工程力学第6章 空间力系重心

y1 （yc，zc）
y1 5 ( mm ) z1 60 (mm )
I II y2
80
矩形II：
z2 10 y A2 70 10 700( mm2 )
y2

10

70 2

45
(
mm
)
z2 5 (mm )
z
10
形心：
120 z1
单位:mm
y1 （yc，zc）
I II y2
80
z2 10 y
xdV
ydV
zdV
连续体：xC
V
dV
, yC
V
dV
, zC
V
dV
V
V
V
其中 dV可用 dS , dl 取代
平行力系的中心 物体的重心
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：
立体:xC

Vi
V
xi
,
yC

Vi
V
yi
,zC

Vi
例题3
Fx
Fz
6-4 空间力系的平衡方程
空间力系的平衡方程为：
Fx 0, mx (F ) 0 Fy 0, my (F ) 0 Fz 0, mz (F ) 0
空间汇交力系
例题4
如图所示为空气动力天平
上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点O，其上作用有铅直
x
xc

V x V x V V
7.83m
zc

V z V z V V
3.55m
另解：用负体积法 令全部补齐的体积为1，空体积为2
V1 1010 20m3, x1 10m, z1 5m V2 61014m3, x2 13m, z2 7m
X Fxy cos F sin cos
Y Fxy sin F sin sin
Z F cos
例题1
三棱柱底面为直角等 腰三角形，在其侧平面 ABED上作用有一力F，力 F 与 OAB 平 面 夹 角 为 30º， 求力F在三个坐标轴上的 投影。
如果CD=b，杆BC平行于x轴,
杆CE平行于y轴，AB和BC的 长度都等于l。试求力F 对x， y和z三轴的矩。
力对轴的矩
解：应用合力矩定理求解。
力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD F l bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l bsin
F
F1 F2 cos sin F3 cos sin 0
Fz 0,
联立求解可得
F2 cos cos F3 cos cos F 0
F1 F tan
F2

F3

F
2 cos cos

空间平行力系
例题5
如图所示三轮小 车，自重G = 8 kN， 作用于E点，载荷F1 = 10 kN，作用于C点。 求小车静止时地面对 车轮的约束力。
PzC Pi zi ,
zC

Pi
P
zi
三、求重心的方法
1.正、正组合法 2.正、负组合法 3.积分法 4.试验法（平面物体）
（ Ⅰ ）悬挂法：两次垂线的交点，见P 147 （ Ⅱ ）承重法：称重计算,见P 147
例2：求图示物体的形心坐标。
ห้องสมุดไป่ตู้120 z1
单位:mm
z
解： 矩形I：
10
A1 120 10 1200( mm2 )
V
zi
平板:
xC

Ai
A
xi
,
yC

Ai
A
yi
,zC

Ai
A
zi
细杆:
xC

li
l
xi
,
yC

li
l
yi
,zC

li
l
zi
二、推导原理
应用对轴的合力矩定理：
对x轴 ( Pi ) yc Pi yi
yc
Pi yi Pi
将力线转成与y轴平行，再应 用合力矩定理对x 轴取矩得：
例题2
将力Fxy向x，y 轴投影 Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
沿各轴的分力为
Fx (Fn cos sin ) i Fy (Fn cos cos ) j Fz (Fn sin ) k
6Ⅱ
y
14Ⅰ
4
10 x
单位：m
z
解：设重心坐标为 ( xc , yc , zc )
显然，yc=5m
6
将匀质块分为Ⅰ、 Ⅱ两部分
6 10
6Ⅱ
y
V 4 10 14m3
14Ⅰ
V 6 10 10m3 x 6 7 13m
4 10
z 2m x 3m z 5m
F1 0.8 m G 0.6 m FD 0.6 m FB 1.2 m 0
解方程得
FD 5.8 kN FB 7.777 kN FA 4.423 kN
空间任意力系
例题6
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
载荷F。钢丝OA和OB所构成的
平面垂直于铅直平面Oyz，并与
该 平 面 相 交 于 OD ， 而 钢 丝 OC
则沿水平轴y。已知OD与轴z间
的 夹 角 为 β ， 又 ∠ AOD =
∠BOD = α，试求各钢丝中的
拉力。
空间汇交力系
例题4
A
D
Bz F3
F2 αα β
x
O
yC F1
解： 取O点为研究对象，受
Fz 0,
FAz FBz (F3 F4 ) cos 30 (F1 F2 ) 0
Mx 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m (F3 F4) cos 30 0.75 m 0
M y 0, (F1 F2 ) 0.4 m (F3 F4 ) 0.2 m 0 Mz 0, FAx 0.25 m FBx 1.25 m (F3 F4 )sin 30 0.75 m 0
又已知F3 =2F4，故利用以上方程可以解出所有未知量。
6-5 至 6-7 重心概念及计算
均匀重力场中，“重心、质心与形心三心合一”。
一、计算公式
离散组合体： xC
Pi xi , PPi i
yC

Pi yi , Pi
zC

Pi zi Pi
其中 Pi 可用 Vi , Si , li 取代
空间平行力系
例题5
解： 以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力
分析 如图。 列平衡方程
Fz 0,
F1 G FA FB FD 0
M xF 0,
F1 0.2 m G 1.2 m FD 2 m 0
M y F 0,
空间任意力系
例题6
解：
以整个系统为 研究对象，建立如 图 坐 标 系 Oxyz ， 画
出系统的受力图。
为了看清胶带 轮C和D的受力情 况，作出右视图。
空间任意力系
例题6
系统受空间任意力系的作用，可
写出六个平衡方程,但∑Fy=0自然 满足，所以，有：
Fx 0,
FAx FBx (F3 F4 ) sin 30 0
静力学篇
第6章 空间力系、重心
6-2 工程中的空间力系
6-2 力在空间坐标轴上的投影
1、一次投影法（直接投影法） 由图可知：
X F cos
Y F cos
Z F cos
2、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到 xy面上，然后再投影到x、y轴上， 即：
例题1
解：
利用二次投影法， 先 将 力 F 投 影 到 Oxy 平 面 上，然后再分别向x，y， z轴投影。（单击左图演 示力F 的投影）。
例题2
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜 齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴 的分力。
Fz Fn sin Fxy Fn cos
6-3 力对轴的矩
定义：
mz (F ) mO (Fxy ) Fxy d
它是代数量，方向规定 + –
结论：力过该轴对其矩为零， 力//该轴其矩也为零。即力F 与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对轴的矩
例 题3
手柄ABCE在平面Axy内, 在D处作用一个力F，如图所 示，它在垂直于y轴的平面 内，偏离铅直线的角度为α。
yc

A1 y1 A1
A2 y2 A2
1200 5 700 45 1200 700
19.7( mm )
zc

A1z1 A1
A2 z 2 A2
1200 60 700 5 1200 700

39.7( mm
)
求图示匀质块的重心：
例题
z
6
10
6
z
6
10
6
6Ⅱ
14Ⅰ
y
4
10
xc

V1x1 V2 x2 V1 V2
x
7.83m
zc

V1x1 V2 x2 V1 V2
3.55m
力分析如图所示，这些力构 成了空间共点力系。
F
空间汇交力系
例题4
力F2与x轴之间 的 夹 角 为 90o － α ， 故它在该轴上的投 影为：
F2x F2 cos (90o ) F2 sin
空间汇交力系
例题4
DB z
A
F' F3
F2 αα β
x
O
yC F1
列平衡方程
Fx 0， F2 sin F3 sin 0 Fy 0,