合情推理和演绎推理训练

合情推理和演绎推理训练

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推理与证明

★知识网络★

第１讲 合情推理和演绎推理

★知识梳理★ １.推理

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理．

从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断,叫结论.

２、合情推理：

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:

（1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★

重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推

理

推

证合情演绎归类直接间接

数学综

分

反

与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律

重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性

问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;….对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a

2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征

问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真命题为 ．

点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一

直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22

2||a

b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理

问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］=

点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3

★热点考点题型探析★

考点１ 合情推理

题型1 用归纳推理发现规律

［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2

3135sin 75sin 15sin 020202=

++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性”

[解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202=

+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2

3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型

(2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组

蜂

巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有７个蜂巢,第三个图有19个蜂巢，按此规律,以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =＿____;()f n ＝____＿____＿＿.

【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式

[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f

133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

【新题导练】

1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式: 2213=+ 23135=++ 241357=+++

3235=+ 337911=++ 3413151719=+++

根据上述分解规律，则2513579=++++， 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是７3,则m

的值为___ ．

[解析]3m 的分解中,最小的数依次为3,7，13，…,12+-m m ，…，

由7312=+-m m 得9=m

2. (2008惠州调研二理)函数()f x 由下表定义:

若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =,则2007

a = 4 ． [解析]50=a ,21=a ,12=a ，43=a , ,54=a ，n n a a =∴+4,432007==a a

点评：本题为循环型

3. （200８深圳调研)图(1）、(2）、(３）、(４）分别包含1个、5个、13个、2５个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”,则(5)f = ;()(1)f n f n --= ．(答案用数字或n 的解析式表示）

[解析])1(4)1()(,41)5(-=--=n n f n f f

４. (２008揭阳一模)

设010211()cos ,()'(),()'(),

,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈

则2008()f x ＝（ ）

A. sin x -

B. cos x -

C. sin x

D. cos x