自动控制理论课件7-4

z平面到w平面的映射
w变换 （或称双线性变换）： z
w 1 w 1
即
w
z 1 z 1
令
z x jy
w u jv
w u jv
z 1 z 1
2

x jy 1 x jy 1
2

x y 1
2 2
( x 1) y
2
2
j
2y ( x 1) y
D ( z ) a 0 a1 z a 2 z a n z
2 n
an 0
利用特征方程的系数构造2n-3行，n+1列朱利矩阵：
q 0 c k b k p 3 b n 1n p0a
p0
a pb 0 0 3
ba k 1 p 0 n nk q1 a b k p3
2 2
W的实部为
u
x y 1 ( x 1) y
2 2
jy
jv
z平面
x y 1
2 2
2 2
w平面
单位圆
u 0 虚轴
1
0
x
0
u
x y 1 单位圆外 x y 1 单位圆内
2 2
u 0
u 0
右半平面
左半平面
z 平面 W 平面
W域判稳的步骤： 1)求出离散系统的特征方程 D(z)=0; 2)对D(z)=0 进行w变换，整理后得D(w)=0； 3)应用劳斯判据判断离散系统的稳定性。
辅频区
j
3 s 2

s
4

| z | 0
原点
7.5.2
线性定常离散系统稳定的充分必要条件
考虑线性定常离散系统
r (t )
G (s)
c (t )
H (s)
(z)
C (z) R(z)

G (z) 1 GH (z)

1
m
bm i z
n
i
i0

ani z
1
0 .3 6 8 z 0 .2 6 4 z
2
z 2 z 1 .6 3 2 z 0 .6 3 2
3 2
C (z)
0 .3 6 8 z 1 2z
1
1
0 .2 6 4 z
2
2 3
1 .6 3 2 z
0 .6 3 2 z
4

0.368 z
z
2
1.4 z
c (t )
*
例7-34
r (t )
e ( t ) e * (t )
1 s+ 1
c (t )
输入信号r(t)=1(t), T=1s 试比较c*(t)和c(t)。
解：
G (z)
R(z)
z ze

T

z z 0 .3 6 8
z
3
E (z)
z 0 .3 6 8
2
1 G (z)
n
ani z
i

n
Ai z z zi
z i ( i 1, 2, , n )
i 1
是离散系统的闭环极点
i 1
经Z反变换：
c(k )

n
Ai z i A1 z 1 A 2 z 2 A n z n
k k k
k
( k 0,1, 2, )
i 1
可见，要使 lim c ( k ) 0 ，必须满足条件： z i 1 k 线性定常离散系统稳定的充要条件为： 闭环特征方程 D ( z ) 0 的所有特征根 z i ( i 1, 2, , n ) 均分布在z平 面上以原点为中心的单位圆内。
1
(e 1 )Z 2 s ( s 1)
T
T 1) z (1 e ( z 1)( z e
T
Te
T
)
T
)
当T=1s时，有
D ( z ) 1 G (z ) z z 0 .6 3 2 0
2
z1 0.5 j 0.618,
与连续系统一样，离散系统的稳定性受到系统零极点分布、开环增益和 延迟时间等因素的影响，但同时还受到采样周期T的影响。
对于离散系统，当采样周期一定时，增大开环增益会使系统稳定性
变坏甚至不稳定；当开环增益一定时，加大采样周期会使系统稳定性变 坏甚至不稳定。
系统中的零阶保持器也会影响系统的稳定性。当采样周期T较小时，
1）用z变换法求c*(t)：
C (z) G (z)E (z)
0.5 0.592 z
*
z
2
2
2 z 2 .3 6 8 z 0 .3 6 8
2
1
0.609 z
0.612 z
3
0.613 z
4
0.614 z
5
0.614 z
6

c ( t ) 0.5 ( t ) 0.592 ( t 1) 0.609 ( t 2) 0.612 ( t 3) 0.613 ( t 4)
* 或者说，用复变量s表示的闭环特征方程 D ( s ) 0 的所有特征根
s i ( i 1, 2, , n )
均分布在s左半开平面上。
例7-28
R (s)
试分析图示闭环系统的稳定性。
1 e s
Ts
K s ( s 1)
C (s)
K 1 T 1s
解：
G ( z ) (1 z
7.5 离散控制系统的稳定性分析
线性连续系统的稳定性分析是基于闭环特征根在s平面中的位置，若闭 环特征根全部位于虚轴以左，则系统稳定。那么，如何根据线性离散系 统的闭环特征根在z平面上的位置来分析系统的稳定性呢？
7.5.1
z e
z e
s平面
0
0
虚轴
从s平面到z平面的映射
sT
令复变量 s j ：
*
*
例7-33
R (s)
1 e s
Ts
K s ( s 1)
C (s)
K 1 T 1s
r ( t ) 1( t )
试分析系统的瞬态性能。 解： 前面已求出本例的开环脉冲传递函数为
G (z) (e
T
T 1) z (1 e ( z 1)( z e
T
Te
0.614 ( t 5) 0.614 ( t 6)
2）用拉氏变换求系统实际的输出信号c (t)：
C (s) G (s)E (s)
*

1 s 1
[0 .5 0 .4 0 8 e
s
0 .3 9 1e
2 s
0 .3 8 8 e
3 s
0 .3 8 7 5 e
6

6 s
E ( s ) 0.5 0.408 e* 0.91e 0.388 e
0.3875 e
0.3875 e
0.3875 e

e ( t ) 0.5 ( t ) 0.408 ( t 1) 0.391 ( t 2) 0.388 ( t 3) 0.3875 ( t 4)
(t 6)
(t 3)
1( t 3)
1( t 4) 0.3875 e
1( t 5) 0.3875 e
1
2 z 0 .3 6 8 z 1

z 0 .3 6 8 z
2
2 z 2 .3 6 8 z 0 .3 6 8
2
0.5 0.408 z
*
0.391 z
s
0.388 z
2 s
0.3875 z
3 s
4
0.3875 z
4 s
5
0.3875 z
5 s
z1 z 2 0 .7 9 5 1
z 2 0.5 j 0.618
故闭环系统稳定。
7.5.3 线性定常离散系统的稳定判据
问题：对于高阶离散系统，直接求解系统的特征根一般很困难。能否找 到与s平面中的劳斯判据、赫尔维茨判据类似的代数判据？ （1）w平面的劳斯稳定判据 思路：连续系统中的劳斯稳定判据是判别系统特征根是否全部在s左半开 平面，而在z平面内，稳定性取决于特征根是否全部在单位圆内，因此劳 斯判据不能直接应用。所以需要再寻找一种新的变换，使z平面的单位圆 内部映射到一个新的平面的左半部分而又不至于出现超越函数，在这样的 平面上就可直接应用劳斯判据了。
3
1.4 z
1.147 z
5
0.895 z
6

c ( kT ) z
k 0

k
* 单位阶跃响应表达式 c ( t )
c ( kT ) ( t kT )
k 0
c * (t )
1 .4
1
1 .4
1.147
1
0.368
0.993 1 .0 8 1 0.981 0.895 0.868 1.077 1 .0 3 2
两边同乘(w-1)3,化简后得 计算劳斯表 w 3
1
2
D ( w ) w 2 w 2 w 40 0
3 2
2
40
w w w
2
1
18
40
0
0
第一列有两次符号改变，说明有两个根 在W平面的右半平面，或者说有两个根 在Z平面的单位圆之外，系统不稳定。
（2）z平面的朱利稳定判据 朱利（Jury）判据是直接在z平面使用D(z)=0的系数判稳的代数判据， 与连续系统的赫尔维茨判据类似。