2015年上海市春季高考数学模拟试卷六
2015上海春考数学试卷及答案
2015上海春考数学试卷及答案2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）2015.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 设全集为{1,2,3}U =，{1,2}A =，若集合则U C A =；2. 计算：1ii+= ；（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ； 4. 计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ；5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为 ； 6. 已知向量(1,3)a =，(,1)b m =-，若a b⊥，则m =；7. 函数224y xx =-+，[0,2]x ∈的值域为 ；8. 若线性方程组的增广矩阵为0201ab ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ；9. 方程lg(21)lg 1x x ++=的解集为 ；A. 3(,)4-∞ B.2(,)3-∞ C.2(,)(1,)3-∞+∞D.2(,1)316. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的为（ ）A. 2y x= B.13y x= C.1y x -=D.12y x-=17. 直线3450x y --=的倾斜角为（ ）A. 3arctan 4B. 3arctan 4π- C. 4arctan3D.4arctan3π-18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A.2π B. C. 23πD.19. 以(3,0)-和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ） A. 2211625x y += B.221167x y += C.2212516x y +=D.221716x y +=20. 在复平面上，满足|1|||z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 直线 21. 若无穷等差数列{}na 的首项1a>，公差0d <，{}na 的前n 项和为nS ，则（ ）A. nS 单调递减 B.nS 单调递增C. nS 有最大值 D.nS 有最小值22. 已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ） A.22a b +有最小值 B.有最小值C. 11a b+有最大值 D.有最大值 23. 组合数122mm m nn n CC C --++*(2,,)n m m n N ≥≥∈恒等于（ ）A. 2m n C + B.12m n C ++ C. 1m n C +D.11m n C ++24. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b R ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为，求该四棱柱的表面积；26. 已知a 为实数，函数24()x ax f x x++=是奇函数，求()f x 在(0,)+∞上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值；27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1︒）？28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=(,0)a b >的左右焦点，126F F=，1(0,)B b -，2(0,)B b ；（1）若a =以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB⋅=-，求实数b 的取值范围；29. 已知函数2()|22|x f x -=-(R)x ∈；（1）解不等式()2f x <； （2）数列{}na 满足()naf n =*(N )n ∈，nS 为{}na 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式 12nnS ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分） 1. 对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B⊂≠”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数a 、b ，2()a b kab-≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0}- B. [4,0]- C.(,0]-∞D.(,4][0,)-∞-+∞3. 已知数列{}na 满足413nn n n a a a a ++++=+()n N *∈，那么（ ） A.{}n a 是等差数列 B.21{}n a -是等差数列C.2{}n a 是等差数列 D.3{}n a 是等差数列二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分） 4. 关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C，若7580OA OB OC ++=，则||BC =；6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f xg xh x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”（1）已知()sin f x x =，()cos g x x =，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由； （2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,)+∞，当[,1)x n n ∈+()n *∈N 时，()f x =12sin 1n xn--，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x =的解；参考答案一. 填空题1. {3}；2. 1i-；3. π；4.0.5；5. 22-+-=； 6. 3；7. [3,4]；(2)(6)1x y8. 2；9. {2}；10. 84；11. 320；12. 221=-；y x二. 选择题13. D；14. A；15. D；16. B；17. A；18. D；19. B；20. D；21. C；22. A；23. A；24. A；三. 解答题25. 8；26. 0f x=；x=，min()4a=，227.4.2BC ≈海里，南偏东46︒；28.（1） 3.6d =；（2）b ≥29.（1）4x <；（2）2514k ≤；附加题1. C ；2. B ；3. D ；4.； 5.； 6.,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩；7.（1）不存在，定义域不为R ；（2）2x π=；。
2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷(文科)(3月份)解析
2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）(扫描二维码可查看试题解析)一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为．11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整17．（5分）（2015•上海模拟）实数x 、y 满足x 2+2xy+y 2+x 2y 2=1，则x ﹣y 的最大值18．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围[﹣+2[+2三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长为，点P 、Q 、R 分别在棱AA 1、BB 1、BC 上，Q 是BB 1中点，且PQ ∥AB ，C 1Q ⊥QR （1）求证：C 1Q ⊥平面PQR ；（2）若C 1Q=，求四面体C 1PQR 的体积．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分. 1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是（0，1]．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．•×=故答案为：4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．=27．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为﹣3≤a≤9．﹣﹣﹣﹣8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为（0，5）．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为3．﹣，由此能求出口袋，11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．x==AB••12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．sinx=x=x=，，，+C）（）即可．，sinx=x=x=，，，+C）（）13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．，﹣+）与（﹣，）和（﹣a+，）和（﹣）的距离，即．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整除，222218．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，[﹣+2[+2+2+2[22三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．，由，，BR=QR=．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．，∴，因此，，时，=4n21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．则：即：所以：则：即：得到：=此时：，+22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．[，）≥≥[23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．1P的方程为：，y=，=0，因此1x+1，（﹣，x++=+n=3y=，如图所示，=0参与本试卷答题和审题的老师有：双曲线；若尘；wsj1012；qiss；刘长柏；1619495736；zlzhan；1457446928；sdpyqzh；wkl197822；孙佑中；sxs123；chenzhenji（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷6套
目录2015年上海市春季高考模拟试卷一 ........................................................... 1 2015年上海市春季高考模拟试卷二 ......................................................... 10 2015年上海市春季高考模拟试卷三 ......................................................... 19 2015年上海市春季高考模拟试卷四 ......................................................... 29 2015年上海市春季高考模拟试卷五 ......................................................... 38 2015年上海市春季高考模拟试卷六 (49)2015年上海市春季高考模拟试卷一一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、函数1()x f x x+=的定义域是 ． 2、已知全集{}21,0,1,2U =--，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3、已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5、若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2l i m 1n n Sn →∞-= ． 7、直线1310l x y -+=：，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．8、已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9、2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10、已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12、已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a ≥B ．0a ≤C ．2a ≥D ．2a ≤．14、已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 15、现给出如下命题：①若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面；②空间三点确定一个平面；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； ④样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 ( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③④D ．③④16、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤ B. 9a ≥或7a ≤- C. 2a ≤-或4a ≥ D. 24a -<<17、不等式1|2|≤-x 的解集是（ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]- 18、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则""βα⊥是""β⊥m 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是（ ）A.、9B.16C.25D.225 20、函数||y m x =与21y x =+在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（ ）A.2m >B.2m ≥C.1m ≥D.1m > 21、设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10D ．不存在22、已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x （ ）A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）24、已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足（ ） A ．abk >|| B ．a b k <|| C ．ba k >|| D ．bak <||三、解答题 25、（本题满分7分）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=，443S ≤≤．求函数22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-的最大值、最小值．A DC 1D 1 A 1B 1BC26、（本题满分7分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离. 27、（本题满分8分）用行列式讨论关于,x y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况，并说明各自的几何意义. 28、（本题满分13分） 已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[)x A a b ∈=，(A D ⊂≠，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．29、（本题满分13分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是2(2,0)F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线l 的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于BA ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上． （3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．附加题30、（本题满分8分）某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数2()300020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()500C x x b =+（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．（1）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（2）在经济学中，对于函数()f x ，我们把函数(1)()f x f x +-称为函数()f x 的边际函数，记作()Mf x ．对于（1）求得的利润函数()P x ，求边际函数()MP x ；并利用边际函数()MP x 的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等） 31、（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足223()n n S a n N *+=∈.数列1112n n n b a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若对于任意n N *∈，不等式(1)n b n λ≥+恒成立，求实数λ的最大值.31、（本题满分14分）已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．（1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；（3）记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C ：2222221(0)x y a b c a b a b +=>>=-，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．2015年春季高考模拟 一参考答案1、[10)(0)，，-? ；2、{}0；3、21log (1)y x x =+ ；4、63y x =；5、2a = ；6、1；7、6p ；8、1；9、3003；10、6-；11、34；12、38215+；13-16BADC ；17-20BBCD ；21-24BCAA25、∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，，443S ≤≤，又1s i n 2S b c x =，∴cos 8bc x =，4tan S x =即 1tan 3x ≤≤∴所求的x 的取值范围是43x ππ≤≤.∵43x ππ≤≤，22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，∴252366x πππ≤+≤，13sin(2)262x π≤+≤. ∴min max ()()2()()3134f x f f x f ππ====+，.26、建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A ，，、1(0,,)D a a 、1(,0,)B a a 、1(,,)C a a a ，向量1()C A a a a =---，，，1(0)AD a a =，，，1(,0,)AB a a =．设()n x y z =，，是平面11AB D 的法向量，于是，有1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ay az ax az +=⎧⎨+=⎩．令1z =-，得11x y ==，．于是平面11AB D 的一个法向量是(1)n =，1，-1．因此，1C 到平面11AB D 的距离1||33||C A n d a n ⋅==．(也可用等积法求得) 27、()()4221m D m m m ==-+，()242x m D m m m m +==-，()()2211y m m D m m m+==-+（1）当2m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x DD y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即212m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩+； （2）当2m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为()2R 2x t tt y =⎧⎪-∈⎨=⎪⎩； （3）当2m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 几何意义：设1:42l mx y m +=+，2:l x my m += 当2m ≠±时，方程组唯一解，则直线1l 与2l 相交； 当2m =-时，方程组无解，则直线1l 与2l 平行； 当2m =时，方程组无穷多解，则直线1l 与2l 重合.28、（1）∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121l o g l o g 011aam mx m mxx x---++=+-． 化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =．∴1()log (11)1a x f x D x -==-+，，． （2）当1a >时，函数1()log (11)1a xf x D x-==-+在，上是单调减函数． 理由：令12111x t x x-==-+++． 易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x+在(11)D =-，上是随x 增大而减小， 故12111x t x x-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 于是，当1a >时，函数1()log (11)1axf x D x-==-+在，上是单调减函数 （3） ∵[)A a b D ⊂=≠，，∴011a a b <<<≤，． ∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1axf x A x-=+在上是增函数， 即1()1log 11a af a a-==+，，解得21(21)a a =-=--舍去．若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1a bb-+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有1b =．因此，所求实数a b 、的值是211a b =-=、． 29、（1）2=c 222b ac +=2234a a +=∴ 3,122==∴b a 1322=-∴y x 双曲线为． （2）:l 0)2(=+-y x m 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=13222y x m m x y 得0344)3(2222=--+-m x m x m由0>∆，得0)34)(3(4224>+-+m m m ，0391222>-+m m ，恒成立即012>+m121200x x x x +>⎧⎨⋅>⎩又 ，03340342222>-+>-m m m m ，32>∴m (,3)3,)m ∴∈-∞-+∞ 设),(),,(2211y x B y x A ，则3222221-=+m m x x 36232222321--=+--=+m mm m m y y )36,32(222---∴m mm m M AB 中点3)3(12963)3(36)3()3(3)3(36)132(3222242222222222222=--++⋅=---+⨯=----m m m m m m m m m m m m 上在曲线3)1(322=--∴y x M ．（3）),(),,(2211y x B y x A , 为锐角使设存在实数AOB m ∠,,0>⋅OB OA 则 02121>+∴y y x x因为221221221214)(2)2)(2(m x x m x x m m mx m mx y y ++-=+-+-=04)(2)1(2212212>++-+∴m x x m x x m0)3(48)34)(1(22422>-+-++∴m m m m m 即0123722>-+m m532<∴m ， 矛盾与32>m ，不存在∴ 30、（1）由题意，0,4000x b ==，所以()5004000C x x =+22()()()30002050040002025004000,0100P x R x C x x x x x x x =-=---=-+-≤≤2125()20()741252P x x =--+（0100x ≤≤，x N ∈），所以62x =或63x = max ()(62)63)74120P x P P ===（百元）（2）()(1)()402480MP x P x P x x =+-=-+（099x ≤≤，x N ∈）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当0x =时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当62x =时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大31、（1）12a =，223n n S a += 11223n n S a +++=()n N *∈ 所以11233n n n a a a ++=- 即：13()n na n N a *+=∈恒成立 所以，{}n a 为以2为首项，公比为3的等比数列。
2015年上海市高考数学试卷模拟卷
2015年上海市高考数学试卷模拟卷(理科)一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零1．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ，则)(N C M U ⋂= ．2、如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么αsin ＝ ． 3．不等式120010321x x x +-≥的解为 ． 4．在二项式52)1(xx -的展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字表示） 5．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z zi||231_____（其中z 是z 的共轭复数）． 6．若函数2()log f x x =，则方程112()2x f x --=的解x = ．7．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127．则该样本的标准差=s8.在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．9．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P=____.10．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ．11.已知等差数列{}n a 中，,101=a 当且仅当5=n 时，前n 项和n S 取得最大值，则公差d 的范围是.___________12．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A 、B 、C 三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=⋅+-⋅成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知1(3,1)P 、2(1,3)P -，且向量3OP 是直线:100l x y -+=的法向量，则“向量3OP 关于1OP 2OP 和的终点共线分解系数”为 ．13．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14. 已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16.观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n ++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n -+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈(C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈17．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表 示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对18设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10．（1）求棱1A A 的长；（2）求点D 到平面11A BC 的距离．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.21．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每x 小时通过管道向所管辖区域供水x 8千吨．（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+F F F ．若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线033:=--y x l 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右顶点为B ，过椭圆右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N两点．ABCD1A 1C 1D①（理）当MBN ∆的面积为726时，求直线l（文）当1=k 时，求MBN ∆的面积；②（理）在x 轴上的点)0,(m P 与点N M ,构成以MN 取值范围．（文）试问：MBN ∆能否为锐角三角形？若能，请求出k 的范围；若不能，请说明理由．23．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 ．从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列．（1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．。
2015年徐汇区一模(春考模拟)试卷
2014学年徐汇区学业水平考（春考）模拟考试高三数学学科（考试时间：90分钟，满分120分） 2014.12一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1、设全集{}{}1,2,3,4,5,6,7=2,4,6U A =，，则=U A ð__________.2、已知i 是虚数单位，则复数1i -的虚部是___________.3、函数()()3log 1f x x =-的定义域为___________.4、函数()f x =的反函数()1f x -=_________.5、已知双曲线2216x y m-=的焦距为14，则实数m =_________.6、函数2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像中两条相邻对称轴之间的距离是_________.7、若等差数列{}n a 的公差为2，且124,,a a a 成等比数列，则1a =_________.8、直线3x =30y -+=的夹角是________.9、已知圆锥的母线长为2_________. 10、若1sin cos ,,82παααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=_________.11、点(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，则22x y +的取值范围是__________.12、已知ABC ∆得顶点()()4,0,4,0A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，且B 点不在长轴上，则sin sin sin A C B+=__________.二、选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分. 13.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.以上都有可能14.在数列{}n a 中，若2*(1)()n n a n N =-∈，则数列{}n a 的极限值是（ ）A.1-B.1C.1或1-D.不存在 15.抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =B. 1x =C. 2x =-D. 1x =-16.“ a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 17.函数()2x f x x =+的零点所在的区间是（ ） A. 1(1,)2-- B. 1(,0)2- C. 1(0,)2 D. 1(,1)218.从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，所取的3个球中至少有一个白球的取法种数是（ ）A.10B.3C.6D.919、已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（ ） A. 2-或52B. 2-C.52D. 52-20、设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 21、某算法如右图所示，若输入27,12A B ==，则输出的结果是（ ）A.27B. 3C. 0D. 1222、若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）A.10B. 20C. 30D. 3523、若长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A. B.C. 50πD.200π24、已知函数()()=1xf x x R x∈+，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.对任意x R ∈，等式()()0f x f x -+=恒成立 B. 函数()f x 的值域为()1,1-C. 对任意12,x x R ∈，若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠D. 方程()0f x x -=在R 上有三个根三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 25、（本题满分6分） 已知集合{{}{}2230,12A x xx B x x =+-<=-≥，求AB .26、（本题满分7分）如图：在长方体1111ABCD A B C D -中，11AC 的中点为1O ，12,3AB BC AA ===，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.27、（本题满分9分）已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()22f x x x =+.若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围.A 128、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分 已知椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 做垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P .（1）求2PF ；（2）过右焦点2F 的直线l ，它的一个方向向量()1,1d =，与椭圆相交于A B 、两点，求1F AB 的面积 29、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()()()2*,,1,1N n n AB S p a CD p n =-=-∈，满足//AB CD ，（其中p 为正常数，且1p ≠）（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若87p =，数列{}n b 对任意*N n ∈，都有 ()12121321718n n n n n b a b a b a b a n n +--⎛⎫++++=-+⋅ ⎪⎝⎭成立，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，最大项是第几项；若不存在，说明理由.2014学年徐汇区学业水平（春考）模拟卷高三数学学科（附加卷）（考试时间：40分钟，满分30分） 2014.12本大题共有3题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 1. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.已知函数()()121,02x x f x a R a a+-+=∈>+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当2a =时，求函数()f x 的值域.2. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.如图，某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径是98米，匀速旋转一圈需要18分钟，如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.（1）当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？（2）当此人距离地面不低于59米时可以看到乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到乐园的全貌？3.（本题满分14分）本题共有3个小题，第2小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分4分.已知数列1234,,,n A x x x x x ⋅⋅⋅：，满足{}()0,11,2,3,i x i n ∈=⋅⋅⋅.定义变换():T A T 将数列A 中原有的每个“1”都变成“0,1”，原有的每个“0”都变成“1,0”，顺序保持不变.若数列()()01:1,0,0,1,2,k k A A T A k +==⋅⋅⋅，规定k A 中连续两项都是1的数列（1,1）的个数为k a ，连续两项是1,0的有序数对()1,0的个数为k b . （1）求数列12,A A ；（2）分别写出1k a +与k b ，1k b +与k a 满足的关系式（只须写出结果）； （3）求k a 的表达式.。
2015年上海春季高考数学试卷
2015年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共36道试题，满分150分．考试时间130分钟（学业水平考，共29题，满分120分．考试时间90分钟；附加题共7题，满分30分．考试时间40分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．第I 卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．设全集{1,2,3}U =．若{1,2}A =，则U A =ð ． 2．计算：1i i += （i 为虚数单位）．3．函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ．4．计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ．5．以点(2,6)为圆心、1为半径的圆的标准方程为 ．6．已知向量(1,3)a =r ，(,1)b m =-r．若a b ⊥r r ，则m = ． 7．函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域是 ．8．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ． 9．方程lg(21)lg 1x x ++=的解为 ．10．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 11．用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）．12．已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ．若动点M满足22122C M C C C A =+uuuu r uuuu r uuu r，则M 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）11a b>（B ）a b ->（C ）22a b > （D ）33a b <14．函数()21y x x =≥的反函数为（ ）（A ）)1y x =≥ （B ）)1y x =≤- （C ）)0y x =≥ （D ）)0y x =≤ 15．不等式2301x x ->-的解集为（ ）（A ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）()2,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ （D ）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16．下列函数中，是奇函数且在()0,+∞单调递增的为 （ ） （A ）2y x =（B ）13y x =（C ）1y x -= （D ）12y x-=17．直线3450x y --=的倾斜角为 ( )（A ）3arctan 4 （B ）3arctan 4π- （C ）4arctan 3 （D ）4arctan 3π-18．底面半径为1、母线长为2的圆锥的体积是 （ ）（A ）2π（B （C ）23π （D ）319．以点()3,0-和()3,0为焦点、长轴长为8的椭圆方程为（ ）（A ）2211625x y += （B ）221167x y += （C ）2212516x y += （D ）221716x y +=20．在复平面上，满足1z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 所对应的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）圆 （C ）线段 （D ）直线 21．若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）n S 单调递减 （B ）n S 单调递增 （C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值22．已知0a >，0b >.若4a b +=，则（ ） （A ）22a b +有最小值 （B（C ）11a b+有最大值（D23．组合数()12**22,,m m m n n n C C C n m m N n N --++≥≥∈∈恒等于（ ）（A ）2m n C + （B ）12m n C ++ （C ）1m n C + （D ）11m n C ++ 24．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b R ∈．下列说法正确的是（ ）（A ）对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （B ）对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 （C ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （D ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 25．（本题满分8分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1D B 和平面ABCD所成角的大小为1A26．（本题满分8分）已知a是实数，函数24()x axf xx++=是奇函数，求()f x在()0,+∞上的最小值及取到最小是时x的值.27．（本题满分8分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30︒方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1︒）？28．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，126F F =，()10,B b -， ()20,B b .（1）若a =(3,4)d =-u r为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若在双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-uuu r uuu r，求b 的取值范围.第II 卷一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分． 1．对于集合A B 、，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠I U ”的( )(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 （D ）既非充分又非必要条件2．对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） (A) {}4,0- （B ）[]4,0- (C) ](0-∞， （D ）][(40-∞-∞U ，,+)3．已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．4．关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．5．已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则BC =u u u r．6．函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ．三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 7． 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的 “()h x 关联函数”。
上海市徐汇、宝山、杨浦2015年高考模拟考数学试卷(理)及答案
y
3cos 4sin
(
为参数，
2
)的交点坐标是
．
8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙
至多一人击中目标的概率为
．
B1
C1
1
2
a12 a22
a1i a2i
a1n a2n
A1
则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为
．
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
a
，二项式
mx2
1 4 x 的展
开式中
x3
项的系数为
a 2
，则常数
m
．
12．设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， g(x) 是定义域为 R 的偶函数，若函数
f (x) g(x) 的值域为[1,3) ，则函数 f (x) g(x) 的值域为
9．矩阵 3
a32
a3i
a3n
中每一行都构成公比为
2
的等比数列，第
n an2 ani ann
B
C
i
列各元素之和为
Si
，则
lim
n
Sn n2 2n
．
A
10．如图所示：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC ， AB BC BB1 ,
点 O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁
的焊接点 A, B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为 C, D ．已知梯形的高是
上海市徐汇区2015届高三数学一模试题理(含解析)
上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。
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2015年上海市春季高考模拟试卷六一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、不等式304xx -≤+的解集是___________. 2、在ABC ∆中，角,,C A B 满足sin :sin :sin 1:2:7A B C =，则最大的角等于________. 3、若复数z 满足()2z i z =-（i 是虚数单位），则=z ____________. 4、已知全集U R =,集合{}{}0,,13,A xx a x RBx x x R =+≥∈=-≤∈，若()[]2,4U C A B =-,则实数a 的取值范围是___________. 5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 6、设直线1:20l ax y +=的方向向量是1d ，直线()2:140l x a y +++=的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则a =_________.7、若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式101x x a>-+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.9、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p =_________.10、设函数()()[)()36log 1,6,3,,6x x x f x x -⎧-+∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩的反函数为()1f x -，若119f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()4f a +=__________. 11、设()8,a Rx a ∈-的二项展开式中含5x 项的系数为7，则()2l i m nn a a a →∞+++=_________.12、已知定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有3个不同的实数根123,,x x x ，则222123x x x ++=____________.二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 14、已知z 是复数，21,2z i i+=+-则z =（ ） A . 1i - B . 2i + C . 12i - D . 3i + 15、不等式11xx <+的解集是（ ） A . {}10x x -<< B . {},1x x R x ∈≠-且 C . R D . {}01x x << 16.已知,,i j k 表示共面的三个单位向量, i j ⊥,那么()()i k j k +⋅+的取值范围是（ ） A . []3,3- B . []2,2- C . 21,21⎡⎤-+⎣⎦ D . 12,12⎡⎤-+⎣⎦17、已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线23x π=对称，则ϕ的最小正值等于（ ） A . 8π B . 4π C . 3π D . 2π18、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）.A m αβα⊥⊂且 .B m αβα⊥且 .C m n n β⊥且 .D m n αβ⊥且19、5.甲、乙两个小组，甲组有3名男生2名女生，乙组有3名女生2名男生，从甲、乙两组中各选出3名同学，则选出的6人中恰有1名男生的概率等于（ ）A . 3100B . 4100C . 5100D . 610020、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,B A 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O为坐标原点），则实数a 等于（ ）.A 2 .B 2- .C 22-或 .D 66-或21、已知曲线210x y ++=与双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（ ）A . 22B . 23C . 4D . 2522、对于定义在实数集R 上的函数()f x ,若()f x 与(1)f x +都是偶函数，则（ ） A .()f x 是奇函数 B .(1)f x -是奇函数 C .(2)f x +是偶函数 D .(2)f x +是奇函数23、在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，二面角11B AA C --的大小等于060，B 到面1AC 的距离等于3，1C 到面1AB 的距离等于23，则直线1BC 与直线1AB 所成角的正切值等于（ ） A .7 B . 6 C . 5 D . 224、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-. 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） .A ①②③ .B ②③ .C ①③ .D ②③④ 三、解答题25、（本题满分7分）设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .26、（本题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()2s i n ,2c o s m B B = ，()3cos ,cos n B B =-，且1m n ⋅=-.（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.27、（本题满分8分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2,22PA AB AD ===，求 （1）PCD ∆的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成角的大小. 28、（本题满分13分） 在数列{}n a 中，112a =-，()*1212,n n a a n n n N -=--≥∈，设n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； 29、（本题满分12分）抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.PA BCDE30、（本题满分13分）设a 是实数，函数()42x xf x a=+-()x R ∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足()2f x a >的x 取值范围；（3）求函数()y f x =的值域（a 表示）. 31、（本题满分18分）设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ). （1）若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.2015年春季高考模拟试卷2015年春季高考模拟试卷六参考答案1、()[),43,-∞-+∞；2、23π；3、2；4、(),4-∞-；5、12；6、23-；7、223π；8、()2,2-；9、4；10、2-；11、13-；12、5； 13-17、CABDD 18-24CACDC AB25、（1）由28150x x -+=得3x =或5x =，所以{}3,5A =.若15a =，得1105x -=，即5x =，所以{}5B =，故B A Ü. （2）因为{}3,5A =，又B A ⊆.①当B =∅时，则方程10ax -=无解，则0a =； ②当B ≠∅时，则0a ≠，由10ax -=，得1x a =，所以13a =或15a =，即13a =或15a = 故集合11035C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，.26、（1）【3π】（2）【 3】 27、（1）【23】（2）【 4π】28、（1）略（2）【222n n n T +=-】29、（1）【24y x =】（2）【2】（3）【3-】 30、（略）31、解：（1）222,4y x a aQ b b y xab ⎧=⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=⎪⎩， 代入22211a y mx m b b ⎛⎫=+∴=+ ⎪⎝⎭2220ma b b ⇒+-=当1m =时，点 (,)P a b 在圆:M ()2211x y +-=上（2）(),P a b 在椭圆2241x y +=上，即()2221a b += ∴可设1cos ,sin 2a b θθ==又2,a Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2Q Q a x b y b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩222222242cos sin sin Q Q a y mx m m b b θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222164cos 16sin sin m θθθ=-=（令4m =）∴点Q 在双曲线22416y x -=上 （3）圆M 的方程为()2211x y +-=设()()1122:,,,,,AB x ky A x y B x y λ=+由1OA OB ⋅=()()2222222211221122121111221x y x y y y y y y y +⋅+=--+⋅--+=⋅=⇒1214y y = 又()22111x y x ky ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩ ()()2221210k y k y λλ⇒++-+=，21222111421y y k k λλ∴==⇒=++又原点O 到直线AB 距离21d k λ=+ 12d ∴=，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴直线AB 恒与圆221:4S x y +=相切.。