第四章平面一般力系
平面一般力系
A(x,y) Fx y
odx
X
=xFy-yFx
mo(F) =±Fd
例题 求图示力系合成的结果。
已知：F1 100N，F2 100 2N，F3 50N，M 500N.m
y
F2 450 (-3,2)
(2,1)
F1 5 β 12
O
x
cosβ=12/13 sinβ=5/13
M (0,-4)
YA MA
XA
示例：求力系的合力大小和作用点。
2kN/m 5kN 3kNm
A
xC
B R
2m 1m 1m
R 2 2 5 1kN RxC 2 21 5 2 3 3kNm xC 3m
M (0,-4)
F3
MO = mO(Fi)= - F1 cosβ × 1 + F1 sinβ ×2 + F2 cos 450 × 2- F2 sin 450 ×3+M+F3 ×4=580N.m
因为主矢、主矩均不为0，所以简化的最终结果 为一个合力，此合力的大小和方向与主矢相同。
4、求合力的作用线位置：
固定端（插入端）约束 雨搭
车刀
§4-3平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢 R ，主矩 MO 。 ① R =0， MO =0 原力系为平衡力系 力②偶R系=等0,效MO≠0 主矩与简化中心O无关。原力系与一平面 ③ R ≠0,MO =0, 简化结果就是合力 与简化中心有关，
（换个简化中心，主矩不为零） 原力系与一平面汇交力系等效
F3
解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：
主矢： FR/= Fi 主矩： M0 = m0(Fi)
2、求力系的主矢
平面一般力系
A
l 2
求解结果相同：
a
y
FAx
FAy
A
P
B
Q
l
FT
l FT P Qa l sin 13.2kN 2
x
B
FAx T cos 11.43kN
FAy 2.1kN
P
Q
§4-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F 0 F 0 M F 0
l 2
F
y
0
M
A
l F 0 FT sin l P Qa 0 （3）
a
l
FAx
P
B
Q
2
3）解平衡方程 由（3）式
l FT P Qa l sin 13.2kN 2
y Ay F
A
FT
由（1）和（2）式得 FAx T cos 11.43kN
主矢
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。
§4-2 平面一般力系向作用面内一点简化 主矢与主矩
三、主矢的计算
主矢的计算方法与汇交力系的计算方法相同。 主矢的计算：几何法，解析法。 解析法：
FRx Fix Fix FRy Fiy Fiy
x B P Q
FAy 2.1kN
M
B
4）其他形式平衡方程的求解 FAx FT cos 0 Fx 0 l M A F 0 FT sin l P 2 Qa 0
C
l Q l a P FAy l 0 F 0 2
第四章平面一般力系
解：研究AB梁，受力如图所示
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
解得：
RBaqaa2mP2a0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 8 0 1 2 2 ( k 4 )N 18
约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
11
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主R 矢 R' F O
主 M O 矩 m O (F i) F ix i
合力作用线的位置为：
24
再研究AB杆，受力如图
由 m C 0 , S B siC n Y A B A 0 C
解 得 :SBB C YA siA nC 0 4.8 9 1 4 .6106.7N
5
与假设方向相反。
25
[例5] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不 计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
m＝？
o
m E
解：①以AB杆为研究对象，其受力图为：
YA
m A 0 ,p A H S 1 A B 0
A pH B
30o
D
A
pH B
S1
XA
22
S1
3
p (kN) 3
C
② 再以销钉C为研究对象，其受力图为：
X 0 , S 1 c o s 3 0 o S 3 s i n S 2 c o s 3 0 o 0
工程力学—第四章平面一般力系
有什么特点？
各力的作用线
不汇交于一点
平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交
于一点，也不平行。
······
｛F1，F2 ，···Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平面一
般力系的特例。平面一般力系是工程中最
常见的力系。
§4-1 力线平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同
例如，道路给轮子的力等。
FN
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各
点上。例如，构件的自重等。
面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风
压力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件
的轴线分布。
1、荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
合力偶，其力偶矩MO ，作用于刚体平面。
所得平面汇交力系（F1’ , F2’ , ··· Fn’ ）可以合成为一个作用于O点的合矢量F’：
F’=∑Fi’ =∑Fi
合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。
所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , ·
·
·Mn）可以合成为一个的力偶,其力偶矩MO
a
例4-1 题图
m
(
a
b
)
50
(
3
1
.
5
)
1
例题 4-1 m
37
.
5
t
3
c
6
(2) 满载时, m2=25 t , x < a, 由(a) 式得
第4章 平面一般力系
§4-1 力线平移定理
A
F′ B M=Fd d A
(a)
(b)
(c)
M B (F ) Fd M M B (F )
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的
力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力
偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一
个位于力偶作用面内的力来等效替换。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构 件的轴线分布。 1. 荷载的单位 (1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
(2) 体分布荷载的单位： N/m3 ，
(3) 面分布荷载的单位： N/m2 ，
(4) 线分布荷载的单位： N/m 。 2. 分布荷载的计算方法 (1) 均布荷载：集度为常数的分布荷载。 例如图中的均布荷载的合力为：
FR
y xc x A l
由此可见，分布荷载合力
q0
的大小等于荷载集度图的面积。
x
x
C
B
合力作用线的位置为：
MA 2 xc l FR y q 0 l / 2 3 q 0 l 2 / 3
例题 4-2
已知水坝的坝前水深 h=10 m , 求1 m长的坝面 上水压力的合力之大小和作用线的位置。
FR′
O
MO
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
证明： 如下图所示，显然有
M O ( FR ) FR d M O , M O M O ( F ), M O ( FR ) M O ( F )
FR′ FR′ O MO O′ FR
第四章平面一般(任意)力系
例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。 q M 再研究AB：（或整体ABC） B l l C M
A
A
B
XA-XB=0 YA-YB=0
解：先以BC为研究对象，做受力图 q B C 列平衡方程
y x q2 B
q1 解：研究AB，受力如图：X 建坐标如图
A
A
YA
NB X 0 XA=0 q1l q2l =0 Y 0 YA+ NB 2 1 2 l m 0 o N B 2l q1l l q2l (l ) 0 A
2
3
2
下面讨论分布载荷合力Q的大小： c
Q
qx q1
O
x
x l dx
Q q x dx
q1 qx x l
l
q1l = 分布载荷的面积 2
0
q1 xdx l
分布载荷合力Q的作用位置：
Qc q x dx x
q1l 而Q 2
l
0
1 q1 2 2 q l x dx 1 3 l
mA 0 或 mB 0
o AB ∥ Fi
x
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的 平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能 解两个未知量,不得多列！
§6.静定与超静定问题, 物系的平衡 静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由 平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定 问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数 例:
第4章 平面一般力系
第四章 平面一般力系学习目标：1.理解力的平移定理和平面一般力学向一点简化。
2.能用力的平移定理和平面一般力学向一点简化解决实际问题。
在前面两章中已经研究了平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡，本章将在此基础上讨论平面一般力系的简化与平衡问题。
所谓平面一般力系，是指位于同一平面内的诸力，其力的作用线既不汇交于一点，也不互相平行的情况。
工程计算中的很多实际问题都可简化为平面一般力系问题来处理。
图4-1a 所示的房架，它所承受的恒载、风载以及支座约束力可简化为如图4-1b 所示的平面一般力系。
图4-2a 所示的吊车，横梁AB 的自重P 、荷载F 、拉杆BC 的拉力N F 以及支座约束力Ax F 、Ay F ，也可视为一个平面一般力系，如图4-2b 所示。
第一节 力的平移定理图4-1图4-2平移定理 作用在刚体上某点的力F ，可以平行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 对平移点之矩。
如图4-3所示，设力F 作用于刚体上的A 点。
如在刚体上任取一点B ，在该点加上等值、反向且与力F 平行的力F '和F '',并使F F F =''='，如图4-3b 。
显然，力系（F ，F '，F ''）与力F 是等效的。
但力系（F ，F '，F ''）可看作是一个作用在B 点的力F '和一个力偶（F , F ''）。
于是原来作用在A 点的力F ，现在被一个作用在B 点的力F '和一个力偶（F , F ''）等效替换，如图4-3c 。
这就是说，可以把作用于A 点的力F 平移到另一点B ，但必须同时附加一个力偶，其矩为Fd M =。
其中，d 为附加力偶的力偶臂。
由图易见，d 就是点B 到力F 作用线的垂直距离，所以乘积Fd 也就是原力F 对于点B 之矩，即B M (F ) Fd =因此得=M B M (F ) （4-1） 即力线向一点平移时所得附加力偶矩等于原力对平移点之矩。
静力学第4章平面一般力系
第四章 平面一般力系
【本章重点内容】
力线平移定理; 平面一般力系向作用面内一点简化; 平面一般力系简化结果分析; 平面一般力系的平衡条件与平衡方程.
第四章 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题
§4-1 工程中的平面一般力系问题
平面一般力系 作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，既
力线向一点平移时所得 附加力偶等于原力对平 移点之矩.
力偶M′与M 平衡.
第四章 平面一般力系
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
一、平面一般力系向作用面内一点简化
rr
F1′ = F1
rr
F2′ r
...=
F2 r
Fn′ = Fn
r M1 = MO (F1)
主矩MO
∑ MO =
MO
r (F
)
=
−1m
⋅
F1
−
3m
⋅
F2
+
2m
⋅
sin
30o
⋅
F3
+
M
= −1m ×1kN - 3m ×1kN + 2m × 1 × 2kN + 4kN ⋅ m 2
= 2kN ⋅ m
§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力 方向 主矩
FR′ = 3.39kN α = −36.2°
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
主矩的计算
主矩的计算方法与力矩和平面力偶系的计算方法相同. 主矩的计算
平面一般力系向一点简化，得到力对简化点的力矩和.
主矩大小
∑r
MO = MO(Fi )
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第4章平面一般力系1、图示平面机构，正方形平板与直角弯杆ABC 在C 处铰接。
平板在板面内受矩为M=8N ·m 的力偶作用，若不计平板与弯杆的重量，则当系统平衡时，直角弯杆对板的约束反力大小为( C )。
2 22、悬臂梁承受均匀分布载荷，支座A 处的反力有四种结果，正确的是( B )。
=ql, M A =0=ql, M A =21q l 2=ql, M A =q l 2=ql, M A =31q l 23、图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。
不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力F ，则支座A对系统的约束反力为（ C ）。
，方向水平向右B.2F ，方向铅垂向上22，方向由A 点指向C 点22，方向由A 点背离C 点4、图示平面直角弯杆ABC ，AB=3m ，BC=4m ，受两个力偶作用，其力偶矩分别为M 1=300N ·m 、M 2=600N ·m ，转向如图所示。
若不计杆重及各接触处摩擦，则A 、C 支座的约束反力的大小为（ D ）。
=300N ，F C =100N=300N ，F C =300N=100N ，F C =300N=100N ，F C =100N5、力系向某点平移的结果，可以得到( D )。
A.一个主矢量B.一个主矩C.一个合力D.一个主矢量和一个主矩6、平面一般力系向一点O 简化结果，得到一个主矢量R ′和一个主矩m0，下列四种情况，属于平衡的应是( B )。
′≠0 m0=0 ′=0 m0=0′≠0 m0≠0 ′=0 m0≠07、以下有关刚体的四种说法，正确的是( D )。
A.处于平衡的物体都可视为刚体B.变形小的物体都可视为刚体C.自由飞行的物体都可视为刚体D.在外力作用下，大小和形状看作不变的物体是刚体8、力的作用线都相互平行的平面力系称（D ）力系。
A.空间平行B：空间一般C：平面一般D：平面平行9、力的作用线既不汇交于一点，又不相互平行的力系称（B ）力系。
A：空间汇交B：空间一般C：平面汇交D：平面一般10、平面力偶系合成的结果是一个（B ）。
A：合力B：合力偶C：主矩D：主矢和主矩11、平面汇交力系合成的结果是一个（A ）。
A：合力B：合力偶C：主矩D：主矢和主矩12、平面平行力系合成的结果是（D ）。
A：合力B：合力偶C：主矩D：主矢和主矩13、图示力F=2KN对Ａ点之矩为（A ）kN·m。
A：2 B：4 C：－2 D：－414、只限物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（ B ）支座。
Ａ：固定铰Ｂ：可动铰Ｃ：固定端Ｄ：光滑面15、力的作用线都相互平行的力系称（ C ）力系。
Ａ：空间平行Ｂ：空间一般Ｃ：平行力系Ｄ：平面平行16、作用与反作用是作用在( B )个物体上的一对等值、反向、共线的力。
Ａ：一Ｂ：二Ｃ：三Ｄ：四、17、平面一般力系的二力矩式平衡方程的附加使用条件是( B )。
Ａ：二个矩心连线与投影轴垂直Ｂ：二个矩心连线与投影轴不垂直Ｃ：投影轴通边一个矩心Ｄ：二个矩心连线与投影轴无关18、平面一般力系的三力矩式平衡方程的附加使用条件是( D )。
Ａ：二个矩心连线与投影轴垂直Ｂ：二个矩心连线与投影轴不垂直Ｃ：投影轴通边一个矩心Ｄ：三个矩心不共线19、合力与分力之间的关系，不正确的说法为( A )。
Ａ：合力一定比分力大Ｂ：两个分力夹角越小合力越大Ｃ：合力不一定比分力大Ｄ：两个分力夹角(锐角范围内)越大合力越小20、一个静定的平面物体系它由三个单个物体组合而成，则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ：3 Ｂ：6 Ｃ：9 Ｄ：1221、一个静定的平面物体系它由四个单个物体组合而成，则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ：3 Ｂ：6 Ｃ：9 Ｄ：1222、一个静定的平面物体系它由五个单个物体组合而成，则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ：3 Ｂ：6 Ｃ：9 Ｄ：1223、一个静定的平面物体系它由六个单个物体组合而成，则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ：3 Ｂ：6 Ｃ：9 Ｄ：1224、平面汇交力系平衡的几何条件是（ D ）A 、 0,0y xB 、0)(,0,00 F m y xC 、 0,0m yD 、力多边形自行闭合25、平面汇交力系平衡的解析条件是（ A ）A 、 0,0y xB 、0)(,0,00 F m y xC 、 0,0m yD 、力多边形自行闭合26．平面一般力系的平衡方程数为（ C ）A ．1个； 个； 个；27．图示ABC 杆，固定端A 的反力是(D )=P , YA=0=P ， mA=Pa=P , YA=0=P , YA=0,mA=Pa28．图示三铰拱架中，若将作用于构件AC 上的力偶M 平移至构件BC 上，则A 、B 、C 三处的约束反力( D )A.只有C处的不改变B.只有C处的改变C.都不变D.都改变29．某简支梁AB受载荷如图所示，现分别用RA、RB表示支座A、B处的约束反力，则它们的关系为(C )。
<RB >RB=RB D.无法比较30、如右图A支座处弯矩值为（D ）A、－4KN·mC、－10KN·mD、－12KN·m31、求静力平衡问题时最首先的关键一步是（A ）A、正确画出支座反力B、选好坐标系C、正确画出受力图D、列出平衡方程式32、平衡状态是指物体相对于地球保持静止或（B ）A、转动B、匀速直线运动C、匀变速直线运动D、匀加速直线运动33、在同一坐标轴上投影相等的两个力（C ）A、一定相等B、一定不相等C、可能相等可能不相等D、无法判断34、两物体间的作用和反作用力总是（C ）A、大小相等，方向相反B、大小相等，方向相反，作用在同一物体上C、大小相等，方向相反，沿同一直线分别作用在两个物体上D、大小相等，方向相同，沿同一直线分别作用在两个物体上35、构件与支撑物固定在一起，构件在固定端既不能沿任何方向移动，也不能转动，这种支座称为 （B ）A ．固定铰支座B ．固定端支座C ．可动铰支座D ．二力杆36、平面一般力系向作用面内任一点简化的结果是 （ A ）A ．一个力和力偶B ．一个合力C ．力偶D ．力矩37、“力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零”是平面汇交力系平衡的 （D ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．无关系38、平面一般力系的三力矩式平衡方程的附加使用条件是( D )。
Ａ：二个矩心连线与投影轴垂直 Ｂ：二个矩心连线与投影轴不垂直 Ｃ：投影轴通边一个矩心 Ｄ：三个矩心不共线39、合力与分力之间的关系，不正确的说法为( A )。
Ａ：合力一定比分力大 Ｂ：两个分力夹角越小合力越大 Ｃ：合力不一定比分力大 Ｄ：两个分力夹角(锐角范围内)越大合力越小40、平面汇交力系平衡的解析条件是（ A ）A 、 0,0y xB 、0)(,0,00 F m y xC 、 0,0m yD 、力多边形自行闭合41．平面一般力系的平衡方程数为（C ）A ．1个； 个； 个； 个。
42、平面一般力系合成的结果是（C ）。
A ：合力B ：合力偶C ：主矩D ：主矢和主矩 二、填空题1、平面一般力系向平面内任意点简化结果有四种情况，分别是________________________ 、____________________________ 、____________________________、____________________________。
【答案】主矢和主矩都不为零、主矢为零主矩不为零、主矢不为零主矩为零、主矢和主矩都为零2、平面一般力系的三力矩式平衡方程的附加条件是________________________。
【答案】A 、B 、C 三点不共线3、物体受到的力一般可分为 和 两类。
【答案】外力和内力4、图示梁固定端A 的支座反力为________、________、________。
【答案】、力的平移定理和力的可传性原理只适用于。
【答案】刚体6、力的平移定理只适用于。
【答案】刚体7、力的可传性原理只适用于。
【答案】刚体8、力是物体间的一种相互作用，这种相互作用的效果使物体的发生变化，或使物体产生___________。
【答案】机械、运动状态、形变9、加上或去掉任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果，这个公理叫做___________。
【答案】加减平衡力系公理10、作用于刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点，而不会改变___________的作用，这个原理称为___________。
【答案】该力对刚体的作用效应、力的可传递性原理11、在三力矩式方程中，要求三矩心___________。
【答案】不共线12、平面一般力系向平面内任一点简化的结果是：、平面一般力系平衡的解析条件是：。
【答案】一个力和一个力偶、主失与主矩都等于零13、合力在坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
这就是。
【答案】合力投影定理14、如图所示外伸梁，求B点的约束反力R B =kN 。
15、悬臂梁承受均匀分布载荷，支座A 处的反力为【答案】R A =ql, M A =21q l 2三、计算题1、支座受力Ｆ，已知Ｆ＝１０ｋＮ，方向如图所示，求力Ｆ沿ｘ、ｙ轴及沿ｘ′、ｙ′轴分解的结果，并求力Ｆ在各轴上的投影。
解：（1）求力Ｆ沿ｘ、ｙ轴分解的结果力三角形为直角三角形。
)(66.8866.01030cos kN F F x)(55.01060cos kN F F y（2）求力Ｆ沿ｘ′、ｙ′轴分解的结果 力三角形为等腰三角形。
kNF F F x 1075sin 75sin)(18.5966.05.01075sin 30sin kN F F y（3）力Ｆ在各轴上的投影)(66.8866.01030cos kN F F x )(55.01060cos kN F F y)(66.8866.01030cos kN F F x )(59.2)259.0(10105cos kN F F y2、 已知F 1＝１００Ｎ， F 2 ＝５０Ｎ， F 3 ＝６０Ｎ，F 4＝８０Ｎ，各力方向如图所示，试分别求各力在ｘ轴和ｙ轴上的投影。
解：)(6.86866.010030cos 11N F F x)(55.01060cos 11N F F y)(3053504332222N F F x)(405450)434(2222N F F y090cos 33 F F x )(600cos 33N F F y)(6.56)707.0(80135cos 44N F F x )(6.56707.08045cos 44N F F y3、一钢结构节点，在沿OA 、OB 、OC 的方向受到三个力的作用，已知F 1＝1KN ，F 2＝，F 3＝2KN ，试求这三个力的合力。