6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)

第五节合情推理与演绎推理

时间：45分钟分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．下列说法正确的是()

A．合情推理就是归纳推理

B．合理推理的结论不一定正确，有待证明

C．演绎推理的结论一定正确，不需证明

D．类比推理是从特殊到一般的推理

解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确．

答案 B

2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()

A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2

B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2

C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2

解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.

方法2：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，

都不是4，故只有3n－2＝4，故选C.

答案 C

3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( )

A.

B. C. D.

解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．

答案 A

4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，

外接圆面积为S 2，则S 1S 2

＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2

＝( ) A.18

B.19

C.164

D.127

解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为

，故V 1V 2＝127. 答案 D

5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )

A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2

＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2

B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数

C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)

的面积S ＝πab

D ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n

解析 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列

{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2

＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确；选项B 、C 不是归纳推理，因此选A.

答案 A

6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解

时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：

①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中所有正确叙述的序号为( )

A ．①②

B ．①③

C ．①②④

D ．①③④

解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴

f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24

＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．

答案 B

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________．

解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.

答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212

8．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．

解析 第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，

因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．

故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2＝28，

即第6个图中有28个小正方形．

答案 28

9．(2014·湖南五市十校联考)已知两个正数a，b，可按规则c＝ab＋a＋b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p>q>0，经过6次操作后扩充所得的数为(q＋1)m(p ＋1)n－1(m，n为正整数)，则m＋n的值为________．

解析不妨设a>b>0，

第一次扩充c1＝ac＋c＋a＝(a＋1)c＋(a＋1)－1＝(a＋1)(c＋1)－1，

第二次扩充c2＝c1c＋c1＋c＝c1(c＋1)＋(c＋1)－1＝(c1＋1)(c＋1)－1＝(a＋1)(c＋1)2－1，

第三次扩充c3＝c2c1＋c2＋c1＝(c2＋1)(c1＋1)－1＝(a＋1)(c＋1)2(a＋1)(c＋1)－1＝(a＋1)2(c＋1)3－1，

……

第六次扩充c6＝(a＋1)8(c＋1)13－1，

所以m＋n＝8＋13＝21.

答案21

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

10．已知函数f(x)＝x

x＋2

(x>0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*.求由归纳推理得到的函数f n(x)的解析式．

解f1(x)＝f(x)＝

x

x＋2

，f2(x)＝f(f1(x))＝f(

x

x＋2

)＝

x

x＋2

x

x＋2

＋2

＝

x

3x＋22