备战中考数学易错题专题训练-一元二次方程练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12

. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.

试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣

．

3．已知关于x 的一元二次方程()2

2130x k x k --+-=有两个实数根．

()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）13

k ≤；（2）2k =-．【解析】

【分析】

()1根据方程有实数根得出()()

22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得．

()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方

程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()

1关于x 的一元二次方程()2

2130x k x k --+-=有两个实数根，

0∴≥，即()()22

[21]4134130k k k ---??-=-+≥，

解得134

k ≤

． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22

1223x x +=，

224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，

k ≤

， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-．【点睛】

本题考查了一元二次方程2

ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，

方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=

，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF

的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD 的最大度数为； ②当FC ∥AB 时，AD= ；

③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x ，易知，即

. 而，

当

时，

；当时，.

∴△FCD 的面积s 的取值范围是

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

5．已知关于x 的方程2

1(1)104

x k x k -++

+=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；

(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且22

1212615x x x x +=-，求k 的值.

【答案】（1）3

k ≥ （2）4 【解析】试题分析：

根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ?=-≥ ，解之即可得出结论.

根据韦达定理可得：2

121211

x x k x x k ，+=+?=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：

因为方程有两个实数根，所以()2

2114112304k k k ??

???=-+-??+=-≥ ?????

，解得3

k ≥

. 根据韦达定理，

()2

21212111141 1.

114

k k x x k x x k +-++=-=+?==+，

因为22

1212615x x x x +=-，所以()2

12128150x x x x +-+=，将上式代入可得

()

211811504k k ??

+-++= ???

，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为3

k ≥

，所以4k =.

6．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤1

时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·

x 2－x 12－x 22≥0成立【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：

（1）?= ()()

21420k k k +-+≥，解得14

k ≤

（2）由22

12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-

+≥，由根与系数的关系可得：2

121221,2x x k x x k k +=+=+

代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()2

10k -≤，得1k =.

由于k 的取值范围为14

k ≤

，故不存在k 使22

12120x x x x --≥．

7．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x 1=7，x 2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y 2﹣18y+85=0． ∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．

8．已知关于x 的方程()()2

12310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．

()1求k 的取值范围．

()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？

【答案】(1)13

k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析【解析】【分析】

（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；

（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】

（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜

且k ≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2． ∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =3

．又∵k ＜

且k ≠1，∴k 不存在．

本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

9．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可

以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．

【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；

（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．

试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，

150（x﹣20）=2250，

解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，

150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，

m﹣m2=12，

60m﹣3m2=192，

m2﹣20m+64=0，

m1=4，m2=16，

∵要使销售量尽可能大，

∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

10．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣2，x2=﹣12或

【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-b

，x1?x2=

，表示出两根的关系，得到

x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣3

5）2+

，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1?x2=c

=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2异号，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x2+2x﹣1=0，

解得：x1=﹣x2=﹣1，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x2﹣2x﹣25=0，

解得：x1=1，x2