一元二次方程难题、易错题
一元二次方程
已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132
=-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
（20XX 年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012
≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4
)2(222
-+-b a ab 的值。
2．(20XX 年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-=
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．
3.（20XX 年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.
例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2
2=+-+x a x a 有两个实数根.
例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.
例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-
≤k (B)04
9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x
m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2
B.m=2,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242
++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422
2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582
=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程
31
1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值；
⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 ★★5、方程()()02
=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -
★★★6、若=?=-+y
x 则y x 324,0352 。 例3、若()()2
221619+=-x x ，则x 的值为 。 例2、若()()044342
=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。 变式1：()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。 变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式3：若142=++y xy x ，282
=++x xy y ，则x+y 的值为 。 例3、方程062
=-+x x 的解为（ ） A.2321=-=，x x B.2321-==，x x C.3321-==，x x D.2221-==，x x
例4、解方程： ()
04321322=++++x x
例5、已知023222=--y xy x ,则y
x y x -+的值为 。 变式：已知02322
2=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。 例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式7422
2+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 013642
2=+-++为实数，求y x 的值。
★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知04112
2=---+
x x x x ，则=+x x 1 .
★★★3、若912322
-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--+
+b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
例1、 已知0232=+-x x
，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。
例2、 如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3、 已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
例1、若关于x 的方程0122
=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程()0212
=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m
例3、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。
例4、已知二次三项式2)6(92
-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.
例5、m 为何值时，方程组?
??=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .
★★4、k 为何值时，方程组???=+--+=.0124,
22y x y kx y
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
例1、关于x 的方程()03212
=-++mx x m ⑵ 两个实数根，则m 为 , ⑵只有一个根，则m 为 。
例2、不解方程，判断关于x 的方程()322
2-=+--k k x x 根的情况。
例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92
=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
四、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。
五、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4）
，并说明理由。
一元二次方程练习题(难度较高)
元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1，求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7，求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点，且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时，求k 的值。 (1) k 为何值时，方程有两个实数根; x 1、x 2
5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后，且两直角边i 和C 是方程的两根时，求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ，方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ，求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数，且满足1< x X 2 <2 （其中 X 1 > X 2），
新人教版一年级上册数学难题、易错题比较练习
新人教版一年级上册数学难题、易错题比较练习(最新编辑教材) 班级 姓名 1、按要求排顺序 （1） 把16、5、17、19、10、8从大到小排列. （2） 把0、14、2、18、5、10、7从小到大排列. 2、5＋8） 15－3＞（ ） 3、写数时,第二位是（ ）位. 4、 这个数写作（ ）,读作（ ）,它的个位是（ ）,十位是（ ）. 这个数读作（ ）,写作（ ）,它的十位是（ ）,个位是（ ）. 5、10里面有（ ）个十,10里面有（ ）个一 ,10个一合起来是 1个（ ）,1个十里面有（ ）个一. 6、20里面有（ ）个十,20里面有（ ）个一,20个一合起来是（ ）个十,2个十里面有（ ）个一. 7、一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字是2,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字比十位上的数字大2,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字是5,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字比十位上的数字大5,这个数是（ ）. 一个两位数,个位上的数字是8,十位上的数字是1,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字比十位上的数字大8,这个数是（ ）. 8、按规律填数： 9、（12）根据钟面时间,填一填： ①9时刚过 ②快到2时 ③10 小时前 是 ,1小时后是 ： ：
⑤大约2时⑥大约8时⑦大约9时⑧大约10时 10、按要求画图. 画○,比□少2个. 画△,比◇多,比☆少. □□□□□□□□□◇◇◇◇◇ ☆☆☆☆☆☆☆☆ 11、从5、6、11、16中选出三个数写出两道加法和两道减法算式. 12 一共有（）只小动物. 的后面有（）只动物, 的前面有（）只动物. 13、数一数. ①一共有（）个图形.从右数起 ）. ②）个图形. ③把右边的3个图形圈起来. 14、 （1）一共有（ ）个图形； 有（ ）个 有（ ）个 ）个,有（ ）个. （ 2）从左数起 , 是第（ ）个；从右数起, 是第（）个. （3）第（）个和（）个是 . 15、如果★＋2=9,10－▲=★,那么★= ,▲= . 16、同学们排队做早操,从左往右数,小力排第5,从右往左数,小力排第5,小力这一排有（） 人. 同学们排队做早操,小力左边有5人,小力右边有5人,小力这一排有（）人. 17、？支（1）？支（2） □○□=□□○□=□ □○□=□□○□=□
一元二次方程解法专项训练以及题型分类
一元二次方程题型分类讲解 一元二次方程解法《基础训练篇》 （1）直接开平方 1.方程 (3x －1)2=－5的解是 。 2.用直接开平方解下列方程： (1)4x 2－1＝0 ； (2)(x+4)2 = 9； (3)81(x-2)2=16 ； (4)4(2x+1)2-36=0 ； (5)2 2 )32()2(+=-x x （4）因式分解法 1、填写解方程2-2-3=0x x 的过程 解： x -3 x 1 -3x+x=-2x 所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ） 即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 2、用十字相乘法解方程6x 2－x -1=0 解： 2x 1 2x- x=-x 所以6x 2－x -1=（2x ）（ ） 即（2x ）（ ）=0 即2x =0或 =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 例题1、26=x x 2、4(3+)7(3+)x x x = 3、 244-y+=0 39y 4、2 2-1=9x x （2） 5、20322--x x =0； 练习：解方程 1、22-3=0x x 2、(3)3(3)x x x -=- 3、24-12x-9=0x 4、22 -3=25+4x x （）（）
5、2 2-3=-9x x （） 6.3x 2 ＋7x －6=0 ； 7.2216-3(4)x x =+ 8.22 (-3)+436x x = 9.(-3)2(2)x x =+（x+2） 10.2 (4-3)+44-3+4=0x x （） 11. 2x 2 ＋5x ＋2=0； 12.27196=0x x -- （2）配方法 1、填空： （1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2； 2、用配方法解下列方程： (1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-32x-3 2 =0. （3）公式法 1.用公式法解下列方程： (1) 3 y 2-y-2 = 0 (2) 2 x 2+1 =3x (3)4x 2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1) 一元二次方程考点以及典型例题《提高篇》
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
一年级10题 易错题
一年级十大易错重点题 【重点1】小芳拍球拍了50下，小明拍的比小芳少一些。 （1）小明可能拍了多少下？（请打“√”） （2）小明最多拍了（）下。 【重点2】小文看一本童话书，第1天看了16页，第2天看了20页，第3天应该从第（）页开始看起。 【重点3】王叔叔收了一批鸭蛋，前3天卖出30个，还剩8个。他一共收了多少个鸭蛋？ 【重点4】在计数器上用5颗珠表示两位数，最大可以表示多少？最小呢？先画一画，再填空。 【重点5】学校有55个篮球，五年级借走16个，六年级借走25个。一共借走多少个？ 【重点6】小林和小军看同一本故事书。几天后，小林还剩15页没看，小军还剩23页没看。谁看的页数多？ 【重点7】6( )＋4的得数是七十多，( )里填什么样的数？ ( )小于6的数( ) 6 ( ) 大于6的数 【重点8】在47，75、57、70、77这五个数中，选择合适的填在框里。 【重点9】妈妈带的钱正好够买这个88元的蛋糕，妈妈最多有（）张20元。 【重点10】小英做了20朵花，小云做了9朵，小云最少再做（）朵才能超过小英。
一年级十大易错重点题—答案解析 【重点1】小芳拍球拍了50下，小明拍的比小芳少一些。 （1）小明可能拍了多少下？（请打“√”） （2）小明最多拍了（）下。 【分析】因为“小明拍的比小芳少一些”，这就说明小明拍的球比“50下”少一点。“12下”比“50下”少得多，而“52下”是比“50下”多一些，都不符合要求。所以比“50下”少一些应该是“47下”。“小明最多拍了（）下”这个问题，首先要了解“最多”的意思，其实应该是在比“50下”少的范围内的一种“最多”情况。故而因比“50下”只少“1下”，才算“最多”的情况，即“49下”。 【重点2】小文看一本童话书，第1天看了16页，第2天看了20页，第3天应该从第（）页开始看起。 【分析】小朋友容易理解为第3天从第（21）页开始看起。其实第3天看的页数应该在第1天和第2天的基础上再往下看的，因此要先求出小文第1天和第2天一共看的页数：16＋20＝36（页），再用36＋1＝37（页），即第3天应该从第（37）页开始看起。 【重点3】王叔叔收了一批鸭蛋，前3天卖出30个，还剩8个。他一共收了多少个鸭蛋？ 【分析】此题关键要理解“前3天卖出30个”这个条件的意思，它是指前3天一共卖出30个，而并不是前3天每天都是卖出30个。因此，这题要求“一共收了多少个鸭蛋”，只要把“共卖出的30个”和“还剩的8个”合起来就行。题中的“前3天”在解题时不起作用。 【重点4】在计数器上用5颗珠表示两位数，最大可以表示多少？最小呢？先画一画，再填空。 【分析】用5颗珠表示两位数，最大应该把这5颗珠都放在十位上，即50；最小的话应该尽量多的把珠放在个位上，但由于是两位数，十位上必须得保留一颗，即14。其实这题还可继续思考：5颗珠还能表示出哪些两位数呢？可以有序地拨一拨，从最大的50开始，每次把一颗珠拨到个位，直至14。也就是说，用5颗珠表示的两位数有：50、41、32、23、14。 【重点5】学校有55个篮球，五年级借走16个，六年级借走25个。一共借走多少个？
一元二次方程题型分类总结
一元二次方程题型分类总结 一、知识结构：一元二次方程考点类型一概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： ⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例 2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★ 1、方程的一次项系数是，常数项是。★ 2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★ 3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★ 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） A、m=n=2
B、m=3,n=1 C、n=2,m=1 D、m=n=1考点类型二方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知的值为2，则的值为。例 2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例 3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例 4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。针对练习：★ 1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。★ 2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★ 3、已知m是方程的一个根，则代数式。★★ 4、已知是的根，则。★★ 5、方程的一个根为（）A B1 C D ★★★ 6、若。考点类型三解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型 一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：
一元二次方程典型例题解析
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析：1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握） 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程较难题型
九年级数学《一元二次方程》（C ）课标版 课前巩固提高 1当x 取何值时， 9X ?1 ? 3的值最小？最小值是多少? 、4a 2 -12a +9- + 4a 2 -20a +25(3 < a < 5) 3化简 2 2 考点 --- 元二次方程定义的考查 2若关于x 的一元二次方程（m -1）x 2 ? 5x ? m 2 - 3m ? 2 = 0的常数项为0，则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1 或 2 D 、0 3试说明关于x 的方程（a 2 -8a ■ 20）x 2 2ax 1=0无论a 取何值，该方程都是一元二次方程； 4（2011年重庆江津区七校联考） 若关于x 的一元二次方程（m 「1）x 2 ? 5x ? m 2 -3m - 2=0的常数项为0, 则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1 或 2 D 、0 考点二利用一元二次方程三种变形巧解等式求值问题 5已知/ +兀+ 1二0 ,则F + X + 2忑+ ?的值是 ________________ 。 6已知II ，则J -.」?「!」的值是（） A. 1989 B. 1990 C. 1994 D. 1995 - + 3 + ——- 7 设 x a -5x + l = 0 ,则 x 十 1 _______ 。 2已知 y 二 x 2 - 4 4 -x 2 x 2 x 8 求x y y x -2 14的值
2 8 （重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考）已知x 是一元二次方程 x ，3x-1=0的实数根, 5 I x - 2的值. 9 （2012黑龙江省绥化市，21, 5分）先化简，再求值： ：_3 （m 2 ），其中 m 是方程 3m -6m m — 2 x 2 ? 3x -1 = 0 的根. 考点三一元二次方程的解法技巧 12 （ 2011四川南充3分）方程（x+1） （x - 2） =x+1的解是 5, 3分）方程x （x-2）+x-2=0 的解是（ D .2, — 1 求代数式: x -3 3x 2 -6x 10 （2011山东淄博4 分） 已知a 是方程x 2 x -1=0的一个根，则 2 a 2 -1 J —的值为 a 「a B. ------- 2 C.— 1 D. 11用因式分解法解方程 B 3 C 、- 1, 2 D - 1, 3 13（2012四川省南充市, A.2
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值． 3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且
(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
一元二次方程应用题典型题型归纳
一元二次方程应用题典型题型归纳 （一）传播与握手问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组 共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？ 6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有 多少人？ 7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （二）平均增长率问题 变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均 每次降价率是。 3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始 涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率？
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. （三）商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产 品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？ (2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。 为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
一元二次方程练习题23718
一元二次方程练习题 一、填空 1．一元二次方程12)3)(31(2 +=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2．关于x 的方程023)1()1(2 =++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。 3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。 4. ++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2 )。 5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。 6．若方程02 =++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 。 7．若代数式5242--x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 8．方程492=x 与a x =2 3的解相同，则a = 。 9．当t 时，关于x 的方程032 =+-t x x 可用公式法求解。 10．若实数b a ,满足022=-+b ab a ，则b a = 。 11．若8)2)((=+++ b a b a ，则b a += 。 12．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。 二、选择 1．下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+2 21 （C ）0)1()1(2 22=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ） （A ）±2 1 （B ）±1 （C ）±2 2 （D ）±2 3．若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2 1 4．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的 是（ ）
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； （2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．
3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222 ()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
【小学数学】一年级解决问题常见题型及易错题(复习)
1、笑笑家养了鸡和鸭共45只，其中有20只鸡，鸭有多少只？ 2、小红捡了24个贝壳,小明和小红捡的一样多,小红和小明一共捡了多少个贝壳？ 3、小东摘了24个桃子,小美捡了48个桃子,小东还要捡多少个就和小美一样多？ 4、4个 画图 列式 5、少2个 画图 列式 6、多5个 画图 列式 6、小明种了15棵树,比小芳种的树少,小芳种了多少棵？ 7、玲玲摘了12根黄瓜,明明摘的黄瓜比玲玲多25根。 请你提出一个数学问题,并解答。 8、小明有100元钱,要买一套桌椅,可以怎么买,应付多少元？请你写出一种买法。、○1粉色桌子28元○2蓝色桌子56 ○3绿色桌子43元
○4紫色椅子55元○5黄色椅子33元 9、想一想,每个算式中阴影部分表示几？ 10、饭堂准备80个水果,每人一个,学生有70个人,老师3个人,够吗？ 11、东东有13颗糖果,平平有98颗,平平比东东多几颗？ 12、从下面5个数里选出3个数,组成两道加法和两道减法算式。 12 98 45 57 53 （）-（）=（）（）+（）=（）（）-（）=（）（）+（）=（） 13、一辆车最多能坐40人,一（7）班有37名学生,4名教师,够坐吗？ 14、有8辆小巴,15辆中巴,12辆大巴。 （1）小巴比大巴少几辆？ （2）下面解决的问题是：？ 11-6 =（）（辆） （3）再提出一个数学问题,并解答。 15、看图列式计算（大括号题型）
16、看图列式计算（一共及剩下题型） 17、42只小猫,每只小猫分一条鱼,有38条鱼,还差几条鱼？ 18、黑金鱼58条,红金鱼39条,黑金鱼比红金鱼多几条？ 19、梨树47棵,梨树比苹果树少14棵,梨树有多少棵？ 20、一共要给66盆花浇水,我已经浇了57盆,还要浇多少盆？ 21.、水果店卖了27个火龙果,还剩39个,水果店原来有多少个西瓜？
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明. 一、面积问题： 例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设 道路的宽为x米，则可列方程为（） A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644 C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356 二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 四、储蓄问题 例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 五、情景对话类 例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
数学 一元二次方程的专项 培优易错试卷练习题附答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？ 【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【解析】 【分析】 作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1 2 ×PB×QE，有P、Q点的移动速 度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】 解： 如图， 过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝1 2 ?PB?QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t． 根据题意，1 2 ?（6﹣t）?t＝4． t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
一元二次方程经典考题难题
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程
新人教版一年级下册数学易错题、难题精选
人教一年级下册数学易错题、难题精选 1.写出四个个位上都是4的两位数：（）、（）、（）、（） 2.个位上都是9的两位数有（）个 3.最大的两位数是（），最小的两位数是（），他们的差是() 4.8个十是()，再加上()个十是100 5.72-4=52-8=60-7=42-5=76-7=65-8=41-9= 6.小明有一张20元的人民币，买了两支9元一支的钢笔，小明付()元， 应找回()元。 7.一张10元可以换()张1元的，可以换()张2元的，可以换()张5元 的 8.一张5元可以换()张2元和()张1元的 9.小明有4元钱，买了个本子花了2元5角，还剩多少钱？ 10.一个数从右边起第一位是6，第二位上的数比第一位上的数多3，这个数 是()，它后面的一个数是()。 11.个位数和十位数都相同的两位数有()个 12.一本书80页，小孩差不多看了一半，她可能看了()页 A25B41C70 13.97是接近100还是接近90？()，93呢？() 14.74读作()，四十一写作() 15.写出3个十位上的数比个位上的数小2的数：()、()、() 16.个位上是1的两位数共有()个 17.在13、35、33、3、30、23、38、93、53中，个位数是3的数有()个 18.二十、二十地数，数()次是100，十个十个地数，数9次是()
19.从4、2、8、5四个数中选出两个数字组成一个两位数，最小的是()， 最大的是() 20.在算式32+□<40中，□里最大填() 21.在算式43+□>52中，□里最小填() 22.100分=（）角 23.2元4角+6角=()角=（）元1元5角+5角=()元 难题、易错题复习二 1.一个数从右边起第一位是8，第二位上的数是第一位的一半，这个数是()， 它后面的第一个双数是()。 2.一本书60页，小孩差不多看了一半，她可能看了()页 A15B31C50 3.98是接近100还是接近90？()，92呢？() 4.1元5角+5角=()元()角 5.从0写到100，一共要写几个0？ 6.小明感冒了，医生给了他一瓶药，要求每天服2次，每次4粒。请问小 明明天要服药多少粒？如果这瓶药有16粒，可以服几天？ 7.小明感冒了，医生给了他一瓶药，要求每天服2次，每次3粒，要连续 服4天，请问这瓶药至少有多少粒？ 8.一本书37元，小明的钱正好够买一本书，他最多有几张10元的？ 9.树上有27只鸟，飞走了3只，又飞走了5只，这时树上还剩多少只鸟？ 10.小明有20元钱，买了4枝3元一枝的钢笔，他还剩多少钱？ 11、明明买了4盒铅笔，每盒6枝，送给妹妹一些后还剩8枝，送给妹妹多
一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.