工程力学-3平面力系的平衡问题
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工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程
Fyi 0 M O ( Fi ) 0 Fxi 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
2 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 n
M
i 1
i
0
思考： 从力偶理论知道，一
M
O R
力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力 P 为什么能与 M 平 衡呢？
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶矩为
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
N A N B 300 N
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,
这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB P cos
r 2 (r h) 2 0.577 又由几何关系： tg r h
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
简述平面力系平衡问题的求解步骤
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
一、确定力的作用点和作用线在解决平面力系平衡问题时，首先需要确定力的作用点和作用线。
力的作用点是指力作用的具体位置，而作用线则是指力的作用线路。
这些确定下来之后，我们才能准确地分析和计算受力物体的平衡情况。
二、绘制受力图绘制受力图是解决平面力系平衡问题的重要步骤之一。
通过绘制受力图，可以清晰地展示各个受力物体的受力情况，包括作用力的大小、方向和作用线的位置。
这为后续的计算和分析提供了重要的基础。
三、应用平衡条件在确定了力的作用点和作用线、绘制了受力图之后，接下来需要应用力的平衡条件进行求解。
根据力的平衡条件，当一个物体处于静止或匀速直线运动时，它受到的合力和合力矩均为零。
可以通过平衡条件，求解出未知力的大小和方向，以及受力物体的平衡状态。
四、检验平衡条件在使用平衡条件求解出未知力后，需要进行检验以确保计算的准确性。
通过检验，可以验证所得结果是否符合平衡条件，以及受力物体的真实情况。
如果计算结果不符合平衡条件，需要重新检查和修正。
以上就是简要的平面力系平衡问题的求解步骤，读者可以通过以上步骤全面了解平面力系平衡问题的求解过程。
在工程实践中，我们经常会遇到各种复杂的受力情况，因此掌握平面力系平衡问题的求解方法对于工程师而言至关重要。
通过不断的练习和学习，我们可以更加灵活和准确地应用这些方法，为工程实践提供有力的支持。
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
工程力学第三章静力平衡问题
6
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
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4．求解。校核和讨论计算结果。
11
——平面力系平衡方程 • 应用举例
工 程 力 学
• 例1：一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸 臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放 在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。
(2)考虑左半部，受力分析如图
1 M 0 F a P a FAy a 0 C Ax 2 这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！
4个方程，4个未知量，可解。
25
——刚体系统的平衡
工 程 力 学
1 3 1 FAx ( P Q ), FAy P Q 4 4 4 1 1 FBx (3Q P ), FBy ( P Q) 4 4
21
——刚体系统的平衡
分析方法：
整体
求解刚体系统的平衡问题，主要依据前 面给出的平衡理论。
工 程 力 学
局部
先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方 程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选 择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量为止。
以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，
1 2 P1 2.5P2 5.5P 3.8
不翻倒的条件是：FA≥0。
1 2 P1 2.5P2 7.5 kN 因此，得到 P 5.5
13
——平面力系平衡方程 • 应用举例
工 程 力 学
• 例2：如图所示是汽车制动 机构的一部分。已知司机踩 到制动蹬上的力 F=212 N ， θ = 45 。当平衡时， DA铅 直， BC 水 平 ，试求拉杆 BC 所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰 链，机构的自重不计。
工 程 力 学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
平面力系平衡方程
工 程 力 学
刚体系统的平衡
静定、静不定问题 作业题
2
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
工 程 力 学
平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力 和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
工 程 力 学
24
——刚体系统的平衡
解：(1)考虑整体,受力如图所示， 列平衡方程如下：
FAx FAy
FCy
FCx
FBx FBy
工 程 力 学
F
x
0 FAx FBx Q 0
1 1 M 0 F 2 a Q a P a0 A By 2 2 3 1 M 0 F 2 a P a Q a0 B Ay 2 2
工 程 力 学
解: (1)取AB梁，画受力图.
Q
D
此处，把分布力简化成 集中力Q，作用在D点
FAx FAy
Q q 2a
AD a
FB
17
——平面力系平衡方程
• 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
工 程 力 学
(2) 列平衡方程
Fx 0 F y 0 M A ( F ) 0
12
——平面力系平衡方程 • 应用举例
解：取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 FA
工 程 力 学
FB
列平衡方程如下：
F 0 M B F 0
FA
FA FB P P 1P 2 P 3 0
P1 2 P(2.5 3 ) P2 2.5 FA (1.8 2 ) 0
M
B
( Fi ) 0 ，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B
两点的一个合力，或者是平衡。 （3）又若该力系又同时满足 Fx 0, ，而x轴不得垂直于AB连线时，显然力系 不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡
6
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
5
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
平衡方程其他形式
工 程 力 学
二矩式
M A (F ) 0 M B (F ) 0 Fx 0
x轴不得垂直于A、B的连线。
（1）若力系已满足了
M
A
(Fi ) 0，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是
作用线通过A点的一个合力，或者是平衡。 （2）若该力系同时满足
14
——平面力系平衡方程 • 应用举例
解： (1).取制动蹬ABD作为研究 对象，画出受力图。
y
A
F
工 程 力 学
应用三力平衡汇交的条件得到 (2) 列平衡方程
F F
O
x
0 ， F F cos q F cos 0 B D y 0 ， FD sin F sin q 0
26
——刚体系统的平衡
求解方法二
工 程 力 学
（1）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。
FCy
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0 M C 0
FCx
FAx FCx 0 FAy FCy P 0 FAx a FAy a P a 0 2
27
——刚体系统的平衡 FCy′
求解方法二
FCx′
工 程 力 学
（1）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0 M C 0 Q 0 FBx FCx 0 FBy FCy FBx a FBy a Q a 0 2
正确识别出二力杆，对解题有很大帮助。
31
——刚体系统的平衡
例三
已知：四连杆机构 ABCD 受力 P、 Q 作用。 求 : 机构平衡时P、Q 的关系。
工 程 力 学
32
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力分 析如图所示。
工 程 力 学
AD、BC均为二力杆
列平衡方程
33
——刚体系统的平衡
A ， B ， C ， D 处均为光滑铰链，物块重为 P ，通过 例四 绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不 计，试求B处的约束力。
FAx
FAy
Q
D
FB
1 3 FAx 0 FAx 0 , FAy P qa , 4 2 FAy FB P Q 0 1 1 FB P qa 4 2 FB 4a M P 2a Q a 0
18
——刚体系统的平衡
• 刚体系统：由若干个刚体连接而成的系统。
然后求解。
22
——刚体系统的平衡
研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点： • • 分清内力和外力。 灵活选取研究对象和列写平衡方程。
工 程 力 学
• 如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下 平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。
23
——刚体系统的平衡
例一
已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。
解：该系统中，BC为二力杆。 以AB为研究对象，作出受力图
l
FP
MA ( F ) = 0 :
FBC d - FP 2l = 0 Fy = 0 :
工 程 力 学
l
A
C FAy
B
FBC 2 2FP
FAy - FP + FBC sin45 = 0
FAx A d
l
B
FBC
l
FP
FAy= - FP
平衡方程其他形式
工 程 力 学
三矩式
M A (F ) 0 M B (F ) 0 M C (F ) 0
A、B、C三点不得共线。 为什么呢？
7——平面力系平衡方程• 平面平行力系的平衡方程 此时，
Fx 0
自然满足。
工 程 力 学
则平面平行力系平衡方程为
FBx FBy
, FCy FCy FCx FCx
6个方程可解出6 个未知量
思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？ 总结两种方法的特点。
28
——刚体系统的平衡
例二
图示结构，Fp和 l 均已知，分别求两种情况下的 约束力。
工 程 力 学
29
——刚体系统的平衡 第一种情 形 l
工 程 力 学
20
——刚体系统的平衡
系统平衡的特点：
(1)系统整体是平衡的；
工 程 力 学
(2)物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平 衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个 物体,每个物体都受有平面一般力系作用） (3)由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或 受有平面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系 或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用， 且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统可列出m个独立的 平衡方程，且 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未知量。
DE 1 OE 4
q
F
B
B
x
FD
D
已知 sin
FB 750N
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——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
工 程 力 学
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——平面力系平衡方程 • 应用举例