工程力学平面力系的平衡问题
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工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
平面汇交力系的平衡方程及应用
平面汇交力系的平衡方程及应用
【例3-1】
图3重物为研究对象，画受力图如图3-1（b）所示。根 据约束特点，绳索必受拉力。 （2）先用几何法求解。 工 程 力 学力系的平衡第3章作力多边形，求解未知 力。选取比例尺1 cm代表15 kN，任取一点A，作力多边 形（点A即为汇交点），如图3-1（c）所示，令AC=W=4 0 kN，过C点作TBC的平行线，过A点作TAB的平行线，两 线相交于B点，得到封闭的力三角形ABC。
平面汇交力系的平衡方程及应用
【例3-2】
图3-2
平面汇交力系的平衡方程及应用
【解】（1）由于AB、BC两杆都是二力杆，假设杆A B受拉力、杆BC受压力，如图3-2(b)所示。为了求出这两 个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束力来解决。因此选 取滑轮B为研究对象。
（2）画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力F1和F2（已 知F1＝F2＝P），杆AB和BC对滑轮的约束力为FBA和FBC。 由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系， 如图3-2(c)所示。
和终点重合，力的多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的几
何条件是力的多边形自行封闭。
平面汇交力系的平衡方程及应用
1.2 平面汇交力系平衡的平衡方程及应用
根据平面汇交力系的平衡条件及合力投影定理，可以 得到平面汇交力系的平衡方程为
（3-2） 式（3-2）说明，平面汇交力系的平衡方程是力系中 的各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。平面 汇交力系的平衡方程组有两个独立的方程，最多只能解两 个未知量。其中的未知量包括未知力的大小和方向。另外， 两个坐标轴可任取，只要不平行或共线即可。
工程力学
平面汇交力系的平衡方程及应用
平衡力系是工程实际中较为常见的 一种力系。许多结构和构件都处于平衡 状态，例如，建筑物、桥梁、机器构架 等处于静力平衡状态；以一定速度运转 的转轴则处于动平衡。本章只研究在力 系作用下的平衡方程及其应用。
第四章：力系的平衡条件与平衡方程
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
F x0:F A xq b0
P a A
q
b
F y0:F A yP0
P
MA(F)0:
MA
MAPa12q b2 0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
MAPa 1 2qb 2
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
F y 0 ; M O ( F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A ( F ) 0 ; M B ( F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例5] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)， 尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q 2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝ FPlxs＋ iF nQ2 l＝ 2FlWxFQ
FAx F TBco ＝ s0
Fy＝0
F A ＝ x 2 F W x l F Q l co＝ s3 3 F lW 0xF 2 Q
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
简述平面力系平衡问题的求解步骤
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
一、确定力的作用点和作用线在解决平面力系平衡问题时，首先需要确定力的作用点和作用线。
力的作用点是指力作用的具体位置，而作用线则是指力的作用线路。
这些确定下来之后，我们才能准确地分析和计算受力物体的平衡情况。
二、绘制受力图绘制受力图是解决平面力系平衡问题的重要步骤之一。
通过绘制受力图，可以清晰地展示各个受力物体的受力情况，包括作用力的大小、方向和作用线的位置。
这为后续的计算和分析提供了重要的基础。
三、应用平衡条件在确定了力的作用点和作用线、绘制了受力图之后，接下来需要应用力的平衡条件进行求解。
根据力的平衡条件，当一个物体处于静止或匀速直线运动时，它受到的合力和合力矩均为零。
可以通过平衡条件，求解出未知力的大小和方向，以及受力物体的平衡状态。
四、检验平衡条件在使用平衡条件求解出未知力后，需要进行检验以确保计算的准确性。
通过检验，可以验证所得结果是否符合平衡条件，以及受力物体的真实情况。
如果计算结果不符合平衡条件，需要重新检查和修正。
以上就是简要的平面力系平衡问题的求解步骤，读者可以通过以上步骤全面了解平面力系平衡问题的求解过程。
在工程实践中，我们经常会遇到各种复杂的受力情况，因此掌握平面力系平衡问题的求解方法对于工程师而言至关重要。
通过不断的练习和学习，我们可以更加灵活和准确地应用这些方法，为工程实践提供有力的支持。
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
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12
——平面力系平衡方程
工程力学
• 应用举例
解：取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
FA
FB
列平衡方程如下：
F 0 M B F 0
FA FB P P1 P2 P3 0 P1 2 P(2.5 3 ) P2 2.5 FA (1.8 2 ) 0
FA
1 3.8
2P1
3．根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三 个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和 矩心，以使方程中未知量最少。
4．求解。校核和讨论计算结果。
11
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例1：一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸 臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在 图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。
Fx 0 Fy 0
M C 0
FAx FCx 0
FAy FCy P 0
FAx
a
FAy
a
27
——刚体系统的平衡
求解方法二
FCy′ FCx′
工程力学
（1）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。
FBx
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0
M C 0
FBx FCx Q 0
19
工程力学
——刚体系统的平衡
注意！ 对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取
系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统 其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在 该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外力、 内力是相对的。
20
工程力学
——刚体系统的平衡
系统平衡的特点：
自然满足。
则平面汇交力系平衡方程为
工程力学
只有两个方程，可解两个未知量。
思考：是否还有其它的形式？
9
工程力学
——平面力系平衡方程 • 平面力偶系的平衡方程
显然，关于力平衡的方程自然满足。
M 0
只有一个方程，可解一个未知量。
10
工程力学
——平面力系平衡方程 • 平面任意力系平衡方程
求解步骤：
1．根据问题条件和要求，选取研究对象。 2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对 象所受的全部主动力和约束力。
平衡方程其他形式
二矩式
M A (F) 0 M B (F) 0 Fx 0
x轴不得垂直于A、B的连线。
工程力学
（1）若力系已满足了 M A (F，i )则表0 明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线
通过A点的一个合力，或者是平衡。
（2）若该力系同时满足 M B (F，i )则 该0 力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的
P
34
工程力学
——刚体系统的平衡
解：取整体为研究对象。受力分析 如图。
P 列平衡方程
MC F 0,
5r P 2r FAx 0 解得 FAx 2.5P
P
FAy FAx
FCy FCx
35
——刚体系统的平衡
再取杆AB为研究对象，受力分析如图。
工程力学
FE
FBy
FBx
P
FAy FAx
列平衡方程
必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 FR , M O 有
一个不为零，即
FR 0 , MO 0 或 FR 0 , MO 0
根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或 一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有FR , M O 均为零，原力系才能平衡。
4
工程力学
解：该系统中，BC为二力杆。
第一种情
以AB为研究对象，作出受力
形l
l
FP
图 MA ( F ) = 0 :
A
B
l
C
FBC d - FP 2l = 0
Fy = 0 :
FBC 2 2FP
FAy
FAx A
l
l FP
d
B
FBC
FAy - FP + FBC sin45 = 0
Fx = 0 :
FAy= - FP
14
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
解： (1).取制动蹬ABD作为研究对 象，画出受力图。
应用三力平衡汇交的条件得到 (2) 列平衡方程
Fx 0， FB F cos q FD cos 0 Fy 0， FD sin F sin q 0
y
AF
F
Oq
B
x
B
FD D
已知 sin DE 1
24
——刚体系统的平衡
工程力学
解：(1)考虑整体,受力如图所示，
列平衡方程如下：
FAx
FBx
Fx 0 FAx FBx Q 0
FAy
M
A
0
FBy
2a
Q
1 2
a
P
1 2
a
0
MB
0
FAy
2a
P
3 2
a
Q
1 2
a
0
(2)考虑左半部，受力分析如图
FBy
FCy
FCx
MC
0
FAx
a
P1 2
a
FAy
a
0
这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！
4个方程，4个未知量，可解。 25
——刚体系统的平衡
FAx
1 4
(P
Q),
FAy
3 4
P
1 4
Q
FBx
1 4
(3Q
P),
FBy
1 4
(P
Q)
工程力学
26
工程力学
——刚体系统的平衡
求解方法二
（1）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。
列平衡方程：
此处，把分布力简化成 集中力Q，作用在D点
FAx
D
FAy
FB
AD a
17
——平面力系平衡方程
• 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
(2) 列平衡方程
Q
工程力学
Fx Fy
0 0
M A(F ) 0
FAx
D
FAy
FB
FAx FAy
0 FB
P
Q
以BC杆为研究对象，从铰链B 处把BC取出来，则BC杆必然受 到铰链的作用力，如图：
把分布力化为集中力P，P=ql，作
用在G处。得到BC杆的受力图：
G
工程力学
BG l 2
列平衡方程
MFAxA
3ql 0
2
M
MB 0
FCy
2l
P( l 2
l) M
0
解得
FAy
7 4
ql
M 2l
FCy
1 4
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
平衡方程基本形式
平衡条件的矢量式： FR 0 , MO 0
平衡条件的解析式：
Fx 0 Fy 0
有三个方程，可解 三个未知量。
MO (F) 0
上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平
衡方程的基本方程。
5
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
——刚体系统的平衡
例三 已知：四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求: 机 构平衡时P、Q 的关系。
32
工程力学
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力分 析如图所示。
AD、BC均为二力杆 列平衡方程
33
工程力学
——刚体系统的平衡
例四 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳 子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计， 试求B处的约束力。
工程力学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
1
工程力学
平面力系平衡方程 刚体系统的平衡 静定、静不定问题
作业题
2
工程力学
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程 平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力
和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
21
——刚体系统的平衡
分析方法：
求解刚体系统的平衡问题，主要依据前 面给出的平衡理论。
整体
局部
工程力学
先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方 程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选 择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量为止。
以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，
2.5P2
5.5P
不翻倒的条件是：FA≥0。
因此，得到
P
1 5.5
2
P1
2.5P2
7.5 kN
13
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例2：如图所示是汽车制动 机构的一部分。已知司机踩 到制动蹬上的力F=212 N，θ = 45。当平衡时，DA铅直， BC水平，试求拉杆BC所受 的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰 链，机构的自重不计。
37
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力如图：
Q
FAx MA
M
工程力学
FAy
FC
分布力化成了集中力Q，且Q=2ql，作用在B点。
——平面力系平衡方程
工程力学
• 应用举例
解：取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
FA
FB
列平衡方程如下：
F 0 M B F 0
FA FB P P1 P2 P3 0 P1 2 P(2.5 3 ) P2 2.5 FA (1.8 2 ) 0
FA
1 3.8
2P1
3．根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三 个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和 矩心，以使方程中未知量最少。
4．求解。校核和讨论计算结果。
11
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例1：一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸 臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在 图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。
Fx 0 Fy 0
M C 0
FAx FCx 0
FAy FCy P 0
FAx
a
FAy
a
27
——刚体系统的平衡
求解方法二
FCy′ FCx′
工程力学
（1）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。
FBx
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0
M C 0
FBx FCx Q 0
19
工程力学
——刚体系统的平衡
注意！ 对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取
系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统 其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在 该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外力、 内力是相对的。
20
工程力学
——刚体系统的平衡
系统平衡的特点：
自然满足。
则平面汇交力系平衡方程为
工程力学
只有两个方程，可解两个未知量。
思考：是否还有其它的形式？
9
工程力学
——平面力系平衡方程 • 平面力偶系的平衡方程
显然，关于力平衡的方程自然满足。
M 0
只有一个方程，可解一个未知量。
10
工程力学
——平面力系平衡方程 • 平面任意力系平衡方程
求解步骤：
1．根据问题条件和要求，选取研究对象。 2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对 象所受的全部主动力和约束力。
平衡方程其他形式
二矩式
M A (F) 0 M B (F) 0 Fx 0
x轴不得垂直于A、B的连线。
工程力学
（1）若力系已满足了 M A (F，i )则表0 明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线
通过A点的一个合力，或者是平衡。
（2）若该力系同时满足 M B (F，i )则 该0 力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的
P
34
工程力学
——刚体系统的平衡
解：取整体为研究对象。受力分析 如图。
P 列平衡方程
MC F 0,
5r P 2r FAx 0 解得 FAx 2.5P
P
FAy FAx
FCy FCx
35
——刚体系统的平衡
再取杆AB为研究对象，受力分析如图。
工程力学
FE
FBy
FBx
P
FAy FAx
列平衡方程
必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 FR , M O 有
一个不为零，即
FR 0 , MO 0 或 FR 0 , MO 0
根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或 一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有FR , M O 均为零，原力系才能平衡。
4
工程力学
解：该系统中，BC为二力杆。
第一种情
以AB为研究对象，作出受力
形l
l
FP
图 MA ( F ) = 0 :
A
B
l
C
FBC d - FP 2l = 0
Fy = 0 :
FBC 2 2FP
FAy
FAx A
l
l FP
d
B
FBC
FAy - FP + FBC sin45 = 0
Fx = 0 :
FAy= - FP
14
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
解： (1).取制动蹬ABD作为研究对 象，画出受力图。
应用三力平衡汇交的条件得到 (2) 列平衡方程
Fx 0， FB F cos q FD cos 0 Fy 0， FD sin F sin q 0
y
AF
F
Oq
B
x
B
FD D
已知 sin DE 1
24
——刚体系统的平衡
工程力学
解：(1)考虑整体,受力如图所示，
列平衡方程如下：
FAx
FBx
Fx 0 FAx FBx Q 0
FAy
M
A
0
FBy
2a
Q
1 2
a
P
1 2
a
0
MB
0
FAy
2a
P
3 2
a
Q
1 2
a
0
(2)考虑左半部，受力分析如图
FBy
FCy
FCx
MC
0
FAx
a
P1 2
a
FAy
a
0
这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！
4个方程，4个未知量，可解。 25
——刚体系统的平衡
FAx
1 4
(P
Q),
FAy
3 4
P
1 4
Q
FBx
1 4
(3Q
P),
FBy
1 4
(P
Q)
工程力学
26
工程力学
——刚体系统的平衡
求解方法二
（1）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。
列平衡方程：
此处，把分布力简化成 集中力Q，作用在D点
FAx
D
FAy
FB
AD a
17
——平面力系平衡方程
• 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
(2) 列平衡方程
Q
工程力学
Fx Fy
0 0
M A(F ) 0
FAx
D
FAy
FB
FAx FAy
0 FB
P
Q
以BC杆为研究对象，从铰链B 处把BC取出来，则BC杆必然受 到铰链的作用力，如图：
把分布力化为集中力P，P=ql，作
用在G处。得到BC杆的受力图：
G
工程力学
BG l 2
列平衡方程
MFAxA
3ql 0
2
M
MB 0
FCy
2l
P( l 2
l) M
0
解得
FAy
7 4
ql
M 2l
FCy
1 4
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
平衡方程基本形式
平衡条件的矢量式： FR 0 , MO 0
平衡条件的解析式：
Fx 0 Fy 0
有三个方程，可解 三个未知量。
MO (F) 0
上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平
衡方程的基本方程。
5
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
——刚体系统的平衡
例三 已知：四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求: 机 构平衡时P、Q 的关系。
32
工程力学
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力分 析如图所示。
AD、BC均为二力杆 列平衡方程
33
工程力学
——刚体系统的平衡
例四 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳 子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计， 试求B处的约束力。
工程力学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
1
工程力学
平面力系平衡方程 刚体系统的平衡 静定、静不定问题
作业题
2
工程力学
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程 平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力
和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
21
——刚体系统的平衡
分析方法：
求解刚体系统的平衡问题，主要依据前 面给出的平衡理论。
整体
局部
工程力学
先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方 程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选 择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量为止。
以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，
2.5P2
5.5P
不翻倒的条件是：FA≥0。
因此，得到
P
1 5.5
2
P1
2.5P2
7.5 kN
13
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例2：如图所示是汽车制动 机构的一部分。已知司机踩 到制动蹬上的力F=212 N，θ = 45。当平衡时，DA铅直， BC水平，试求拉杆BC所受 的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰 链，机构的自重不计。
37
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力如图：
Q
FAx MA
M
工程力学
FAy
FC
分布力化成了集中力Q，且Q=2ql，作用在B点。