九年级上册一元二次方程易错题(Word版 含答案)
(易错题)初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.一面足够长的墙,用总长为30米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD ,中间用栅栏隔成同样三块,若要围成的矩形面积为54平方米,设垂直于墙的边长为x 米,则x 的值为( )A .3B .4C .3或5D .3或4.5 2.用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3=0,此方程可变形为( ) A .(x ﹣3)2=3B .(x ﹣3)2=6C .(x+3)2=12D .(x ﹣3)2=12 3.用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7=0,可变形为( ) A .(x+2)2=3 B .(x+2)2=11 C .(x ﹣2)2=3 D .(x ﹣2)2=11 4.用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-,做法正确的是( )A .3125x x +=-B .31(25)x x +=--C .31(25)x x +=±-D .3125x x +=±- 5.关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数,则a 的值为( )A .-3B .0C .1D .-3或0 6.用配方法解方程2x 4x 70+-=,方程应变形为( ) A .2(2)3x += B .2 (x+2)11= C .2 (2)3?x -= D .2()211x -= 7.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病,如果有一人患病,经过两轮传染后有81人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,下列列式正确是( )A .(1)81x x x ++=B .2181x x ++=C .1(1)81x x x +++=D .(1)81x x += 8.某中学举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间只比赛1场,共比赛10场,则参加此次比赛的球队数是( )A .4B .5C .6D .79.若方程()200++=≠ax bx c a 中,,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=,则方程的根是( )A .1,0B .1,0-C .1,1-D .2,2- 10.关于x 的一元二次方程(a -1)x²-x +a²-1=0的一个根是0,则a 的值为( )A .1B .-1C .1或-1D .0 11.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( )A .1B .﹣1C .12D .12- 12.若()()2222230xy x y ++--=,则22x y +的值是( ) A .3 B .-1 C .3或1 D .3或-1 二、填空题13.解方程:268x x +=-解:两边同时加_________,得26x x ++________8=-+________则方程可化为(_______)2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________,2x =___________.14.当a =______,b =_______时,多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值,这个最小值是_____.15.一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________.16.一元二次方程22(1)210a x x a +++-=,有一个根为零,则a 的值为________. 17.对于任意实数a 、b ,定义:a ◆b =a 2+ab +b 2.若方程(x ◆2)﹣5=0的两根记为m 、n ,则(m +2)(n +2)=_____.18.若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根,则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________19.若a ,b 是方程22430x x +-=的两根,则22a ab b +-=________.20.已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根,则m =_________. 三、解答题21.解方程:2250x x +-=.22.(1)x 2﹣8x+1=0;(2)2(x ﹣2)2=x 2﹣4.23.若a 为方程2(16x =的一个正根,b 为方程22113y y -+=的一个负根,求+a b 的值.24.解方程:(1)x 2+6x ﹣2=0.(2)(2x ﹣1)2=x (3x +2)﹣7.25.用适当的方法解方程:(l )2(3)26x x +=+(2)2810x x -+=.26.某地区2018年投入教育经费2000万元,2020年投入教育经费2420万元(1)求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率;(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2022年需投入教育经费2900万元,如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】设AD 长为x 米,四边形ABCD 是矩形,根据矩形的性质,即可求得AB 的长;根据题意可得方程x (30−4x )=54,解此方程即可求得x 的值.【详解】解:设与墙头垂直的边AD 长为x 米,四边形ABCD 是矩形,∴BC =MN =PQ =x 米,∴AB =30−AD−MN−PQ−BC =30−4x (米),根据题意得:x (30−4x )=54,解得:x =3或x =4.5,∴AD 的长为3或4.5米.故选:D .【点睛】考查了一元二次方程的应用中的围墙问题,正确列出一元二次方程,并注意解要符合实际意义.2.D【分析】先移项,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,最后配方即可得新答案.【详解】由原方程移项得:x 2﹣6x =3,方程两边同时加上一次项系数一半的平方得:x 2﹣6x+9=12,配方得;(x ﹣3)2=12.故选:D .【点睛】此题主要考查配方法的运用,配方法的一般步骤为:移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成;熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键.3.D解析:D【分析】方程常数项移到右边,两边加上4变形得到结果即可.【详解】解:x 2﹣4x ﹣7=0,移项得:247x x -=配方得:24474x x -+=+ ,即2()211x -=故答案为:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.4.C解析:C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-,表示两个式子的平方相等,因而这两个数相等或互为相反数,据此即可把方程转化为两个一元一次方程,即可求解.【详解】解:22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-,故选:C .【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法,关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解. 5.C解析:C根据方程两个实数根互为倒数,得到两根之积为1,利用根与系数的关系求出a 的值即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程x 2+(a 2-3a )x+a=0的两个实数根互为倒数,∴x 1•x 2=a=1.故选:C .【点睛】本题考查了根与系数的关系,能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意:已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数,a≠0,b 2-4ac≥0)的两根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c a. 6.B解析:B【分析】根据配方法解一元二次方程的方法解答即可.【详解】解:用配方法解方程2470x x ,方程应变形为24411x x ++=,即()2211x +=. 故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握配方的方法是解题的关键. 7.C解析:C【分析】平均一人传染了x 人,根据有一人患病,第一轮有(x+1)人患病,第二轮共有x+1+(x+1)x 人,即81人患病,由此列方程求解.【详解】解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,根据题意得,x+1+(x+1)x=81故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,关键是得到两轮传染数量关系,从而可列方程求解. 8.B解析:B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解.【详解】解:设参加此次比赛的球队数为x 队,根据题意得:12x (x-1)=10, 化简,得x 2-x-20=0,解得x 1=5,x 2=-4(舍去),∴参加此次比赛的球队数是5队.故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题.9.D解析:D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=,前式减后式,可得0b =,前式加后式,可得4c a =-,将a 、c 代入原方程计算求出方程的根.【详解】∵根据题意可得:420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②, ①-②=40b =,得0b =,①+②=820a c +=,∴解得:0b =,4c a =-.将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得, ∵240ax bx a +-=,240ax a -=24ax a =∴2x =±故选:D .【点睛】本题考查解一元二次方程,联立关于a 、b 、c 的方程组,由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键.10.B解析:B【分析】把0x =代入,求出a 的值即可.【详解】解:把0x =代入可得210a -=,解得1a =±,∵一元二次方程二次项系数不为0,∴1a ≠,∴1a =-,故选:B .【点睛】本题考查一元二次方程的解,注意二次项系数不为0.11.D解析:D【分析】直接利用根与系数的关系解答.【详解】解:∵2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,∴x 1•x 2=12-=﹣12. 故选:D .【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c a. 12.A解析:A【分析】用22a x y =+,解出关于a 的方程,取正值即为22x y +的值是.【详解】解:令22a x y =+,则(2)30a a --=,即2230a a --=,即(3)(1)0a a ,解得13a =,21a =-,又因为220a x y =+>,所以3a =故22x y +的值是3,故选:A .【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握换元思想可以使做题简单,但需注意220a x y =+>. 二、填空题13.999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解:两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案解析:9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4【分析】根据配方法求解即可.【详解】解:两边同时加9,得26x x ++98=-+9,则方程可化为()23x +=1,两边直接开平方得x+3=±1,即x+3=1或x+3=-1,所以1x =-2,2x =-4.故答案为:9;9;9;x+3;1;x+3=±1;x+3=1;x+3=-1;-2;-4.【点睛】本题考查了配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 14.4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解:===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为:4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析:4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+,然后利用非负数的性质进行解答.【详解】解:22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4,b=3时,多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15.故答案为:4,3,15.【点睛】此题考查了配方法的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 15.-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解:一元二次方程x2-2x +1=0一次项系数是:-2故答案为:-2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解解析:-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解.【详解】解:一元二次方程x2-2x+1=0一次项系数是:-2.故答案为:-2.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式,准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键.16.1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0再解关于a的方程然后利用一元二次方程的定义确定a的值【详解】解:把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0得a2解析:1【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0,再解关于a的方程,然后利用一元二次方程的定义确定a的值.【详解】解:把x=0代入(a+1)x2+2x+a2-1=0得a2-1=0,解得a=1或a=-1,而a+1≠0,所以a的值为1.故答案为:1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.17.-1【分析】根据新定义可得出mn为方程x2+2x−1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=−2mn=−1变形(m+2)(n+2)得到mn+2(m+n)+4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】解析:-1【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x−1=0的两个根,利用根与系数的关系可得出m+n =−2、mn=−1,变形(m+2)(n+2)得到mn+2(m+n)+4然后利用整体代入得方法进行计算.【详解】解:∵(x◆2)﹣5=x2+2x+4﹣5,∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根,∴m+n=﹣2,mn=﹣1,∴(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=﹣1+2×(﹣2)+4=﹣1.故答案为﹣1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=b a -,x 1•x 2=c a. 18.相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t 是一元二次方程()的根∴或当时则;当时则;∴故答案为:相等【解析:相等【分析】由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值,将其代入完全平方式()22M at b =+中即可得出M 的值,由此即可得出结论.【详解】∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根,∴t =t =当t =()224M b b b ac =-=-;当t =时,则()224M b b b ac =-=-; ∴24b ac M =-=.故答案为:相等.【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程,利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键.19.4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案【详解】解:∵是方程的两根∴故答案为:4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键解析:4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2,ab=-32,再变形后代入,即可求出答案. 【详解】解:∵a ,b 是方程22430x x +-=的两根, ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=.故答案为:4.【点睛】本题考查了根与系数的关系,能够整体代入是解此题的关键.20.-8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为:-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造 解析:-8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程,解这个方程即可【详解】已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根,22220m +⨯+=8m =-故答案为:-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题,掌握方程的根的性质,会用方程的解代入构造参数方程是解题关键三、解答题21.1211x x =-=-【分析】利用配方法解方程.【详解】2250x x +-=225x x +=2(1)6x +=1x =-±∴1211x x =-=-【点睛】此题考查解一元二次方程的方法—配方法,将等式变形为平方形式是解题的关键.22.(1)x 1=x 2=42)x 1=2,x 2=6.【分析】(1)先配方、然后运用直接开平方求解即可;(2)先将等式右边因式分解,然后移项,最后用因式分解法求解即可.【详解】解:(1)x 2﹣8x+1=0,x 2﹣8x =﹣1,x 2﹣8x+16=﹣1+16,(x ﹣4)2=15,∴x ﹣4=∴x1=x 2=4(2)∵2(x ﹣2)2=x 2﹣4,∴2(x ﹣2)2﹣(x+2)(x ﹣2)=0,则(x ﹣2)(x ﹣6)=0,∴x ﹣2=0或x ﹣6=0.解得x 1=2,x 2=6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法,掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键.23.a+b= 5【分析】先求出2(16x =的根4x ,由a 为方程2(16x =的一个正根,得4a =+,再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根,得1b =+a b 即可.【详解】2(16x -=,4x -=±,4x ,a 为方程2(16x =的一个正根,4a =+,22113y y -+=,()2113y -=,1y -==1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根,1b =415a b +=+=.【点睛】本题考查一元二次方程的解法,会比较方程根的正负与大小,掌握一元二次方程的解法是24.(1)x 1=﹣,x 2=﹣3;(2)x 1=2,x 2=4.【分析】(1)方程利用配方法求出解即可;(2)方程整理后,利用分解因式分解法求出解即可.【详解】解:(1)方程整理得:x 2+6x =2,配方得:x 2+6x +9=11,即(x +3)2=11,开方得:x +3=,解得:x 1=﹣,x 2=﹣3(2)方程整理得:x 2﹣6x +8=0,分解因式得:(x ﹣2)(x ﹣4)=0,可得x ﹣2=0或x ﹣4=0,解得:x 1=2,x 2=4.【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法,以及因式分解法,熟练掌握各自的解法是解本题的关键.25.(1)13x =-,21x =-;(2)1x =,24x =【分析】(1)用因式分解法求解可得;(2)用配方法求解即可.【详解】解:(1)∵(x+3)2-2(x+3)=0,∴(x+3)(x+1)=0,∴x+3=0或x+1=0,解得:x=-3或x=-1;(2)2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =,24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.26.(1)10%;(2)可以,理由见解析(1)设年平均增长率是x ,列式()2200012420x +=,求出结果;(2)利用(1)中算出的增长率算出2022年的教育经费,看是否超过2900万元.【详解】解:(1)设年平均增长率是x , ()2200012420x +=1 1.1x +=±10.1x =,2 2.1x =-(舍去),答:年平均增长率是10%;(2)2022年的教育经费是()2242010.12928.2⨯+=(万元), 2928.22900>,答:教育经费可以达到2900万元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是掌握增长率问题的列式方法.。
人教版九年级上册数学期中试卷易错题(Word版 含答案)

人教版九年级上册数学期中试卷易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难) 1.如图,∠ AOB =90°,且点A ,B 分别在反比例函数1k y x =(x <0),2k y x=(x >0)的图象上,且k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根.(1)求k 1,k 2的值;(2)连接AB ,求tan ∠ OBA 的值.【答案】(1)k 1=-2,k 2=3.(2)tan∠OBA =6. 【解析】 解:(1)∵k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根,∴解方程x 2-x -6=0,得x 1=3,x 2=-2.结合图像可知:k 1<0,k 2>0,∴k 1=-2,k 2=3.(2)如图,过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,过点B 作BD ⊥y 轴于点D .[来源:学&科&网Z&X&X&K]由(1)知,点A ,B 分别在反比例函数2y x =-(x <0),3y x =(x >0)的图象上, ∴S △ACO =12×2-=1 ,S △ODB =12×3=32.∵∠ AOB =90°, ∴∠ AOC +∠ BOD =90°,∵∠ AOC +∠ OAC =90°,∴∠ OAC =∠ BOD .又∵∠ACO =∠ODB =90°,∴△ACO ∽△ODB .∴S S ACO ODB ∆∆=2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭=23,∴OA OB =±63(舍负取正),即OA OB =63. ∴在Rt △AOB 中,tan ∠ OBA =OA OB 6.2.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0.(1)求证:对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.【答案】(1)证明见解析;(2)m的值为±2,方程的另一个根是5.【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可;(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m的值,然后还原方程求出另一个解即可.【详解】(1)证明:∵(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0,∴x2﹣7x+12﹣m2=0,∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m2)=1+4m2,∵m2≥0,∴△>0,∴对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;(2)解:∵方程的一个根是2,∴4﹣14+12﹣m2=0,解得m=±,∴原方程为x2﹣7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值为±,方程的另一个根是5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当△=b2-4ac<0时,方程没有实数根.3.计算题(1)先化简,再求值:21xx-÷(1+211x-),其中x=2017.(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,求m的值.【答案】(1)2018;(2)m=4【解析】分析:(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解:(1)21xx-÷(1+211x-)=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x+-⋅- =x+1,当x=2017时,原式=2017+1=2018(2)解:∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m ﹣3)=0,解得,m=4点睛:此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.4.如图,平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点(OA <OB )且OA 、OB 的长分别是一元二次方程()2x 31x 30-++=的两个根,点C 在x 轴负半轴上, 且AB :AC=1:2(1)求A 、C 两点的坐标;(2)若点M 从C 点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动,连接AM ,设△ABM 的面积为S ,点M 的运动时间为t ,写出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)点P 是y 轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q ,使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)解)2x 31x 30-+=得(x 3x ﹣1)=0, 解得x 13,x 2=1。
九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word版 含答案)

九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动,速度是1/cm s ,过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ,同时,点Q 从点C 出发沿CB 方向,在射线CB 上匀速运动,速度是2/cm s ,连接PQ 、QE ,PQ 与AC 交与点F ,设运动时间为()(08)<<t s t .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是平行四边形;(2)设PQE 的面积为2()s cm ,求s 与t 的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932; (4)是否存在某一时刻t ,使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上.【答案】(1)83t =;(2)S =299(08)8t t t -+<<;(3)当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932;(4)当573256=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】(1)由四边形PFCE 是平行四边形,可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形,即PD CQ =,列式82t t -=,计算可解. (2)由PE AC ∥,得=DP DE DA DC ,代入时间t ,得886-=t DE 解得364=-DE t ,34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系,可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.(3)由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯,可解当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932. (4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE ,得22=EQ PE ,由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得,222+=CE CQ EQ ,222PD DE PE +=,即2222+=+CE CQ PD DE ,代入364=-DE t ,34CE t =,2CQ t =,8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ,计算验证可解.【详解】(1)当四边形PFCE 是平行四边形时,∥PF CE , 又∵PD QC ,∴四边形CDPQ 为平行四边形, ∴PD CQ =, 即82t t -=, ∴83t =(2)∵PE AC ∥,∴=DP DEDA DC , 即886-=t DE, ∴364=-DE t , ∴336644=-+=CE t t ,∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t , 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ,S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ,∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t(3)由题意,299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =,26t =所以当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932.(4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE , ∴22=EQ PE ,在Rt CEQ 中,222+=CE CQ EQ , 在△Rt PDE 中,222PD DE PE +=, ∴2222+=+CE CQ PD DE ,即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ,2573256+=-t (舍)所以当57325-=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上. 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用,勾股定理,平行线的性质,解一元二次方程,需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证,不可忽略.2.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长; (2)结合图形,利用勾股定理求解即可;(3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解. 试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0 ∴1x =3或2x =4 . 则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去) 则t =4时,AP =10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形. ①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. ∴AC=2234+ =5,CP 1= 12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒) ③当PD =CD =3时,作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯,22129355PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ∴PC=2PQ =185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形.3.已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点P 为直线AB 上一点,连接OP ,点D 在OA 延长线上,分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ,连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22,求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+;(3)203S =.【解析】 【分析】(1)先求出点B 坐标,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,分别代入,利用待定系数法进行求解即可;(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,则有PC=OD=5+m ,∠PCH=30°,过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)5m +,再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得; (3) 先求得∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE ,证明△ADK 是等边三角形,继而证明△PEC ≌△DKO ,通过推导可得到OP=OK=CE=CD ,再证明△CDE 是等边三角形,可得CE=CD=DE ,连接OE ,证明△OPE ≌△EDA ,继而可得△OAE 是等边三角形,得到OA=AE=5 ,根据四边形ADCE 的周长等于22,可得ED=172m -,过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +,由勾股定理得222EN DN DE +=, 可得关于m 的方程,解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5,∠OAB=60°, ∴∠OBA=30°,AB=10 , 由勾股定理可得OB=, ∴B(0,,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,)分别代入,得05k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴直线解析式为y =+ (2)∵CP//OD ,OP//CD ,∴四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°, ∴PC=OD=5+m ,∠PCH=30°, 过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 PH=52m +,由勾股定理得)5m +, ∴S=12AB •CH=110(5)2222m m ⨯⨯+=+;(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°,∴∠EAD+∠ECD=180°,∠CEA+∠ADC=180°, ∴∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α, 在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE , ∵∠DAK=60°, ∴△ADK 是等边三角形, ∴AD=DK=PE ,∠ODK=∠APC , ∵PC=OD , ∴△PEC ≌△DKO ,∴OK=CE ,∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α, ∠AKD= ∠APC=60° , ∴∠OPK= ∠OKB , ∴OP=OK=CE=CD , 又∵∠ECD=60°, ∴△CDE 是等边三角形, ∴CE=CD=DE ,连接OE ,∵ ∠ADE=∠APO ,DE=CD=OP , ∴△OPE ≌△EDA , ∴AE=OE , ∠OAE=60°, ∴△OAE 是等边三角形, ∴OA=AE=5 ,∵四边形ADCE 的周长等于22, ∴AD+2DE=17, ∴ED=172m-, 过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +, 由勾股定理得222EN DN DE +=,即22253517()()()222m m -++=, 解得13m =,221m =-(舍去), ∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题,涉及了待定系数法,平行四边形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解一元二次方程等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D , (1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围; ②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0). 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质得出AC =AO =8,∠OAC =90°,得出C (8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC =OB =m ,∠ACD =∠AOB =90°,∠OAC =90°,得出∠ACE =90°,证出四边形OACE 是矩形,得出DE ⊥x 轴,OE =AC =8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.5.已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b,当b=﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4)①求a的值;②求当a ≤x ≤b 时,一次函数y =ax +b 的最大值及最小值; 【答案】①a 的值是﹣2或﹣4;②最大值=13,最小值=9 【解析】 【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值;②根据a ≤x ≤b ,b =﹣3求得a=-4,由此得到一次函数为y =﹣4x ﹣3,根据函数的性质当x =﹣4时,函数取得最大值,x =﹣3时,函数取得最小值,分别计算即可.【详解】解:①∵y =9x 2﹣6ax +a 2﹣b ,当b =﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4) ∴4=9×(﹣1)2﹣6a ×(﹣1)+a 2+3, 解得,a 1=﹣2,a 2=﹣4, ∴a 的值是﹣2或﹣4; ②∵a ≤x ≤b ,b =﹣3 ∴a =﹣2舍去, ∴a =﹣4, ∴﹣4≤x ≤﹣3, ∴一次函数y =﹣4x ﹣3,∵一次函数y =﹣4x ﹣3为单调递减函数,∴当x =﹣4时,函数取得最大值,y =﹣4×(﹣4)﹣3=13 x =﹣3时,函数取得最小值,y =﹣4×(﹣3)﹣3=9. 【点睛】此题考查解一元二次方程,一次函数的性质,(2)是难点,正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.6.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价? 【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= , 解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=, 解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件. 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.7.阅读下列材料 计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t ,则:原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣+t 2=在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题: (1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)(2)因式分解:(a 2﹣5a +3)(a 2﹣5a +7)+4 (3)解方程:(x 2+4x +1)(x 2+4x +3)=3 【答案】(1);(2)(a 2﹣5a +5)2;(3)x 1=0,x 2=﹣4,x 3=x 4=﹣2【解析】 【分析】(1)仿照材料内容,令+=t 代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a 2﹣5a =t 代入原式进行因式分解,最后要记得把t 换为a .(3)观察式子找相同部分进行换元,令x 2+4x =t 代入原方程,即得到关于t 的一元二次方程,得到t 的两个解后要代回去求出4个x 的解. 【详解】 (1)令+=t ,则: 原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+=(2)令a 2﹣5a =t ,则:原式=(t +3)(t +7)+4=t 2+7t +3t +21+4=t 2+10t +25=(t +5)2=(a 2﹣5a +5)2 (3)令x 2+4x =t ,则原方程转化为:(t +1)(t +3)=3t 2+4t +3=3t (t +4)=0∴t 1=0,t 2=﹣4 当x 2+4x =0时,x (x +4)=0解得:x 1=0,x 2=﹣4当x 2+4x =﹣4时,x 2+4x +4=0(x +2)2=0解得:x 3=x 4=﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.8.如图,已知AB 是⊙O 的弦,半径OA=2,OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根.(1)求弦AB 的长度;(2)计算S △AOB ;(3)⊙O 上一动点P 从A 点出发,沿逆时针方向运动一周,当S △POA =S △AOB 时,求P 点所经过的弧长(不考虑点P 与点B 重合的情形).【答案】(1)AB=2;(2)S △AOB 33)当S △POA =S △AOB 时,P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π. 【解析】试题分析:(1)OA 和AB 的长度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度;(2)作出△AOB 的高OC ,然后求出OC 的长度即可求出面积;(3)由题意知:两三角形有公共的底边,要面积相等,即高要相等.试题解析:(1)由题意知:OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根,∴OA+AB=﹣41-=4,∵OA=2,∴AB=2;(2)过点C作OC⊥AB于点C,∵OA=AB=OB=2,∴△AOB是等边三角形,∴AC=12AB=1,在Rt△ACO中,由勾股定理可得:OC=3,∴S△AOB=12AB﹒OC=12×2×3=3;(3)延长AO交⊙O于点D,由于△AOB与△POA有公共边OA,当S△POA=S△AOB时,∴△AOB与△POA高相等,由(2)可知:等边△AOB的高为3,∴点P到直线OA的距离为3,这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1,∴∠BOP1=60°,∴此时点P经过的弧长为:1202180π⨯=43π,②作点P2,使得P1与P2关于直线OA对称,∴∠P2OD=60°,∴此时点P经过的弧长为:2402180π⨯=83π,③作点P3,使得B与P3关于直线OA对称,∴∠P3OP2=60°,∴此时P经过的弧长为:3002180π⨯=103π,综上所述:当S△POA=S△AOB时,P点所经过的弧长分别是43π、83π、103π.【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识.涉及等边三角形性质,圆的对称性等知识,能综合运用所学知识,选择恰当的方法进行解题是关键.9.在等腰三角形△ABC中,三边分别为a、b、c,其中ɑ=4,若b、c是关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣12)=0的两个实数根,求△ABC的周长.【答案】△ABC的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k值,将k值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k =当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4.∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形.∴△ABC 的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.10.如图,某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym (其中y ≥4),另两边的篱笆长分别为xm .(1)求y 关于x 的函数表达式,并求x 的取值范围.(2)若仅用现有的11m 长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【答案】(1)y =;1.5≤x ≤3;(2)长为8m ,宽为1.5m .【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式,结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围; (2)由篱笆的长可得出y =(11﹣2x )m ,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)∵矩形的面积为12m2,∴y=.∵4≤y≤8,∴1.5≤x≤3.(2)∵篱笆长11m,∴y=(11﹣2x)m.依题意,得:xy=12,即x(11﹣2x)=12,解得:x1=1.5,x2=4(舍去),∴y=11﹣2x=8.答:矩形园子的长为8m,宽为1.5m.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y关于x的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.。
一元二次方程易错题(Word版 含答案)

试题解析:(1)∵x2-7x+12=(x-3)(x-4)=0
∴ =3或 =4 .
则AB=3,BC=4
(2)由题意得
∴ , (舍去)
则t=4时,AP= .
(3)存在点P,使△CDP是等腰三角形.
①当PC=PD=3时, t= =10(秒).
(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012
年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的
汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011
根据勾股定理得PQ= ,
P,Q两点的距离为2 cm.
(3)点Q从C点移动到B点所花的时间为16÷2=8s,
当点P在AO上时,S△POQ= = =12,
解得t=4.
当点P在OC上时,S△POQ= = =12,
解得t=6或﹣ (舍弃).
当点P在CB上时,S△POQ= = =12,
解得t=18>8(不符合长率为x.
根据题意,得75(1+x)2=108,则1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.
(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为(108×90%+y)万辆,2011年底全市的汽车拥有量为[(108×90%+y)×90%+y]万辆.
综上所述,经过4s或6s时,△POQ的面积为12cm2.
一元二次方程易错题(Word版 含答案)

一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒25OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长. 【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0), 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b , 将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+, 当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1), 将点H 代入122y x =-+,得: 11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =. 根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4, 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n , 将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+, 当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3), 当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得: 13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=, ∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5, 如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+, 解得:x=2t-10, ∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-, ∴点T 1(3,(7))2t t --, ∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -, 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-, 由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去), ∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4. ∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4, ∴点D (2,1),AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动; 当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇; 当12﹤t ﹤1时, 12+12÷(1+4)=35秒, ∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤; 当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处; 当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤ 当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当 t=3时,点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时,点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界), 综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.2.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动,速度是1/cm s ,过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ,同时,点Q 从点C 出发沿CB 方向,在射线CB 上匀速运动,速度是2/cm s ,连接PQ 、QE ,PQ 与AC 交与点F ,设运动时间为()(08)<<t s t .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是平行四边形;(2)设PQE 的面积为2()s cm ,求s 与t 的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932; (4)是否存在某一时刻t ,使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上.【答案】(1)83t =;(2)S =299(08)8t t t -+<<;(3)当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932;(4)当57325-=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】(1)由四边形PFCE 是平行四边形,可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形,即PD CQ =,列式82t t -=,计算可解. (2)由PE AC ∥,得=DP DE DA DC ,代入时间t ,得886-=t DE 解得364=-DE t ,34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系,可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.(3)由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯,可解 当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932. (4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE ,得22=EQ PE ,由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得,222+=CE CQ EQ ,222PD DE PE +=,即2222+=+CE CQ PD DE ,代入364=-DE t ,34CE t =,2CQ t =,8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ,计算验证可解.【详解】(1)当四边形PFCE 是平行四边形时,∥PF CE , 又∵PD QC ,∴四边形CDPQ 为平行四边形, ∴PD CQ =,即82t t -=, ∴83t =(2)∵PE AC ∥,∴=DP DEDA DC , 即886-=t DE, ∴364=-DE t ,∴336644=-+=CE t t , ∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t , 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ,S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ,∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t (3)由题意,299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =,26t =所以当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932. (4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE , ∴22=EQ PE ,在Rt CEQ 中,222+=CE CQ EQ ,在△Rt PDE 中,222PD DE PE +=, ∴2222+=+CE CQ PD DE ,即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t解得1256-=t ,2256+=-t (舍)所以当256-=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上. 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用,勾股定理,平行线的性质,解一元二次方程,需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证,不可忽略.3.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆.(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆.【答案】解:(1)2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%(2)从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】(1)设年平均增长率x,根据等量关系“2008年底汽车拥有量×(1+年平均增长率)×(1+年平均增长率)”列出一元二次方程求得.(2)设从2011年初起每年新增汽车的数量y,根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%,推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×(1-10%),得出等量关系是: 2010年拥有量×(1-10%)+新增汽车数量]×(1-10%)+新增汽车数量”,列出一元一次不等式求得.【详解】解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意,得75(1+x)2=108,则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为(108×90%+y)万辆,2011年底全市的汽车拥有量为[(108×90%+y)×90%+y]万辆.根据题意得(108×90%+y)×90%+y≤125.48,解得y≤20.答:该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆.4.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动.如果 P、 Q分别从 A、B同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ的面积等于 35cm2?(2)当 t 为何值时,PQ的长度等82cm?(3)若点 P,Q的速度保持不变,点 P在到达点 B后返回点 A,点 Q在到达点 C后返回点B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t为何值时,△PCQ的面积等于 32cm2?【答案】(1)t为5或7;(2)t为45或4;(3)t为4或16【解析】【分析】(1)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用面积公式列方程求解即可.(2)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用勾股定理列方程求解即可.(3)分段要清楚,,P,Q都没有返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,P不返回,Q返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,.故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解.③当时,,, 由题意,得,解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB ,CQ 的长.5.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥,解之可得.()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系.6.计算题(1)先化简,再求值:21x x -÷(1+211x -),其中x=2017.(2)已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根,求m 的值. 【答案】(1)2018;(2)m=4 【解析】分析:(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解:(1)21x x -÷(1+211x -)=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1,当x=2017时,原式=2017+1=2018(2)解:∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根, ∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m ﹣3)=0, 解得,m=4点睛:此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.7.图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:他用硬纸片做了两个三角形,分别为△ABC 和△DEF ,其中∠B=90°,∠A=45°,BC=,∠F=90°,∠EDF=30°, EF=2.将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起,并将△DEF 沿AC 方向移动.在移动过程中,D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合). (1)请回答李晨的问题:若CD=10,则AD= ;(2)如图2,李晨同学连接FC ,编制了如下问题,请你回答:①∠FCD的最大度数为;②当FC∥AB时,AD= ;③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边时,AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】(1)2;(2)① 60°;②;③;④.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质,求出AC的长,即可得到AD的长.(2)①当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H,应用等腰直角三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H,AD=x,应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示,根据勾股定理列式求解.④设AD=x,把△FCD的面积s表示为x的函数,根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析:(1)∵∠B=90°,∠A=45°,BC=,∴AC=12.∵CD=10,∴AD=2.(2)①∵∠F=90°,∠EDF=30°,∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图,过点F作FH⊥AC于点H,∵∠EDF=30°, EF=2,∴DF=. ∴DH=3,FH=.∵FC∥AB,∠A=45°,∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12,∴AD=.③如图,过点F作FH⊥AC于点H,设AD=x,由②知DH=3,FH=,则HC=.在Rt△CFH中,根据勾股定理,得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边,∴,即,解得.④设AD=x,易知,即.而,当时,;当时,.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点:1.面动平移问题;2.等腰直角三角形的判定和性质;3.平行的性质;4.含30度角直角三角形的性质;5.勾股定理;6.由实际问题列函数关系式;7.求函数值.8.如图直线y=kx+k交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,且AB=2(1)求k的值;(2)点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB运动,过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q,连接OP,设△PQO的面积为S,点P运动时间为t,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围;(3)在(2)的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB=7(BQ﹣OP),求此时直线PQ的解析式.【答案】(1)k32)当0<t<12时,S=12•OQ•P y=12(1﹣2t3=﹣323.当t >12时,S =12OQ •P y =12(2t ﹣1)•32t =32t 2﹣34t .(3)直线PQ 的解析式为y =﹣3x +53. 【解析】 【分析】(1)求出点B 的坐标即可解决问题;(2)分两种情形①当0<t <12时,②当t >12时,根据S =12OQ •P y ,分别求解即可;(3)根据已知条件构建方程求出t ,推出点P ,Q 的坐标即可解决问题. 【详解】解:(1)对于直线y =kx +k ,令y =0,可得x =﹣1, ∴A (﹣1,0), ∴OA =1,∵AB =2, ∴OB =223AB OA -=∴k =3. (2)如图,∵tan ∠BAO =3OBOA= ∴∠BAO =60°, ∵PQ ⊥AB , ∴∠APQ =90°, ∴∠AQP =30°, ∴AQ =2AP =2t , 当0<t <12时,S =12•OQ •P y =12(1﹣2t 3323. 当t >12时,S =12OQ •P y =12(2t ﹣1)•32t =32t 2﹣34t . (3)∵OQ +AB 7(BQ ﹣OP ),∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1=7t 2﹣7t +7, ∴3t 2﹣11t +6=0, 解得t =3或23(舍弃), ∴P (12Q (5,0), 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ,则有1250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线PQ的解析式为33y x =-+. 【点睛】本题属于一次函数综合题,考查了一次函数的性质,三角形的面积,无理方程等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.9.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数1y x =-,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数1y x =-的零点. 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数).(1)当m =0时,求该函数的零点;(2)证明:无论m 取何值,该函数总有两个零点; (3)设函数的两个零点分别为1x 和2x ,且121114x x +=-,此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧),点M 在直线10y x =-上,当MA+MB 最小时,求直线AM 的函数解析式.【答案】(1)当m =0和 (2)见解析,(3)AM 的解析式为112y x =--. 【解析】 【分析】(1)根据题中给出的函数的零点的定义,将m=0代入y=x 2-2mx-2(m+3),然后令y=0即可解得函数的零点;(2)令y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0即可; (3)根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标,个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时,直线AM 的函数解析式 【详解】(1)当m =0时,该函数的零点为6和6-.(2)令y=0,得△=∴无论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根.即无论m 取何值,该函数总有两个零点. (3)依题意有,由解得.∴函数的解析式为.令y=0,解得∴A(),B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’,连结AB’, 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点.易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C (10,0),D (0,10). 连结CB’,则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’(106-,)设直线AB’的解析式为y kx b =+,则20{106k b k b -+=+=-,解得112k b =-=-, ∴直线AB’的解析式为112y x =--, 即AM 的解析式为112y x =--.10.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10. 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k = 当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4. ∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形. ∴△ABC 的周长为10. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.。
一元二次方程单元试卷(word版含答案)

一元二次方程单元试卷(word 版含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长; (2)结合图形,利用勾股定理求解即可;(3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解. 试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0 ∴1x =3或2x =4 . 则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去) 则t =4时,AP 10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形. ①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. 2234+=5,CP 1= 12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒)③当PD=CD=3时,作DQ⊥AC于Q.1341221552DQ⨯⨯==⨯,22129355PQ⎛⎫=-=⎪⎝⎭∴PC=2PQ=18 5∴183453515t++==(秒)可知当t为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP是等腰三角形.2.(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动,出发时,点P和点Q之间的距离是10cm;(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P,Q两点的距离为多少?当运动时间为4s时,P,Q 两点的距离为多少?(3)拓展应用:若点P沿着AO→OC→CB移动,点P,Q分别从A,C同时出发,点Q从点C移动到点B停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ的面积为12cm2?【答案】(1)85s或245s(2)62cm;213cm(3)4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E,得到AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,利用勾股定理得到方程,故可求解;(2)根据运动时间求出EQ、PE,利用勾股定理即可求解;(3) 分当点P在AO上时,当点P在OC上时和当点P在CB上时,根据三角形的面积公式列出方程即可求解.【详解】解:(1)设运动时间为t秒时,如图,过点P作PE⊥BC于E,由运动知,AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm , ∴62+(16﹣5t )2=100, 解得t 1=85,t 2=245, ∴t =85s 或245s . 故答案为85s 或245s(2)t=2时,由运动知AP =3×2=6 cm ,CQ =2×2=4 cm , ∴四边形APEB 是矩形, ∴PE =AB =6,BE =6,∴EQ =BC ﹣BE ﹣CQ =16﹣6﹣4=6, 根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=, ∴当t =2 s 时,P ,Q 两点的距离为62 cm ;当t =4 s 时,由运动知AP =3×4=12 cm ,CQ =2×4=8cm , ∴四边形APEB 是矩形, ∴PE =AB =6,BQ =8,CE=OP=4 ∴EQ =BC ﹣CE ﹣BQ =16﹣4﹣8=4, 根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=, P ,Q 两点的距离为213cm .(3)点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s , 当点P 在AO 上时,S △POQ =2PO CO ⋅=(163)62t -⋅=12, 解得t =4.当点P 在OC 上时,S △POQ =2PO CQ ⋅=(316)22t t-⋅=12, 解得t =6或﹣23(舍弃). 当点P 在CB 上时,S △POQ =2PQ CO ⋅=(2223)62t t +-⨯=12, 解得t =18>8(不符合题意舍弃),综上所述,经过4 s 或6 s 时,△POQ 的面积为12 cm 2. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题,解题的关键是熟知勾股定理的应用,根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解.3.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D , (1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围; ②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0). 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质得出AC =AO =8,∠OAC =90°,得出C (8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC =OB =m ,∠ACD =∠AOB =90°,∠OAC =90°,得出∠ACE =90°,证出四边形OACE 是矩形,得出DE ⊥x 轴,OE =AC =8,分三种情况:a 、当点B 在线段OE 的延长线上时,得出BE =OB−OE =m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m 2−4m (m >8)即可;b 、当点B 在线段OE 上(点B 不与O ,E 重合)时,BE =OE−OB =8−m ,由三角形的面积公式得出S =−0.5m 2+4m (0<m <8)即可;c 、当点B 与E 重合时,即m =8,△BCD 不存在;②当S =6,m >8时,得出0.5m 2−4m =6,解方程求出m 即可; 当S =6,0<m <8时,得出−0.5m 2+4m =6,解方程求出m 即可. 【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.4.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动.如果 P、 Q分别从 A、B同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ的面积等于 35cm2?(2)当 t 为何值时,PQ的长度等82cm?(3)若点 P,Q的速度保持不变,点 P在到达点 B后返回点 A,点 Q在到达点 C后返回点B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t为何值时,△PCQ的面积等于 32cm2?【答案】(1)t为5或7;(2)t为45或4;(3)t为4或16【解析】【分析】(1)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用面积公式列方程求解即可.(2)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用勾股定理列方程求解即可.(3)分段要清楚,,P,Q都没有返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,P不返回,Q返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,.故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解.③当时,,,由题意,得,解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB ,CQ 的长.5.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价? 【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= , 解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=, 解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件. 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.6.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg ,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关. (1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg 时,用油的重复利用率为61.6%. ①润滑用油量为80kg ,用油量的重复利用率为多少?②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少? 【答案】(1)28(2)①76%②75,84% 【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;(2)①利用润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案; ②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,得出等式求出答案.试题解析:(1)根据题意可得:70×(1﹣60%)=28(kg ); (2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%; ②设润滑用油量是x 千克,则 x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x )]}=12, 整理得:x 2﹣65x ﹣750=0, (x ﹣75)(x+10)=0, 解得:x 1=75,x 2=﹣10(舍去), 60%+1.6%(90﹣x )=84%,答:设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%. 考点:一元二次方程的应用7.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥,解之可得.()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系.8.已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.(1)求k 的取值范围;(2)若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ,且它们的倒数之和是32-,求k 的值. 【答案】(1)k <-34;(2)k=﹣1 【解析】试题分析:(1)根据交点得个数,让y=0判断出两个不相等的实数根,然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值;(2)利用y=0时的方程,根据一元二次方程的根与系数的关系,可直接列式求解可得到k 的值.试题解析:(1)∵二次函数y=x 2-(2k-1)x+k 2+1的图象与x 轴有两交点, ∴当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0有两个不相等的实数根. ∴△=b 2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k 2+1)>0. 解得k <-34; (2)当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0. 则x 1+x 2=2k-1,x 1•x 2=k 2+1, ∵=== 32-,解得:k=-1或k= 13-(舍去), ∴k=﹣19.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程;(2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围;(3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54a ≤(3)-4 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案. 【详解】(1)把a =﹣11代入方程,得x 2﹣x ﹣12=0, (x +3)(x ﹣4)=0, x +3=0或x ﹣4=0, ∴x 1=﹣3,x 2=4;(2)∵方程有两个实数根12x x ,, ∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a ﹣1)≥0, 解得54a ≤:; (3)∵12x x ,是方程的两个实数根,222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-,,,. ∵[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦, 把22112211x x a x x a -=--=-,代入,得:[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9,即(1+a )2=9, 解得:a =﹣4,a =2(舍去), 所以a 的值为﹣4.点睛:本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.10.如图直线y =kx +k 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,且AB =2 (1)求k 的值;(2)点P 从A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动,过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ,连接OP ,设△PQO 的面积为S ,点P 运动时间为t ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出t的取值范围;(3)在(2)的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB=7(BQ﹣OP),求此时直线PQ的解析式.【答案】(1)k32)当0<t<12时,S=12•OQ•P y=12(1﹣2t3=﹣323.当t>12时,S=12OQ•P y=12(2t﹣1)•32t=32t2﹣34t.(3)直线PQ的解析式为y 353.【解析】【分析】(1)求出点B的坐标即可解决问题;(2)分两种情形①当0<t<12时,②当t>12时,根据S=12OQ•P y,分别求解即可;(3)根据已知条件构建方程求出t,推出点P,Q的坐标即可解决问题.【详解】解:(1)对于直线y=kx+k,令y=0,可得x=﹣1,∴A(﹣1,0),∴OA=1,∵AB=2,∴OB223AB OA-=∴k3(2)如图,∵tan ∠BAO =3OB OA= ∴∠BAO =60°,∵PQ ⊥AB ,∴∠APQ =90°,∴∠AQP =30°,∴AQ =2AP =2t , 当0<t <12时,S =12•OQ •P y =12(1﹣2t 3323. 当t >12时,S =12OQ •P y =12(2t ﹣1)•32t =32t 2﹣34t . (3)∵OQ +AB 7(BQ ﹣OP ),∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+ ∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1=7t 2﹣7t +7,∴3t 2﹣11t +6=0,解得t =3或23(舍弃), ∴P (1233Q (5,0), 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ,则有133250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线PQ 的解析式为33y x =-+. 【点睛】 本题属于一次函数综合题,考查了一次函数的性质,三角形的面积,无理方程等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.。
九年级一元二次方程易错题(Word版 含答案)

九年级一元二次方程易错题(Word版含答案)一、初三数学一元二次方程易错题压轴题(难)1.阅读与应用:阅读1:a,b为实数,且a>0,b>0,因为()2≥0,所以a﹣2+b≥0,从而a+b≥2(当a=b时取等号).阅读2:若函数y=x+(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.阅读理解上述内容,解答下列问题:问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x=时,周长的最小值为;问题2:汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度,某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油()L.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,1h的耗油量为yL.(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.【答案】问题1:2,8;问题2:(1)y=;(2)10.【解析】【分析】(1)利用题中的不等式得到x+=4,从而得到x=2时,周长的最小值为8;(2)根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可,经济时速就是耗油量最小的形式速度.【详解】(1)∵x+≥2=4,∴当x=时,2(x+)有最小值8.即x=2时,周长的最小值为8;故答案是:2;8;问题2:,当且仅当,即x=90时,“=”成立,所以,当x=90时,函数取得最小值9,此时,百公里耗油量为,所以,该汽车的经济时速为每小时90公里,经济时速的百公里耗油量为10L.【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用,最值问题,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.2.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆.(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆.【答案】解:(1)2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%(2)从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】(1)设年平均增长率x,根据等量关系“2008年底汽车拥有量×(1+年平均增长率)×(1+年平均增长率)”列出一元二次方程求得.(2)设从2011年初起每年新增汽车的数量y,根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%,推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×(1-10%),得出等量关系是: 2010年拥有量×(1-10%)+新增汽车数量]×(1-10%)+新增汽车数量”,列出一元一次不等式求得.【详解】解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意,得75(1+x)2=108,则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为(108×90%+y)万辆,2011年底全市的汽车拥有量为[(108×90%+y)×90%+y]万辆.根据题意得(108×90%+y)×90%+y≤125.48,解得y≤20.答:该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆.3.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?【答案】存在,n=0. 【解析】 【分析】在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n ,要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1,x2是方程①的两个根,则x 1+x 2=2n ,x 1x 2=324n +-,所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2, 由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0, ①若4n 2+3n+2=-n+1,解得n=-12,但1-n=32不是整数,舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-14(舍), 综上所述,n=0.4.如图,∠ AOB =90°,且点A ,B 分别在反比例函数1k y x =(x <0),2ky x=(x >0)的图象上,且k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根. (1)求k 1,k 2的值;(2)连接AB ,求tan ∠ OBA 的值.【答案】(1)k 1=-2,k 2=3. (2)tan∠OBA 6. 【解析】解:(1)∵k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根,∴解方程x 2-x -6=0,得x 1=3,x 2=-2.结合图像可知:k 1<0,k 2>0,∴k 1=-2,k 2=3.(2)如图,过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,过点B 作BD ⊥y 轴于点D .[来源:学&科&网Z&X&X&K]由(1)知,点A,B分别在反比例函数2yx=-(x<0),3yx=(x>0)的图象上,∴S△ACO=12×2-=1 ,S△ODB=12×3=32.∵∠AOB=90°,∴∠ AOC+∠ BOD=90°,∵∠ AOC+∠ OAC=90°,∴∠ OAC=∠ BOD.又∵∠ACO=∠ODB=90°,∴△ACO∽△ODB.∴SSACOODB∆∆=2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭=23,∴OAOB=±6(舍负取正),即OAOB=6.∴在Rt△AOB中,tan∠OBA=OAOB=6.5.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发,点Q从点C向点D移动.(1)若点P从点A移动到点B停止,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm?(2)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P、Q分别从点A、C 同时出发,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?(3)若点P沿着AB→BC→CD移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2?【答案】(1)2cm;(2)85s或245s;(3)经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2.【解析】试题分析:(1)作PE⊥CD于E,表示出PQ的长度,利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可;(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.在Rt△PEQ中,根据勾股定理列出关于x的方程(16-5x)2=64,通过解方程即可求得x的值;(3)分类讨论:①当点P在AB上时;②当点P在BC边上;③当点P在CD边上时.试题解析:(1)过点P作PE⊥CD于E.则根据题意,得EQ=16-2×3-2×2=6(cm),PE=AD=6cm;在Rt△PEQ中,根据勾股定理,得PE2+EQ2=PQ2,即36+36=PQ2,∴2cm;∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2;(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.(16-2x-3x)2+62=102,即(16-5x)2=64,∴16-5x=±8,∴x1=85,x2=245;∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm;(3)连接BQ.设经过ys后△PBQ的面积为12cm2.①当0≤y≤163时,则PB=16-3y,∴12PB•BC=12,即12×(16-3y)×6=12,解得y=4;②当163<x≤223时,BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,则1 2BP•CQ=12(3y-16)×2y=12,解得y1=6,y2=-23(舍去);③223<x≤8时,QP=CQ-PQ=22-y,则1 2QP•CB=12(22-y)×6=12,解得y=18(舍去).综上所述,经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2.考点:一元二次方程的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B在x轴正半轴上,OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根(OA>OB).(1)求点D的坐标.(2)求直线BC的解析式.(3)在直线BC上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)D(4,7)(2)y=3944x (3)详见解析【解析】试题分析:(1)解一元二次方程求出OA、OB的长度,过点D作DE⊥y于点E,根据正方形的性质可得AD=AB,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA,AE=OB,再求出OE,然后写出点D的坐标即可;(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同理求出点C的坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0,k、b为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(3)根据正方形的性质,点P与点B重合时,△PCD为等腰三角形;点P为点B关于点C 的对称点时,△PCD为等腰三角形,然后求解即可.试题解析:(1)x2﹣7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∵OA>OB,∴OA=4,OB=3,过D作DE⊥y于点E,∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAB=90°,∠DAE+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠DAE,∵DE⊥AE,∴∠AED=90°=∠AOB,∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB,∴△DAE≌△ABO(AAS),∴DE=OA=4,AE=OB=3,∴OE=7,∴D(4,7);(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同上可证得△BCM≌△ABO,∴CM=OB=3,BM=OA=4,∴OM=7,∴C(7,3),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),代入B(3,0),C(7,3)得,,解得,∴y=x﹣;(3)存在.点P与点B重合时,P1(3,0),点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数7.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10. 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k = 当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4. ∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形. ∴△ABC 的周长为10. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.8.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC 的顶点C 的坐标是(6,4),动点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿线段AC 运动,同时动点Q 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿线段BO 运动,当Q 到达O 点时,P ,Q 同时停止运动,运动时间是t 秒(t >0).(1)如图1,当时间t = 秒时,四边形APQO 是矩形;(2)如图2,在P ,Q 运动过程中,当PQ =5时,时间t 等于 秒;(3)如图3,当P ,Q 运动到图中位置时,将矩形沿PQ 折叠,点A ,O 的对应点分别是D ,E ,连接OP ,OE ,此时∠POE =45°,连接PE ,求直线OE 的函数表达式.【答案】(1)t =2;(2)1或3;(3)y =12x . 【解析】 【分析】先根据题意用t 表示AP 、BQ 、PC 、OQ 的长.(1)由四边形APQO 是矩形可得AP =OQ ,列得方程即可求出t .(2)过点P 作x 轴的垂线PH ,构造直角△PQH ,求得HQ 的值.由点H 、Q 位置不同分两种情况讨论用t 表示HQ ,即列得方程求出t .根据t 的取值范围考虑t 的合理性. (3)由轴对称性质,对称轴PQ 垂直平分对应点连线OC ,得OP =PE ,QE =OQ .由∠POE =45°可得△OPE 是等腰直角三角形,∠OPE =90°,即点E 在矩形AOBC 内部,无须分类讨论.要求点E 坐标故过点E 作x 轴垂线MN ,易证△MPE ≌△AOP ,由对应边相等可用t 表示EN ,QN .在直角△ENQ 中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t . 【详解】∵矩形AOBC 中,C (6,4) ∴OB =AC =6,BC =OA =4依题意得:AP =t ,BQ =2t (0<t≤3) ∴PC =AC ﹣AP =6﹣t ,OQ =OB ﹣BQ =6﹣2t (1)∵四边形APQO 是矩形 ∴AP =OQ ∴t =6﹣2t 解得:t =2 故答案为2.(2)过点P 作PH ⊥x 轴于点H ∴四边形APHO 是矩形∴PH =OA =4,OH =AP =t ,∠PHQ =90° ∵PQ =5∴HQ 22PQ PH 3-=①如图1,若点H 在点Q 左侧,则HQ =OQ ﹣OH =6﹣3t ∴6﹣3t =3 解得:t =1②如图2,若点H 在点Q 右侧,则HQ =OH ﹣OQ =3t ﹣6 ∴3t ﹣6=3解得:t=3故答案为1或3.(3)过点E作MN⊥x轴于点N,交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN=OA=4,ON=AM∵矩形沿PQ折叠,点A,O的对应点分别是D,E∴PQ垂直平分OE∴EQ=OQ=6﹣2t,PO=PE∵∠POE=45°∴∠PEO=∠POE=45°∴∠OPE=90°,点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE=∠APO+∠AOP=90°∴∠MPE=∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90MPE AOPPE0P︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP(AAS)∴PM=OA=4,ME=AP=t∴ON=AM=AP+PM=t+4,EN=MN﹣ME=4﹣t∴QN=ON﹣OQ=t+4﹣(6﹣2t)=3t﹣2∵在Rt△ENQ中,EN2+QN2=EQ2∴(4﹣t)2+(3t﹣2)2=(6﹣2t)2解得:t1=﹣2(舍去),t2=43∴AM=43+4=163,EN=4﹣43=83∴点E坐标为(163,83)∴直线OE的函数表达式为y=12x.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,勾股定理,轴对称的性质,全等三角形的判定和性质,解一元一次和一元二次方程.在动点题中要求运动时间t的值,常规做法是用t表示相关线段,再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值.要注意根据t 的取值范围考虑方程的解的合理性.9.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式2216k k k -+-的值. 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩=== , 由条件,知12121211x x x x x x ++==3, 即33a -=,且94a ≤, 故a =-1,则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时,∆=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则178k ≤, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使2216k k k -+-无意义. 综上,代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,10.定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米3240元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【答案】(1)10%;(2)方案②【解析】试题分析:首先设下调的百分率为x,根据题意列出方程进行求解,得出答案;分别求出两种方案所需要花费的钱数,然后进行比较.试题解析:(1)设平均每次下调的百分率是x,依题意得,4000(1-x)2=3240解之得:x=0.1=10%或x=1.9(不合题意,舍去)答:平均每次下调的百分率是10%.(2)方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520>316000 ∴方案②更优惠考点:一元二次方程的应用。
九年级上册数学 一元二次方程易错题(Word版 含答案)

6.如图,已知 AB 是⊙O 的弦,半径 OA=2,OA 和 AB 的长度是关于 x 的一元二次方程 x2﹣ 4x+a=0 的两个实数根. (1)求弦 AB 的长度; (2)计算 S△AOB; (3)⊙O 上一动点 P 从 A 点出发,沿逆时针方向运动一周,当 S =S △POA △AOB 时,求 P 点所经 过的弧长(不考虑点 P 与点 B 重合的情形).
(1)当 t 为何值时,△PBQ 的面积等于 35cm2?
(2)当 t 为何值时,PQ 的长度等 8 2 cm?
(3)若点 P,Q 的速度保持不变,点 P 在到达点 B 后返回点 A,点 Q 在到达点 C 后返回点 B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t 为何值时,△PCQ 的面积等于 32cm2?
【答案】(1)AB=2;(2)S△AOB= 3 ;(3)当 S =S △POA △AOB 时,P 点所经过的弧长分别是
4 、 8 、 10 . 33 3
【解析】
试题分析:(1)OA 和 AB 的长度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根与系数
的关系即可求出 AB 的长度;
(2)作出△AOB 的高 OC,然后求出 OC 的长度即可求出面积;
(3)由题意知:两三角形有公共的底边,要面积相等,即高要相等. 试题解析:(1)由题意知:OA 和 AB 的长度是 x2﹣4x+a=0 的两个实数根,
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九年级上册一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动,速度是1/cm s ,过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ,同时,点Q 从点C 出发沿CB 方向,在射线CB 上匀速运动,速度是2/cm s ,连接PQ 、QE ,PQ 与AC 交与点F ,设运动时间为()(08)<<t s t .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是平行四边形;(2)设PQE 的面积为2()s cm ,求s 与t 的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932; (4)是否存在某一时刻t ,使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上.【答案】(1)83t =;(2)S =299(08)8t t t -+<<;(3)当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932;(4)当573256=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上【解析】【分析】(1)由四边形PFCE 是平行四边形,可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形,即PD CQ =,列式82t t -=,计算可解.(2)由PE AC ∥,得=DP DE DA DC ,代入时间t ,得886-=t DE 解得364=-DE t ,34CE t = 再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系,可列函数式299(08)8S t t t =-+<<. (3)由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯,可解当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932. (4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE ,得22=EQ PE ,由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得,222+=CE CQ EQ ,222PD DE PE +=,即2222+=+CE CQ PD DE ,代入364=-DE t ,34CE t =,2CQ t =,8PD t =- 可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ,计算验证可解. 【详解】(1)当四边形PFCE 是平行四边形时,∥PF CE ,又∵PD QC ,∴四边形CDPQ 为平行四边形,∴PD CQ =,即82t t -=, ∴83t = (2)∵PE AC ∥, ∴=DP DE DA DC, 即886-=t DE , ∴364=-DE t , ∴336644=-+=CE t t , ∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t , 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t , S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t , ∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t (3)由题意,299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =,26t =所以当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932.(4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE ,∴22=EQ PE , 在Rt CEQ 中,222+=CE CQ EQ ,在△Rt PDE 中,222PD DE PE +=,∴2222+=+CE CQ PD DE , 即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ,2573256+=-t (舍) 所以当57325-=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上. 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用,勾股定理,平行线的性质,解一元二次方程,需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证,不可忽略.2.已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点P 为直线AB 上一点,连接OP ,点D 在OA 延长线上,分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ,连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22,求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+;(3)203S =. 【解析】【分析】 (1)先求出点B 坐标,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,3分别代入,利用待定系数法进行求解即可;(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,则有PC=OD=5+m ,∠PCH=30°,过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)52m +,再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得; (3) 先求得∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE ,证明△ADK 是等边三角形,继而证明△PEC ≌△DKO ,通过推导可得到OP=OK=CE=CD ,再证明△CDE 是等边三角形,可得CE=CD=DE ,连接OE ,证明△OPE ≌△EDA ,继而可得△OAE 是等边三角形,得到OA=AE=5 ,根据四边形ADCE 的周长等于22,可得ED=172m -,过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +,由勾股定理得222EN DN DE +=, 可得关于m 的方程,解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5,∠OAB=60°,∴∠OBA=30°,AB=10 ,由勾股定理可得OB=,∴B(0,,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,)分别代入,得05k b b=+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴直线解析式为y =+(2)∵CP//OD ,OP//CD ,∴四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,∴PC=OD=5+m ,∠PCH=30°,过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 PH=52m +,由勾股定理得CH=()52m +, ∴S=12AB •CH=110)2m ⨯+=+;(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°,∴∠EAD+∠ECD=180°,∠CEA+∠ADC=180°,∴∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE ,∵∠DAK=60°,∴△ADK 是等边三角形,∴AD=DK=PE ,∠ODK=∠APC ,∵PC=OD ,∴△PEC ≌△DKO ,∴OK=CE ,∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α, ∠AKD= ∠APC=60° ,∴∠OPK= ∠OKB ,∴OP=OK=CE=CD ,又∵∠ECD=60°,∴△CDE 是等边三角形,∴CE=CD=DE ,连接OE ,∵ ∠ADE=∠APO ,DE=CD=OP ,∴△OPE ≌△EDA ,∴AE=OE , ∠OAE=60°,∴△OAE 是等边三角形,∴OA=AE=5 ,∵四边形ADCE 的周长等于22,∴AD+2DE=17, ∴ED=172m -, 过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +, 由勾股定理得222EN DN DE +=,即22253517()()()222m m -++=, 解得13m =,221m =-(舍去),∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题,涉及了待定系数法,平行四边形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解一元二次方程等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3.(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC ,AB =6cm ,BC =16cm ,动点P 从点A 出发,以3cm/s 的速度向点O 运动,直到点O 为止;动点Q 同时从点C 出发,以2cm/s 的速度向点B 运动,与点P 同时结束运动,出发 时,点P 和点Q 之间的距离是10cm ;(2)逆向发散:当运动时间为2s 时,P ,Q 两点的距离为多少?当运动时间为4s 时,P ,Q 两点的距离为多少?(3)拓展应用:若点P 沿着AO→OC→CB 移动,点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,点Q 从点C 移动到点B 停止时,点P 随点Q 的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ 的面积为12cm 2?【答案】(1)85s 或245s (2)62cm ;213cm (3)4s 或6s 【解析】【分析】(1)过点P 作PE ⊥BC 于E ,得到AP =3t ,CQ =2t ,PE =6,EQ =16﹣3t ﹣2t =16﹣5t ,利用勾股定理得到方程,故可求解;(2)根据运动时间求出EQ 、PE ,利用勾股定理即可求解;(3) 分当点P 在AO 上时,当点P 在OC 上时和当点P 在CB 上时,根据三角形的面积公式列出方程即可求解.【详解】解:(1)设运动时间为t 秒时,如图,过点P 作PE ⊥BC 于E ,由运动知,AP =3t ,CQ =2t ,PE =6,EQ =16﹣3t ﹣2t =16﹣5t ,∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm ,∴62+(16﹣5t )2=100,解得t 1=85,t 2=245, ∴t =85s 或245s . 故答案为85s 或245s(2)t=2时,由运动知AP =3×2=6 cm ,CQ =2×2=4 cm ,∴四边形APEB 是矩形,∴PE =AB =6,BE =6,∴EQ =BC ﹣BE ﹣CQ =16﹣6﹣4=6,根据勾股定理得2262PE EQ +=∴当t =2 s 时,P ,Q 两点的距离为2 cm ;当t =4 s 时,由运动知AP =3×4=12 cm ,CQ =2×4=8cm ,∴四边形APEB 是矩形,∴PE =AB =6,BQ =8,CE=OP=4∴EQ =BC ﹣CE ﹣BQ =16﹣4﹣8=4,根据勾股定理得22213PE EQ +=,P ,Q 两点的距离为13.(3)点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ,当点P 在AO 上时,S △POQ =2PO CO ⋅=(163)62t -⋅=12, 解得t =4.当点P 在OC 上时,S △POQ =2PO CQ ⋅=(316)22t t -⋅=12, 解得t =6或﹣23(舍弃). 当点P 在CB 上时,S △POQ =2PQ CO ⋅=(2223)62t t +-⨯=12, 解得t =18>8(不符合题意舍弃),综上所述,经过4 s 或6 s 时,△POQ 的面积为12 cm 2.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题,解题的关键是熟知勾股定理的应用,根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解.4.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D ,(1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围;②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0).【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出AC=AO=8,∠OAC=90°,得出C(8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,得出∠ACE=90°,证出四边形OACE是矩形,得出DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.5.阅读以下材料,并解决相应问题:材料一:换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在求解某些特殊方程时,利用换元法常常可以达到转化的目的,例如在求解一元四次方程42210x x -+=,就可以令21x =,则原方程就被换元成2210t t -+=,解得 t = 1,即21x =,从而得到原方程的解是 x = ±1材料二:杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现,它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列,下图为杨辉三角形:……………………………………(1)利用换元法解方程:()()222312313+-++-=x x x x(2)在杨辉三角形中,按照自上而下、从左往右的顺序观察, an 表示第 n 行第 2 个数(其中 n≥4),bn 表示第 n 行第 3 个数,n c 表示第(n )1-行第 3 个数,请用换元法因式分解:()41-⋅+n n n b a c【答案】(1)317x -+=或317x --= 或x=-1或x=-2;(2)()41-⋅+n n n b a c =(n 2-5n+5)2【解析】【分析】(1)设t=x 2+3x-1,则原方程可化为:t 2+2t=3,求得t 的值再代回可求得方程的解; (2)根据杨辉三角形的特点得出a n ,b n ,c n ,然后代入4(b n -a n )•c n +1再因式分解即可.【详解】(1)解:令t=x 2+3x-1则原方程为:t 2+2t=3解得:t=1 或者 t=-3当t=1时,x 2+3x-1=1 解得:317x -+=或317x --=当t=-3时,x 2+3x-1=-3解得:x=-1或x=-2∴方程的解为:317x -+=或317x --=或x=-1或x=-2(2)解:根据杨辉三角形的特点得出: a n =n-1(1)(2)2n n n b --= (2)(3)2n n n c --=∴4(b n -a n )•c n +1=(n-1)(n-4)(n-2)(n-3)+1=(n 2-5n+4)(n 2-5n+6)+1 =(n 2-5n+4)2+2(n 2-5n+4)+1=(n 2-5n+5)2 【点睛】本题主要考查因式分解的应用.解一些复杂的因式分解问题,常用到换元法,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化,明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用.6.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm ,BC=16 cm .点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动.如果 P 、 Q 分别从 A 、B 同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ 的面积等于 35cm2? (2)当 t 为何值时,PQ 的长度等82cm ?(3)若点 P ,Q 的速度保持不变,点 P 在到达点 B 后返回点 A ,点 Q 在到达点 C 后返回点 B ,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t 为何值时,△PCQ 的面积等于 32cm 2? 【答案】(1)t 为5或7;(2)t 为45或4;(3)t 为4或16 【解析】 【分析】(1)分别用含t 的代数式表示PB ,BQ 的长,利用面积公式列方程求解即可. (2)分别用含t 的代数式表示PB ,BQ 的长,利用勾股定理列方程求解即可. (3)分段要清楚,,P ,Q 都没有返回,表示好PB ,CQ 的长,用面积公式列方程,,P 不返回,Q 返回,表示好PB ,CQ 的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB ,CQ 的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,. 故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解. ③当时,,,由题意,得, 解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于. 【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB ,CQ 的长.7.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?【答案】存在,n=0. 【解析】【分析】在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n,要注意n的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n满足题意.设x1,x2是方程①的两个根,则x1+x2=2n,x1x2=324n+-,所以(x1-x2)2=4n2+3n+2,由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0,①若4n2+3n+2=-n+1,解得n=-12,但1-n=32不是整数,舍.②若4n2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-14 (舍),综上所述,n=0.8.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA>OC),BE=5,tan∠ABO=.(1)求点A,C的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E,求k的值;(3)若点P在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q,使以点C,E,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q的个数,并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A(12,0),C(﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA>OC求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度,根据Rt△AOB得出AB的长度,作EM⊥x轴,根据三角形相似得出点E的坐标,然后求出k的值;(3)、分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E(3,12),C(﹣6,0),∴CG=9,EG=12,∴EG2=CG•GP,∴GP=16,∵△CPE与△PCQ是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12,∵OC=6,∴OH=10,∴Q(10,﹣12),如图②作MN∥x轴,交EG于点N,EH⊥y轴于点H ∵E(3,12),C(﹣6,0),∴CG=9,EG=12,∴CE=15,∵MN=CG=,可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR,HE=CR ∴Q(﹣3,6﹣3),考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.9.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上,我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形.探究一:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍?如图,假设存在正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD的2倍.因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为2,所以EF=FG=GH=HE2EB=x,则BF2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF=AE2﹣x在Rt△AEB中,由勾股定理,得x2+2﹣x)2=12解得,x1=x2=2∴BE=BF,即点B是EF的中点.同理,点C,D,A分别是FG,GH,HE的中点.所以,存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍?(仿照上述方法,完成探究过程)探究三:已知边长为1的正方形ABCD,一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的4倍?(填“存在”或“不存在”)探究四:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究过程)【答案】不存在,详见解析【解析】【分析】探究二,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可;探究三,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答;探究四,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答.【详解】探究二:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为3,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+x)2=12,整理得x2x+1=0,b2﹣4ac=3﹣4<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍;探究三:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为4,所以EF=FG=GH=HE=2,设EB=x,则BF=2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE=2﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+(2﹣x)2=12,整理得2x2﹣4x+3=0,b2﹣4ac=16﹣24<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍,故答案为不存在;探究四:因为正方形ABCD 的面积为1,则正方形EFGH 的面积为n , 所以EF =FG =GH =HE =n ,设EB =x ,则BF =n ﹣x , ∵Rt △AEB ≌Rt △BFC , ∴BF =AE =n ﹣x ,在Rt △AEB 中,由勾股定理,得, x 2+(n ﹣x )2=12, 整理得2x 2﹣2n x +n ﹣1=0, b 2﹣4ac =8﹣4n <0, 此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH ,它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键.10.如图1,已知△ABC 中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为2cm /s ,连接PQ ,设运动的时间为t (单位:s )(0≤t≤4).解答下列问题: (1)当t 为何值时,PQ∥BC.(2)是否存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分?若存在求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.(3)如图2,把△APQ 沿AP 翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)当BF PC ⊥s 时,PQ∥BC.(2)不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.(3)存在时刻t ,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为1372-cm 2. 【解析】(1)证△APQ∽△ABC,推出AP AB =AQ AC ,代入得出10210t -=28t,求出方程的解即可;(2)假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6,求出此方程无解,即可得出答案. (3)首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQ 、OD 、和PD 的长度;然后在Rt△PQD 中,根据勾股定理列出方程(8-185t )2-(6-65t )2=(2t )2,求得时间t 的值;最后根据菱形的面积等于△AQ P 的面积的2倍,进行计算即可. 解:(1)BP=2t ,则AP=10﹣2t . ∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC, ∴AP AB =AQ AC, 即10210t -=28t, 解得:t=209, ∴当t=209时,PQ∥BC. (2)如答图1所示,过P 点作PD⊥AC 于点D .∴PD∥BC,∴F ,即B ,解得6PD 6-5t =.216625S PD AQ t t =⨯=-, 假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分, 则有S △AQP = C S △ABC ,而S △ABC =12AC•BC=24,∴此时S △AQP =12. 而S △AQP 2665t t =-, ∴266125t t -=,化简得:t 2﹣5t+10=0, ∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程无解, ∴不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.(3)假设存在时刻t ,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t . 如答图2所示,过P 点作PD⊥AC 于点D ,则有PD∥BC,∴D,即COD∆,解得:OC,h,∴QD=AD﹣AQ=t.在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即h,化简得:13t2﹣90t+125=0,解得:t1=5,t2=t,∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=52.由(2)可知,S△AQP=5 4∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×258337+cm2.所以存在时刻t,使四边形137-cm2.“点睛”本题考查了三角形的面积,勾股定理的逆定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形,根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.。