合情推理演绎推理(带标准答案)

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【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．要点二类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三平面图形与空间图形的类比例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案 n 2－n ＋62解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________．答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心答案 D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”．证明设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ，由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

合情推理与演绎推理答案知识点+例题全面分类

[例2] 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖________块.24+n[巩固] 如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按相同的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为)(n f ，则（1）_______)5(=f ；（2）____________)(=n f .41，1222+-n n[例3] 已知：23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒，23125sin 65sin 5sin 222=︒+︒+︒.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明.[巩固] 有以下三个不等式：22222)5491()59)(41(⨯+⨯≥++；22222)12826()122)(86(⨯+⨯≥++；22222)71010220()7102)(1020(⨯+⨯≥++.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论.二、类比推理1．定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理；简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.[例3] 椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，圆的标准方程为)0(222>=+r r y x ，及12222=+ry r x ，类比圆的面积2r S ⋅=π推理得椭圆的面积.________=S ab π[巩固] 我们知道：过圆)0(222>=+r r y x 上一点（0x ，0y ）的切线方程为200r y y x x =+，类似地，过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点（0x ，0y ）的切线方程为_________________.12020=+by y a x x[例4] 公差为3的等差数列}{n a 中，n S 是}{n a 的前n 项和，则数列1020S S -，2030S S -，3040S S -也成等差数列，且公差为300；类比以上结论，相应地，在公比为4的等比数列}{n b 中，n T 是}{n b 的前n 项积，试得出类似结论并证明.[巩固] 从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为1d ，2d ，3d ，且相应各边上的高分别为1h ，2h ，3h ，求证：1332211=++h d h d h d .类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明.1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论；简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2．三段论：三段论是演绎推理的主要形式，常用的格式为：）是（是是P S P S M S M S P M P M ---)()(三段论包含了3个命题：第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊现象；这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题结论.例：（1）.所以，铜能导电铜是金属，所有的金属都能导电，，（2）.5237552375550的倍数是所以，，的个位数是的倍数，的正整数必是或个位数是3．合情推理与演绎推理的比较：（1）从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）从推理所得的结论看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.[例1] 按三段论式推理，进行如下推理.大前提：所有的车子都有四个轮子.小前提：自行车是车子. 结论：______________________. 自行车有四个轮子知识模块2演绎推理精典例题透析[巩固1]“3xy=是奇函数，3xy=∴的图象关于原点对称.”以上推理的大前提是_________________________. 奇函数的图象都关于原点对称[巩固2]“因134682的数字之和等于24是3的倍数，故134682能被3整除”这一推理的大前提是__________________________.数字之和能被3整除的正整数一定是3的倍数[巩固3] 将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为_______________________________.平行四边形的对角线互相平分[例2] 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为090.[巩固1] 用三段论证明：通项为)(为常数，qpqpnan+=的数列}{na是等差数列.[巩固2] 用三段论的形式写出下列演绎推理.（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不想等，则该两角不是对顶角；（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等.题型一：归纳推理[例] 设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，知识模块3经典题型同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H .7．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为____________________________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)． 8．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)∵a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .9．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图所示，由射影定理 AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.10．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是______________________.答案正方形的对角线相解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．11．如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比1122OM NOM NSS∆∆＝OM1OM2·ON1ON2.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为______________________．答案111222O PQ RO P Q RVV--＝OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为OQ1OQ2·OR1OR2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP1OP2，故体积之比为111222O PQ RO P Q RVV--＝OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2.12．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n＋2n S n(n∈N*)．证明：（1）数列{S nn}是等比数列；（2）S n＋1＝4a n.证明(1)∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝n＋2n S n，∴(n＋2)S n＝n(S n＋1－S n)，即nS n＋1＝2(n＋1)S n.故S n＋1n＋1＝2·S nn，(小前提)故{S nn}是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)能力提升训练。

高三数学合情推理与演绎推理试题

高三数学合情推理与演绎推理试题1.（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.【答案】【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.【考点】推理与证明.2.观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)5 6 9猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为【考点】归纳推理.3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”，类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比正确的为()A．①②B．①④C．①②③D．②③④【答案】A【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”是错误的，如y＝＋i，|y|＝<1，但－1<＋i<1是不成立的．故选A.4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .【答案】6174【解析】把5 298代入计算，用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．故答案为：7，6174【考点】合情推理.5.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为．【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比6.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比7.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．8.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选B．9.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理10.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）【答案】【解析】等式规律为：项数为所以【考点】数列归纳11.将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；【解析】由题意，不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第二张卡片上，因为，故只能写在第三张卡片上；不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上；不能写在第二张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第一张卡片上；剩余只能放到第二，三张卡片上，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上，剩余只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【考点】逻辑推理．12.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】(1)四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成,故S=3,内部有一个格点,N=1,边界上有6个格点,即L=6.(2)取题图中的三角形ABC,四边形DEFG,再取一个边长为2的格点正方形,可得解得当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.13.已知=2,=3,=4,…,若=7,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a、t的值,a+t=.【答案】55【解析】类比所给等式可知a=7,且7t+a=72·a,即7t+7=73,∴t=48.∴a+t=55.14.如图，三角形数阵满足：（1)第n行首尾两数均为n;（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．【答案】【解析】因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为；第四行的第二个数可表示为；第五行的第二个数可表示为.….由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为.故填.【考点】1.合情推理的思想.2.关键是找到规律.15.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.16.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是() A．①B．②C．③D．以上均错【答案】B【解析】①是大前提,③是结论,②是小前提.17.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)=.【答案】【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.18.已知P(x0,y)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.19.设等差数列{an }的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn }的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【答案】【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.20.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.【答案】【解析】．【考点】归纳推理．21.已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）【答案】③【解析】，在不等式的两边同时乘以，不等号方向发生变化，即，则有.【考点】不等式的性质、演绎推理22.（文科）给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：．【答案】；【解析】根据，，，易得第个等式：【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：熟练运用归纳推理观察式子特点是解决此类问题的关键，属基础题23.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）【答案】x＋2y－z－2＝0【解析】根据法向量的定义，若为平面α的法向量，则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥，∵=（1-x，2-y，3-z），=(-1，-2，1)，∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0，即x+2y-z-2=0，故答案为x+2y-z-2=0。

2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

2.1 合情推理与演绎推理一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a1＝1，an ＝3n －1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和Sn 的表达式C ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f(2n)>2n ＋12B ．f(n2)≥n ＋22C ．f(2n)≥n ＋22D ．以上都不对3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4. 若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )A ．h>h1＋h2＋h3B ．h ＝h1＋h2＋h3C ．h<h 1＋h2＋h3D ．h1，h2，h3与h 的关系不定二、填空题(每小题5分，共10分)5．把正有理数排序：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，则数19891949所在的位置序号是________．6．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．三、解答题(共70分)7.（15分）通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十七单元 §17.1 合情推理与演绎推理

§17.1合情推理与演绎推理一合情推理二演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提——已知的;(2)小前提——所研究的;二、1.特殊2.(1)一般原理(2)特殊情况(3)一般原理已知数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,a n=a n－1＋2n－1,依次计算a2,a3,a4后,猜想a n的表达式是(). A.a n=3n－1 B.a n=4n－3C.a n=n2D.a n=3n－1【试题解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想a n=n2.【参考答案】C根据图中的数构成的规律,可得a表示的数是().C.60D.144【试题解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其肩上上一行两个数的乘积,所以a=12×12=144.【参考答案】D有下列几种说法:归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理,统称为合情推理;②合情推理得出的结论,因为合情,所以一定正确;③演绎推理是一般到特殊的推理;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关.以上说法正确的个数是().A.0B.1C.2D.3【试题解析】根据题意,依次分析所给的4个说法:对于①,符合合情推理的定义,①正确;对于②,合情推理得出的结论不一定是正确的,②错误;对于③,演绎推理是一般到特殊的推理,符合演绎推理的定义,③正确;对于④,演绎推理的形式为三段论,即大前提、小前提和结论,演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关,④正确.综上所述,有3个是正确的.故选D.【参考答案】D我们熟悉定理:平行于同一条直线的两条直线平行.其数学符号语言:∵a∥b,b∥c,∴a∥c.这个推理称为.(填“归纳推理”“类比推理”“演绎推理”之一).【试题解析】∵平行于同一条直线的两条直线平行,(大前提)而a∥b,b∥c,(小前提)∴a∥c.(结论)∴这是一个三段论,属于演绎推理.【参考答案】演绎推理题型一归纳推理【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20＋21=3,第二个等式为20＋22=5,第三个等式为21＋22=6,第四个等式为20＋23=9,第五个等式为21＋23=10……依此类推,则第99个等式为().20＋21=320＋22=521＋22=620＋23=921＋23=1022＋23=1220＋24=1721＋24=1822＋24=2023＋24=24……A.27＋213=8320B.27＋214=16512C.28＋214=16640D.28＋213=8448【试题解析】依题意,用(t,s)表示2t＋2s,题中等式的规律:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1＋2＋3＋…＋13)＋8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即27＋214=16512,故选B.【参考答案】B1－=,1－＋－=＋,1－＋－＋－=＋＋,……据此规律,第n个等式应为.【试题解析】等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个等式有4项,第3个等式有6项,且正负交错.故第n个等式左边有2n项且正负交错,应为1－＋－＋…＋－－.等式右边的特征:第1个等式有1项,第2个等式有2项,第3个等式有3项.故第n个等式有n项,且由前几个等式的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋＋＋…＋.【参考答案】1－＋－＋…＋－－=＋＋＋＋…＋题型二类比推理【例2】三角形的面积为S=(a＋b＋c)r,a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为().A.V=abcB.V=ShC.V=(ab＋bc＋ac)·h(h为四面体的高)D.V=(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积,r为四面体内切球的半径)【试题解析】设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是r,根据三角形的面积的求解方法——分割法,将O与四个顶点连起来,可得四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和,所以四面体的体积V=(S1＋S2＋S3＋S4)r,故选D.【参考答案】D【追踪训练2】若数列{a n}是等差数列,则数列{b n}＋＋＋也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n}是等比数列,且{d n}也是等比数列,则d n的表达式应为().A.d n=＋＋＋B.d n=C.d n=＋＋＋D.d n=【试题解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故d n的表达式为d n=.(法二)若{a n}是等差数列,则a1＋a2＋…＋a n=na1＋－d,∴b n=a1＋－d=n＋a1－,即{b n}是等差数列.若{c n}是等比数列,则c1·c2·…·c n=·q1＋2＋…＋(n－1)=·－,∴d n==c1·－,即{d n}是等比数列.【参考答案】D题型演绎推理三【例3】下面几个推理过程是演绎推理的是().(n≥2,n∈N*),计算出a2,a3,a4的值,然后猜想{a n}的通项公式A.在数列{a n}中,根据a1=1,a n=－＋－B.某校高二共8个班,一班51人,二班52人,三班52人,由此推测各班人数都超过50人C.因为无限不循环小数是无理数,而π是无限不循环小数,所以π是无理数D.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质【试题解析】A与B都是从特殊到一般的推理,是归纳推理,均属于合情推理;C为三段论,是从一般到特殊的推理,是演绎推理;D是由特殊到特殊的推理,是类比推理,属于合情推理;故选C.【参考答案】C简单的演绎推理,易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念,弄清概念是关键.【追踪训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)【试题解析】因为同位角相等,两条直线平行,(大前提)而∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)而DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)因为平行四边形的对边相等,(大前提)而ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.方法归纳推理的一般步骤一1.观察:通过观察具体事物发现某些相同特征.2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.3.猜测一般性结论.【突破训练1】已知x∈(0,＋∞),观察下列各式:x＋≥2,x＋=＋＋≥3,x＋=＋＋＋≥4,….类比得x＋≥n＋1(n∈N*),则a= .【试题解析】第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27.归纳可知a=n n.【参考答案】n n方法类比推理的一般步骤二1.找出两类事物之间的相似性或一致性.2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物具有的类似特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).3.检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】在平面内,设h a,h b,h c是三角形ABC三条边上的高,点P为三角形ABC内任一点,点P 到相应三边的距离分别为P a,P b,P c,我们可以得出结论:＋＋=1.把它类比到空间,则三棱锥中类似的结论为.【试题解析】设h a,h b,h c,h d分别是三棱锥A－BCD四个面上的高,P为三棱锥A－BCD内任一点,点P 到相应四个面的距离分别为P a,P b,P c,P d,于是可以得出结论:＋＋＋=1.【参考答案】＋＋＋=1方法演绎推理的规律方法三1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提和结论,省略大前提的要补出来.2.判断演绎推理是否正确的方法:(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内.(4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确.【突破训练3】某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为().A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【试题解析】大前提“鹅吃白菜”本身正确,小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段论的推理形式,所以推理形式错误.【参考答案】C1.(2018西安五校联考)下列推理是归纳推理的是().A.A,B为定点,动点P满足|PA|＋|PB|=2a＞|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n－1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆＋=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【试题解析】从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以选项B是归纳推理,故选B.【参考答案】B2.(2018海南八校一模)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2＋1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2＋1)是奇函数,以上推理().A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【试题解析】f(x)=sin(x2＋1)不是正弦函数,所以小前提错误.【参考答案】C3.(2018吉林白山二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为().A.n＋1B.2nC.＋＋D.n2＋n＋1【试题解析】1条直线将平面分成1＋1=2个区域;2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)=7个区域;……n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)=1＋＋=＋＋个区域,故选C.【参考答案】C4.(2018江西七校一模)给出下列三个类比结论:①(ab)n=a n b n与(a＋b)n类比,则有(a＋b)n=a n＋b n;②log a(xy)=log a x＋log a y与sin(α＋β)类比,则有sin(α＋β)=sin αsin β;③(a＋b)2=a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比,则有(a＋b)2=a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是().A.0B.1C.2D.3【试题解析】(a＋b)n≠a n＋b n(n≠1,a·b≠0),故①错误.sin(α＋β)=sin αsin β不恒成立.如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=,故②错误.由向量的运算公式知③正确.【参考答案】B5.(2018保定一模)观察下列不等式:1＋＜,1＋＋＜,1＋＋＋＜,……照此规律,第五个不等式为.【试题解析】观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端分数的分母相等,且每行不等式右端分数的分子构成等差数列.故第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.【参考答案】1＋＋＋＋＋＜6.(2018安徽安庆二模)若P0(x0,y0)在椭圆＋=1(a＞b＞0)外,过点P0作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是＋=1,那么对于双曲线,则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线－=1(a＞0,b＞0)外,过点P0作双曲线的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是.【试题解析】设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则以P1,P2为切点的切线方程分别是－=1,－=1.因为P0(x0,y0)在这两条切线上,所以－=1,－=1,这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线－=1上,故切点弦P1P2所在直线的方程是－=1.【参考答案】－=17.(2018北京东城区模考)设f(x)=＋,先分别求f(0)＋f(1),f(－1)＋f(2),f(－2)＋f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.【试题解析】f(0)＋f(1)=＋＋＋=＋＋＋=－＋－=,同理可得,f(－1)＋f(2)=,f(－2)＋f(3)=.又在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1, 归纳猜想:当x1＋x2=1时,均有f(x1)＋f(x2)=.证明如下:设x1＋x2=1,则f(x1)＋f(x2)=＋＋＋=＋＋＋＋＋=＋＋＋＋＋＋=＋＋＋＋=＋＋＋＋=.8.(2018河北衡水一模)如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2－r2)=(R－r)×2π×＋,所以,圆环的面积等于以线段AB=R－r为宽,以AB中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×＋为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0＜r＜d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是().A.2πr2dB.2π2r2dC.2πrd2D.2π2rd2【试题解析】平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知,平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d,故选B.【参考答案】B9.(2018辽宁葫芦岛模考)如图(1),若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2,则=·.如图(2),若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2、点Q1、Q2和点R1、R2,则类似的结论为.【试题解析】考查类比推理问题,由题意得三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为·,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为,故－－=··,即－－=··.【参考答案】－－=··10.(2018河北唐山一中月考)在Rt△ABC中,若AB⊥AC,AD⊥BC于点D,则=＋.那么在四面体A －BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.【试题解析】如图(1)所示,由射影定理得AD2=BD·CD,AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,∴===.又BC2=AB2＋AC2,∴=＋=＋.猜想:在四面体A－BCD中,若AB、AC、AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则=＋＋.证明如下:如图(2),连接BE并延长交CD于点F,连接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC⊂平面ACD,AD⊂平面ACD,∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD,∴AB⊥AF.在Rt△ABF中,∵AE⊥BF,∴=＋.在Rt△ACD中,∵AF⊥CD,∴=＋.∴=＋＋.11.(2018广东湛江二模)对于三次函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3－x2＋3x－,请你根据这一发现,(1)求函数f(x)的对称中心;(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f的值.【试题解析】(1)f'(x)=x2－x＋3,f″(x)=2x－1.由f″(x)=0,得2x－1=0,解得x=.f=×－×＋3×－=1.由题中给出的结论,可知函数f(x)=x3－x2＋3x－的对称中心为.(2)由(1)知函数f(x)=x3－x2＋3x－的对称中心为,所以f＋＋f－=2,即f(x)＋f(1－x)=2.故f＋f=2,f＋f=2,f＋f=2,……f＋f=2.所以f＋f＋f＋f＋…＋f=×2×2012=2012.。

高考数学命题热点名师解密：专题(19)演绎推理与合情推理(理)(含答案)

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n ＝k ＋1成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n ＝k 到n ＝k ＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项a n 或前n 项和S n ，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法例1已知数列{}{},n n a b 满足，，则2017b =（）A. 20172018B. 20182017C. 20152016D. 20162015【答案】A 【解析】数列{}{},n n a b 满足，，，，由此猜想，故选A.【规律方法总结】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习1.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……………则在表中数字2017出现在（）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列【答案】D练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=A. 35B. 48C. 63D. 80【答案】C【解析】根据规律得,所以,选C.练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A. nB. 2nC. 1n -D. 1n +【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为1n +，选D. 练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（）A. 1089B. 680C. 840D. 2520【答案】A【解析】当7n =时，序列如图：故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．【答案】194【解析】由题意得，前19行共有个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋16＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.【答案】12【解析】1＝12＋(12－13)＋13，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋14，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋15，…，以此类推，故1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＋(16－17)＋1 7＝12＋16＋17＋112＋120＋130＋142，故n＝12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）．（2）三角恒等式：．证明如下：左边2.类比法例2. 二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=,则其思维测度W=（）A. 42r πB. 43r πC. 44r πD. 46r π【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故42W r π=．选A ．练习1. 如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n ∈N *，恒成立，则实数A＝________.【答案】ln2练习2.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC 的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )A. S2＝S＋S＋SB.C. S＝S1＋S2＋S3D.【答案】A【解析】如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(12BC·AD)2＝14BC2·AD2＝14BC2·(OA2＋OD2)＝14(OB2＋OC2)·OA2＋14BC2·OD2＝(12OB·OA)2＋(12OC·OA)2＋(12BC·OD)2＝.练习3. 对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)【答案】A【解析】由关于x的不等式的解集为，得的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(1,2)．练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n等于( )A.mn mndc- B.mm nndc-C.nn mmdc- D.nm nmdc-【答案】C【解析】观察{a n }的性质：，则联想nb －ma 对应等比数列{b n }中的nm d c，而{a n }中除以(n －m )对应等比数列中开(n －m )次方，故b m ＋n ＝n n m md c -. 练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图，可选答案为B 。

推理与证明合情推理与演绎推理(解析版)

2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试84 推理与证明合情推理与演绎推理【考点讲解】一、具本目标：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运“三段论”进行一些简单的演绎推理.二、知识概述：一）合情推理主要包括归纳推理和类比推理。

1.归纳推理：(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．2.类比推理：(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．3.归纳推理与类比推理有何区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．4.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想【温馨提示】(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．【规律与方法】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想二）演绎推理三段论的基本模式演绎推理的概念理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．【规律与方法】1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.【真题分析】1.【2017新课标Ⅱ】甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．【答案】D2．【2018浙江】已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q+++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．【答案】B3.【2016·北京卷】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】解法1：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误．故选B.解法2：设袋中共有2n 个球，最终放入甲盒中k 个红球，放入乙盒中s 个红球．依题意知，甲盒中有(n －k )个黑球，乙盒中共有k 个球，其中红球有s 个，黑球有(k －s )个，丙盒中共有(n －k )个球，其中红球有(n －k －s )个，黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B. 【答案】B4.【2017浙江】如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则（）R QPABC DA ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan ODOGγ=，GF EO DC BAPQR图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CRQC RA==，∴1(3Q，2(3R -，则直线RP的方程为y =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =，OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B 【答案】B5.【2016·新课标全国卷Ⅱ】有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有两种情况：①丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和3，满足题意；②丙的卡片上的数字为1和3，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和2，这时甲与乙的卡片上有相同的数字2，与已知矛盾，故情况②不符合，所以甲的卡片上的数字为1和3. 【答案】1和36.【2016山东】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_______．【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)．7.（2015陕西）观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________．【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++．【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 8.【2015山东】观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=……照此规律，当*N n ∈时，012121212121n n n n n C C C C -----+++⋅⋅⋅+= ．【解析】具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C CC C C ----------=+++++++=⋅=．【答案】14n -9.【2014安徽】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =， (567)A a =，则7a =．13【解析】解法一直接递推归纳；等腰直角三角形ABC中，斜边BC =1122,AB AC a AA a ====，1231A A a==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ==⨯=．解法二求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a ====⋅⋅⋅，11sin2()422n n n n n n A A a a a π-+==⋅==⨯，故672()2a =⨯=14【答案】1410．【2014陕西】观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________ 【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=．【答案】2F V E +-=【模拟考场】1. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有（）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．【答案】B2.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则其中正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】是类比推理的应用.根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．【答案】B3.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】本题是平面几何与立体几何之间的类比设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.指数函数y ＝a x (a >1)是R 上的增函数，y ＝2|x |是指数函数，所以y ＝2|x |是R 上的增函数．以上推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．正确【解析】本题是演绎推理中三段论的具体应用.此推理形式正确，但是，函数y ＝2|x |不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 【答案】 B5.正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020【解析】本题是归纳推理的具本应用.由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 【答案】B6.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是_______________ _________________________________________________________．【解析】边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，…，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－(27＋2×8×92)＝341，故所求总数为341. 【答案】3417.如图，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA ，求证：ED ＝AF ，写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提 ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，小前提所以FD ∥AE .结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 DE ∥BA ，且FD ∥AE ，小前提所以四边形AFDE 为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提 ED 和AF 为平行四边形AFDE 的对边，小前提所以ED ＝AF .结论8.已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明方法一 (定义法) ：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x a ＋x 2－2x 2＋1－1x a －x 1－2x 1＋1＝2x a -1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a-－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x xa -－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．方法二 (导数法)：f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x>0，所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.所以f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．9.设m 为实数，利用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝4m 2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论。

专题卷12合情推理与演绎推理-2020年中考数学复习核心考点专题卷(解析版)

2020年中考数学复习核心考点专题卷专题十二合情推理与演绎推理本卷共5个大题，17个小题，满分100分，考试时间45分钟．一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 1．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（）A ．亏损3%B ．亏损8%C ．盈利2%D ．少赚3% 【答案】A【方法点拔】本题虽简单，但隐含着合情推理，“盈利”与“亏损”具有相反意义，由已知“盈利”为正，则类比推理可知“亏损”为负．2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：b a -，y x -，y x +，b a +，22y x -，22b a -分别对应下列六个字：国、爱、我、中、游、美，现将222222)()(b y x a y x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱美B ．中国游C ．爱我中国D ．美我中国【答案】C【方法点拔】对代数式222222)()(b y x a y x ---进行因式分解，对比已知条件中的每一多项式，即可推断出密码信息的含义．这是一种合情推理．3．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠B =36°，则∠DCE 等于（） A ．18° B ．36° C ．45°D ．54°【答案】A【方法点拔】本题应用了平行线的性质定理和角平分线的性质进行推理，经两步推理即可得出结论．属于演绎推理．4．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误．．的是（）A ．DC=2OEB ．OA=OC C ．∠BOE=∠OBAD ．∠OBE=∠OCE 【答案】D【方法点拔】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A 、B 、C 正确；由OB ≠OC ，得出∠OBE ≠∠OCE ，选项D 错误；即可得出结论．解答过程应用了相关定理性质进行多向、多步推理．5．如图，已知AB =A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4…，若∠A =70°，则∠A n 的度数为（）A ．1270-nB ．n 270C ．1270+nD ．2270+n【答案】C【方法点拔】本题属于规律探究问题，主要考查合情推理，根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1A 2A 1，∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n ﹣1A n B n ﹣1的度数．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）6．能够说明x =不成立”的x 的值是（写出一个即可）．【答案】﹣17．观察一组数：1，1，2，3，5，m …，根据其规律可知这组数中m 表示的数为．【答案】88．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则AD 长为．【答案】3或49．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是．【答案】3310．矩形ABCD 中，AD =2AB =4，点P 在AD 边上，若△PBC 是等腰三角形，则为∠PBC 的度数为．【答案】45°或75°或30°三、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）11．如图：点C 是AE 的中点，∠A =∠ECD ，AB=CD ，求证：∠B =∠D ．【答案】∵点C 是AE 的中点，∴AC =CE ，在△ABC 和△CDE 中，,,.AC CE A ECD AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ，∴∠B =∠D ．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ．（1）第七个三角形数是；（2）求x n +x n +1的值．【答案】（1）28；（2）∵ 1x +2x =1+3=4=22，2x +3x =3+6=9=23，3x +4x =6+10=16=24，4x +5x =10+15=25=25， 5x +6x =15+21=36=26，……∴n x +1n x + =()21n +．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 13．已知关于x 的方程x 2+mx+m ﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m 的值；（2）求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1）根据题意，将x =1代入方程x 2+mx +m ﹣2=0，得：1+m +m ﹣2=0，解得：m =12；（2）∵△=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m +8=（m ﹣2）2+4＞0， ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．14．某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，a 的值为，b 的值为；（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为度；（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．【答案】解：（1）由题意和扇形统计图可得，a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，故答案为：28，15；（2）由扇形统计图可得，八年级所对应的扇形圆心角为：360°×（1﹣40%﹣30%）=360°×30%=108°，故答案为：108；（3）由题意可得，2000×200758++=200人，即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．五、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．在□ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB 的长．【答案】①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC =BE +CF =2AB +EF =8，∴AB =3；综上所述：AB 的长为3或5．16．如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，以OB 为边向上作等边三角形AOB ，抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点．（1）当m =2时，a = ，当m =3时，a = ；（2）根据（1）中的结果，猜想a 与m 的关系，并证明你的结论．【答案】解：（1）如图1，∵点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，∴B （2m ，0）， ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB ， ∴AMm ，OM =m ，∴A （mm ）， ∵抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，∴0a m b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩当m =2时，2a =-，当m =3时，3a =-，故答案为：2-3-；（2）a =．理由：如图1，∵点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，∴B （2m ，0）， ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB ， ∴AMm ，OM =m ，∴A （mm ）．∵抛物线l ：y =ax 2+bx +c 经过点O ，A ，B 三点，∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，∴0a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴a =．17．△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF ，连接CF ．观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为：．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=CD=14BC ，求GE 的长．【答案】观察猜想①正方形ADEF 中，AD =AF ， ∵∠BAC =∠DAF =90°， ∴∠BAD =∠CAF ．在△DAB与△F AC中，AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△F AC．∴∠ABD=∠ACF．∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD；②△DAB≌△F AC，∴CF=BD．∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD．故答案为：BC=CF+CD；数学思考当点D在CB的延长线上时，结论①成立，结论②不成立，②的正确结论是：BC=CD－CF 理由如下：∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF．在△DAB与△F AC中，AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△F AC．∴∠ABD=∠ACF=135°，CF=BD．∴∠DCF=∠ACF－∠ACB=135°－45°=90°．∴CF⊥BD．∵BC= CD－BD，∴BC= CD－CF．拓展延伸解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BCAB=4，AH=12BC=2．∴CD=14BC=1，CH=12BC=2．∴DH=3．由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°．∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°．∴∠ADH=∠DEM．在△ADH与△DEM中，ADH DEMAHD DME AD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADH≌△DEM．∴EM=DH=3，DM=AH=2．∴CN=EM=3，EN=CM=3．∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°．∴△BCG是等腰直角三角形．∴CG=BC=4．∴GN=1．∴EG。

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合情推理演绎推理（带答案）作者: 日期:1:与代数式有关的推理问题2a b a b a b ,例1、观察a 3b 3a b 2 a ab b 2进而猜想a n b n4a b 4 a b3a a 2b ab 2 b 3练习：观察下列等式：13 23 以 3 3 , 123 33 6, 13 2"33 43 10,…，根据上述规律，第五个等式为o解析：第i 个等式左边为 1 到i+1的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个等式为13空 33 43 5"21 o2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。

练习：观察下列等式:① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ；42② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ；③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1；④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p= .答案：9623:与不等式有关的推理例1、观察下列式子：1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。

.1 1 1 2n 1答案：12232……(n 1)2n 1，练习、由35口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。

2 2 1 33 14 4 1合情推理sin 2 30 0 sin 2 60 0 • 2 Ar 0sin45sin 15• 2 “ 0sin90sin 2120 sin 2105 sin 275 0. 2 * LC 0sin 150sin 2180 sin 2165 2 X CL 0sin 1354:与数列有关的推理例1、已知数列｛a n ｝中，a i =1，当n >2时，a . 2am 1，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通项表达式为：。

例2、（ 2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 34 5 6按照以上排列的规律，第7 n 行8 n 例3、（ 2010深圳模拟）图（1 ）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f （n ）个“福娃迎迎”，则f （5） ______ ； f （n ） f （n 1） ______ .练习：设等差数列 a 前n 项和为s n ，则S 3 , s 6 S 3 , S 9 s 6 , S 12S 9成等差数列。

类比以上结论：设等比数列b n 前n 项积为T n ，则T3, _____ , ______ ， T12,成等比数列。

T 96:与立体几何有关的推理例1、在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值” ，那么在正四面体中类似的命题是什么？9）从左0右的第 3个数为5«空蟲SS!豊ft ss鑼SS幕掘宀鑽&例4、等差数列｛a n ｝中，若ai0= 0则等式Q a? .. Qi a 1 a 2a 9n (n 19,n N )成立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若b|0 〔，则有等式 ______________ 。

合情推理练习题一、选择题1下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 A •①②③ B •②③④ C .②④⑤ D •①③⑤ 2. 数列2,5,11,20, x,47,…中的x 等于（）A. 28B . 32C . 33D . 273.下面使用类比推理恰当的是（）A. 若 a 3= b 3,则 a = b”类推出若 a 0= b 0,贝U a = b ”B. “ （击 b ）c = ac + bc ”类推出 |+ 三”C.“（+ b ）c = ac + bc ”类推出 g + b （c 工0） ”D. “ ab n a n b n ”类推出 “a b n a n b n ”4. 由盘>8,鲁〉W 25>21,…若*> b >。

且m >0,则詈与三之间大小关系为（）A .相等B .前者大C .后者大D .不确定5. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第 21行从左向右的第5个数为（）13 5 79 11 13 15 17 19 2123 25 27 29 31A . 809B . 852C . 786D . 893n 2a n n N *，试归纳猜想出S n 的表达式为（A 、2nn 1二、填空题 2n 12n 1D 、n 1C 、n 11.已知：sin 230si n 290 si n 2150 3 2，sin 25sin 265sin 21253 2sin 218o.2 - 2 —cosin 78 sin 1382n n 26.数列a n 的前n 项和为S n ，且a 11, S n通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题:2. （2012陕西高考）观察下列不等式1 3 ,115 . 11171 + 2^<2，1+22+ 孑<3，1+ 于+32+42<4 .....照此规律，第五个不等式为________________________________________ .3. （2011陕西高考）观察下列等式1 = 12+3+4=93+ 4+ 5+ 6+ 7= 254+ 5 + 6+ 7+ 8+ 9+ 10 = 49照此规律，第n个等式为_____________________ .4.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):则第9行第4个数是 __________三、解答题1. (2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1) sin213°+ COS217°— sin 13 cos 17 ；(2) sin2150+ COS215°— sin 15 cos 15 ；(3) sin218°+ COS212°— sin 18 cos 12 °(4) sin2(—18°) + COS248°— sin(—18°)cos 48 ;°(5) sin2(—25°) + cos255°—sin(—25°)cos 55 . °(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式.2•定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和•已知数列{a n}是等和数列，且a1 = 2, 公和为5.(1) 求a18的值；(2) 求该数列的前n项和S.演绎推理1.定义根据一般性的真命题或逻辑规则，导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理•即从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理形式.它的特征是：当前提为真时，结论必然为真.2•三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式(1) 三段论的结构：①大前提一已知的一般原理；②小前提一所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2) “三段论”的表示：①大前提一M是P;②小前提一S是M;③结论一S是P.(3) 三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是M的一个子集；③那么S中所有元素也都具有性质P.想一想：(1) “三段论”就是演绎推理吗？(2) 在演绎推理中，如果大前提正确，那么结论一定正确吗？为什么？(3) 正弦函数是奇函数，f(x) = sin (x2+ 1)是正弦函数，因此f(x) = sin (x2+ 1)是奇函数.以上推理中，“三段论”中的_______ 错误的.(1) 解析：不是•三段论是演绎推理的一般模式.(2) 解析：不一定正确•只有大前提和小前提及推理形式都正确，其结论才是正确的.⑶解析：小前提错误，因为f(x)二sin(x2+ 1)不是正弦函数.1•有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0,因为a€ R,所以a2>0”，结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误大前提：任何实数的平方大于0是不正确的•2.在“△ ABC中，E, F分别是边AB AC的中点，贝U EF// BC的推理过程中，大前提是()A. 三角形的中位线平行于第三边B. 三角形的中位线等于第三边长的一半C. E，F为AB AC的中点D. EF// BC【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理•3.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a , b)内可导且单调递增，则在(a , b)内，f' (x)>0恒成立•因为f(x)=x 3在(-1,1)内可导且单调递增，所以在(-1,1)内，f' (x)=3x 2>0 恒成立.以上推理中()[来源:]A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误【解析】选A.因为对于可导函数f(x) ，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f'(x)>0对x€ (a，b)恒成立，应该是f'(x) X)对x € (a，b)恒成立，所以大前提错误.4.以下推理过程省略的大前提为：_______________ .因为a2+b2> 2ab,所以2(a2+b2) X a2+b2+2ab.【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为：若a X b，贝U a+c>b+c.答案：若a X b，贝U a+c>b+c5.“n是无限不循环小数，所以n是无理数”以上推理的大前提是()A.实数分为有理数和无理数B. n不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D. 有理数都是有限循环小数【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据•因为无理数都是无限不循环小数，n是无限不循环小数，所以n是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.6.因为中国的大学分布在全国各地，…大前提北京大学是中国的大学…小前提所以北京大学分布在全国各地.…结论(1) 上面的推理形式正确吗？为什么？(2) 推理的结论正确吗？为什么？【解析】(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误.7.设数列｛a n｝的前n项和为S,且满足a n=3-2S n(n € N).(1) 求a i, a2, a s, a4的值并猜想a n的表达式.(2) 若猜想的结论正确，用三段论证明数列｛a n｝是等比数列.【解析】⑴因为a n=3-2S n,所以a i=3-2S i =3-2a i,解得a i=1 ,1 同理a2= *, a3 =⑵大前提：数列｛a n｝，若=q , q是非零常数，则数列｛a n｝是等比数列.小前提：由a n=(动，又= 3，结论：数列｛a n｝是等比数列.3、填空题 1. sin 2( 60o ) sin 2sin 2( 60o )- 1 11解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的 1111的差除以项数，即1 +护+ 32+了 +孑+…+1 1 1 1 1 11所以第五个不等式为 1+22+孕+护+ 52+ 62<"6".3. n +(n + 1)+ (n + 2) + …+ (3n — 2) = (2n — 1)2解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n - 1.—2) = (2n — 1)2.4.259三、解答题1.解：⑴选择⑵式，计算如下:2 2 1 sin 2150 + cos 2150— sin 15 cOs 15 = 1 — qsin 30 3⑵三角恒等式为 sin 2a+ cos 2(30 ° a — sin a cos(30 — a =4.2. 解：(1)由等和数列的定义，数列｛a n ｝是等和数列，且a 1 = 2,公和为5, 2, a 2n = 3(n = 1,2…)，故 a 18 =3.(2)当 n 为偶数时，S n = a 1 + a 2 + …+ a n = (a 1 + a 3 + …+ a n —1)+ (a 2 + a 4 + …+ a n )=：n ；5 5 1当 n 为奇数时，Si = S n — 1 + a n = 2(n —1)+ 2=歹—^.2门，n 为偶数，综上所述：S = 5 1尹―2，n 为奇数. 合情推理随堂练习答案选择题 1— 5: DBCBA 6: A 2倍减12n 1 * T7(n ° N ，n >2)，所以第n 行数依次是n 、n + 1、n + 2、・3n — 2.其和为 n +(n + 1)+ (n + 2) +…+ (3no 1 3 =1—4=4.易知a 2n — 1 =。