平面一般力系的平衡

m m F
A B
0 0 0
x
m m m
A B
0 0 0
C
三、平面平行力系平衡方程 1、基本形式
2、二力矩式
Fy 0 Mo( F ) 0
m m
A B
0 0
解题技巧： （1）选择某坐标轴与一个或两个未知力相垂直，使一个投 影方程式出现一个未知数。 （2）将力矩方程的矩心选在未知力的作用线上 或两个 （或两个以上） 未知力的交点上,使一个力矩方程式出现一个未知数。 平衡方程使用说明： （1）对一个平衡的平面一般力系,只能建立三个独 立的平衡方程,因此,只能求解三个未知数。其它的平衡方程不再是独立的。 （2）求解平面一般力系的平衡问题时,应力求在一个方程中只包含一个未 知数。 （3）在计算中,通常用其他形式的平衡方程进行校核。
m
A
例 5：悬臂刚架在 BC 段受到集度 q = 4KN/m 及集中力 F=5KN 的作用，求 固定端支座 A 处的反力。
解：1、取脱离体，画受力图 2、列平衡方程求未知力
F
x
0
0
FAx 5 0
FAx 5KN
m
F
A
5 6 4 3 1 .5 m A 0 m A 30 18 48 KNm
F
y
0 0
FAy F 4q FB 0
(1)
m
A
1 F 4q 2 m 4 FB 0 (2)
由（2）式得 FB
1 F 4q 2 m 40 4 20 2 20 45 KN 4 4
将 FB 代入（1）式得
FAy F 4q FB 40 4 20 45 75 KN
F－FBX＝0
FBX＝F＝10KN
∑mA（F）=0 ∑Fy =0 －F×3－m＋FBY×3＝0
FBY＝15KN（ ）
FA＋FBY＝0
FA＝－FBY＝－15KN（ ）
二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式 平衡方程的基本形式并不是唯一的形式， 还可以写成其他的形式,它与 基本形式的平衡方程是等效的,但往往应用起来会方便一些。 形式：三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程
教 学 目 的 与 重点与难点 布 置 作 业
§4 平面一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用 平面一般力系的平衡条件可表达为： ∑F x =0 基本形式 ∑Fy =0 ∑mo（F）=0 力矩方程 二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式 2、三力矩式
本节内容平 面一般力系 平衡的计算
黄 河 水 利 职业技术学院
授 课 日 期 授 课 班 级 课题与主要 内
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条件：A,B,C 三点不共线
C
力系因满足式中的三个力矩平衡方程,则力系如果有合力,此合力作用 线就必须通过 A.B.C 三点,但此式的附加条件是 A.B.C 三线不共线,故此合 力只能是零，力系必然平衡。 说明： （1）三组平衡方程,每一组都是平面一般力系平衡的必要与充要条件, 选用不同形式的平衡方程,有助于简化静力学的求解计算过程。 对一个平衡 的平面一般力系,只能建立三个独立的平衡方程,因此,只能求解三个未知 数。其它的平衡方程不再是独立的。 （2）求解平面一般力系的平衡问题时,应力求在一个方程中只包含一 个未知数使求解过程简单,可灵活地选取不同的平衡方程。 （3）在计算中,通常用其他形式的平衡方程进行校核。 三、平面平行力系 各力的作用线在同一个平面内且相互平衡的力系。它是平面一般力系 的一种特殊情况。 平面平行力系的平衡方程可以从平面一般力系的平衡方程导出,设有 一平面平形力系， X 轴垂直于力系各力的作用线， 轴与各力平衡,由图 取 Y 可知,不论平面平衡力系是否平衡,各力在 X 轴的投影等于零。 即
m
A
0
- Fｈ-q·a·a /2 +FBy·a=0 FBy =
a h F q = 9KN (向上_) 2 a
B
m
0
q·a·
a -F·h - FAy·ａ=0 2
0
F+ FAX =0
FAy = -Fｈ/ａ+qa/2 =-7kN(向下)
F
x
FAX = 4KN(向左) 例 3：梁 AB 受均布荷载、集中力、集中力偶作用，试求支座反力。 解：1、AB 梁为研究对象，画受力图。 2、列平衡方程并求解
m m
A B
0 0
其中 A、B 两点的连线不与力系各力的作用线平行
平面平衡力系只有两个独立的平衡方程,因此只能求解两个未知数。 解题的技巧,为避免解联立方程,通常有以下两种方法： （1）选择某坐标轴与一个或两个未知力相垂直，使一个投影方程式出 现一个未知数。
（2）将力矩方程的矩心选在未知力的作用线上或两个（或两个以上） 未知力的交点上,使一个力矩方程式出现一个未知数。 例 2： 一刚架受到 q、F 作用,试求 A,B 支座处反力。 解：
平衡方程的 各种形式要 予以必要的 证明
m 0 m 0 F 0 如果力系满足 m
A B x
条件：所选的 X 轴不能与 AB 的连线垂直
A
0 的方程,简化结果就不可能是个合力偶,而
只能是合力或平衡；若是合力则合力应通过 A 点,同理,力系又满足
0 ，则此合力还应通过 B 点,也就是说,力系如果有合力则合力作 用为 AB 连线,又因为力系还满足 Fx 0 的方程，则进一步表明力系即
FAy 4 3 0 FAy 12 KN
y
0
Байду номын сангаас
例 4： 一悬臂梁承受均布荷载 q 及集中荷载 P, 试求插入端的反力及反力偶。 固定端支座：A 端插入砖墙较深，因而梁在 A 端即不允许移动又不允 许转动，它的支座反力一般有限制水平移动的水平反力、限制竖向移动的 竖向反力，同时还限制转动的反力偶。
F
y
0 0
FAy ql F 0 FAy ql F Fl 1 / 2ql 2 m A 0 m A Fl 1 / 2ql 2
平面平行力 系只作为平 面一般力系 的特殊情况 直接得出结 论，不单独 讨论
Fx 0
为恒等式，将这一方程的基本形式除去,即平面平形力系的平衡方程为
Fy 0 Mo( F ) 0
这样,平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力的代数和为零,以 及各力对于力系所在平面任一点之矩的代数和为零。 根据平面一般力系平衡方程的二力矩形式可导出平面平衡力系的二 力矩形式的平衡方程
教 学 内 容 §4 平面一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用 平面一般力系平衡的充要条件是力系主矢 FR/ 和力系对某一点的主矩 m o 都等于零。即： FR/ =0， m o =0 ∑F x =0 ∑m o（F）=0 ∑Fy =0 要使 FR/ =0，必须满足： 要使 m o =0，必须满足：
教学方法 与手段
平衡条件的 物理意义要 理解，
于是，平面一般力系的平衡条件可表达为： ∑F x =0 基本形式 ∑Fy =0 ∑mo（F）=0 力矩方程 平面一般力系有三个独立方程。因此，平面一般力系平衡的充要条件 又可叙述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零， 而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。 例 1： 钢筋混凝土钢架的受力及支座情况如图。 已知 F=10KN， m=15KN.m， 钢架自重不计，求支座反力。 解：1、刚架为研究对象，画刚架的受力图， 建立坐标轴 2、列平衡方程求解未知力 ∑F x =0
课时授课计划
年 月 日 节 年 月 日 节
年 月 日 节
容 要 求
平面一般力系的平衡及平面平行力系的平衡 熟练掌握平面一般力系的平衡方程（三种形式） 、会应用平面一般力系 的平衡条件熟练地进行平衡问题的计算 平面一般力系解题的思路和方法 3-14（b） 、3-15（a） （b） 教 学 内 容 与 方 法 步 骤 附 记
B
m
使有合力,这合力也只是能与 X 轴相垂直,但附加条件是 AB 连线不与 OX 轴垂直。 这样力系不可能存在一个以 AB 连线的作用线与 X 轴垂直的合力, 也就是说,力系只能是平衡的。 2、三力矩式
平衡方程的 应 用 要 加 强，要加强 解题思路和 方法的训练
m m m
A B
0 0 0