合情推理演绎推理专题练习及答案

合情推理、演绎推理
一、考点梳理：（略） 二、命题预测：
归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。

预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。

三、题型讲解：
1：与代数式有关的推理问题
例1、观察()()()()
()()
223
3
2
2
44
3
223,
a b a b a b a b a b a ab b
a b a b a
a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n
n a
b -=
例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n 个等式是： 。

练习:观察下列等式：3
321
23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．．
等式．．
为 。

。

练习：在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： 由此得 …
相加，得
类比上述方法，请你计算“”，其结果为 .
2：与三角函数有关的推理问题
例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2020202020202020202020203
sin 30sin 90sin 150,23
sin 60sin 120sin 18023
sin 45sin 105sin 165,
23
sin 15sin 75sin 1352++=
++=++=++=
练习：观察下列等式：
① cos2α=2 cos 2
α－1；
② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2
α+1；
③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2
α－1；
④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2
α＋1；
⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2
α－1； 可以推测，m －n+p= .
3：与不等式有关的推理
例1、b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .
例2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1(),k N k +∈已知铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木
板部分铁钉长度是钉长的4
,7
请从这个事实中提炼一个不等式组为 。

练习、观察下列式子：
213122+<，221151,233
++<22211171,2344.............
+++<
由上可得出一般的结论为： 。

练习、由331441551
,,221331441
+++>>>
+++。

可猜想到一个一般性的结论是： 。

4：与平面向量有关的推理
例1、类比平面向量的基本定理：如果21,e e
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向
量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a
λλ+=。

写出空间向量基本定理是： 练习：类比平面上的三点共线基本定理。

5：与数列有关的推理
例1、已知数列}{n a 中，1a =1，当n ≥2时，121n n a a -=+，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通项表达式为： 。

例2、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
例3、（2010深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含
()f n 个“福娃迎迎”，则
(5)f = ；()(1)f n f n --= .
1 2 3
4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15
………………
例4、等差数列}{n a 中，若10a = 0则等式121219......................(19,)n n a a a a a a n n N *-+++=+++<∈成
立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若101b =，则有等式 。

练习：设等差数列{}n a 前n 项和为n s ，则36
396129,,,s s s s s s s ---成等差数列。

类比以
上结论：设等比数列{}n b 前n 项积为n T ，则3,T , ，
12
9
,T T 成等比数列。

思考题：
(1)数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列。

(2)若012,,,
n a a a a 成等差数列，则有等式 01
2012(1)0n n n n n n n C a C a C a C a -++
+-=成立，
类比上述性质，相应地：若 012,,,n b b b b 成等比数列，则有等式_________成立。

6：与立体几何有关的推理
例 1、在直角三角形⊿ABC 中，c =0
90，AC=b,BC=a,则⊿ABC
的外接圆的半径r =
，运用类比方法，写出空间类似的命题： 。

练习：在直角三角形⊿ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥于D,求证：222
111,AD
AB
AC
=+那么在四面体ABCD 中，
类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。

例2、在三角形⊿ABC 中，c
=0
90，则22
cos cos 1A B +=,用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，
并证明你的猜想。

练习：在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？
例3、如图，在平面内有面积关系
1111
..PA B PAB
S PA PB S
PA PB
=
,写出图二中类似的体积关系，并证明你的结论。

7、与解析几何有关的推理
例1、已知命题：平面角坐标系 XOY 中，⊿ABC 顶点A （-P,0）和C （P,0），顶点B 在椭圆
22
22
1(0,x y m n p m n +==上，
椭圆的离心率是e,则sin sin 1
,sin A C B e
+=试将该命题类比到双
曲线中，给出一个结论。

练习：圆2
2
2
(0)x y R R
+=上任意点（不在x 轴上），与圆上的(,0),(,0)A R B R -连线,PA PB 的斜率
PA PB K K 有下面等式成立：1,PA PB K K =-类比该结论，写出椭圆22
2
2
1(0)x
y a b
a
b +
=中对应命题，并证明。

8：其他知识结合的推理
例1、观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
例2、在⊿ABC 中，不等式1119A
B
C
π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式111116+2A B C D π
++≥成立；在五
边形ABCDE 中，1111125+3A
B
C
D
E
π
+++≥成立；试猜想在N 边形中，有怎样的不等式成立？
例3规定(1).......(1),!
m x x x x m C m --+=
,1,x x R m C ∈=是正整数，且这是组合数(,)m n C n m m n ≤是正整数，且的推广。

(1)求5
15C -的值。

(2)组合数两个性质：11(1);(2)m
n m m m m n
n n n n C C C C C --+=+=是否都能推广到m x C (,x R m ∈是正整数)
的情形？若能推广，写出推广形式并给出证明，若不能，则说明理由。