工程力学—空间力系力的投影
工程力学第三章-测控
若三轮推车如图所示。已知
z
AH=BH=0.5m，CH=1.5m，
EH=0.3m，ED=0.5m，荷载 G=1.5kN。试求A、B、C三轮所 受到的压力。
解 1）作出受力图 2）并标上直角坐标系 3）列力系的平衡方程求解
B
H E
A x
FA
D FB
G
y C FC
∑Mx(F)=0， FC·HC－G·DE=0 取z轴取为小纵车坐为标研，究平对板象为xy平面， FC=G·DE /HC=1.5kN0.5m/1.5m=B0为.5k坐N标原点，BA为x轴。 ∑My(F)=0， G·EB-FC·HB-FA·AB=0 FA=(G·EB-FC·HB)/AB =(1.5kN0.8m-0.5kN0.5m)/1m=0.95kN ∑F若BF=z重=G0物，-F放C置-FFA过A＝+偏F1B.，5+k致FNC-使-0W.F95B=为k0N负-0值.5，kN则=小0.0车5k将N会翻倒。
A x
∑Fy=0 FA－Fcoscos=0
∑Fz=0 Fsin－G=0
DF
B y
FB
O
FA G
解上述方程得
F= G/sin=1.2kN/sin30=2.4kN
FA= Fcoscos=2.4kNcos30cos60=1.04kN FB=Fcossin=2.4kNcos30sin60=1.8kN
第三节 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念 在工程中，常遇到刚体绕定轴转动的情形。 为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引入力 对轴之矩的概念。
z
现以关门动作为 例，图中门的一边有 固定轴z。
O
y
x
在A点作用一力F，为度量此力对刚体的转动效应，可将力 F分解为两个互相垂直的分力：一个是与转轴平行的分力 Fz=Fsinβ；另一个是在与转轴z垂直平面上的分力Fxy=Fcosβ。
昆明理工大学工程力学习题册答案
昆明理工大学工程力学习题册答案一、选择题1. 在平面力系中，力对点的矩的常用单位是（A）A. N·mB. N/mC. N·sD. N·m^2答案：A2. 平面汇交力系的平衡方程是（C）A. Fx=0, Fy=0, M=0B. Fx=0, Fy=0C. Fx=0, Fy=0, M=0（其中M为力矩）D. Fx=0, Fy=0, M≠0答案：C3. 在空间力系中，力的投影与原力的关系是（B）A. 投影等于原力B. 投影小于等于原力C. 投影大于原力D. 投影与原力无关答案：B二、填空题1. 力对物体的作用效果包括______和______。
答案：使物体发生形变，使物体产生运动2. 平面力系中的合力可以用______和______来确定。
答案：力的大小，力的方向3. 在平面力系中，力矩的计算公式为______。
答案：M=F×d（其中F为力，d为力臂）三、计算题1. 已知：力F=10N，作用点距离A点4cm，求力F 对A点的力矩。
解：力矩的计算公式为M=F×d，其中d为力臂，即作用点到力作用点的距离。
本题中，d=4cm=0.04m。
所以，M=10N×0.04m=0.4N·m。
答案：0.4N·m2. 平面汇交力系中，已知F1=20N，F2=30N，F3=40N，求该力系的合力。
解：首先，将F1和F2合成，得到合力F12。
F12的大小为F12=√(F1^2+F2^2+2F1F2cosθ)，其中θ为F1和F2之间的夹角。
假设F1和F2之间的夹角为60°，则F12=√(20^2+30^2+2×20×30×cos60°)=√(400+900+ 1200×0.5)=√(2000)=44.72N。
然后，将F12与F3合成，得到合力F123。
F123的大小为F123=√(F12^2+F3^2+2F12F3cosθ)，其中θ为F12和F3之间的夹角。
工程力学(高教版)教案：4.1 力的投影与分解
第四章 空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。
按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。
前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。
第一节 力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F 与x 轴如图4－1(a)所示，过力F 的两端点A 、B 分别作垂直于x 轴的平面M 及N ，与x 轴交于a 、b ，则线段ab 冠以正号或负号称为力F 在x 轴上的投影，即F x ＝±ab符号规定：若从a 到b 的方向与x 轴的正向一致取正号，反之取负号。
已知力F 与平面Q ，如图4－1(b)所示。
过力的两端点A 、B 分别作平面Q 的垂直线AA ′、BB ′，则矢量B A ''称为力F 在平面Q 上的投影。
应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)图4－ 1图4－2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。
如图4－2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。
设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαcos cos cos F F F F F F z y x (4－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图4－2（b ）所示。
设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγcos sin sin cos sin F F F F F F z y x (4－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
工程力学第五章 空间力系
cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。
空间汇交力系
空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
间接（二次）投影法
例3-1 在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F，
如图 a）所示。试求该力在x、y、z轴上的投影。
解：方法一：直接投影法。如图 b）所示
cos cos cos 3
例3-2
已知： 求：力 在三个坐标轴上的投影.
解：
例3-3 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
求：杆受力及绳拉力 解： 画受力图，列平衡方程
例3-4
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力.
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图。
Fx 0
Fy 0
Fz 0
（拉）
工程力学
3
则力在三轴上的投影为：
Fx F cos
3F 3
Fy F cos
3F 3
Fz F cos
3F 3
方法二：间接投影法。如图c)所示
sin 6
3
cos 3
3
sin cos 2
2
根据二次投影法，得力在三轴上的投影为：
Fx F sin cos
3F 3
Fy F sin sin
3F 3
Fz F cos
3F 3
结果完全一样。
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
cos( FR
,i )Fx FR来自os( FR,j)
工程力学(第二版)习题册答案
一、填空题
1. 相 对 滑 动 相 对 滑 动 趋 势 接触面的切线 相反 2. 10N 20N 30N 30N 30N 3. 100N 竖直向上 平衡 4. 平稳无冲击 自锁
阻碍物体相对滑动
相对滑动趋势
二、选择题
1. A
三、简答题
1. ①问题中含有可能发生相对滑动的摩擦面，因此，存在摩擦力； ②受力图中要画出摩擦力，摩擦力总是沿着接触面的切线方向并与物体相对滑
7.
8.
9.
第二章 平面力系
第一节 共线力系的合成与平衡
一、填空题
1. 在同一条直线上
2. FR Fi FR 0
二、计算题
设向右为正方向。 则 FR=120+40-80-200=-120N 方向：水平向左
第二节 平面汇交力系的合成
一、填空题
1. 作用于同一平面内且各力作用线相交于一点的力系 共线力系 力的作用点 2. -F 或 F 0 0 -F 或 F 3. 合力在任一坐标轴上的投影 各分力在同一轴上投影的代数和 4. F4 F3 5. 自行封闭 6. 所有各力在 x 轴上投影的代数和为零 所有各力在 y 轴上投影的代数和为零 Fx 0 Fy 0
3. 后轮：摩擦力向前 前轮：摩擦力向后
4. 不下滑，处于自锁状态
四、计算题
FT 60 18 3N
五、应用题
1. （提示）从摩擦力与 F 对 B 点的力矩大小的比较进行考虑
第三章 空间力系 第一节 力在空间坐标轴上的投影与合成
一、填空题
1. 力的作用线不都在同一平面内呈空间分布的力系 2. 一次投影法 二次投影法
二、选择题
1. A 2.B
它所限制物体
三、简答题
1.柔性体约束只能承受拉力，不能承受压力。 2.被约束物体可以沿约束的水平方向自由滑动，也可以向离开约束的方向运动， 但不能向垂直指向约束的方向运动。 3.剪刀的两半部分可以绕销钉轴线相对转动，但不能在垂直销钉轴线的平面内沿 任意方向做相对移动。 4.木条不能沿圆柱销半径方向移动，但可以绕销轴做相对转动。 5.固定端约束既限制物体在约束处沿任何方向的移动，也限制物体在约束处的转 动。
工程力学课后习题答案第四十章(详解)
②通过所求内力的杆件，用一截面把桁架切成两部分，取半边桁架为研究对象，用解析法求出杆的内力的大小和方向。
注意事项：
①只截杆件，不截节点；所取截面必须将桁架切成两半，不能有杆件相连。②每取一次截面，截开的杆件数不应超过三根。
③被截杆件的内力图示采用设正法。
图2-14节点选取顺序：C→B→D。
解题提示：
力偶矩是力偶作用的唯一度量。只要
保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可
以改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，
而不改变它对刚体的作用效应。
此题可通过改变力的方向、增大力偶图1-6
臂的长度，求得使钢板转动所费力的最小值。
1-7、试画出图1-7所示受柔性约束物体的受力图。
图1-7
解题提示:
柔性体只能给物体产生拉力。其约束反力的方向应沿柔索的中心线而背离物体。表示符号：字母“FT”。
1-2FR=90.6N，θ=-46.79°
1-4a）MO（F）=FLb）MO（F）=0c）MO（F）=FLsinθd）MO（F）=-Fa
e）MO（F）=Facosα–FLsinαf）MO（F）=Fsinα√L2+b2
1-5a）MA（F）=-Fcosαb-FsinαaMA（G）=-Gcosαa/2-Gsinαb/2b）MA（F1）=F1（r-acosα-bsinα）MA（F2）=-F2（r+acosα+bsinα）1-6Fmin=89.44N
③选取直角坐标轴，列平衡方程并求解。解：
①分别取球、AB杆为研究对象，画受力图2-11图（a）、（b）。
②列平衡方程并求解。由图（a）
∑Fy=0FNDsinα-G=0（1）
FND=2GFTB
由图（b）∑Fx=0FAx+FNDcosα-FT=0（2）
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Fz
F
Fx
x
o
Fy
y
Fxy
i 、j 、 k 分别为x、y、z 方向的单位矢量，若以 F ﹑ ﹑ 分别表示 F 沿直 F F x y z
角坐标轴 x、y、z 的三个正交分量，则
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影 第三章 空间力系
第三章 空间力系
空间一般力系：各力的作用线在空间任意分布的 力系。 平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都 是它的特殊情况。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
设直角坐标系Oxyz 如图所示，已知力 F 与 x﹑y﹑z 轴间的夹角分别 为 ﹑ ﹑ 。则力 F 在 x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fy﹑Fz 分别为：
第三章 空间力系
例4-1 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮 合力F =10 kN，齿轮压力角 = 20º ，螺旋角 = 25º 。 试计算齿轮所受的圆周力Ft﹑轴向力Fa和径向力Fr。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
解：取坐标系如图所示，使 x、y、z 三个轴分别沿齿 轮的轴向﹑圆周的切线方向和径向，先把总啮合 力 F 向 z 轴和 Oxy 坐标平面投影，分别为
Fx
F
S
D
Fz
Fy
Fx
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第Hale Waihona Puke 章 空间力系解：取直角坐标系Oxyz如图所示。合力 F 在 x、y、z 坐标轴上的分力为 Fx、Fy 、Fz 。由于力在直角坐 标轴上的投影和力沿相应直角坐标轴的分力在数 值上相等，所以合力F 的大小和方向为 合力的大小为
F F F F
2 x 2 y
2 z
F
2
Fz
300 600 1500 N
2 2
Fy
Fx
1643 N
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
合力的大小为
F F F F 1643 N
2 x 2 y 2 z
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
F
Fy
Fz
Fx 300 o arccos arccos 79 29 F 1643 Fy 600 o arccos arccos 68 35 F 1643 Fz 1500 arccos arccos F 1643 o arccos(0.9130 ) 155 55
已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
注意
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx arccos F Fy arccos F Fz arccos F
力的投影和分量的区别： 力的投影是标量，而力的分量是矢量； 对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
FZ F sin
10sin 20 kN 3.42kN
0
Fn F cos 9.4kN
由二次投影法得
Fx Fn sin 3.97kN
Fy Fn cos 8.52kN
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
例4-2 如图所示，在数控车床上加工外圆时， 已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）的 三个分力为：Fx = 300 N，Fy = 600 N，Fz = 1500 N。 试求合力的大小和方向。
z
Fz
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
注意
Fx
x
o
F
y
Fy
Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
二次投影法
z
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
力的正交分解