合情推理—归纳推理
归纳推理之合情推理
天空乌云密布，你能得出什么推断？
已知 判断
前提
新的 判断 结论
推理 是人们思维活动的过程，是根
据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程。
铜能导电 铝能导电 金能导电
部分 银能导电 个别 180 三角形内角和为
。
一切金属都 能导电.
整 体
凸n一 边形内 般 角和为
凸四边形内角和为360
4
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
n n 1个点.
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【例2】对自然数n，考察 n n 11 的结果情况：
2
n 0 1
2 3 4 5 …
n 2 n 11
11 11 13 17 23 31 …
【例3 】观察下列的等式,你有什么猜
2 2
对于所有的自然数n，n n 11的值都是质数。
2
归纳推理的特点:
(1). 从特殊到一般；
(2).具有创造性； (3).具有或然性。
合情推理是冒险的， 有争议的和暂时的． －－波利亚
例1：观察下列算式： 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
大胆猜想:
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
2 1 5, 2 1 17, 23 24 2 1 257, 2 1 65537 ,
21
22
归纳推理的 一般步骤
合情推理
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当当nn==23时时,,aa23==
3 7
当n=4时,a4= 15
猜想 an= 2n -1
2
1
3
练习题1：
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗 里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其 中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底 层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放. 从第一层开始， 每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个 乒乓球，试表示第n堆的乒乓球总数。
13 1
13 23 9 32 (1 2)2 13 23 33 36 62 (1 2 3)2 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2
13 23 33 L n3 (1 2 3 L n)2
n2 (n 1)2
4
2、下面是一系列有机物的结构简图，图中的
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
3.合情推理：
①前提为真，结论可能为真的推理，叫做合情推理. ②归纳推理与类比推理是数学中常用的合情推理；
归纳推理的定义:
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理； 或者 由个别事实概括出一般性的结论的推理,
练习题2：
观察下列等式： cos2x=2cos2x-1； cos4x=8cos4x-8cos2x+1； cos6x=32cos6x-48cos4x+18cos2x-1； cos8x=128cos8x-256cos6x+160cos4x-32cos2x+1； cos10x=mcos10x-1280cos8x+1120cos6x+ncos4x+pcos2x-1
合情推理-归纳推理教案人教版
知识讲解：
清晰、准确地讲解合情推理-归纳推理知识点，结合实例帮助学生理解。
突出合情推理-归纳推理重点，强调合情推理-归纳推理难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕合情推理-归纳推理问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与合情推理-归纳推理内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。
情感升华：
结合合情推理-归纳推理内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习合情推理-归纳推理的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
C. 演绎推理
D. 生活实例
4. 归纳推理的目的是（ ）
A. 发现规律
B. 解决问题
C. 验证假设
D. 提出假设
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 归纳推理是从________到________的过程。
2. 归纳推理的步骤包括________、________、________和________。
2. 请针对以上实践题中的结论，设计一个实验进行验证。
五、思维拓展题（共15分）
1. 请谈谈你对归纳推理在科学研究中的作用的看法。
2. 请结合归纳推理的方法，提出一个关于生活中某一现象的假设，并设计一个实验进行验证。
2. 拓展要求：
（1）学生自主选择拓展内容，进行课后学习，提高学生的自主学习能力。
（2）学生可以就拓展内容中的疑问和困惑，向教师请教，教师给予必要的指导和帮助。
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
合情推理1归纳推理
利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该
类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或
者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、
由个别到一般的推理。
例如： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们 受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分 子彼此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
2 1+3+„+(2n－1)=n ．
又如：
13=1=12 ， 13+23=9=32， 13+23+33=36=62， 13+23+33+43=100=102， „„
an 例2:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1 = 1 + an (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
合情推理
二.类比推理：
例3 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
例3：把直角三角形中的勾股定理类比到空间几何体中。
事实，经过观察、 分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的 推理过程，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情 推理是指“合乎情理”的推理。
检验猜想
例1：观察并猜想
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
an * a ( n N )， 例2：数列{an}的首项a1=1，且满足 n1 1 an
试归纳出这个数列的通项公式。
火星上是否有生命？
科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地 球类似的特征：火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星， 也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部 分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等。由 此，科学家猜想：火星上可能有生命存在。 对比火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的 一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有 这个特征。
一个不小于6的偶数总可以表示成两个奇质数之和。
一.归纳推理:
1.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 2.过程： 有限的个体信息
观察分析 猜想一般性结论
生活中的仿生学： 1.鲁班类比带齿的草叶，发明了锯；
2.仿照鱼在水中的沉浮原理，发明了潜水艇； 3.仿照天空中飞翔的鸟，发明了飞机。
灌南高级中学高二年级下学期数学导学案：合情推理--归纳推理
1．什么叫推理？从结构上说,推理一般由哪两部分组成？请分析一下.
2．合情推理的两种主要形式是什么？
3．什么样的推理叫归纳推理？它的思维过程是什么？
4．归纳推理有哪些特点？
5.对任意的正整数n,猜想n 2与2
n 的大小.
通过观察以上两个式子，请你写出一般性的命题，并加以证明.
7.设,),()(,),()(),()(,cos )(*
112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+
则=)(2008x f .
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行 (3≥n )从左向右的第3个数为 .
1.已知,6,321==a a 且n n n a a a -=++12,则33a = .
2.从222576543,3432,11=++++=++=中,可得一般规律为 .
3.已知数列{}n a 满足:3
3,311+==+n n n a a a a ,试通过计算5432,,,a a a a 的值,推测出=n a .
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 . 5.)(131211)(*N n n
n f ∈++++
= , 经计算27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有 . 6.当5,4,3,2,1=n 时,41)(2
++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数. 由归纳法你能得到什么猜想?所得的猜想正确吗?。
推理证明
4．(2012·陕西)观察下列不等式 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， …… 照此规律，第．五．个．不等式为________．
解析：由前几个不等式可知
1
＋
1 22
＋
1 32
＋
1 42
＋
…
＋
1 n2
2n－1 <n.
【答案】 962
变式迁移
对于集合 N＝{1,2,3，…，n}及其他的每一个非空子集，定义 一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从
最大数开始交替地减、加后边的数．例如：集合{1,2,4,6,9}的交替 和是 9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为 5；当集合 N 中的 n ＝2 时，集合 N＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的 “交替和”的总和 T2＝1＋2＋2－1＝4，请你尝试对 n＝3，n＝4 的情况，计算它的“交替和”的总和 T3，T4，并根据其结果猜测 集合 N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Tn ＝________.(不必给出证明)
【解析】 E 在 AC 上， OE 的方程为：1b－1cx＋1p－1ay＝0. F 在 AB 上，它们的区别在于 B，C 互换． 因而 OF 的方程应为： 1c－1bx＋1p－1ay＝0.∴括号内应填：1c－1b.
【答案】 1c－1b
【探究提高】 “观察、类比”是解决本题的基本思路， 由于直线 OE，OF 在图形上的“对称性”在其方程上也必然 有某种“对称性”，观察直线 OE 的方程和题目中给出的直 线 OF 的部分信息，它们的共性是 y 的系数一样，那就只有 x 的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答 了．
合情推理—归纳推理
随着人工智能应用的广泛，归纳推理的可解释性成为了一个重要问题， 未来将有更多研究关注如何提高归纳推理的可解释性。
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合情推理的结论通常是确定 的，而归纳推理的结论通常 是不确定的，因为归纳推理 是基于有限的事例进行的。
04 合情推理的实际应用
商业决策
01
市场需求预测
通过分析历史销售数据和市场趋 势，推断未来市场需求和产品发 展方向。
竞争分析
ห้องสมุดไป่ตู้02
03
风险评估
通过研究竞争对手的产品、价格、 市场占有率等信息，评估自身竞 争优势和劣势。
归纳推理的定义
归纳推理是从个别到一般的推理过程，即从具体事例出发，通过观察、实验和分析，形成一般性的结 论或规律。
归纳推理的结论不是基于前提必然得出的，而是基于大量实例和经验，通过概括和总结得出的。
归纳推理的特点
1
归纳推理的结论是建立在大量实例和经验基础上 的，因此具有或然性，即结论不一定完全准确。
归纳推理在数学和逻辑学中也具有重要地位， 如在数学中的归纳法，逻辑学中的归纳逻辑等。
归纳推理在人工智能领域也得到了广泛应用， 如机器学习和数据挖掘等。
03 合情推理与归纳推理的联 系与区别
联系
都属于推理范畴
合情推理和归纳推理都是推理的两种基本形式，它们都是从已知事实出发，通过一定的逻辑或经验规则推导出未知事 实的思维方式。
合情推理与归纳推理
目 录
• 合情推理概述 • 归纳推理概述 • 合情推理与归纳推理的联系与区别 • 合情推理的实际应用 • 归纳推理的实际应用 • 合情推理与归纳推理的未来发展
01 合情推理概述
什么是推理
一、什么是推理推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。
在日常生活和科学研究中经常使用两种推理——合情推理和演绎推理。
二、什么是合情推理1、归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概栝出一般结论，（简称归纳）部分推出整体，个别推出一般。
例如：哥德巴赫猜想可以把77写成三个素数之和：77=53+17+7；可以把461写成三个素数之和：461=449+7+5；……任何大于7的奇数都是三个素数之和。
2、类比推理由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理称为类比推理。
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
例如：乘法交换律和结合律加法作为一种运算，具有交换律和结合律；乘法作为加法的一种简便运算，也应该具有交换律和结合律。
3、合情推理类比推理和归纳推理的过程如下：从具体问题出发——观察、猜想、比较、联想——归纳、类比——提出猜想。
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想得推理。
我们把它们统称为合情推理。
合情推理是指“合乎情理”的推理。
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。
三、什么是演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
演绎推理也称为逻辑推理。
“三段论”是演绎推理的一般形式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提，所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
例如：三角形内角和是180度，有一个图形是三角形，它的内角和一定是180度。
四、合情推理与演绎推理的主要区别是什么归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
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二、合情推理 合情推理
归纳推理 类比推理
1，归纳推理
观察到： 3+7=10 #43;7 6=3+3 推广 20=3+17 8=3+5 30=13+17 10=5+5 12=5+7 14=7+7 偶数=奇质数+奇质数 16=5+11 …… 1000=29+971 猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数 之和。
解： 当n=1时， a1=1; 当n=2时，
1 1 a2 ; 11 2
当n=4时，
1 a3 1 4 1 3 1 3
观察可得，数列的前 当n=3时， 4项都等于相应序号 1 1 的倒数，由此猜想， a3 2 1 3 这个数列的通项公式 1 为： an 1 2 n
五、课堂练习 课本P38 练习:1、2。 六、课堂小结 请同学们自己小结本节方法内容。 七、课外作业
例2、已知数列{an}的第一项a1=1, an 且an+1= 1 a (n=1,2,……)，试归 n 纳出这个数列的通项公式。 分析：数列的通项公式表示的是数列 {an}的第n项an与序号n之间的对应关 系。为此，我们先根据已知的递推公 式，算出数列的前几项；然后，再根 据其特征归纳推理出它的通项公式。
课本P44 习题2.1 A组:1、2、3、4。
3.归纳推理:由某类事物的部分对象 具有某些特征，推出该类事物的全部 对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理称为 归纳推理。 简之：由部分到整体，由个别到一般 的推理。 4.部分到整体 由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳 出“一切金属都导电”；
5.个别到一般： 由直角三角形，等腰三角形，等边三 角形的内角和是1800，归纳出“所有 三角形的内角和都是1800。 四、应用举例 例1、观察图1-1，可以发现： 1+3=4=22 1+3+5=9=32 由上述具体事实 1+3+5+7=16=42 能得出怎样的结 1+3+5+7+9=25=52 论？ ……
例1：发现 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52由上述具体事实 能得出怎样的结论？
解：将上述事实分别叙述如下： 前2个奇数的和等于2的平方； 前3个奇数的和等于3的平方； 前4个奇数的和等于4的平方； 前5个奇数的和等于5的平方； ……………… 由此猜想：前n个连续奇数的和等于 n的平方， 即：1+3+5+7+……+（2n-1）=n2
§2.1 合情推理与演绎推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子 ⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。 我们会推断—天要下雨啦；
⑵张三今天没有来上课。 我们会推断—张三生病啦；
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来 年正月十五雪打灯”。等等。 合情推理 3.分类： 推理