1、工程问题
小升初工程问题(一)
工程问题（一）知识要点一、基本概念完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示。
工作效率：单位时间内所完成的工作量。
二、基本关系工作量= 工作效率×工作时间；三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系。
三、常用工具和方法（1）基本关系；（2）整体化归思想；（3）对比分析的方法。
重难点（1）重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题。
（2）难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用。
模块一根据基本关系解题【例1】一项工程，甲单独做需要15小时，乙单独做需要30小时，如果甲、乙合作需要多少时间？【练习】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？1，乙【练习】甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30 分钟打了A 材料的42A、B 两份材料中谁的内容多？40 分钟打了B 材料的7【例2】一项工程，甲队单独完成需36天。
若乙队先做8天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需18天可完成。
如果乙队单独完成此工程，则需多少天？【练习1】一项工程，甲队单独做20 天可以完成，甲队做了12天后，由于甲另有任务，剩下的工作由乙队单独做16天完成。
问：乙队单独完成这项工作需多少天？【练习2】一项工作，甲、乙两人合做8 天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。
那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?【练习3】修筑一条高速公路。
若甲、乙、丙合作，90 天可完工。
若甲、乙、丁合作，120 天可完工；若丙、丁合作，180 天可完工，若甲、乙合作36 天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。
还需多少天可完工？模块二运用整体化归思想解题【例3】甲、乙、丙三人同时分别在两个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12 小时，丙用15小时。
甲在A仓库，乙在B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16 个小时将两个仓库同时搬完。
工程问题1
工程问题11．一件工程，甲干3天，乙干5天可完成1/2；甲干5天、乙干3天可完成1/3。
问甲、乙合干需几天完成？9.62．一件工作先由甲乙合做4时，完成了它的25%。
再由乙单独做8时，这时剩下的工作甲单独做还需20时才能全部完成。
甲单独做这件工作需多长时间？483．一件工作，甲乙合干需6天完成，已知甲单独完成该工作的1/2所需的时间与乙单独完成该工作的1/3所需的时间相等。
问甲单独完成该工作需要的时间？104．小松读一本书，已读与未读的页数之比是3：4，后来又读了33页，已读与未读的页数之比变成5：3。
这本书共有多少页？1685．单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天，若甲先做若干天后乙接着做，则共用26天时间。
问甲做了多少天？186．打印一份稿件，甲单独打需50分钟完成，乙单独打需30分钟完成。
现在甲单独打若干份后乙接着打完，共42份。
问甲打了稿件的几分之几？3/57．几个同学去割两块草地上的草，甲地面积是乙地的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来他们分开，一半同学在甲地割，一半在乙地，又割了半天乙地割完了。
问甲地剩下的草他们一起干还需要几天？1/48．一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。
如果放水管开了2时后再打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？1时45分9．蓄水池有一条进水管和一条排水管，灌满一池水进水管需开5时，排光一池水排水管需开3时。
现在池内有半池水，如果按进水、排水、进水、排水…的顺序轮流各开1时，那么多长时间后水池的水刚好排完（精确到分）？7时54分10．蓄水有甲乙两个进水管，单开甲管需12时注满，单开乙管需18时。
现要求10时注满，问甲乙两管至少要合开多长时间？3时。
工程问题1
姓名：1、 某公司有一个项目，A 、B 两个小组合作需要24天完成,B 、C 两个小组合作，需要30天完成,A 、C 两个小组合作需要40天完成。
如果有A 、B 、C 三个小组合作需要多少天完成？2、 某公司做工程，甲队单独做需要25天完成，乙队单独做需要20天完成。
开工时甲乙两队合作，中途甲队因特殊原因退出，之后乙队又做了11天才完成任务。
甲队工作了多少天？3、 某公司需要做定制手机。
赵师傅和孙师傅一起做需要12天完成。
赵师傅因式事有5天没有参与工作，最后两人一共花了16天完成这批手机。
如果让赵师傅单独做这些定制手机需要多少天完成？4、 有一项任务需要甲、乙、丙三人完成，若三人一起完成需要8小时。
如果甲做8小时后，乙和丙一起做4小时能完成这项任务的43。
如果甲和乙一起做2小时后，丙做8小时也可以完成这项任务的43。
那么甲、乙、丙一起做需要几个小时完成这项任务？5、 某建筑队预计15天建完一座桥，现有9人建了6天，只建了全部工程的31。
如果想提前3天完工，还需要增加多少人？6、某水库内分别装有一个进水管和一个出水管。
单开一个进水管，6小时可以将空水库灌满；单开一个出水管，8小时可以将水排完。
如果一开始水库是空的，首先打开进水管，1小时后又打开出水管排水，再过多久水库是满水？1、某工程队修一段公路，甲队单独干需要24天，乙队单独干需要36天，丙队单独干需要18天，若三队一起干，需要多少天？2、现有一条水渠要清理，施工一队和二队合作需要20天完工，在合作10天后，剩下的由二队单独清理，花了15天。
这条水渠由一队单独清理需要多少天？3、甲、乙两人合作一件手工品需要15天，其中甲中间有6天外出，最后两人共用了20天才完成如果这件手工品由甲单独做，需要多少天才能完成？4、某公司有项任务，由甲、乙、丙三个小队一起做，6天可以完成。
如果甲对做了6天后，乙队和丙队一起做了3天，可以完成这项工程的2013；如果甲队和乙队一起做3天，丙队再做6天，可以完成这项工程的53。
工程问题1
工程问题一单人：工作效率×工作时间=工作总量 多人：工作效率和×合作时间=工作总量工效：单位时间内完成的工作量。
工作总量：通常用单位“1”来表示。
基础练习、1、 一件工作，甲单独做需要8小时，每小时完成这件工作的几分之几？2、 一件工作，甲每小时可以完成121，几小时可以完成？ 3、 一件工作，甲每小时可以完成101，4小时后还余下几分之几？ 4、 一件工作，甲单独做需要8小时，乙单独做需要10小时，二人合作几小时可以完成？5、 一件工作，甲每小时完成101，乙每小时可以完成121，2小时后还有几分之几没做？ 6、 一件工作，甲单独做需要8小时，乙单独做需要12小时，二人合做，几小时可以完成工作的31？ 变化练习：1、 一件工作，甲单独做需要8小时，乙单独做需要10小时，乙单独做需要12小时。
（1） 甲乙合作，3小时后由乙来做，还要几小时？（2） 乙丙合作，4小时后由甲来做，还要几小时？（3） 三人合作，2小时后甲乙来做，还要几小时？（4） 甲先做4小时，余下的三人合作还要几小时？2、 一件工作，甲4小时完成全部的31，乙2小时完成全部的51，如果二人合作，几小时可完成？（1）一件工作，甲3小时完成全部的72，乙同样的工作量需要5小时，如果二人合作，几小时完成？（2）一件工作，甲单独做需要8小时，乙5小时可完成全部的32，如果二人合作，几小时完成？3、 一件工作，甲乙合作6小时可以完成，甲单独做10小时可以完成，乙单独做，需要几小时？（1）一件工作，甲乙合作6小时可以完成全部的21，甲单独做需要20小时，乙单独做要几小时？（2）一件工作，甲乙二人合作10小时可以完成，甲乙二人的效率比是2：3，单独做，二人各几天？（3）一件工作，甲乙合作4天完成，甲丙合作5天完成，乙丙合作6天完成，三人合作几天完成？提高练习、（甲乙+甲丙+乙丙）÷2=甲乙丙 （单位1－先修的）÷工效=余下的时间1、一件工程，甲单独做40天完成，甲的工效是乙的21，若两队合作，几天可以完成？2、一件工程如果合干，甲乙需要12天，乙丙需要15天，甲丙需要20天。
实际问题与一元一次方程(工程与行程问题)
60×
28 60
+60x+80x=448
解得：x=3
答：快车开出3小时后，两车相遇。
例4、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发，每小 时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米，问： （３）两车同时、同向而行，如果慢车在前，出发后多长时间快 车追上慢车？
画图分析 快车行驶路程
顺水航行速度= 水流速度 +静水航行速度．
逆水航行速度=静水航行速度－水流速度．
解：设船在静水中的平均速度为x千米/小时，则船顺水的速 度为(x+3)千米/小时，而逆水的速度为(x-3)千米/小时。 则依题意可得： 2（x+3）=2.5（x-3） 解得：x=27
答：该船在静水中的速度为27千米/小时。
工程问题 与
行程问题
一元一次 方程应用
(二)
探究1：工程问题
1.一件工作，若甲单独做2小时完成，那么
1
甲单独做1小时完成全部工作量的2 .
2.一件工作，若甲单独做a小时完成，则甲单独做
1
1小时，完成全部工作量的 a ,m小时完成全部
m
工作量的 a .a小时完成全部工作量的 1 .
3．一件工作，若甲单独做7天完成，乙单
①几小时后两车相遇？ ②若吉普车先开40分钟，那么客车开出多长时间两车相遇？
甲
相 遇
丙 40分钟 乙
分析：若吉普车先出发40分钟(即2/3小时)，则等量 关系为：吉普车先行的路程+吉普车后行路程+客车 的路程＝1500
例1 甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而 行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍．
工程问题1名师堂
工程问题1一、训练目标知识传递：明确单位“1”，及工作时间、工作效率、工作总量的关系。
能力强化：分析能力、综合能力。
思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。
二、知识与方法归纳解答工程问题，首先要明确把什么看作单位“1”，再找出完成这个单位“1”的量所需要的时间，从而直接得到“工作效率”。
把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等等这些没有告诉具体数量的工作量看作单位“1”，几天完成，也就是把这个单位“1”平均分成几份，每天完成几分之几，也就是工作效率。
在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量”这个关系。
运用常用的数学思想及解题方法，如：假设法、转换法、代换法、列举法等来解答工程问题，只要恰当地选择解题方法，很多问题就迎刃而解了。
三、经典例题例1 .一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。
①甲队每天完成这项工程的( )( )，乙队每天完成这项工程的( )( )。
②甲、乙两队合做，每天完成这项工程( )( )。
③甲、乙合做，（）天可以完成这项工程。
④甲、乙合做4天后，还剩下全工程的( )( )。
例2.打扫多功能教室，甲组同学13小时可以打扫完，乙组同学14小时可以打扫完，如果甲、乙合做，多少小时能打扫完整个教室？解：答：甲、乙合做，小时能打扫完整个教室。
例3.一批布料，做上衣可以做20件，如果做裤子可以做30条，这批布料可以做多少套衣服？解：答：这批布料可以做套衣服。
例4.打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的13，乙接着又打了2小时，又打了这份稿件的14，剩余的甲乙共同打，还需几小时？解：答：剩余的甲乙共同打，还需 小时。
例5 .一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。
这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲乙两人各做了多少天？解： 答：甲做了 天，乙做了 天。
例6 .修一段公路，甲队单独做要用40天，乙队单独做要用24天。
工程问题公式1
工程问题公式（1）一般公式：工效×工时=工作总量;工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。
工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率（2）用假设工作总量为“1"的方法解工程问题的公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…….特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。
)1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数总数÷总份数＝平均数2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数6、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数7、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数8、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数数学图形计算公式1、正方形：C—周长S-面积a—边长株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷(株数＋1)2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题（盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数（大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100％＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100％＝(售出价÷成本－1）×100％涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20％）长度单位换算1千米（km）=1000米(m）1米（m)=10分米(dm）1分米（dm）=10厘米（cm）1米（m）=100厘米（cm) 1厘米（cm)=10毫米(mm）面积单位换算1平方千米（km2)=100公顷（ha) 1公顷(ha)=10000平方米（m2) 1平方米(m2）=100平方分米（dm2）1平方分米（dm2)=100平方厘米（cm2）1平方厘米（cm2)=100平方毫米(mm2）体(容）积单位换算1立方米(m3）=1000立方分米(dm3) 1立方分米（dm3)=1000立方厘米（cm3）1立方分米（dm3）=1升(l)1立方厘米(cm3）=1毫升(ml）1立方米（m3）=1000升(l）重量单位换算1吨（t)=1000 千克（kg）1千克(kg）=1000克(g）1千克（kg）=1公斤（kg）人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天）有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天）的有：4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时（h）1小时（h）=60分（s）1分（min）=60秒(s) 1小时(h)=3600秒（s）。
第一讲 工程问题
第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要呈现三个量：工作总量、工作时间〔完成工作总量所需的时间〕和工作效率〔单元时间内完成的工作量〕．这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为表达便利，把这三个量简称工量、工时和工效．例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？阐发设这项工程为1个单元，那么甲、乙合作的工效为112，乙、丙合作的工效为115，甲、丙合作的工效为120。
因此甲、乙、丙三队合作的工效的2倍为112＋115＋120，所以甲、乙、丙三队合作的工效为〔112＋115＋120〕÷2=110。
因此三队合作完成这项工程的时间为1÷110=10〔天〕解：1÷[〔112＋115＋120〕÷2]=10〔天〕答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程〞当作一个单元，这样，工效就用工时的倒数来暗示。
如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为112，它暗示甲、乙两队一天完成全部工程的112。
例2师徒二人合作出产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的710批零件各需几天？阐发设一批零件为单元“１〞，此中６天完成任务，用16暗示师徒的工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．解：师傅工效：〔710－16×３〕÷２＝110；徒弟工效：16－110＝115；师傅单独做需几天：１÷110＝10〔天〕徒弟单独做需几天：1÷115＝15〔天〕。
答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．假设甲先做假设干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？阐发解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以按照标题问题的条件，找到等量关系，列方程解题。
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1、工地要运84000块砖，用甲汽车单 独运需要8小时运完，用乙汽车单独运 需要12小时运完。两辆汽车同时运，几 小时可以运完？ 2、工地要运一批砖，用甲汽车单独运 需要8小时运完，用乙汽车单独运需要 12小时运完。两辆汽车同时运，几小时 可以运完？
3、一份稿件，甲单独打需要15小时， 乙单独打需要10小时，甲、乙两个完成？ 4、生产一批零件，甲单独做需要15天， 乙单独做12天完成，丙单独做10天完 成，如果三人合作，多少天可以完成？
5、挖一条水渠，甲队单独挖需要20 天；乙队单独挖需要30天。甲队单独 挖了15天后，改为乙队单独挖，还需 要几天？ 6、客车和货车从甲乙两地分别相向而 行。行完全程，客车需要5小时，货 车需要7小时，货车从乙地开出1小时 后，客车从甲地相对开出，几小时后 相遇？
练习： 1、一件工作，甲单独做需1/2小时，乙 单独做需1/3小时。两人合作需要多少 小时？ 2、一部书稿，单独完成，小张需要6 天，小李需要8天，小胡需要12天，小 张、小李合作两天后，剩下的小胡单独 完成，小胡还需要几天？
作业： 1、一项工程，甲做需15天完成，乙做需 20天完成。如果甲先做3天后，乙再单独 做，还需几天才能完成？ 2、挖一条水渠，甲组要12天挖完，乙组 要15天挖完。现在甲组先挖3天后，然后 两组合挖，还要多少天完成？ 3、一项开程，甲队单独做需要12天，乙 队单独做需要15天，甲队先做了3天后， 余下的由乙队独做，还要多少天完成？