第四章_平面任意力系
第四章平面任意力系详解
同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
理论力学第四章任意力系
OI x
点
Fi
Fi
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系
汇交力系 力偶系
合力 —— R'(主矢) ， (作用在简化中心)
合力偶矩——MO (主矩) ，(作用在该平面上)
O 点为简化中心: F1' F1 , F2 ' F2 ,, Fi ' Fi .
m1 MO (F1), m 2 MO (F2 ), , m i MO (Fi ).
tan1 FRx 70.83 0
FR
2）求主矩
y
O MO
MO 3F1 1.5P1 3.9P2 2355 kN m
x
FR '
y 3m
２）求合力与基线OA的交点到Ｏ点的距
▼
9m
F1
3m
P1
1.5
P2
3.9 m
离 x及合力作用线方程
▼
主矩：MO 3F1 1.5P1 3.9P2
y
3m
▼
P1
1.5
解:１）求 FR'x , FR'y
FR'x F1 F2 cos 300 70 cos16.7
232.9kN
▼
FR'y P1 P2 F2 sin
9m
F1
P2 F2 450 200 70sin16.7 670.1kN
3.9 m 3m
MO2
M O1 FR
FR
M O1
FR
o d O
o d O
MO1 是自由矢量，可搬到O'处
所以在O'点处形成一个力螺旋。
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
第四章、平面任意力系
分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
第四章 平面力系
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
理论力学第4章-平面任意力系
FAx
FAy MA
解：（1）取悬臂刚架为研究对象，受力图。
（2）列平衡方程
Fx 0
FAx F 0
Fy 0
FAy 3q 0
解之得
MA(F) 0
M A F 4 3q 1.5 0
FAx 5kN FAy 6kN M A 11 kN m（与假设相反）
4.5.2 平面平行力系的平衡方程 作用线分布在同一平面内且相互平行的力系，称为平 面平行力系。
MO (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
力对点之矩的解析式：
MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
Fr cos Fx
r cos x
Fr sin Fy
合力矢 作用线的方程。
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
（x, y） FRx
400 x + 500 y = 2726.7
O
FRy
FR
4.5 平面任意力系、平面平行力系平衡方程 4.5.1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的
主矢以及对作用面内任一点的主矩都等于零，即
r sin y
MO (F ) xFy yFx （4-4）
y
Fy
F
y
r O d
A Fx
x
x
4.2 力线平移定理
力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
[证] 力 F
力系 F, F1, F1' 力F1 力偶（F, F1'）
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第四章 平面任意力系习 题4.1 重W ，半径为r 的均匀圆球，用长为L 的软绳AB 及半径为R 的固定光滑圆柱面支持如图，A 与圆柱面的距离为d 。
求绳子的拉力T F 及固定面对圆球的作用力N F 。
题4.1图F TyxOF N解：软绳AB 的延长线必过球的中心，力N F 在两个圆球圆心线连线上N F 和T F 的关系如图所示：AB 于y 轴夹角为θ 对小球的球心O 进行受力分析：0,sin cos TNX F F θθ==∑ 0,cos sin T NY F F W θθ=+=∑sin R rR d θ+=+ cos L rR dθ+=+ ()()()()22T R d L r F W R r L r ++=+++()()()()22NR d R r F W R r L r ++=+++4.2 吊桥AB 长L ，重1W ，重心在中心。
A 端由铰链支于地面，B 端由绳拉住，绳绕过小滑轮C 挂重物，重量2W 已知。
重力作用线沿铅垂线AC ，AC =AB 。
问吊桥与铅垂线的交角θ为多大方能平衡，并求此时铰链A 对吊桥的约束力A F 。
题4.2图A yF A xF解：对AB 杆件进行受力分析：120,sin cos 022A L M W W L θθ=-=∑ 解得：212arcsinW W θ= 对整体进行受力分析，由:20,cos02Ax X F W θ=-=∑2cos2Ax F W θ=210,sin02Ay Y F W W θ=+-=∑22121Ay W W F W +=4.3 试求图示各梁支座的约束力。
设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ·m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN ／m 。
(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分。
)题4.3图解：AyF AxF ByAxF AyF ByFBAxF AyF AyF Ax F AM（a ）受力如图所示0,0.8cos300AxX F =-=∑o0,0.110.80.150.20AByM F=⨯+⨯-=∑0,10.8sin300Ay By Y F F =+--=∑o, 1.1,0.3Ax By Ay F F KN F KN ===（b ）受力如图所示0,0.40AxX F =+=∑0,0.820.5 1.60.40.720A ByM F=⨯-⨯-⨯-=∑0,20.50Ay By Y F F =+-+=∑0.4,0.26,0.24Ax By Ay F KN F KN F KN =-==（c ）受力如图所示0,sin300Ax BX F F =-=∑o0,383cos300ABM F =+-=∑o0,cos3040AyBY F F =+-=∑o2.12, 4.23,0.3Ax By Ay F KN F KN F KN ===（d ）受力如图所示()()133q x x =- 0,0AxX F==∑()()33010,3 1.53Ay Y F q x dx x dx KN ===-=∑⎰⎰()30,0A A M M xq x dx =+=∑⎰()3013 1.53A M x x dx KN m =-=-•⎰4.4 露天厂房立柱的底部是杯形基础。
立柱底部用混凝土砂浆与杯形基础固连在一起。
已知吊车梁传来的铅垂载荷为F ＝60 kN ，风压集度q ＝2kN ／m ，又立柱自重G =40kN ，长度a =0.5m ，h =10m ，试求立柱底部的约束力。
题4.4图AyF解：立柱底部A 处的受力如图所示，取截面A 以上的立柱为研究对象0,0AxX F qh =+=∑20Ax F qh KN =-=-0,0AyY FG F =--=∑100Ay F G F KN =+=0,0hA A M M qxdx Fa =--=∑⎰211302A M qh Fa KN m =+=⋅4.5图示三铰拱在左半部分受到均布力q 作用，A ，B ，C 三点都是铰链。
已知每个半拱重300=W kN ，16=a m ，4=e m ，q =10kN ／m 求支座A ，B 的约束力。
题4.5图解：设A ，B 处的受力如图所示， 整体分析，由：()210,2202A ByM aF qa Wa W a e =----=∑415By F KN = 0,20AyBy Y F F W qa =+--=∑1785Ay F KN =取BC 部分为研究对象()0,0CBy Bx MaF F a W a e =+--=∑191Bx F KN =-再以整体为研究对象0,191AxX FKN ==∑4.6 图示汽车台秤简图，BCF 为整体台面，杠杆AB 可绕轴O 转动，B ，C ，D 均为铰链，杠杆处于水平位置。
求平衡时砝码重1W 与汽车重2W 的关系。
题4.6图4.7 图示构架中，物体重W =1200N ，由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上，尺寸如图，求支承A 和B 处的约束力及杆BC 的内力BC F 。
题4.7图解: （1）取系统整体为研究对象，画出受力如图所示。
显然，F W =， 列平衡方程：A()0,M F=∑ B 4 m (1.5 m )(2 m )0yF F r W r ⨯-⨯--⨯+=，B 10.5yF=kN∑=,0x F A 0x F F -=，A 12 kN xF F W ===∑=,0y F A B 0y y F W F -+=，A B 1.5 kN y yF W F =-=（2）为了求得BC 杆受力，以ADB 杆为研究对象，画出受力图所示。
列平衡方程D ()0,M F =∑A B 2 m 2 m 2 m 0y y F F -⨯+⨯+=解得 BC 15F =-kN 解得负值，说明二力杆BC 杆受压。
4.8 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC 和AB 各重为Q ，置心在中点，彼次用铰链A 和绳子DE 连接。
一人重为P 立于F 处，试求绳子DE 的拉力和B ，C 两点的约束力。
题4.8图解：先研究整体如（a ）图所示0,cos 2cos 0CNB M Fa F L θθ=-=∑ 再研究AB 部分，受力如（b ）图所示0,cos 0AT NB MF h F L θ=-=∑解得cos ,22NB T Fa Fa F F L hθ==4.9刚架ACB 和刚架CD 凹通过铰链C 连接。
并与地面通过铰链．A ，B ，D 连接．如图所示，载荷如图。
试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m ，力的单位为kN ．载荷集度单位为kN /m )。
题4.9图AyF AxF F AxF ByF ByF DyF（a ）显然D 处受力为0对ACB 进行受力分析，受力如图所示：0,1000AxX F =+=∑100Ax F KN =-0,40AyBy Y F F q =+-=∑80Ay F KN =-0,6600120ABy MF q =--=∑120By F KN =（b ）0,50AxX FF KN ===∑取CD 为研究对象210,310302C DyM F =-⨯⨯=∑ 15Dy F KN =取整体为研究对象0,6937.51030ABy Dy MF F F =++-⨯⨯=∑10By F KN =-0,30AyBy Dy Y FF F q =++-=∑25Ay F KN =4.10 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接，其支座和载荷如图所示。
已知10=q kN/m ，力偶矩40=M k N ·m ，不计梁重。
求支座A 、B 、D 和铰链C 处所受的约束力。
题4.10图qMCxFCyFNDF先研究CD梁，如右图所示0,0CxX F==∑0,20ND CyY F F q=+-=∑0,4230D CyM F qM=-+⋅-=∑解得15,0,5ND Cx CyF KN F F KN===再研究ABC梁，如图（b）'0,0Ax CxX F F=-=∑'0,20Ay NB CyY F F q F=+--=∑'0,22120B Ay CyM F q F=--⋅-=∑解得40,0,15NB Ax AyF KN F F KN===-4.11 承重框架如图4.11所示，A、D、E均为铰链，各杆件和滑轮的重量不计。
试求A、D、E点的约束力。
题4.11图解：去整体为研究对象，受力如图所示ExF EyF AxF AyFDy0,2002500AEx MF F =+=∑250Ex F KN ∴=-0,250AxEx X FF KN ==-=∑取ED 为研究对象，受力如图所示0,0Dx ExX F F F =+-=∑ 0,0EyDy Y F F =+=∑0,200300150DExEy M FF F =+=∑200200,450,33Ey Dx Dy F N F N F N ∴=-== 再去整体为研究对象0,0EyAy YFF =+=∑2003Ay F N =4.12 三角形平板A 点铰链支座，销钉C 固结在杆DE 上，并与滑道光滑接触。
已知100 N F =，各杆件重量略去不计，试求铰链支座A 和D 的约束反力。
题4.12图解：80120140160DyF DxAxF AyFF CAyF AxF取ABC 为研究对象30,05AxC X FF F =-+=∑ 40,05AyC Y F F =-=∑ 0,200140AC MF F ==∑58,56Ax Ay F N F N ∴=-=取整体为研究对象0,0AyDyY F F =+=∑0,20080200160E AxDx Ay M FF F F =++=∑62.8,56Dx Dy F N F N ∴==-4.13 两物块A 和B 重叠地放在粗糙水平面上，物块A 的顶上作用一斜力F ，已知A 重100N ，B 重200N ；A 与B 之间及物块B 与粗糙水平面间的摩擦因数均为f =0.2。
问当F =60N ，是物块A 相对物块B 滑动呢？还是物块A ，B 一起相对地面滑动？题4.13图解：A 与B 一起作为研究对象，则与地面摩擦力为60F N =地 A 与B 之间的摩擦力为20AB F N = F 力在水平与竖直方向分解sin 3030Ax F F N ==ocos30Ay F F ==o由于AB Ax F F F ≤≤地 所以是A 与B 相对滑动4.14 物块Ａ，Ｂ分别重1=A W kN ，50.=B W kN ，Ａ，Ｂ以及Ａ与地面间的摩擦因数均为f s =0.2，Ａ，Ｂ通过滑轮C 用一绳连接，滑轮处摩擦不计。
今在物块Ａ上作用一水平力F ，求能拉动物块Ａ时该力的最小值。
题4.14图解：A 与B 之间的摩擦力为：0.1AB s B F f W KN == A 与地面之间的摩擦力为：()0.3s A B F f W W KN =+=地0.4AB F F F KN =+=地4.15 重量为W 的轮子放在水平面上，并与垂直墙壁接触。