中考数学复习一元二次方程专项易错题附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程

中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m%，购买数量和原计划一样：“美团”网

上的购买价格比原有价格下降了9

20

m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在

两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5

2

m%），在“美团”网上的购买实际消费

总额：a[120（1﹣25%）﹣9

20

m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划

的预算总额增加了15

2

m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120；

解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．

答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：

120×0.8a（1﹣25%）（1+5

2

m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣

9

20

m]（1+15m%）=120×0.8a

（1﹣25%）×2（1+ 15

2

m%），即72a（1+

5

2

m%）+a（72﹣

9

20

m）（1+15m%）=144a

（1+ 15

2

m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），

m2=20．

答：m的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

2．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．

【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．

3．已知关于x 的一元二次方程()2

204

m

mx m x -++

=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当4m =时，求方程的解.

【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =

，

234

x =

. 【解析】 【分析】

（1）方程有两个不相等的实数根，>0?，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；

（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】

（1）由题意得：24b ac ?=- =()2

2404

m

m m

+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.

（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =

. 【点睛】

本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.

4．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n 的取值范围；

(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根． 【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2． 【解析】 【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ?=-> ，即可求出n 的取值范围；

（2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案. 【详解】

(1)根据题意知，[]

2

2

4(2)41(1)0b ac n ?=-=--??--> 解之得：0n >；

(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数， ∴1n =，

则方程为220x x -=， 即(2)0x x -=， 解得120,2x x ==． 【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程

20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ?=-的关系（①当>0? 时，方程有两个不相等

的实数根；②当0?= 时方程有两个相等的实数根；③当?<0 时，方程无实数根）是解题关键.

5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】 【详解】

解：（1）设每千克核桃应降价x 元.

根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x

2

×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.

此时，售价为：60﹣6=54（元），54

100%=90%60

?. 答：该店应按原售价的九折出售.

6．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．

【答案】（1）k >–1

4

；（2）7 【解析】 【分析】

（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可． 【详解】

（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴

>0?，即()2

2214410k k k +-=+>，解得14

k >-；

（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，

∴()2

22121212225817x x x x x x +=+-=-=.

【点睛】

本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．

7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：

这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1

254

y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；

（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.

【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；

（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；

（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】

（1）设该函数的解析式为:m=kx+b

由题意得:98=k b

94=3k b +??

+?

解得:k=-2,b=100

∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，

()1210025204W t t ??

=-++- ???

21

151002t t =-++

()2

115612.52

t =-

-+ ∵

1

02

<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ??=-++--

???

()21

1525001002

t a t a =-+++-，

∴对称轴为：152t a =+，

∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.

8．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；

(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】

试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根，将x =5

代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．

试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．

将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．

当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；

当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．

综上所述：此三角形的周长为13或17．

点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．

【解析】

试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2

（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，

而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

10．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC

的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

考点：一元二次方程的应用．