新高考数学模拟试题(附答案)
2023届新高考高三模拟数学试题
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A {}01242<--∈x x Z x ,{}R x x e y y B ∈=,sin ，求B A （）{}2,1,0,1,2.--A {}21.<<-x x B {}2,1,0,1.-C {}12.-≤≥x x x D ，2、化简=++-3)]60sin 60)(cos 2321[( i i （）1.-A 1.B iC .iD -.3、在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DC BD =，点E 在AC 边上，且AC AE 54=，连接DE ，若AC n AB m DE +=，则=+n m （）51.-A 54.B 54.-C 51.D 4、日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度。
其表达式为NR σ=,其中R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为xy 75.56.81470-+=，其中y 为就餐人数（本窗口），x 为餐品新鲜度（R ），则当2000,2==σN 时，y 近似等于（）（已知675.51023.46.8--⨯≈）470.A 471.B 423.C 432.D 5、素数对)2,(+p p 称为孪生素数，将素数17拆分成n 个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（）51.A 31.B 41.C 21.D 6、设)2023.0sin(,20232024ln ,2023120231===c b e a ，则（）ba c A >>.cb a B >>.ca b C >>.ab c D >>.7、已知空间四边形ABCD ，BC DB AC BC AB ⊥==,，且6,4==BD BC ，面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比为（）363301172.+A 365301172.+B 363172301.+C 365172301.+D 8、已知函数3)ln )(1()(++-+=x x a xe x f x ，对于[)+∞∈∀,0x ，4)(≥x f 恒成立，则满足题意的a 的取值集合为（）{}0.A {}1,0.B {}1,0,1.-C {}1.D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考数学模拟卷(附答案)
新高考数学模拟卷（考试时长120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若1i z =+，则2|2|z z -=A ．0B ．1CD ．22.已知集合{}31|3,|log 02A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A.122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C.{13}xx <<∣ D.1123xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 3. 已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝A.34.已知,,a b ∈R 则“||1a ”是“||||1a b b -+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 将函数2log (22)y x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x = A.2log (21)1x +- B.2log (21)1x ++ C.2log 1x - D.2log x6. 某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A 和歌唱类节目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60D.757.已知拋物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与拋物线交于M ，N 两点，若3,PF MF =则||MN =( )A.163B.83C.2 8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若函数2(),f x x =设155151log 4,log ,2,3a b c ===则(),(),()f a f b f c 的大小关系不正确的是( )A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f a f b >>10.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊂⊥/，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥11.已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，ππ082f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在(0,π)上单调.下列说法不正确的是( ) A.12ω=B.π6282f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( ) A.当0x <时，()e (1)x f x x =+ B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对()()1221,,2x x f x f x ∀∈-<R 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为____________.（用数字作答）.14.已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为_______. 15.巳知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =,则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为____________.16. 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线ax ＋by ＋c ＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点词l 的距离的最小值为d ，约定：d 1越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将P 1，P 2，P 3和P 4归为第I 组点，樽Q 1，Q 2，和Q 3归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L 给出下列四个结论：①直线x ＝2.5比直线3x －y －5＝0的分类效果好； ②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。
新高考数学多选题模拟测试卷(题目及详细答案)
高中数学多选题荟萃一、《函数、导数》多选题1、设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ACD ） A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增 B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减 C ．在(,1)-∞-上，)(x f 的值域为)0,(-∞D ．在),1(+∞上，)(x f 的值域为)0(∞+，2、已知函数)(x f 在定义域)0(∞+，上的单调函数，若对于任意)0(∞+∈，x ，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则的值是（ AB ） A ．)(x f 为减函数B ．165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．6)5(=fD ．)(x f 值域为)0(∞+，【解】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x=+3、已知函数20()2(1)10a x f x x f x x ⎧+≤⎪=+⎨⎪-+>⎩，，，若对任意的),3(+∞-∈a ，关于x 的方程kx x f =)(都有3个不同的根，则k 的值不可能等于（ ABD ） A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数1()1f x x=-，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有6个不同的实数解，则,b c 的取值情况可能的是（ ACD ）A ．10,0b c -<<=B ．10,0b c c ++>>C ．10,0b c c ++<>D ．10,01b c c ++=<< 【方法】画出)(x f 的图像，注意对称性和渐近线；2()()0f x bf x c ++=有两个不等实数根2121,)(,)(t t t x f t x f <==假设或；则直线的图像有六个交点与)(;21x f y t y t y ===；令c bt t t t t ++=<221)(,ϕ， 则(1)10,021<<=t t 时，120;01)1(;0)0(<-<>++===bc b c ϕϕ (2)1,1021≥<<t t 时，01)1(;0)0(≤++=>=c b c ϕϕ5、已知函数f (x )＝e x ＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题其中正确命题的序号是（ BD ）A 、对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数；B 、对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；C 、存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； D 、存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．6、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于)(x f 的判断，其中正确的判断是（ ABD ）A 、()x f 的图像关于点对称B 、()x f 的图像关于直线1=x 对称；C 、()x f 在[0，1]上是增函数；D 、()()02f f =.7[]0,1上单调递增，则（ BC ）A ．实数a 的取值范围是()1,1-B 、实数a 的取值范围是[]1,1-C 、当0>a 时，函数)(x f 有最小值a 2D 、函数)(x f 为偶函数，则a = 1【解】当0a >在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-8、已知函数212,2()1|log |,2x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，()g x x b =+，若函数()()y f x g x =+有两个不同的零点，则实数b 的取值可以为( AB )A ．1-B ．32-C ．1D ．329、定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．则下列命题中正确的命题为（ AC ） A.0)2022()2021(=-+f f B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数 C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为]1,1[-【解】可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中0)2022()2021(=-+f f 正确；对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有1个交点，所以C 正确；对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是(1,1)-，所以D 错误．故选AC ．二、《不等式》多选题1、若)lg(lg lg ,0,0b a b a b a +=+>>，则（ ABC ）A 、b a +的最小值为4B 、ab 的最小值为4C 、211122≥+b aD 21122≥+b a2、已知()()()2f x x m x n =---,且α、β是方程f (x )=0的两根，则下列不等式不可能成立的是 （ BCD ） A m n βα<<< B m n αβ<<< C m n αβ<<< D n m αβ<<<3、设2()f x x bx c =++（R x ∈），且满足()()0f x f x '+>。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)(含答案解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
新高考数学第一次模拟试题(及答案)
【解析】
【分析】
【详解】
设AB=2,作CO⊥面ABDE
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C−AB−D的平面角，
CH=3√，OH=CHcos∠CHO=1，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
故EM,AN所成角的余弦值 ，
18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
C． D．
二、填空题
13．设 是等差数列 的前 项和，且 ，则
14．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为______．
15．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_________．
16． ________________.
17．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于．
18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲
19．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
20．设等比数列 满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．二、填Leabharlann 题13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由 可得 ，所以 ．
14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
2022普通高等学校招生全国统一考试(新高考地区)仿真模拟训练(二)数学试题 (含答案)
2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝()A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝()A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是()4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为()A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝()A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝()A．1 B.9 761则实数a的最小值为()A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为()A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()2C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝m i－3j，c＝4i＋m j，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值； (2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A -CA 1B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t 亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t 缙云土面，用x (单位：t ，70≤x ≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y 表示为x 的函数；(2)根据直方图估计利润y 不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x ∈[80，90)，则取x ＝85，且x ＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆短轴的端点B 1，B 2与椭圆的左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点F 2(1，0)的椭圆的一条弦，点P 是椭圆上一点，且OP ⊥MN (O 为坐标原点)．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求|MN |·|OP |2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R )及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C. 3．解析：选 B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k ∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r＝C r 72r a 7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m ＝97.故选B.7．解析：选C.f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.对任意的x ∈[1，＋∞)，f ′(x )≤a ＋e x 恒成立，即a ≥ln x ＋1－e x 对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x ＋1－e x (x ≥1)，则g ′(x )＝1x －e x ＜0，因而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，g (x )≤ln 1＋1－e ＝1－e ，所以实数a 的最小值为1－e.8．解析：选D.不妨设点N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有b a ＞1，进而e 2＝1＋b 2a 2＞2.由y ＝b a x 与y ＝－b a (x －a )，得y N ＝b 2，所以12×a ×b 2＝212(a 2＋b 2)，即9a 2(c 2－a 2)＝2c 4，所以2e 4－9e 2＋9＝0，得e 2＝32(舍)或e 2＝3，所以e ＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x ，则2019年的总支出为1.5x ，2018年日常生活支出为0.35x ，2019年日常生活支出为0.34×1.5x ＝0.51x ，故2019年日常生活支出增加，A 错误；2018年保险支出为0.05x ，2019年保险支出为0.07×1.5x ＝0.105x ，B 正确；2018年其他支出为0.05x ，2019年其他支出为0.09×1.5x ＝0.135x ，(0.135x －0.05x )÷0.05x ＝1.7，故C 错误；由题图可知，D 正确．10．解析：选BC.若直线2x －y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交，则|2×1－2＋m |22＋（－1）2＜1，解5＜m ＜ 5.A 项中，由m 2≤1，得－1≤m ≤1，因为{m |－1≤m ≤1}⊆{m |－5＜m ＜5}，所以m 2≤1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件；B 项中，因为{m |m ≥－3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m ≥－3是－5＜m ＜5的必要不充分条件；C 项中，由m 2＋m －12＜0，得－4＜m ＜3，因为{m |－4＜m ＜3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m 2＋m －12＜0是－5＜m ＜5的必要不充分条件；D 项中，由3m ＞1，得0＜m ＜3，所以3m ＞1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a ＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋ax 2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝m i －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋mλj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝mλ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：25 15.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA ＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cos π3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sinB ＝2sinC cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝33.(2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ， 即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22，所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥，⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14.由图可知二面角A -CA 1B 为锐二面角，故二面角A -CA 1B 的余弦值为14. 20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时， y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000.所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y )×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a ＝3，|OP |＝a ＝2， 此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1k x ， 将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4，所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2. 令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649. ③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649. 22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x .令φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)，所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0，所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．34．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 5．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π 9．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22312．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025年新高考数学模拟试题一带解析
2025年新高考数学模拟试题（卷一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n ⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l mD ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,ee ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝U C ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（）AB．2CD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()exf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y60不愿生x2240总计5842100(1)求x和y的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()2P kχ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k 减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m 的6减数列，证明：6m >；(3)若存在2024的k 减数列，求k 的最大值.2025年新高考数学模拟试题（卷一）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
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新高考数学模拟试题(附答案)一、选择题1．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．32．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈3．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种 5．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)6．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．17．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()32f x x =-与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④8．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=10．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．1211．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A 3B ．2C 6D 512．在[0,2]π内，不等式3sin x <的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.15．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ．17．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 18．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．20．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --6，求PF 的长度. 22．已知函数2()sin()sin 32f x x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[,]63ππ上的单调区间23．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少? 24．已知0,0a b >>. (1)求证：211ab a b≥+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．25．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．26．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为63，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22．（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与,A B两点，以线段AB为直径的圆截直线1x=所得的弦的长度为5，求直线l的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai iai b ii i+--==-=+-，,a b∈R，所以2211b ba a==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b=，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．D解析：D【解析】 【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．3．B解析：B 【解析】 【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法，甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．5．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.6．B解析：B 【解析】1sin A ===cos A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后，要及时判断出0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.7．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆221123x y +=有公共焦点求得c 即可.【详解】双曲线C 的渐近线方程为52y x =,可知52b a =①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.10．C解析：C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.11．D解析：D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以21()5be a=+= D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】解：在[0，2π]内，若sin x 32-＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53π）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．16．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.17．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+39110i =-+=+=10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++18．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基 32+ 【解析】 【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式17π26ππ2πcossin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π32cos sin 43+=+=.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.19．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,22DM ∴==,所以PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析：18【解析】 【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果. 【详解】函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增()210af x x x'∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x =18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.三、解答题21．（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,1m AB m AB m AB⋅===⋅，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， ∴226cos ,321411m AB m AB m ABλλ⋅===⎛⎫⋅++ ⎪-⎝⎭，得13λ=或1λ=-（舍去），∴53PF =.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．（1）f (x )的最小正周期为π，最大值为232- （2）f (x )在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【解析】 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,]63ππ上的单调区间． 【详解】解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+1sin 22sin(2)23x x x π==-，即()sin(2)3f x x π=-故函数的周期为22T ππ==，最大值为12-． （2）当2[,]63x ππ∈ 时，[]20,3x ππ-∈，故当0232x ππ-时，即5[,]612x ππ∈时，()f x 为增函数；当223x πππ-时，即52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．23．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973kkk P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=，所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位. 【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 24．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】(1) 已知0,0a b >>直接对11a b+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式． 【详解】证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2222244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b-+-++===-+≥=----，当且仅当11a b ==-+或11a b ==-- 【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式． 25．(1)见解析； (2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据DE 平行PC 即可证明（2）利用PC ，可知DE 与FG 平行且相等，即可证明. 【详解】证明：(1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC. 又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE∥平面BCP. (2)因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG 为平行四边形． 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG 为矩形． 【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.26．（1）22162x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ⋅，结合弦的长度为即可求斜率k 的值，从而求得直线方程．【详解】解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>得c =，b =.由21223S c b a =⋅⋅==a =b =22162x y +=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ． 联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222213121260kxk x k +-+-=，2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++.()2122113k AB x x k+=-=+． 所以202613k x k =+，点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k -=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =22222AB d ⎛⎛⎫-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()222222213113132k k k k ⎤+⎛⎫⎛⎫-⎥-= ⎪ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ⋅，代入弦长公式AB =，考查学生的计算能力，属于中档题．。