C 06C 39＝184 ，所以X 的分布列为：所以E ()X ＝0×521 ＋1×1528 ＋2×314 ＋3×184 ＝1所以X 的数学期望值为1.20．解析：(1)连接AB 1交A 1E 于点G ，连接FG .因为△AGA 1∽△B 1GE ，所以AG GB 1 ＝AA 1EB 1＝2，又因为AF FC ＝2，所以AF FC ＝AGGB 1，所以FG ∥CB 1，又CB 1⊄平面A 1EF ，FG ⊂平面A 1EF ，所以CB 1∥平面A 1EF .(2)过C 作CO ⊥AB 于O ，因为CA ＝CB ，所以O 是线段AB 的中点．因为平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，平面CAB ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CO ⊥平面ABA 1.连接OA 1，因为△ABA 1是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以OA 1⊥AB .如图以O 为原点，OA → ，OA 1，OC →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，3 ，0)，C (0，0，1)，B (－1，0，0)，F (13 ，0，23)，由AA 1＝BB 1，得B (－2，3 ，0)，BB 1的中点E ⎝⎛⎭⎫－32，32，0 ，A 1E ＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，0 ，A 1F ＝⎝⎛⎭⎫13，－3，23 . 设平面A 1FE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1F ·n 1＝0A 1E ·n 1＝0 ，即⎩⎨⎧x 13－3y 1＋23z 1＝0－32x 1－32y 1＝0 ， 得方程的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3z 1＝5 ，即n 1＝(－1，3 ，5).平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2||n 1||n 2 ＝52929 ， 所以二面角F A 1E A 的余弦值为52929. 21．解析：(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝222c ＝2a 2＝b 2＋c 2 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1c ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1； (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由AD → ＝13 AB → 得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝2x 1＋x 23y 3＝2y 1＋y 23 ，设|OE ||OD | ＝λ，则结合题意可知，OE → ＝λOD → ，故E (λx 3，λy 3)，将点E (λx 3，λy 3)代入椭圆方程可得λ2⎝⎛⎭⎫x 23 2＋y 23 ＝1，即1λ2 ＝x 23 2 ＋y 23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2322 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1＋y 23 2， 整理可得，1λ2 ＝49 ⎝⎛⎭⎫x 21 2＋y 21 ＋49 ⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2 ＋19 ⎝⎛⎭⎫x 22 2＋y 22 ， 又∵点A ，B 均在椭圆上，且k OA ·k OB ＝－12 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21 2＋y 21 ＝1x 22 2＋y 22 ＝1k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－12 ， ∴λ＝355 ，即|OE ||OD | 为定值355. 22．解析：(1)∵f (x )＝x e x ，f (－2)＝－2e2 ，∴f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ′(－2)＝－1e 2 ， 故x ＝－2时的切线方程是y ＝－1e 2 (x ＋2)－2e 2 ， 即y ＝－1e 2 x －4e 2 ； (2)证明：由(1)知：f (x )在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，∵f (－1)＝－1e ，f (－2)＝－2e 2 ， 当－1e ＜a ＜－2e 2 时，方程f (x )＝a 有2个实根x 1，x 2，则x 1，x 2∈(－2，0)， 令g (x )＝f (x )＋1e 2 x ＋4e 2 (－2＜x ＜0)， 则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋1e 2 ， 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故g ′(x )在(－2，0)递增，故g ′(x )＞g ′(－2)＝0，故g (x )在(－2，0)递增，故g (x )＞g (－2)＝0，故g (x 1)＞0，故a ＝f (x 1)＝g (x 1)－1e 2 x 1－4e 2 ＞－1e 2 x 1－4e 2 ， 故－(e 2a ＋4)＜x 1，故x ∈(－2，0)时，x e x ＞x ，故a ＝f (x 2)＞x 2，故|x 1－x 2|＜a ＋e 2a ＋4＝(e 2＋1)a ＋4.。
2022版高考数学一轮复习练案56理+53文第八章解析几何第七讲抛物线练习含解析新人教版
第七讲 抛物线A 组基础巩固一、选择题1．(2021·某某某某质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M (2，m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为( D )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[解析]设抛物线的准线为l ，作MM ′⊥直线l 于点M ′，交y 轴于M ″，由抛物线的定义可得：MM ′＝MF ＝6，结合x M ＝2可知：M ′M ″＝6－2＝4，即p2＝4，∴2p ＝16，据此可知抛物线的方程为：y 2＝16x .选D ．2．(理)(2021·某某皖南八校联考)已知双曲线y 2a2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，且焦距为26，则抛物线y 2＝2bx 的准线方程为( B )A ．x ＝－3B ．x ＝－32 C ．y ＝－3D ．y ＝－32(文)(2021·某某某某期末)抛物线y ＝4x 2的准线方程是( A ) A ．y ＝－116B ．y ＝116C ．x ＝1D ．x ＝－1[解析](理)由题意a 2＝b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2622＝3，∴b ＝3.∴抛物线y 2＝2bx 的准线方程为x ＝－32.故选B ．(文)抛物线标准方程为x 2＝14y ，∴p ＝18，∴准线方程为y ＝－p 2，即y ＝－116，故选A ．3．(2021·某某八校联考)斜率为33的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，若直线l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，则p ＝( A )A ．12B ．8C ．10D ．6 [解析]抛笔线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 直线l 的方程为3y ＝x －p2，又直线l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－p 23＋1＝2，解得p ＝12，故选A ．4．(2020·)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( B )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP[解析]由抛物线定义知|PQ |＝|PF |，∴FQ 的垂直平分线必过P ，故选B ．5．(2021·某某某某一中调研)已知F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 为C 上一点，且|MF |＝4，则M 到x 轴的距离为( A )A ．4B ．4 2C ．8D ．16[解析]设M (x 1，y 1)，由抛物线性质得：x 1＝4－2＝2，∴y 21＝8·2＝16⇒|y 1|＝4，故M 到x 的距离为4，故选A ．6．(2021·某某某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点M (x 0，y 0)在抛物线C 上，若|MF |＝4，则( C )A ．x 0＝5B ．y 0＝23C ．|OM |＝21D ．F 的坐标为(0,1)[解析]由题可知F (1,0)，由|MF |＝x 0＋1，所以x 0＝3，y 20＝12，|OM |＝x 20＋y 20＝9＋12＝21.故选C ．7．(2021·某某某某质检)已知点A 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，点B 在抛物线y 2＝8x 上，则|AB |的最小值为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]由题得圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1. 抛物线y 2＝8x 的焦点C (2,0)， 则|BC |＝x －22＋y 2＝x －22＋8x ＝x ＋2，∴|BC |min ＝2，∴|AB |min ＝2－1＝1，故选A ．8．(2021·某某某某统测)抛物线方程为x 2＝4y ，动点P 的坐标为(1，t )，若过P 点可以作直线与抛物线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为( A )A ．12B ．－12C ．2D ．－2[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1x 22＝4y 2，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)， 所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12，故选A ．9．(2021·某某高邮一中检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (3,23)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF ||FM |等于( B )A ．1 2B ．1 3C ．14 D ．13[解析]∵F (1,0)，∴k l ＝23－03－1＝3，∴l ：y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝3x －1解得x N ＝13，x M ＝3，∴|NF ||FM |＝13＋13＋1＝13.故选B ． 10．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( D )A ．34B ．32C ．1D ．2[解析]如图F 为抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |≥|AB |＝6(当且仅当A 、F 、B 共线时取等号)， 即y A ＋y B ＋2≥6，∴y A ＋y B2≥2，故选D ．11．(2021·某某某某期末改编)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则下列结论错误的是( D )A ．若x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝8B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设M (0,1)，则|PM |＋|PP 1|≥2D ．过点M (0,1)与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条[解析]对于选项A ，因为p ＝2，所以x 1＋x 2＋2＝|PQ |，则|PQ |＝8，故A 正确；对于选项B ，设N 为PQ 中点，设点N 在l 上的射影为N 1，点Q 在l 上的射影为Q 1，则由梯形性质可得NN 1＝PP 1＋QQ 12＝PF ＋QF 2＝PQ2，故B 正确；对于选项C ，因为F (1,0)，所以|PM |＋|PP 1|＝|PM |＋|PF |≥|MF |＝2，故C 正确；对于选项D ，显然直线x ＝0，y ＝1与抛物线只有一个公共点，设过M 的直线为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝4x，可得k 2x 2＋(2k－4)x ＋1＝0，令Δ＝0，则k ＝1，所以直线y ＝x ＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误；故选D ．二、填空题12．(2020·某某)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝163.[解析]由题意可得抛物线焦点F (1,0)， 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，代入y 2＝4x 并化简得3x 2－10x ＋3＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.13．(2021·某某某某质检)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，线段FA 与抛物线交于点B ，且FB →＝2BA →，则|BF |9[解析]由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又A (0,2)，且FB →＝2BA →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 6，43，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2p ·p 6，解得p＝433，∴|BF |＝p 6＋p 2＝2p 3＝839.14．(2021·某某调研改编)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则__②③④__. ①|BF |＝3②△ABF 是等边三角形 ③点F 到准线的距离为3 ④抛物线C 的方程为y 2＝6x[解析]如图，由题意知|AB |＝2|FH |＝2p ，∴x A ＝3p2，从而y A ＝3p ，又S △ABF ＝12|AB |·y A ＝3p 2＝93，∴p ＝3，∴C 的方程为y 2＝6x ，④正确，③正确， ∴|BF |＝|AF |＝3p 2＋p2＝2p ＝6，①错，又|AB |＝2p ＝6，∴△ABF 为等边三角形， ∴②正确，故答案为②③④. 三、解答题15．(2021·某某某某部分示X 高中协作体联考)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线PA 和PB 的倾斜角互补，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． [解析](1)设抛物线解析式为y 2＝2px ， 把(1,2)的坐标代入得p ＝2，∴抛物线解析式为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. (2)∵直线PA 和PB 的倾斜角互补， ∴k PA ＋k PB ＝0， ∴y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝0，∴1y 1＋2＋1y 2＋2＝0，∴y 1＋y 2＝－4，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝4y 2＋y 1＝－1.16．已知动点P 到定直线l ：x ＝－2的距离比到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离大32. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(3)过点D (2,0)的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB 分别交直线l 于点M ，N ，证明以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出此定值．[解析](1)解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，因为定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在定直线l ：x ＝－2的右侧，且动点P 到定直线l ：x ＝－2的距离比到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离大32，所以x >－2且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝|x ＋2|－32，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝x ＋12，即y 2＝2x ，∴轨迹C 的方程为y 2＝2x .解法二：由题意可知动点P 到直线l ′：x ＝－12的距离与到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离相等，∴轨迹C 是以F 为焦点l ′为准线的抛物线，显然p 2＝12，即p ＝1，∴轨迹C 的方程为y 2＝2x . (2)证明：设A (2t 21，2t 1)，B (2t 22，2t 2)(t ·t 2≠0)， 则DA →＝(2t 21－2,2t 1)，DB →＝(2t 22－2,2t 2)． ∵A ，D ，B 三点共线，∴2t 2(2t 21－2)＝2t 1(2t 22－2)，∴(t 1－t 2)(t 1t 2＋1)＝0， 又t 1≠t 2，∴t 1t 2＝－1，直线OA 的方程为y ＝1t 1x ，令x ＝－2，得M (－2，－2t 1)．同理，可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－2t 2.所以以MN 为直径的圆的方程为(x ＋2)(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2t 2＝0，即(x ＋2)2＋y 2＋2×t 1＋t 2t 1t 2＋4t 1t 2＝0.将t 1t 2＝－1代入上式，可得(x ＋2)2＋y 2－2(t 1＋t 2)y －4＝0， 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－4，故以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值4.B 组能力提升1．(2021·某某某某一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( D )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185m[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x 2＝－2py (p >0)，∵抛物线过点(6，－5)，∴36＝10p ，可得p ＝185，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ，故选D ．2．(2021·某某适应性考试)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l ：x －y －2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为( A )A ．(1，－1)B ．(2,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32D ．(1,1)[解析]因为焦点到准线的距离为p ，则p ＝1， 所以y 2＝2x .设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1y 22＝2x 2，则(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2(x 1－x 2)，∴k PQ ＝2y 1＋y 2，又∵P ，Q 关于直线l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2，∴y 1＋y 22＝－1，又∵PQ 的中点一定在直线l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝1.∴线段PQ 的中点坐标为(1，－1)．故选：A ．3．(2021·某某师大附中月考)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值X 围是( C )A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)[解析]抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2,6)，所以6＋x B ∈(8,12)，故选C ．4．(2021·某某、某某调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( C )A ．5B ．6C ．163D ．203[解析]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.故选C ．另解：因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C ．5．(2021·某某省某某市期末)如图，已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，|MN |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析](1)当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1， ∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴l 的方程为y ＝x －p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，∴|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝16, p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)假设满足条件的点P 存在，设P (a,0)，由(1)知F (2,0)，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2＋8)2－4·k 2·4k 2＝64k 2＋64>0，x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴k PM ＋k PN ＝0，k PM ＝k x 1－2x 1－a ，k PN ＝k x 2－2x 2－a .∴k (x 1－2)(x 2－a )＋k (x 2－2)(x 1－a )＝k [2x 1x 2－(a ＋2)(x 1＋x 2)＋4a ]＝－8a ＋2k ＝0，∴a ＝－2时，此时P (－2,0)．②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
高考数学一轮专项复习练习卷-通用版跟踪检测-二项式定理(含解析)
限时跟踪检测-二项式定理一、单项选择题1．(2024·北京西城区模拟)在x－2x5的展开式中，x的系数为()
A．40B．10C．－40D．－102．(2024·河北衡水模拟)已知(x－2)(x＋m)5＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，m为常数，若a0
＝2，则a5
＝()
A．－7B．－2C．3D．73．已知(1＋λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且(1＋λx)n
＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2
＋…＋a
n＝242，则实数λ＝()
A．3B．2C．1D．4
4．二项式x＋13x30的展开式中，其中是无理项的项数共有()
A．27项B．24项C．26项D．25项5．(2024·山东菏泽模拟)若(a－x)(2＋x)6的展开式中x5
的系数是12，则实数a的值为
()A．4B．5C．6D．76．20232022被20222
除的余数是()
A．1B．0C．2023D．20227．设(2x－3)6＝a0＋a1x＋…＋a6x6，则(a1＋a3＋a5)2－(a0＋a2＋a4＋a6)2
＝()
A．－1B．0C．1D．28．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则2·a1－22·a2＋23·a3－24·a4＋…＋22
023·a2023的值为()
A．－12·(32023＋52023)B．－52023
C．1－52023
D．－1－32023二、多项选择题9．(2024·河北沧州模拟)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023
，则()
A．展开式中所有项的二项式系数和为22023
B．展开式中系数最大项为第1350项
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝32023
－1
2
D．a12＋a222＋a323＋…＋a2023
22023
＝－1
10．(2024·河北张家口模拟)已知(ax2－1)x＋bx5(b>0)的展开式中含x项的系数为30，1x项
高考数学一轮复习《平面向量》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《平面向量》练习题（含答案）一、单选题1．若122a e e =+，1223b e e =-+，则以下向量中与2a b +共线的是（ ） A ．1252e e -+B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +2．若向量(1,3)=-a ，(3,8)b =-，则()2a b -=（ ）A ．()4,10-B ．()2,5-C ．()4,5D ．()8,10 3．已知在ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，13AD AB =，12BE BC =，若12DE AB AC λλ=+（1λ，2λ为实数），则12λλ+的值为（ ）．A ．13-B ．23-C ．13D ．23 4．已知a 、b 、c 为单位向量，且满足a b c +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．120 5．用乘法分配率(x y)ax ay a +=+作类比，下列结论正确的是（ ） A ．ln()ln ln x y x y +=+B ．sin()sin sin x y x y +=+C ．x y x y a a a +=+D ．()a x y a x a y ⋅+=⋅+⋅ 6．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ） A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3122AE AB AD →→→=+ C ．1142AE AB AD →→→=+ D ．3144AE AB AD →→→=+ 7．已知AB AC ⊥，||AB t =，1||AC t =．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+8．已知()0,1a =，()1,0b =，2,4c ，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）A ．,a b c -B ．,a b c +C ．,2a b c -D ．,2a b c + 9．已知向量2,4a ，()1,3b =-，则向量23a b +与3a b +的夹角的余弦值为（ ）A ．1313B ．22626C ．2626D ．21313 10．根据图形（如图），下列结论正确的是（ ）①3322PQ a b =+；②32PT a b =-；③3122PS a b =-；④32PR a b =+． A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 11．已知ABC 中，3AO AB AC =+，()0AB AC BC +⋅=，则向量AB 在向量AO 上的投影向量为（ ）A ．23AOB ．32AOC ．2AOD ．83AO 12．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =+-.若//p q →→，则角C 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．2π二、填空题13．设a ，b 是两个不共线的向量，若向量ka b +与8a kb +的方向相反，则实数k =________. 14．已知向量(3,2)a x =+，(1,)b x =，若a b ⊥，则||a b +=___________. 15．已知向量a ，b 满足1a =，3b =，且()2a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值是______. 16．已知向量()1,2a =，(),4b m =-，且//a b ，则a b ⋅=_______． 17．在Rt ABC 中，2AC BC ==，已知MN 为ABC 内切圆的一条直径，点P 在ABC 的外接圆上，则PM PN ⋅的最大值为___________.三、解答题18．如图，在四边形ABCD 中，4=AD ，2AB =．ABC 为等边三角形，且//AD BC ，E 是CD 的中点，（1）求AE BD ⋅；（2）求AE ．19．已知向量33cos ,sin 22a x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22b x x →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2f x a b a b λ=⋅--，(λ为常数），求：（1）a b ⋅及a b -；（2）若()f x 的最大值是32，求实数λ的值.20．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE 垂直AB 于点E ，PF 垂直BC 于点F ．（1）求向量PD 与EF 的夹角,PD EF ；（2）设2PD PCPC PD PC α⋅=-，点Q 满足2PQ PD α-=，证明PC α⊥，并求出当P 运动时，PQ EF ⋅的取值范围．21．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(3,)m a c b =-，(cos ,cos )n B C =-，且m n ⊥.（1）求cos B 的值；（2）若2b =，ABC 6ABC 的周长.22．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若向量(),p a b =-，()sin 2,sin q B A =，且p q ⊥．（1）若3a =，b =c ；（2）求cos cos a C c A b-的取值范围．23．已知向量11),2a b →→⎛=-= ⎝⎭. （1）求与a →平行的单位向量c →；（2）设()23,x a t b y k t a b →→→→→→=++=-⋅+，若存在[0,2]t ∈，使得x y →→⊥成立，求k 的取值范围.24．已知1e ，2e 为单位向量，满足1235e e -≤，122a e e =+，12b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ.（1）求12e e⋅的取值范围；（2）求2cosθ的最小值.25．已知ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若AP pPB=，AQ qQC=，其中p，q为非零常数.（1）求证：0GA GB GC++=；（2）求证：11p q+为定值.参考答案1．B2．A3．D4．D5．D6．A7．B8．C9．D10．C11．B12．C13．-141516．10-17．218．（1）11；（2）7AE=.19．（1）cos2a b x ⋅=，2sin a b x -=；（2）12λ=-. 20．（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），C （1，1），D （0，1）， 设(),P m m （01m ≤≤），则(),0E m ，()F 1,m ， 所以(),1PD m m =--，()1,EF m m =-，所以()()110PD EF m m m m ⋅=--+-=，所以向量PD 与EF 的夹角,90PD EF =︒； （2）20PD PCPC PC PC PD PC PC α⋅⋅=⋅-⋅=，即PC α⊥， 于是有()PQ PD PC -⊥，即QD AC ⊥ 设M 是线段DQ 的中点，则212PD PC DM DQ PC PD PCα⋅===- 因此2PD PCPM DM DP DM PD PC PC ⋅=-=+=，从而//PM PC ，因此P ，M ，C 三点共线，结合QD AC ⊥，及线段QD 的中点M 在AC 上，得Q ，D 关于直线AC 轴对称， 因此Q 与B 重合，()1,PQ m m =--，结合P 与C 不重合，有1m ≠， ()22112PQ EF m m m ⋅=--=-，[)0,1m ∈， ∴PQ EF ⋅取值范围是(]1,1-.21．（1）13；（23. 22．（1）2c =；（2）()cos cos 1,1a C c A b -∈-．23．（1）12c →⎫=-⎪⎪⎝⎭或12c →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 24．（1）5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）99100. 25．（1）由题意，延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，可得2GB GC GD +=，因为G 是重心，可得2GA GD =-，所以2+20GA GB GC GD GD ++=-=； （2）设AB a =，AC b =，因为AP pPB =，AQ qQC =，可得1+p AP a p =，()()22111+3323q AQ b AG AD AB AC a b q ===⨯+=+，， 又因为P ，G ，Q 三点共线，所以存在λ，使得PQ PG λ=，即()AQ AP AG AP λ-=-， 即11++1+1+331+31+3q p p p a a b a b q p b a p p λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得1+31+1+3p p p p q q λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得33211p q p q λ==-+，即211p q p q -+=， 即1121p q-=+，所以111p q +=.。
高考数学一轮复习 10.7几何概型练习 理-人教版高三全册数学试题
第七节 几何概型题号 1 2 3 4 5 6 7 答案1．某某地铁5号线的列车到站时间间隔是5分钟，某人进站到达列车上车口等车时间超过2分钟的概率是 ( )A.15B.13C.35D.23解析：某人在上一趟车驶离站台起的3分钟之内等车，则等车时间超过2分钟，设所求概率为P ，则P ＝35.故选C.答案：C2．有下列四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )解析：A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为（2r ）2－πr 2（2r ）2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，所以A 游戏盘的中奖概率最大．故选A.答案：A3．在区间[]0，1上任取两个数a ，b 使方程x 2＋ax ＋b 2＝0的两根均为实数的概率为( )A.18B.14C.12D.34解析：方程x 2＋ax ＋b 2＝0的两根均为实根，则Δ＝a 2－4b 2≥0，即(a －2b)(a ＋2b)≥0，即a －2b≥0.构成的区域，面积为14，在区间[0，1]上任取两个数a ，b 构成的区域面积为1，∴方程x 2＋ax ＋b 2＝0的两根均为实数的概率为14.答案：B4．设一直角三角形两直角边的长均是区间(0，1)的随机数，则斜边的长小于34的概率为( )A.964 B.9π64 C.9π16 D.916答案：B5．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为________．解析：图中阴影部分的面积S′＝⎪⎪⎪2－2x 2dx ＝13x 32－2＝163，而正方形区域的面积S ＝4×4＝16.故该点落在E 中的概率P ＝S ′S ＝163×116＝13.答案：136．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．现随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到阴影区域的概率是( )A.35B.25C.34D.14解析：因为直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，所以小正方形的面积为1，直角三角形面积为1，所以大正方形的面积为5，所以扎到阴影区域的概率为25，故应选B.答案：B7．在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y2b 2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132解析：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，e ＝c a＝a 2－b 2a ＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，a 2＜4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ，又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.答案：B8．在长为6 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于8 cm 2的概率为________．解析：设AC ＝x ，CB ＝6－x ，由x(6－x)≥8，得2≤x≤4， 所以所成矩形面积小于8 cm 2的概率为1－4－26－0＝23.答案：239．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜2，0＜y ＜2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点P(x ，y)，则x ＋y ＜3的概率为________．解析：不等式组表示的平面区域D 为如图所示的边长为2的正方形，面积为2×2＝4.满足不等式x ＋y ＜3所以表示的平面区域为正方形区域减去△ABC 区域，其面积为4－12×1×1＝72，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足不等式x ＋y ＜3的概率为P ＝724＝78.答案：7810．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，y≥－x ，2x －y －4≤0 表示的平面区域M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面的区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．答案：3π6411．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y≥0表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是________．解析：结合图形，利用几何概型的概率公式求解．作出D 所对应的平面区域如图阴影部分所示，其面积为12×2×1＝1.又区域E 的面积是π，故所求概率为1π.答案：1π12．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A＝30°，则该菱形内的点到菱形的顶点A ，B 的距离均不小于1的概率是________．解析：如图所示，只有当点位于图中的空白区域时，其到A ，B 的距离才均不小于1，菱形的面积为2×2×sin 30°＝2，两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆，其面积为π2，故空白区域的面积为2－π2.所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4. 答案：1－π413．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b 的概率； (2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解析：(1)设“a∥b”为事件A ，由a∥b，得x ＝2y.Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}共包含12个基本事件，其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件，则P(A)＝212＝16.(2)设“a，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x －y ＜0，且x≠2y.Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2，－1≤y≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2，－1≤y≤1，2x －y<0，x ≠2y ， 则P(B)＝μB μΩ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13.14．设函数f(x)＝log 2[x 2－2(a －1)x ＋b 2]的定义域为D.(1)若a 是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b 是从1，2，3三个数中任取一个数，求使D ＝R 的概率；(2)若a 是从区间[0，4]任取的一个数，b 是从区间[0，3]任取的一个数，求使D ＝R 的概率．解析：(1)定义域D ＝{x|x 2－2(a －1)x ＋b 2>0}． 将取的数组记作(a ，b)，共有4×3＝12种可能． 要使D ＝R ，则Δ＝4(a －1)2－4b 2<0，即|a －1|<|b|.满足条件的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，共6个基本事件， 所以P(D ＝R)＝612＝12.(2)全部试验结果Ω＝{(a ，b )|a∈[0，4]，b ∈[0，3]}， 事件A ＝{D ＝R}对应区域为A ＝{(a ，b)||a －1|<|b|}， 则P(A)＝S 阴影S Ω＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712，故D ＝R 的概率为712.。
高考一轮总复习人教A版数学10-9
B．0 9 .5 4 D．0.977
，∴P(ξ<－2)＝0 0 .2 3
， 故选 C.
故 P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ> 2 ) －P(ξ<－2)＝0 9 .5 4 .
第十章
第九节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
4． ( 2 0 1 3 · 列 为
9 9 1 1 5 1 ＝ ⇒ ＝1× ＋2×m＋3×n＋4× ，∴2m＋3n＝ ，又 ＋m 4 4 4 12 3 4 1 2 ＋n＋12＝1，∴m＋n＝3， 联 立 求 解 可 得 1 n＝3， 故 选 A.
第十章
第九节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
[ 方法规律总结] 的 一 般 步 骤 ：
则 P(ξ＝1)的 值 为 ( A．3 2 · －2 C．2－4
[答案] B
第十章
第九节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
[解 析]
由 条 件 知 ，
nP＝6， nP1－P＝3，
n＝12， ∴ 1 P＝2， B.
1 1 1 11 ∴P(ξ＝1)＝C12( ( ) · ) ＝3×2－10， 故 选
第十章
第九节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
3．正 态 分 布 ( 1 ) 正 态 分 布 设 正 态 变 量 概 率 密 度 函 数 为 对 于 任 何 实 数 a<b， 随 机 变 量 x－μ 1 f(x)＝ e－ 2σ2 ， 如 果 2πσ
b X满 足 P(a<X≤b)＝ f(x)dx，则
走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习
【2019最新】人教版高考理科数学一轮复习练习：阶段检测试题(四) Word版含解析
(C)42π(D)36π该几何体下半部分是高为的圆柱的一半,所以其体积为B.,βπ(D)16π22,所以x=π,所以旋转体一个几何体的三视图如图所示(B)(D)+2,该几何体由两个三棱锥组成A.)(C)③④(D)②④经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点由三视图知其直观图为两个圆台的组合体水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大)(A)1 (B)2-D)2-ABC,1=,BD==,AB=BC=AD=DC=,=,=1,(B) cm3(D) cm3中的虚线长为图,A.则该几何体的外接球的表面积为(D)由三视图知该几何体为四棱锥,分别是对应边的中点,的正方形,h=,R2=,B.为底面的中心(D)建立空间直角坐标系.设A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),M(0, 0,),P(x,y,0),=(0,1,),=(x,y,-).ABCDA1B1C1D1的内切球(B)根据正方体的几何特征知每小题5分解析:由三视图可知,该几何体有两个面是直角三角形,如图,底面是正三角形,最大的面是边长分别为2,=2,=2的面,其面积为×2×=.答案:14.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为.解析:取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示坐标系,设BC=1,则A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0).所以=(0,0,),=(0,,),=(,,0).设平面ABD的法向量为n=(x0,y0,z0),则·n=0,且·n=0,x0=1,的一个法向量n=(1,-,1).sin<n,>=.:已知函数轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周.已知一个三棱锥的所有棱长均为,,AE==.R2=(-R)2+,即内切球的半径是.三、解答题ADEF;所成角的正弦值.EM=AD,则EO⊥平面ABCD,故以轴的正方向建立空间平面直角坐标系E(0,0,),A(3,0,0),C(-1,4,0),F(2,0,),所以=(3,0,-),=(-4,4,0),=(3,-4,).为平面EAC的法向量,则x=1,可得n=(1,1,),cos<,n>===,所成角的正弦值为EF;OEF所成角的正弦值.的边长为2,点E是xyz,O(0,0,1),G(,,0),=(0,1,-1),=(1,0,-1),=(,,-2).n=(1,1,1),==,与平面OEF.求直线PB与平面.于点M,连接FM.是平行四边形.E(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,m),C(3,2,0),F(,1,),的一个法向量为n=(x,y,z),由得z=1,得n=(0,-m,1).的一个法向量为cos<n,a>===.m=2.所成角.PBE==,.正三棱柱ABCA1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1,AB的中点.(1)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥平面A1FC;(2)若二面角EA1CF所成角的余弦值为,求AA1的值.(1)证明:取B1A1中点为N,连接BN,则BN∥A1F,又B1A1=4B1M,N为B1A1的中点,则M为B1N的中点.所以EM为△BNB1中位线,则EM∥BN,所以EM∥A1F.因为EM⊄平面A1FC,A1F⊂平面A1FC,故EM∥平面A1FC.(2)解:如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设AA1=a.则F(0,0,0),A1(-1,0,a),E(1,0,),C(0,,0),=(-1,,-),=(0,,0),=(2,0,-),=(1,,-a).设平面A1CF法向量为m=(x,y,z),则取z=1,得m=(a,0,1).设平面A1EC法向量为n=(x1,y1,z1),取x1=a,得n=(a,a,4).设二面角EA1CF的平面角为,,=cos<m,n>==.a2=,AA1=.本小题满分所成角的正弦值为,求AD的长.ABCD,而AD⊂平面ABCD,平面PBD,所以AD两两互相垂直轴建立如图所示的空间直角坐标系BDC=可得A(λ,,0),P(0,0,4),,0,-4),=(-,,0),=(0,0,4).由题意可得y=3,则x=4,z=0,得平面PCD的一个法向量22.(本小题满分四边形ABCD为矩形在棱DF上..所以AF⊥B(1,0,0),E(,0,1),P(0,1,),C(1,2,0),=(-,0,1),=(-1,-1,),==,.ADF,所以平面ADF的一个法向量n1==(1,0,0).,=(0,,),=(1,2,0).|==..。
高考数学第一轮复习_分类分步计数原理(例题解析含答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础梳理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．两个原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()．A．238个B．232个C．174个D．168个解析可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．答案 C2．(2010·广州模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合()．A．24个B．36个C．26个D．27个解析C14C13＋C14C12＋C13C12＝26，故选C.答案 C3．(2012·滨州调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()．A．6种B．12种C．24种D．30种解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)，故选C.4．(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()．A．10 B．11 C．12 D．15解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.5．某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．考向一分类加法计数原理【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()．A．4种B．10种C．18种D．20种[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．解析赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共4＋C24＝10(种)．【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．考向二分步乘法计数原理【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．解析法一用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有C24＝6(个)，因此满足条件的四位数共有2×4＋C24＝14(个)．考向三涂色问题【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色．解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A35＝60种涂法；又D 与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．规范解答20——如何解决涂色问题【问题研究】涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点. 【解决方案】涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.【示例】►(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[解答示范] 如图所示，将4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．(2分)①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；(6分)②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法．由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．(12分)。