11.4多项式乘多项式__(1)
初中数学_11.4多项式乘多项式教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一．教学目标：1、经历探索多项式相乘法则的过程，明确其算理，进一步发展有条理的思考能力和表达能力。
2、会运用多项式的乘法法则进行两个多项式（仅限于一次多项式）的乘法运算。
3、在经历探索多项乘多项式的乘法法则过程中，使学生体会数形结合思想、整体代换思想与转化思想。
重点：使学生理解法则的导出过程难点：运用法则时，项不重复，不漏掉。
二.教材分析:本节课是在学生学习了单项式的乘法后，通过一系列学习活动来猜测多项式乘以多项式的运算法则，在此过程中，注意完善、规范学生已有的认知，点拨、引导，形成探索、归纳的理性过程.教材首先从生活实例出发，先用两种不同的思路列出一个多项式乘多项式的算式和一个包括两个单项式与多项式的和的算式，根据实际意义，这两个算式相等，然后又从代数运算的角度，两次运用单项式乘多项式的法则导出了多项式乘多项式的法则，期中把一个多项式先看成一个单项式的思想是代数中用字母表示数的思想的进一步发展.三.学情分析：本节课是在学生学习了“单项式与多项式相乘”的基础上进行的，学生基本掌握了“单项式与多项式相乘”的运算法则，但是，有的学生基础差，因此在简单回顾旧知之后，让学生亲身参加探索发现，从而获取新知。
在法则的导出过程中，让学生经历探索，自己发现归纳总结规律，提高了学生的积极性。
法则的应用这一环节选，通过基本练习达到训练双基的目的，。
本节课从学生原有的知识和能力出发，带领学生归纳结论，通过合作交流、共同探索来寻求验证结论的方法四．教学方法分析：本节是新课内容的学习，教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者，教给学生学习的方法是教师的职责。
为了充分调动学生的参与意识，更好的落实各项目标，本课采用学生讨论和启发式相结合等教学方法。
创设情景，引入课题。
以矩形面积为背景，由浅入深，导入课题：多项式乘多项式(2)探究新知，揭示规律。
充分遵循学生的认知规律，坚持启发式。
通过矩形面积得出（a+b ）(c+d)=ac+ad+bc+bd,让学生感受到代数与几何的内在联系，从而体会数形结合的数学思想方法。
多项式乘多项式公式
多项式乘多项式公式
多项式乘多项式公式是一种数学公式，用于计算两个多项式之间的乘积。
多项式是一个包含一个或多个项的代数式，每个项都由一个系数和一个或多个变量的幂组成。
在多项式乘多项式的计算中，我们将每个项中的系数相乘，然后将它们的幂相加。
最后，我们将所有的乘积加在一起，得到两个多项式的乘积。
多项式乘多项式公式的一般形式是：(a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn) × (b0 + b1x + b2x^2 + ... + bmxm) = c0 + c1x + c2x^2 + ... + ckxk，其中a0到an和b0到bm是多项式的系数，x是变量，n和m是多项式的次数，c0到ck是乘积多项式的系数，k 是乘积多项式的次数。
多项式乘多项式公式的计算方法可以通过手算或计算机程序实现。
在手算时，我们需要将每个项的系数相乘，然后将它们的幂相加。
在计算机程序实现时，我们可以使用循环来遍历每个多项式的项，并计算它们的乘积。
最后，我们将所有的乘积加在一起，得到两个多项式的乘积。
多项式乘多项式公式在数学和工程领域中广泛应用。
例如，在信号处理中，我们可以使用多项式乘多项式公式来计算不同信号之间的卷积。
在计算机科学中，多项式乘多项式公式可用于实现多项式插值和多项式拟合等算法。
11.4多项式乘以多项式
a
an n
图5-5
图5-6 (1)
图5-7
由图5-6,可得总面积为 (a+b)(m+n); 由图5-7,可得总面积为 am+an+bm+bn.
(2)
问题 & 探索
(a+b)(m+n)
am
= am
am
+ an + bm + bn
a+b
(2) (m+n)(a+b+c)
练习：
(1)
2; (2a+b)
(2) (x+y)(2x–y)
恭喜你，加１０分！
需要注意的几个问题
1、漏乘 2、符号问题 3、最后结果应化成最简形式。
祝大家马到成功!
=x2-xy−8xy+8y2
=x2−9xy+8y2
计算:
(1) (x+2y)(5a+3b) ; (x+2y)(5a+3b) 解： = x · +x3b+2y· 5a · 5a+2y · 3b =5ax+3bx+10ay+6by (2) (2x–3)(x+4) ; 解: (2x–3)(x+4) =2x2+8x–3x –12 =2x2 +5x –12
am an bm bn
2
1
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
3 4
1
2
3
4
为了扩大街心花园的面积,把原来长为m米,宽为a米 的长方形绿地增长了n米,加宽了b米.你能用几种方法 求出扩大后绿地的面积?
多项式学案
11．4 多项式乘多项式（导学案）教学目标：1.经历探索多项式相乘法则的过程，明确其算理，进一步发展有条理的思考能力和表达能力2.会用多项式的乘法法则进行两个多项式的乘法运算3.在多项式与多项式的乘法运算中，进一步体会转化思想的运用学习过程：一、温故知新1、如何进行单项式与多项式乘法的运算？2、进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?二、情境导入汽车从北京出发，以a千米／小时的速度行驶，经过t时到达天津. 然后，汽车速度比原来增加b千米／小时，从天津到泰山比北京到天津多用w 时，.从天津到泰山的行程是多少千米？你会填写下表吗？因此可列式为：三、新知探究：（一）、思考讨论：( a+ b) A = ?当A = t + w时, (a + b) A =?（二）自主学习，归纳总结：（三）、例题探究：例1 计算(1) (x + 2)( x −5) （2）(3x - y) (x +2y)例2计算：（a + b）(a - 2b ) + 2b2巩固练习：（练习一）1、计算：⑴（m + 3 ）( m + 4) ⑵( 3n – 1) ( 5n – 1 )2、先化简，再求值⑴（x – 3）( x – 2) – 8 ,其中x = --1⑵( 3a + 1)(2a – 3)—(6a –5)(a – 4) , 其中 a = 2例3、一个长方形花坛，相邻两边的长分别是a米和b米，如果边长各增加2米，它的面积是多少平方米？比原来增加了多少平方米？巩固练习：（练习二）3、⑴计算：（2x + y）(2y + x )⑵你能用面积关系说明⑴的结果吗？4、用图形解释下面等式的意义：.( 2a + b) (a + 2b) – 2b2 = 2a2 + 5ab四、课堂小结谈谈你这节课的收获或疑惑五、当堂检测1、下列计算错误的是（）A. （x -- 1）（x + 3）=x2 + 2x –3B. ( x + 2) (3x –6)= 3x2 -12C. ( x – y)( x + y)= x2–xy –y2D. ( m+2)(--m—2) = --m2–4m -42、若( x+a)(x+b) = x –kx + y,则k 的值为（）A. a + bB. –a—b c. a—b D. b – a3、已知m + n =2, mn =--2,则( 1—m)（1—n）=________4、计算：（x +2）（x +3）--（x +6）（x –1）5、已知0＜b＜a, 那么在边长为a + b的正方形内挖去一个边长为a—b 的正方形，剩余部分的面积为多少？。
《多项式与多项式相乘》
相同项合并
总结词
在两个多项式相乘的结果中，对于两个多项式中相同 的项，将其系数合并。
详细描述
例如，假设有两个多项式A(a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an)和B(b1x^n + b2x^(n-1) + ... + bm)，其中 an=bm，那么在它们相乘的结果中，这一项的系数就 是两个多项式相应项系数的乘积再加上余项的系数。 例如，如果an=bm=5，那么这一项的系数就是 5*5+1=26。
排列的计算
多项式相乘可以用于计算排列数，即将n 个不同元素全部排列在一起，共有多少种 排列方式。
VS
组合的计算
多项式相乘也可以用于计算组合数，即将 n个不同元素中取出m个元素进行组合， 共有多少种组合方式。
05
多项式相乘的例子
两个二次三项式的相乘
例子1
$多项式A:2x^2+3x+1$，$多项式 B:x^2+2x+3$，相乘结果为： $2x^4+7x^3+9x^2+6x+3$。
展开平方差公式
利用平方差公式可以将多 项式中的某些项进行展开 ，简化多项式的形式。
微积分中的近似计算
泰勒级数展开
利用多项式相乘可以将一个函数展开成泰勒级数，从而近似计算函数的值。
近似计算
在进行微积分中的近似计算时，可以利用多项式相乘来近似表达一个函数， 提高计算的精度。
组合数学中的排列与组合计算
03
多项式相乘的步骤
确定多项式的项数和次数
确定第一个多项式的项数和次 数。
确定第二个多项式的项数和次 数。
计算两个多项式的项数和次数 的乘积，得到相乘后的多项式
《多项式乘多项式》PPT课件
你能根据这个规律解决下面的问题吗？
(x a)(x b) x2 _(a___b_) x _a__b__
口答：
(x－7)(x＋5) x2 （_－_2）x （_－_35）
（2）(7 3x)(7 3x) （3）n(n 2)(2n 1)
（4）(6a 5)2
法则
2.化简：
(1)(2x 1)(x2 3x 1)
(2)3x(x2 2x 1) 2x2(x 2)
3.先化简，再求值：
(3a 1)(2a 3) 6(a 1)(a 2) 其中 a 3
思考题 4、解方程
2x2 7x 6 x2 2x 1
x2 9x 7 x2 5x 5 (x2 2x 1)
x2 2x 1
注意!
• 1.计算(2a+b)2应该这样做：
(2a+b)2=(2a+b)(2a+b) =4a2+2ab+2ab+b2 =4a2+4ab+b2
切记 一般情况下
(2a+b)2不等于4a2+b2 .
（2） (x 7 y)(x 5y)
（3） (2m 3n)(2m 3n)
（4） (2a 3b)(2a 3b)
(5) (x+2y)2
你注意到了吗？
多项式乘以多项式，展开 后项数很有规律，在合并同类 项之前，展开式的项数恰好等 于两个多项式的项数的积。
需要注意的几个问题
1.漏乘 2.符号问题 3.最后结果应化成最简形式.
整式的乘除
11.4 多项式乘多项式
回忆 １.单项式乘单项式的法则 ２.单项式乘多项式的法则
a c
b c
d
多项式乘以多项式法则
多项式乘以多项式法则
多项式乘以多项式法则是数学中的一个基本法则，用于计算两个多项式相乘的结果。
这个法则基于代数的基本性质和多项式的定义，可以推广到任意两个多项式的乘法运算中。
多项式乘以多项式法则的基本步骤是：将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，然后将得到的所有乘积相加。
这样，我们就得到了两个多项式相乘的结果。
例如，考虑两个多项式 A(x) = 2x^2 + 3x + 1 和 B(x) = x^3 - x^2 + 1。
根据多项式乘以多项式法则，我们可以这样计算它们的乘积：
A(x) × B(x) = (2x^2 + 3x + 1) × (x^3 - x^2 + 1)
= 2x^2 × x^3 + 2x^2 × (-x^2) + 2x^2 × 1 + 3x × x^3 + 3x × (-x^2) + 3x ×1 + 1 × x^3 + 1 × (-x^2) + 1 × 1
= 2x^5 - 2x^4 + 2x^2 + 3x^4 - 3x^3 + 3x + x^3 - x^2 + 1
= 2x^5 - 2x^4 + 3x^4 - x^3 - 3x^3 + x^2 - x^2 + 3x + 1
= 2x^5 + x^4 - 4x^3 + 3x + 1
这就是 A(x) 和 B(x) 的乘积。
多项式乘以多项式法则在数学中有广泛的应用，例如在解方程、求函数的值、计算多项式的根等方面都会用到这个法则。
掌握这个法则对于理解和学习更高级的数学概念和方法非常重要。
多项式乘多项式公式
多项式乘多项式公式
多项式乘以多项式表达公式为：（a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd。
多项式乘多项式法则是：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
多项式简介
在数学中，多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。
对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。
单项式和多项式统称为整式。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6中的6就是常数项。
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(3x2 )( x2 2 x 1)
计
2 2
算
(3x )( x 2 x 1)
1 2 (2 x 4 x 8) ( x ) 2
3
(2a b) (ab a b a )
例题解析 例 ：计算 (1)(x+2)(x−5) (2)(3x -y)(x+2y)
解: (1) (x+2)(x−5) = x﹒x 5x 2x - 2×5 = x2 - 3x - 10
运用：
（2） (3x -y)(x+2y)
= 3x•x +3x• 2y-y• x y •2y = 3x2 + 6xy -xy 2y2 2y2 = 3x2 + 5xy
讨论：如何计算(a+b)(t+w)？ 把(a+b)看成一个整体，有：
(a+b)(t+w) = (a+b)t + (a+b)w = at+aw+bt+bw
总结 ：
(a+b)(t+w) = at +aw+bt+bw
3 4
1
2
1
2
3
4
多项式乘多项式的法则
多项式与多项式相乘，先用一个 多项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加。
随堂练习
计算：
解： ( a
+b)(a-2b)+2b2
2 a - 2ab + ab - 2b2 + 2b2 =
= a2 -ab
例3 （1）（a+b)· (a2-ab+b2) (2) (2x-1)· (-x2+3x-1)
小 结
多项式乘以多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另 一个多项式的每一项，再把所得的积相加
11.4多项式乘多项式
学习目标
1．使学生掌握多项式的乘法法则； 2．会进行多项式的乘法运算； 3．结合教学内容渗透“转化”思想，发展学 生的数学能力．
回顾
& 思考 ☞
回顾与思考 如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ① 将单项式分别乘多项式的各项
② 再把所得的积相加
进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?
注意：
1、必须做到不重复，不遗漏. 2、注意确定积中每一项的符号. 3、结果应化为最简式。
拓展延伸
化简求值：已知y=2,求代数式 （y+2)· (y2-2y+1)-y· (y2+1).
思考：
多项式乘多项式时需要注意的问题有哪些？
注意： 1、必须做到不重复，不遗漏. 2、注意确定积中每一项的符号. 3、结果应化为最简式 {合并同类项}．
计算：
(1)(x - 3y)(x+ 7y)
(2)(m 2n)(m 3n)
(3)(a 1)
2
Hale Waihona Puke (4)(a 3b)(a 3b)
拓展运用
2 2 2 2 3
情境导航
汽车从北京出发，以a千米/时的速度行驶， 经过t小时到达天津。然后，汽车速度比原 来增加b千米/时，行驶时间比北京到天津 多用w时到达泰山，从天津到泰山的行程 是多少千米？ 思考：汽车从天津到泰山， 行驶的速度是 （a+b）千米/时 ， 所用时间是 （t+w）小时 ， 行程是 （a+b)（t+w） 。