6-5第五节合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)

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2015届高考数学(文)基础知识总复习课时精练：第6章第5节合情推理与演绎推理]

第五节合情推理与演绎推理1．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，如下图，则第n 个三角形数为( )A ．n B.12n (n ＋1)C ．n 2－1 D.12n (n －1)答案：B2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式解析：A 、D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用的“三段论”是演绎推理．答案：C 3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”；④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”．以上类比得到的正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：由向量的数量积的概念知“a ·b ＝b ·a ”正确；由向量的运算法则知“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”正确；当a ，b 都与c 垂直时，“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”不正确；当a ⊥b 时“|a ·b |＝|a |·|b |”不正确．故选C.答案：C 4．无限循环小数为有理数，如：0.1·，0.2·，0.3·，…，观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝13，…，则可归纳出0.4· 5·＝( )A.12B.511C.120D.51104．解析：观察知0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝39，…，所以可归纳出0.4· 5·＝4599＝511.答案：B5．(2013·衡水调研)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13112解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13112.故选D. 答案：D 6．(2012·深圳二模)无限循环小数可以化为有理数，如0.1·＝19，0.1· 3·＝1399，0.0·15·＝5333，…，请你归纳出0.01·7·＝__________________⎝⎛⎭⎪⎪⎫表示成最简分数m n ，m ，n ∈N *.解析：0.01·7·＝110×0.1· 7·，由已知三个数值可归纳得0.1· 7·＝1799，所以0.01·7·＝17990. 答案：179907．(2013·佛山一模)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；…，则第5个不等式为__________________________．解析：由①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；归纳可知第四个不等式应为12＋16＋112＋120<2；第五个不等式应为12＋16＋112＋120＋130＜ 5.故答案为12＋16＋112＋120＋130＜ 5.答案：12＋16＋112＋120＋130＜ 58．(2012·皖南八校联考)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据以上规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝________________(结果用具体数字作答)．解析：观察前3个等式发现分别从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等于右边的分别是这几个数的和的平方，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝(1＋2＋…＋8)2＝362＝1 296.答案：1 2969．(2013·宝鸡检测)考察下列一组不等式：23＋53＞22×5＋2×52，34＋64＞3×63＋33×6，55＋95＞52×93＋53×92，652＋752＞62×712＋612×72，…将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________．解析：依题意得，推广的不等式为a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a ＞0，b＞0，a≠b，m＞0，n＞0)．答案：a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a＞0，b＞0，a≠b，m＞0，n ＞0)10．(2013·重庆一中月考)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：x0x＋y0y＝r2，类比以上结论有：双曲线：x2a2－y2b2＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：_______________________.解析：设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2、y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x2 a2－y2b2＝1上任一点为(x0，y0)，则有切线方程为x0xa2－y0yb2＝1(这个结论是正确的，证明略)．答案：x0xa2－y0yb2＝111．(2012·中山四校联考)如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是________________．解析：观察前几行可知，实心圆点的个数变化满足斐波那契数列，该数列的前11项是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，所以第11行的实心圆点有55个．答案：5512．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？解析：设f(n)为n个点可连的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，…，f(n)＝n n－2.因此圆周上n个点之间所连的弦共有n()n－12条(n≥2)．13．(2013·广东中山模拟)设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－1 2＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝x1＋3＋x2＋3 x1＋3x2＋3＝3x1＋3x2＋233x 1＋x2＋3x1＋3x2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33.14．已知点M (k ，l )，P (m ，n )(klmn ≠0)是曲线C 上的两点，点M ，N 关于x 轴对称，直线MP ，NP 分别交x 轴于点E (x E,0)和点F (x F,0)．(1)用k ，l ，m ，n 分别表示x E 和x F;(2)当曲线C 的方程分别为：x 2＋y 2＝R 2(R >0)，x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)时，探究x E ·x F 的值是否与点M ，N ，P 的位置相关；(3)类比(2)的探究过程，当曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)时，探究x E 与x F 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论(只要求写出你的探究结论，无须证明)．解析：(1)依题意N (k ，－l )，且klmn ≠0及MP ，NP 与x 轴有交点知：M ，P ，N 为不同点，直线PM 的方程为y ＝n －lm －k(x －m )＋n ，直线PN 的方程为y ＝n ＋lm －k(x －m )＋n ，则x E ＝nk －ml n －l ，同理可得x F ＝nk ＋ml n ＋l.(2)∵M ，P 在圆C ：x 2＋y 2＝R 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝R 2－n 2，k 2＝R 2－l 2，x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l2＝n 2R 2－l 2－R 2－n 2l 2n 2－l2＝R 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M ，N ，P 位置无关．同理，∵M ，P 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝a 2－a 2n 2b 2，k 2＝a 2－a 2l 2b 2，∴x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 2l 2b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 2n 2b 2l2n 2－l 2＝a 2(定值)．∴x E ·x F 的值与点M ，N ，P 位置无关．(3)一个探究结论是：x E ＋x F ＝0.证明如下：依题意，x E ＝nk －ml n －l ，x F ＝nk ＋mln ＋l .∵M ，P 在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，∴n 2＝2pm ，l 2＝2pk .x E ＋x F ＝n 2k －ml 2n 2－l 2＝pmk －2pmkn 2－l 2＝0.∴x E ＋x F 为定值．。

第五节合情推理与演绎推理

考点探究
解析：观察发现， 1 1 第 n 个不等式的左边＝1＋ 2＋„＋， 2 （n＋1）2 2（n＋1）－1 第 n 个不等式的右边＝， n＋1 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＜ . 2 3 4 5 6 6
考点探究
1 4 【例 2】 (2013· 银川质检)当 x∈(0，＋∞)时可得到不等式 x＋ ≥2， x＋ 2＝ x x x x 22 p ＋＋x ≥3，由此可以推广为 x＋ n≥n＋1，取值 p 等于(A) 2 2 x A．nn B．n2 C．n D．n＋1 1 4 x x 解析：因为 x∈(0，＋∞)时可得到不等式 x＋ ≥2，x＋ 2＝＋ x x 2 2
考点探究
变式探究
1 2 1 998 4x 5．设 f(x)＝ x .求和：f1 999＋f1 999＋„＋f1 999的值． 4 ＋2
4 4a 4a 4 解析：∵f(a)＋f(1－a)＝ a ＋ 1－a ＝ a ＋ 4 ＋2 4 ＋2 4 ＋2 4＋2×4a 4a 2 ＝ a ＋ a ＝1， 4 ＋2 4 ＋2 1 2 1 998 ∴f( )＋f( )＋„＋f( ) 1 999 1 999 1 999 ＝
1 1 998 f（）＋f（） 1 999 1 999
1－a
＋
2 1 997 f（）＋f（） 1 999 1 999
＋
„
＋
999 1 000 f（）＋f（） 1 999 1 999
＝1＋1＋„＋1999 个＝999.
考点探究
解析：将三角形与三棱锥类比，显然给出的半径是一致的，均为 r1，r2，r，所以类比得到的等式中的分母与已知等式的分母相同．不同的是分子，而不再是线段了，二维是线段，三维应该是面积，故把 AC BD AB 2CD 等式＋＝＋中的线段替换成相对应的面积即可，于是 r1 r2 r h S△ADC S△BCD S△ABC 2S△PDC 得到＋＝＋ . r1 r2 r h S△ADC S△BCD S△ABC 2S△PDC 答案：＋＝＋ r1 r2 r h

高三数学合情推理与演绎推理试题

高三数学合情推理与演绎推理试题1.（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.【答案】【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.【考点】推理与证明.2.观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)5 6 9猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为【考点】归纳推理.3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”，类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比正确的为()A．①②B．①④C．①②③D．②③④【答案】A【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”是错误的，如y＝＋i，|y|＝<1，但－1<＋i<1是不成立的．故选A.4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .【答案】6174【解析】把5 298代入计算，用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．故答案为：7，6174【考点】合情推理.5.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为．【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比6.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比7.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．8.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选B．9.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理10.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）【答案】【解析】等式规律为：项数为所以【考点】数列归纳11.将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；【解析】由题意，不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第二张卡片上，因为，故只能写在第三张卡片上；不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上；不能写在第二张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第一张卡片上；剩余只能放到第二，三张卡片上，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上，剩余只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【考点】逻辑推理．12.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】(1)四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成,故S=3,内部有一个格点,N=1,边界上有6个格点,即L=6.(2)取题图中的三角形ABC,四边形DEFG,再取一个边长为2的格点正方形,可得解得当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.13.已知=2,=3,=4,…,若=7,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a、t的值,a+t=.【答案】55【解析】类比所给等式可知a=7,且7t+a=72·a,即7t+7=73,∴t=48.∴a+t=55.14.如图，三角形数阵满足：（1)第n行首尾两数均为n;（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．【答案】【解析】因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为；第四行的第二个数可表示为；第五行的第二个数可表示为.….由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为.故填.【考点】1.合情推理的思想.2.关键是找到规律.15.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.16.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是() A．①B．②C．③D．以上均错【答案】B【解析】①是大前提,③是结论,②是小前提.17.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)=.【答案】【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.18.已知P(x0,y)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.19.设等差数列{an }的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn }的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【答案】【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.20.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.【答案】【解析】．【考点】归纳推理．21.已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）【答案】③【解析】，在不等式的两边同时乘以，不等号方向发生变化，即，则有.【考点】不等式的性质、演绎推理22.（文科）给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：．【答案】；【解析】根据，，，易得第个等式：【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：熟练运用归纳推理观察式子特点是解决此类问题的关键，属基础题23.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）【答案】x＋2y－z－2＝0【解析】根据法向量的定义，若为平面α的法向量，则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥，∵=（1-x，2-y，3-z），=(-1，-2，1)，∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0，即x+2y-z-2=0，故答案为x+2y-z-2=0。

高考数学(文)一轮复习 6-5合情推理与演绎推理

1 2Cnr＋1
＋
1 C1n＋2Crn＋＋11.
34
板块一
板块二
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高考一轮总复习 ·数学（文）
考向演绎推理例 5 [2017·山东调研]数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn(n∈N＋)．证明： (1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
6π－2
7
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高考一轮总复习 ·数学（文）
＝43×3×4；
sin
π9－2＋sin
29π－2＋sin
39π－2＋…＋sin
8π－2
9
＝43×4×5；
…
照此规律，
sin
2nπ＋1－2＋sin
2n2＋π 1－2＋sin
2n3＋π 1－2＋…＋sin22nn＋π1
4nn＋1 －2＝________3________.
例 4 若等差数列{an}的公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列Snn为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则等比数列
n {
Tn}的公比为(
q A.2
B．q2
) C. q
n D. q
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高考一轮总复习 ·数学（文）
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高考一轮总复习 ·数学（文）
5．[ 2017·东北三省模拟] 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只

2015届高考数学总复习第六章第五节合情推理与演绎推理课件理

(2)|x－2|≤4⇔－4≤x－2≤4⇒－2≤x≤6. 所以原不等式的解集是{x|－2≤x≤6}.
点评：解含一个绝对值符号的不等式，去掉绝对值的方法：(1) 根据绝对值的定义去掉绝对值； (2)用公式去掉绝对值，即：|x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a，|x|<a(a>0)⇔－a<x<a； (3)将不等式两边平方转化为一元二次不等式．
变式探究
3．(1)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( A．[－5,7] B．[－4,6] )
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞) (2) 已知关于 x 的不等式 |x － 1| ＋ |x ＋ a|≤8 的解集不是空集，
则a的最小值是(
A．－10
)
B．－9 C．8 D．7
解析： (1)|x － 5| ＋ |x ＋ 3| 表示数轴上的点到－ 3,5 的距离
之和，由几何意义知不等式 |x － 5| ＋ |x ＋ 3|≥10 的解集是 ( － ∞，－4]∪[6，＋∞)．故选D. (2)由|x－1|＋|x＋a|≥|1－x＋x＋a|＝|a＋1|知|a＋1|≤8，故－9≤a≤7，因此a的最小值是－9.故选B. 答案：(1)D (2)B
变式探究
1 ．设集合 A ＝ {x||x － a| ＜ 1 ， x∈R} ， B ＝ {x||x － b| ＞ 2 ， x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足________．解析：由|x－a|＜1得a－1＜x＜a＋1. 由|x－b|＞2得x＜b－2或x＞b＋2. ∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3. 答案：|a－b|≥3
第六章

2015届高考数学(文)一轮复习备选练习6-5《合情推理与演绎推理》(人教A版)word版含详析

[B 组因材施教·备选练习]1．(2014年大同模拟)已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为( )A ．44B ．45C ．46D ．47解析：依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B.答案：B2．设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x (2n －1)x ＋2n. 答案：x (2n －1)x ＋2n 3．(2014年南昌模拟)给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3，…，2 014，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是________．解析：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……，第2 010行公差为22 009，第2 014行只有M ，令每行首项组成新数列{a n }，则a 1＝1＝1＋12×20，a 2＝2＋12×21，a 3＝3＋12×22，a 4＝4＋12×23，…，a n ＝n ＋12×2n －1， ∴a 2 014＝2 014＋12×22 013 ＝2 015×22 012，得出M 是2 015×22 012. 答案：2 015×22 012。

【优化方案】2015年高考数学第六章第5课时合情推理与演绎推理复习课件新人教A版

同理可得 f(3)＋f(13)＝1，f(4)＋f(14)＝1. (2)由(1)猜想 f(x)＋f(1x)＝1.证明如下： f(x)＋f(1x)＝1＋x2x2＋1＋（（1x）1x）2 2 ＝1＋x2x2＋x2＋1 1＝1.
类比推理
(2014·山东莱芜一模)凸函数的性质定理：如果函
数 f(x)在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意 x1，
(2)(2014·山东泰安高三质检)下面图形由小正方形组成，请
观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正
方形
n（n＋1） 2
的个数是__________________．
[课堂笔记]
【解析】(1)观察等式可知，第 n 个式子为 12－22＋32－42＋… ＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n（n2＋1）. (2)由图可知，图 1 由 1 个正方形组成，图 2 由 1＋2＝3(个) 正方形组成，图 3 由 1＋2＋3＝6(个)正方形组成，图 4 由 1 ＋2＋3＋4＝10(个)正方形组成，由此可归纳出第 n 个图形由 1＋2＋3＋…＋n＝n（n2＋1）(个)小正方形组成．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β) ＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋
2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是( B )
由__特__殊____到_特__殊_____ 的推理
1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( B )
A．28
B．32
C．33
D．27

第五节合情推理与演绎推理-高考状元之路

第五节合情推理与演绎推理预习设计基础备考知识梳理典题热身1．数列O ，1，3，7，15，31的一个通项公式是（）12.-=n n a A 12.-=n n a B 12.1-=-n n a C 12.1+=-n n a D答案：C2．下列说法正确的是A ．合情推理就是归纳推理B ．合理推理的结论不一定正确，有待证明C ．演绎推理的结论一定正确，不需证明D ．类比推理是从特殊到一般的推理答案：B3．观察下式：+=++++=++=4,576543,3432,11222,,710987652=+++++则第n 个式子是 ( ) 2)12()2()1(.n n n n n A =-++++++2)12()12()2()1(.-=-++++++n n n n n B2)12()23()2()1(.-=-++++++n n n n n c2)12()13(.)2()1(.-=-+⋅+++++n n r n n n D答案：C4．两条直线相交，对顶角相等，A ∠和B ∠是对顶角，则.B A ∠=∠该证明过程中大前提是，小前提是结论是5．观察下列不等式：+++>++>31211,131211,211+++>+31211,2371 ++++>+ 31211,2151.. ,,25311 >由此猜想第n 个不等式为 ).(⋅∈N n课堂设计方法备考题型一归纳推理的应用【例1】观察：;160tan 20tan 60tan 10tan 20tan 10tan =⋅+⋅+⋅ ①.175tan 10tan 75tan 5tan 10tan 5tan =⋅+⋅+⋅ ②由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广。

题型二类比推理的应用【例2】在△ABC,中，射影定理可以表示为,cos cos B c C b a +=其中a ，b ，c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．题型三演绎推理的应用【例3】(1)证明函数x x x f 2)(2+-=在]1,(-∞上是增函数．(2)当]2,5[--∈x 时，)(x f 是增函数还是减函数？技法巧点(1)合理推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．(2)合情推理的过程概括为：(3)演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．(4)合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确，但合情理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法．而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．失误防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据，随堂反馈1．下面给出了关于复数的四种类比推理；①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质22||a a =可类比得到复数z 的性质;||22z z =③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是,042>-ac b 可以类比得到：方程 ,,(02b a c bz az =++)C c ∈有两个不同复数根的条件是;042>-ac b④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比得到的结论错误的是( )①③.A ②④.B ②③.c ①④.D答案；C2．观察下列式子：,232112<+,353121122<++ ,474131211222<+++ …由此可得出一般的结论为答案： *),2(12131211222N n n n n n∈≥-<++++ 3．（2010．江苏姜堰中学期中）如图①，数轴上),()(21x B x A 、点P 分AB 的比,λ=PB AP 则点P 的坐标 λλ++=121x x xp 成立;如图②，在梯形ABCD 中，,////BC AD EF 且λ=EB AE ，则⋅+⋅+=λλ1BC AD EF 根据以上类比，推理，如图③，在棱台ABC C B A -111中，平面DEF 与平面ABC 平行，且=DAD A 1、111,C B A ∆λ△DEF 、△ABC 的面积依次是21,,s s s 则有结论：答案： λλ++=121s s S 高效作业技能备考一、选择题1．(2011．合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是 ( )A ．“若a ．3=b·3，则,,b a =类比推出“若,00⋅=⋅b a 则,,b a =”“bc ac c b a B +=+)(.类比推出“cb c a c b a +=+” ”“bc ac c b a c +=+)(.类比推出”“)0(=/+=+c c b c a c b a ”“n n n b a ab D =)(类比推出”“（n n n b a b a +=+) 答案：C2．（2011．珠海联考）给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）； ①“若,,R b a ∈则,,0b a b a =⇒=-类比推出“若,,C b a ∈则”；b a b a =⇒=-0②“若,,,,R d c b a ∈则复数,,,d b c a di c bi a ==⇒+=+类比推出“若,,,,Q d c b a ∈则;,22”d b c a d c a ==⇒+=+③若,,R b a ∈“则”b a b a >⇒>-0类比推出“若,,c b a ∈则.0”b a b a >⇒>-其中类比结论正确的个数是 ( )0.A 1.B 2.c 3.D答案：C3．(2011．舟山模拟)定义A D D c C B B A *,*,*,*的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )D A D B A *,*. C A D B B *,*. D A c B c *,*. D A D C D *,*.答案：B4．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1，3,6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )289.A 1024.B 1225.c 1378.D答案：G5．（2010．清远模拟）,11)(xx x f -+=又记),()(1x f x f =)),(()(1x f f x f k k =+,,2,1 =k 则)(2009x f 等于 ( ) x A 1.- x B . 11.+-x x c xx D -+11. 答案：D6．如果)()()(y f x f y x f ⋅=+且,1)1(=f 则++)3()4()1()2(f f f f )2011()2012()2009()2010(f f f f ++ 等于( ) 1005.A 1006.B 2008.C 2010.D答案：B二、填空题7．（2010．陕西高考）观察下列等式：++=+3323321,32133323321,63++=,,10423 =+根据上述规律，第五个等式为答案：233333321654321=+++++8．（2011．南阳模拟）观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形.答案：289．（2011．福州模拟）根据三角恒等变换，可得如下等式：;cos cos θθ=;1cos 22cos 2-=θθ;cos 3cos 43cos 2θθθ-=;1cos 8cos 84cos 24+-=θθθ.cos 5cos 20cos 165cos 35θθθθ+-=依此规律，猜想,1cos cos cos 326cos 246-++=θθθθn m 其中=+n m答案：30-三、解答题10．已知数列}{n a 中，211=a 且),,2,1(121 =+=+n a a a n n n 写出5432,,,a a a a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式．11．（2011．青岛调研）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么FM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值，试对双曲线-22a x 122=by 写出具有类似特性的性质，并加以证明． 12.设}{n a 是集合,0|22{t s s t <≤+且}z t s ∈、中所有的数从小到大排列成的数列，即.,9,6,5,34321x a a a a ====,,12,106 =a 将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求⋅100a。

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第五节合情推理与演绎推理时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列说法正确的是()A．合情推理就是归纳推理B．合理推理的结论不一定正确，有待证明C．演绎推理的结论一定正确，不需证明D．类比推理是从特殊到一般的推理解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确．答案 B2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.方法2：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，都不是4，故只有3n－2＝4，故选C.答案 C3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( )A.B. C. D.解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．答案 A4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为，故V 1V 2＝127. 答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确；选项B 、C 不是归纳推理，因此选A.答案 A6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中所有正确叙述的序号为( )A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④解析利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________．解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2＝28，即第6个图中有28个小正方形．答案 289．(2014·湖南五市十校联考)已知两个正数a，b，可按规则c＝ab＋a＋b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p>q>0，经过6次操作后扩充所得的数为(q＋1)m(p ＋1)n－1(m，n为正整数)，则m＋n的值为________．解析不妨设a>b>0，第一次扩充c1＝ac＋c＋a＝(a＋1)c＋(a＋1)－1＝(a＋1)(c＋1)－1，第二次扩充c2＝c1c＋c1＋c＝c1(c＋1)＋(c＋1)－1＝(c1＋1)(c＋1)－1＝(a＋1)(c＋1)2－1，第三次扩充c3＝c2c1＋c2＋c1＝(c2＋1)(c1＋1)－1＝(a＋1)(c＋1)2(a＋1)(c＋1)－1＝(a＋1)2(c＋1)3－1，……第六次扩充c6＝(a＋1)8(c＋1)13－1，所以m＋n＝8＋13＝21.答案21三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知函数f(x)＝xx＋2(x>0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*.求由归纳推理得到的函数f n(x)的解析式．解f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝f(xx＋2)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋22＝x (22－1)x ＋22，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f [x (22－1)x ＋22]＝x(22－1)x ＋22x (22－1)x ＋22＋2＝x (23－1)x ＋23，…，f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n (x >0，x ∈N *)． 11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，试求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n (n 为偶数)，52n －12 (n 为奇数).12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解方法1：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法2：(1)同解法1.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。

6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)

2015届高考数学(文)基础知识总复习课时精练：第6章 第5节 合情推理与演绎推理]

第五节 合情推理与演绎推理