平面力系的平衡方程
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平面平行力系平衡方程文本.
平面平行力系的平衡方程
如图所示，若多个力作用于同一平面，且各力作用线相互平行，则该力系称为平面平行力系。
平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力在与力的作用线平行的轴上投影的代数和等于零，且各力对平面内任一点之矩的代数和也等于零。
即
∑F y=0
∑M A（F ）=0
与平面任意力系相同，平面平行力系的平衡方程也有二力矩式，即
∑M A（F i）=0
∑M B（F i）=0
附加条件：各力作用线与A、B两点连线不得平行。
由于两种形式独立方程的数目都是两个，因此利用任一式求解平面平行力系的平衡问题都最多可求两个未知量。
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
重庆大学出版社
建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
重庆大学出版社
建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
重庆大学出版社
建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
重庆大学出版社
建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
重庆大学出版社
建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
平面力系的平衡方程及应用
Fy 0
FAy FC sin 450 F 0
M A 0 FC cos 450 l F 2l 0
G
解得
FC 28.28kN
FAx 20kN
FAx FAy
45o
FC
FAy 10kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-19 已知G1=10kN，G2=40kN，尺 寸如图。求轴承A、B处的约束力。
例2-16 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。
设已知电葫芦和提升重物共重G= 5kN, q = 25º，a=2m，l = 2.5m。
吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。
C
q
A
D
B
a
l
G
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：选择吊车梁（含电动葫芦和重物）为研究对象，根据
FBx 12.025kN
FAx Fr FBx F 1 cos 45o F2 cos 30o 0
FAx 1.405kN
FAy Fa 0
FAx Fa 0.5kN
三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，取坐标系Oxy
l
a
FA
O FTB
q
A
D
B
FTB
q
y
FA
x G
G
由平面汇交力系 的平衡方程求解
Fx 0, FA cos FTB cosq 0
Fy 0, G FA sin FTB sinq 0
tan
OD AD
BD tanq
AD
(l
a) a
tanq
FA 8.63kN
解：取起重机，画受力图。
MA 0 Fx 0 Fy 0
平面任意力系多少个方程
平面任意力系多少个方程
在平面力学中，一个物体受到多个力的作用时，通常需要使用多个方程来描述这些力对物体的影响。
具体来说，一个平面任意力系通常需要使用三个方程来描述，这三个方程分别是：
1. 平衡方程，描述物体在平衡状态下受到的所有力的合成效果为零。
这个方程通常是根据牛顿第一定律得出的，可以表示为
ΣF_x=0和ΣF_y=0，其中ΣF_x和ΣF_y分别表示物体受到的所有水平和垂直方向的力的合力。
2. 运动方程，描述物体在受到外力作用时的运动状态。
根据牛顿第二定律，可以表示为F=ma，其中F为物体受到的合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
3. 约束方程，描述受约束的物体受到的力的关系。
当物体受到多个力的作用时，通常会受到一些约束条件的限制，这些约束条件可以通过方程来表示。
通过以上三个方程，我们可以描述一个平面任意力系对物体的影响，从而对物体的运动状态和受力情况进行分析和计算。
平面一般力系的平衡和应用
由 mA (Fi ) 0
P2aNB 3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
解除约束
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
衡第 三
静节 定 和物 超体 静系 定的
平
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知
P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和
B的约束反力.
P
1m
q
C
2m
A
2m
为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q 。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 力。
首先在 O 点建立坐标系
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷（忽略重
力），且为一平行力系
O Fox
• 约束反力：
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座，A 为活动铰 支座。
和 物 RC = 7.07 kN
B XB
YB
2m
Q
C
RC
2m
超 体 整体分析
P
静系
Q
定的 平
A
XA
mA
YA 2m
B
C
RC
2m
2m 2m
衡第
P = 30kN, Q = 20kN, = 45o
三 静节 定
Xi = 0 Yi = 0
XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
平面任意力系的平衡资料
' FDx FE cos 45 2 F
MB o
' FDx a F 2a 0
得
' FDx 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
例311 如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连 接而成。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处 的约束反力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。
O1 B O2 A
三矩式平衡方程为：
相比较二矩式最简单
M M M
O1 O2 C
0 :N B 2a W cos a W sin b 0 0 : N A 2a W cos a W sin b 0 0 : T b N Aa N B a 0
二矩式平衡方程为：
X 0 : T W sin 0 M 0 :N 2a W cos a W sin b 0 M 0 : N 2a W cos a W sin b 0
O1 B O2 A
解得：
T W sin 5kN W cos a W sin b NA 3.33kN 2a W cos a W sin b NB 5.33kN 2a
解得
FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
1 其中 F1 q 3l 30kN 2
m
,
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
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题问衡平与化简系力
第5章
例3
半径为 R的半球形碗内搁一均匀的筷子 AB。 筷子长2l, 设 2R ? l ? ? R, 且为光滑接触。求
?
筷子平衡时的倾角 a。
B
l
a
A
例3
解法一
第5章 解：确定筷子为对象，作受力分析。
题问衡平与化简系力
因为? ADE是直角，所以 E一定在圆周上，
A E? 2R
? ? OAD ? ? OD ? l cosa ? AF ? 2R cos 2a
a1
?
? 4
a2
?
1 2
arcsin
9 16
a3
?
?
2
?
1 2
arcsin
9 16
题问衡平与化简系力
第5章
例4
解法二： 两矩式
y
NA
a
CA
a
P
O
NB
x aB
D
a
P
aa a a a mA ? NBacos ? P(l ? asin )sin ? P[(l ? acos )cos ? a]? 0 a a a a a [ mB ? ? NAa sin ? P (l ? a sin ) sin ? a]? P(l ? a cos ) cos ? 0
题问衡平与化简系力
第5章
刚体平衡问题的解题步骤
? 正确选取研究对象，取分离体，画受力图 ? 作直角坐标系，建立力系平衡方程。 力矩
轴应和尽量多的未知力相交或平行 ? 对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了
一矩式外，应学会灵活应用其它两种形式。 对于空间一般力系的刚体平衡问题，一般 应用三个力的投影式及三个力矩式。 ? 解平衡方程式，最好先用文字符号表示求 解结果，并用量纲校核后，再代入数据求 出数值解。
a
?
? arccos?
l
?
??
l
2
? ?
?
1
? ?
??8R ?8R ? 2 ??
E
B
O
D
RlC
9?0? Q
aF
A?Βιβλιοθήκη ?WN例3 第5章 用虚位移原理求解
解法二
题问衡平与化简系力
V ? ?W CD sin a
CD ? 2R cosa ? l
? ?W ?2R cosasina ? l sina? ? W ?l sina ? R sin 2a?
a a Rx ? NB sin ? NA cos ? 0 能否用Ry = 0 ?
从这三个方程可以解出 NA，NB和a 。
题问衡平与化简系力
例4 第5章
解法三： 三矩式
y
NA
a
CA
a
P
O
NB
x aB
D
a
P
mAN? Ba cosa? P(l ? asina) sina? P[(l ? a cos)a cosa??a] 0 mB ? ? NAa sina? P[(l ? asina) sina??a]P (l ? a cos)a cosa? 0 mo ? ? NAa sina? NBa cosa? Pl sina? Pl cosa? 0
cosa)
?
2P（a cos2 a ?
sin 2 a）
? P(sina ? cosa)[l ? 2(a sina ? cosa)]
?0
a1
?
?,
4
a2
?
a*
?
1 2
arcsin
9, 16
a3
?
?
2
a ? *
R?0
a a NB ? 2P cos , N A ? 2P sin
题问衡平与化简系力
第5章
例5
?V
?a
?
W
?l
cosa?
2R
cosa??
0
E B
cosa ?
l ?
??
l
2
? ?
?
1
8R ?8R ? 2
O
D
Rl C
9?0? Q
aF
A
?
?
W
N
第5章
例4
如图所示的直角尺两边长均为 2l，AB = 0.4l,
求平衡时 NA，NB和a。
题问衡平与化简系力
NA
aA
C
a
P
O
NB
aB
D
a
P
题问衡平与化简系力
从这三个方程可以解出 NA，NB和a 。
题问衡平与化简系力
第5章
例4
解法四 ：虚位移原理
V ? ? P(l ? a sin a) cosa ? P(l ? a cosa) sina ? ? Pl(cosa ? sina) ? 2Pa sinacosa
y
NA
a
CA
a
P
O
NB
x aB
D
a
P
?V
?a
?
Pl(sina ?
已知起重机重 P，可绕铅直轴 AB转动，起 吊重量为 Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承 A和轴承B处约束反力。
sin
??
?
j?sin?
?
1 2
cos j
O
?
NB
?
B
tanj ? cot2?
j ? 90? ? 2?
NA
jP
A
如何求NA和NB ？
?
题问衡平与化简系力
第5章
例1
解法二
用虚位移原理求解
V
?
PyC
?
Pl[cos?
?
j) s(
i?n
?
1s 2
ijn ]
?V
?j
?
Pl????
sin??
?
j?sin?
?
1 2
第4节
平面力系的平衡方程
题问衡平与化简系力
平面力系平衡方程的各种形式 第5章
? 一矩式 (标准形式)
Rx ? 0 Ry ? 0 M O ? 0
? 二矩式 (AB连线不与x轴垂直)
Rx ? 0 M A ? 0 M B ? 0
? 三矩式 (A、B、C三点不共线 )
MA ? 0 MB ? 0 MC ? 0
cosj???
?
0
O
?
NB
?
B
NA
C
jP
A
?
题问衡平与化简系力
第5章
例2
AB是吊车梁， BC是钢索， A端支承可简化为 铰链支座。设已知电葫芦和提升重物共重 P=
5kN, ? ? 25o，a=2m，l = 2.5m。吊车梁的自
重略去不计，求钢索 BC和铰A的约束力。
C
?
A
D
B
P
题问衡平与化简系力
第5章
例1
长为 l的均质细杆放置在两互相垂直的光滑斜
面上，其中一个斜面的倾角为 ?，求平衡时细 杆的倾角j 。
题问衡平与化简系力
B
j
A
?
题问衡平与化简系力
第5章
例1
解法一
以杆为研究对象，画出受力图。杆受三个 力的作用，必相交于一点。
OA sin ?
?
l 2
cos j
OA ? l si ??n? j?
第5章
例4
解法一： 一矩式
y
NA
a
CA
a
P
a a Rx ? N B sin ? N A cos ? 0
O
NB
x aB
D
a
P
a a Ry ? N B cos ? N A sin ? 2P ? 0
a a aa mo ? ? NAa sin ? NBa cos ? Pl sin ? Pl cos ? 0
a a NB ? 2P cos , N A ? 2P sin
第5章
例2
解
选择吊车梁为研究对象，取坐标系 Oxy
l a
RA
j
TB O
?
y TB
?
A
D
B
P
P
RA cosj? TB cos? ? 0
j ? ? P ? RA sin ? TB sin ? 0
tan j?
OD AD
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AD
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(l
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tan?
RA
j x
RA ? 8.63kN TB ? 9.46kN