备战中考数学复习一元二次方程专项易错题及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

【解析】

【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.

【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

2．解方程：2332302121x x x x ????--= ? ?--????

． 【答案】x=

15

或x=1 【解析】

【分析】 设321

x y x =

-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321

x y x =

-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321

x x =-． 解得x=15

或x=1． 经检验：x=

15或x=1都是原方程的解．

∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】 考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 3．解下列方程：

(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；

(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.

【答案】(1)x 1＝1＋

62，x 2＝1－62 (2) x 1＝－1，x 2＝5. 【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝

12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝

32. ∴x －1＝±

32＝±6. ∴x 1＝1＋62，x 2＝1－62

. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.

∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.

∴x 1＝－1，x 2＝5.

4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622

x x ??--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

5．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．

(1) 试说明：此方程总有两个实数根．

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.

【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.

【解析】

分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m ?（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）利用公式法可求出x 1=

3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，

∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，

∴△=（m -3）2-4m ×（-3）

=（m +3）2，

∵（m +3）2≥0，即△≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵x =

()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m

，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，

∴m =-1或-3．

点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

6．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204

x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；

（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=-

-，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3

【解析】

【分析】

（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124

x x m =

-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．

【详解】

解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ?=+-??-≥，

∴290m +≥， ∴92

m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-； （2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =

-， 由22212121184

x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ????-+--=- ?????

∴22150m m +-=，

解得：3m =或5m =-； ∵92

m ≥-， ∴3m =.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则

12b x x a +=-，12c x x a

=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.

7．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.

【答案】x 1，x 2

【解析】

试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.

试题解析：(x ＋1)(x －1)＝

x 2-2x-1=0

∵a=1，b=-

c=-1

∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0

∴x=

2b a

-± ∴x

1x 2.

8．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．

（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；

（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．

【答案】（1）a=

15，方程的另一根为12

；（2）答案见解析. 【解析】

【分析】

（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；

（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．

【详解】

（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15

． 将a ＝

15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12

； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.

②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0．

当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；

当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．

综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.

考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.

9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

考点：一元二次方程的应用．

10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．

（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；

（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣

4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．

【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（

1

2

-，0）或（

1

2

，0）.

【解析】

【分析】

（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；

（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-

4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．

【详解】

解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，

所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），

由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，

所以0＝a+2，

解得a＝﹣2；

（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”

∴11

a b

-=，

∴a+b＝0．

∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根

∴a+b＝k＝0，

∴x2﹣4＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣2．

①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为

1

,0

2

??- ???

；

②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1

2

，0 ）

∴综上所述，“x牵手点”为

1

,0

2

??

- ?

??

或（

1

2

，0）

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．