2014年河南省郑州市高考理科数学三模试题及答案解析
2014年河南省郑州市高考理科综合三模试题及答案解析
2014年河南省郑州市高考理科综合三模试题及答案解析理综试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间150分钟，满分300分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
可能用到的相对原子质量：H-10-12 N-14 O-16 Na-23第I卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。
一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列对物质跨膜运输的说法，错误的是A．糖蒜变甜主要是细胞主动选择吸收糖类并进行积累形成的B．维生索D能以自由扩散方式进入细胞，是因为其属于脂质C．饭后消化道中的葡萄糖浓度大于小肠上皮细胞中的浓度，此时小肠上皮细胞吸收葡萄糖的方式是协助扩散D．肾小管上皮细胞能将原尿中的葡萄糖全部吸收，其吸收过程需要消耗能量2．下列关于A TP和酶的说法，正确的是A．产生酶的细胞一定能产生ATPB．ATP含有核糖结构，酶中不会含有该结构C．细胞内酶的催化作用都需要ATP提供能量D．ATP的合成与分解都需要同一种酶催化3．有一种人工合成的微小RNA，不能编码蛋白质，当其进入小鼠细胞后，会号小鼠Lin-4基因产生的mRNA 结合，并抑制它的功能，最终引起机体患病。
下列说法，正确的是A．微小RNA与小鼠mRNA结合很可能是借助细胞内的DNA连接酶B．微小RNA不能编码蛋白质，很可能是因为它缺乏终止密码子C．Lin-4基因所产生的mRNA在细胞中的功能一定是产生某种酶D．微小RNA是通过阻止Lin-4基因的翻译过程来抑制该基因的功能4．下列有关生物变异的叙述中，错误的是A．单倍体植株的细胞中可含有一到多个染色体组B．观察细胞有丝分裂中期染色体形态可判断基因突变发生的位置C．非同源染色体之间交换一部分片段，会导致染色体结构变异D．低温可抑制纺锤体的形成，导致植物细胞染色体数目发生变化5．氨基丁酸和某种局部麻醉药在神经兴奋传递过程中的作用杌理如下图所示。
河南省实验中学2014届高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)
河南省实验中学2014届高三数学模拟考试数学(理科)【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=a, 则P(ξ＞4-c)等于A.aB.2aC. 1-aD. 1-2a【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数2()cos3sin cosf x x x x=+在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（）(A)1 (B)132+(C)32 (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==． ∵x ∈[，]，∴2x+∈．∴． ∴函数f （x ）=cos2x+sinxcosx 在区间[，]的最大值为．故选：C ．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x 的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R 上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间[]2,3单调递减，则（ ）(A) f(x)在区间[]3,2--单调递增 (B) f(x)在区间[]2,1--单调递增 (C) f(x)在区间[]3,4单调递减 (D) f(x)在区间[]1,2单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f （x ）=f （x ﹣2），则函数的周期是2，若f （x ）在区间[2，3]单调递减，则f （x ）在区间[0，1]上单调递减，∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （x ）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f （x ）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )(A)3 (B)5 (C)6 (D)2【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B ．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a ，最后根据a 和c 求得离心率．【题文】9.已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-．3C π∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为33，则ABC ∆的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列{}na满足1a=，1211n n na a a+=+++，则13a=A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数()||()xxaf x e a Re=+∈在区间[]1,0上单调递增，则a的取值范围是（）A．[]1,1-∈a B.]0,1[-∈a C．[0,1]a∈ D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈eea,1【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a ＜0时，在R 单调递增，令=0，则x=ln 则在（0，ln ]为减函数，在[ln ，+∞）上为增函数则ln ≤0，解得a ≥﹣1 综上，实数a 的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a ＞0，a=0，a ＜0时，实数a 的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。
河南省南阳市2014届高三数学第三次模拟联考试题 理(含解析)新人教A版
河南省南阳市2014届高三数学第三次模拟联考试题 理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合2={|2}M x x x >，2N={|log (1)0}x x -≤，则(C M)N U 为（ ）A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x ≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤<2.设复数z 满足(1)32z i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的实部是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.等差数列{}n a 中，如果14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和为（ ） A ．297 B ．144 C ．99 D ．664.下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；（2）设回归直线方程12y x ∧=+中，x 增加1个单位时，y 一定增加2个单位； （3）若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；（4）对命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥；（5）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-. A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是变长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）6.一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（ ） A ．0 B.22 C.212+217.若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是（ ）A ．3(,1]4B ．5(1,]4C ．34(,]45D ．35(,]448.已知点P 是椭圆221168x y +=(0,0)x y ≠≠上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10FM MP •=,则||OM 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．(0,2) C ．(22,3) D ．(0,4)9.已知,[,]22ππαβ∈-且sin sin 0ααββ->，则下面结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．22αβ>10.已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若303aGA bGB cGC ++=，则角A 为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A11.动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π12.已知函数|ln |,(0)()2ln ,()x x e f x x x e <≤⎧=⎨->⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为（ ）A ．2(1,1)e e e +++ B ．21(2,2)e e e++ C ．22(21,2)e e ++ D ．21(21,2)e e e++∴2bc e =，∴12a b c e e ++>+，22a b c e ++<+，∴a b c ++的取值范围是21(2,2)e e e++.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z abx y =+（0,0a b >>）的最大值为8，则a b +的最小值为 .14.设20(sin 12cos )2xa x dx π=-+⎰，则62((2)a x x x•+的展开式中常数项是 .15.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，''()()()()f x g x f x g x <，()()xf x ag x =，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，则关于x 的方程25202abx x ++=（(0,1)b ∈）有两个不同实根的概率为 .16.在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，2AB BC ==2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是33-,,,S A B C 都在同一球面上，则该球的表面积是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S n +=++ *()n N ∈，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n nn b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈，证明：2n T <.∴121+=+n n a a -----------------------------------------------2分18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上（除端点外）.（1）当点M 为EC 中点时，求证：//BM 平面ADEF ；（2）若平面BDM 与平面ABF 所成二面角为锐角，6求三棱锥M BDE -的体积.所以BM∥平面ADEF．………..6分20.已知圆2214:5C x y +=，直线:(0)l y x m m =+>与圆1C 相切，且交椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>于11,A B 两点，c 是椭圆的半焦距，3c b =. （1）求m 的值；（2）O 为坐标原点，若11OA OB ⊥，求椭圆2C 的方程；（3）在（2）的条件下，设椭圆2C 的左右顶点分别为A ，B ，动点0020(,)(0)S x y C y ∈>，直线,AS BS 与直线3415x =分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值. 以用k 表示S 坐标，利用B 点坐标，求出直线BS 的方程，直线BS 的方程与直线3415x =联立，求出N 点设),(00y x S 则)2(,418241416)2(00220220+=+-=⇒+-=-⋅x k y kk x k k x 即21.已知函数()ln(1)f x a x =+，21()2g x x x =-，a R ∈. （1）若1a =-，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，都有()()f x g x ≥恒成立，求a 的最小值；（3）设()(1)p x f x =-，0a >，若11(,)A x y ，22(,)B x y 为曲线()y p x =的两个不同点，满足120x x <<，且312(,)x x x ∃∈，使得曲线()y P x =在33(,())x f x 处的切线与直线AB 平行，求证：1232x x x +<.即212112ln ln 2a x a x ax x x x ->-+，变形可得：22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB 过圆心O ，交O 于F （不与B 重合），直线l 与O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC. 求证：（1）BAC CAG ∠=∠；（2）2AC AE AF =•.23.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （2）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-==t t y t t x 22143sin 12243cos ππ（t 为参数）24.（选修4-5：不等式选讲） 设()||,f x x a a R =-∈.（1）当13x -≤≤时，()3f x ≤，求a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()()12f x a f x a a -++≥-恒成立，求实数a 的最小值.。
2014年河南省新乡、许昌、平顶山三市高考数学三模试卷(理科)
2014年河南省新乡、许昌、平顶山三市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．cos 240︒=（ ）A ．BC ．12-D ．12答案：C【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】三角函数的求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：()1cos240cos 18060cos602︒=︒+︒=-︒=-．故选：C ．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．设复数2i1iz =-，则z =（ ）A ． 1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数2i1iz =-，利用两个复数代数形式的除法法则化简为i a b +，从而得到它的共轭复数．【解答】解： 复数()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，1i z ∴=--， 故选：D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．3．已知全集U R =，集合{A x y ==，集合{}2,x B y y x ==∈R ，则()R A B = ð（ ） A ． {}2x x >B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}0x x <答案：A【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题．【分析】由全集U R =，集合{{}{}22002A x y x x x x x ==-=≥≤≤，求出{}0R A x x =<ð，或2x >}，再由{}{}2,0x B y y x y y ==∈=>R ，能求出()R A B ð． 【解答】解： 全集U R =，集合{{}{}22002A x y x x x x x ===-=≥≤≤，{}0,2R A x x HUOx ∴=<>ð，{}{}2,0x B y y x y y ==∈=>R ，()()2R A B x x ∴=> ð．故选A ．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用．4．命题若“220x y +=，则0x y ==”的否命题是（ ） A ．若220x y +=，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则x ，y 中至少有一个不为0C ．若220x y +≠，则x ，y 都不为0D ．若220x y +=，则x ，y 都不为0 答案：B【考点】四种命题． 【专题】简易逻辑．【分析】直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可．【解答】解：否命题是把原命题的条件否定做条件，原命题的结论否定做结论，∴命题若“220x y +=，则0x y ==”的否命题是：若220x y +≠，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．【点评】本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．5．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）A B ．．． 答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．【分析】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案． 【解答】解：由已知三视图我们可得： 棱锥以俯视图为底面 以侧视图高为高由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h 结合三视图中标识的其它数据，()112232S =⨯+⨯=底面故13V S h =⨯⨯底面故选A【点评】本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键． 6．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D【考点】程序框图． 【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．故选D ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．7．设x ，y 满足约束条件112210x y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≥≤向量()2,a y x m =- ，()1,1b = ，且a b ∥，则m 的最小值为（ ） A ．6 B ．6- C ．32 D ．32-答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据向量平行的坐标关系得到2y x m =+，然后利用线性规划进行求解即可．【解答】解：()2,a y x m =- ，()1,1b =，且a b ∥， 20y x m ∴--=，即2y x m =+，作出不等式组对应的平面区域， 平移直线2y x m =+，当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时m 最小，由12210y xx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2B ， 此时2286m y x =-=-=-， 故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据向量的关系求出2y x m =+是解决本题的关键，利用数形结合是基本思想． 8．已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B【考点】双曲线的定义；余弦定理． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求12PF PF ⋅的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出12PF PF ⋅的值． 【解答】解：方法1．由双曲线方程得1a =，1b =，c 由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()(22221212121212122221cos60222PF PF PFPF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒︒=⇒=124PF PF ∴⋅=．方法2； 由焦点三角形面积公式得：12221216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ︒===︒=△124PF PF ∴⋅=；故选B ．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．9．在ABC △中，已知2cos a B c =，()21sin sin 2cos sin 22C A B C -=+，则ABC △为（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形 答案：B【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A B =，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A B C +=，0A B -=代入计算求出cos C 的值为0，进而确定出C 为直角，即可确定出三角形形状．【解答】解：将已知等式2cos a B c =，利用正弦定理化简得：2sin cos sin A b C =， ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，2sin cos sin cos cos sin A B A B A B ∴=+，即()sin cos cos sin sin 0A B A B A B -=-=，A 与B 都为ABC △的内角， 0A B ∴-=，即A B =，已知第二个等式变形得：()()111sin sin 2cos 1cos 1cos 222A B C C C -=-+=-， ()()()11cos cos 2cos 1cos 22A B A B C C -+---=-⎡⎤⎣⎦， ()()11cos 12cos 1cos 22C C C ∴----=-，即()()cos 12cos 2cos C C C +-=-，整理得：2cos 2cos 0C C -=，即()cos cos 20C C -=，cos 0C ∴=或cos 2C =（舍去）， 90C ∴=︒，则ABC △为等腰直角三角形． 故选：B ．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10．下列命题中，m ，n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥； ③若m α∥，n α∥，则m n ∥；④若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案：C【考点】平面的基本性质及推论． 【专题】计算题．【分析】由题意，m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，由空间中的线与面、面与面的位置关系对四个选项进行判断得出正确选项，①选项由线面垂直的条件进行判断，②选项用面面平等的判定定理判断，③选项由线线平等的条件进行验证，④选项由平行于同一平面的两个平面互相平行和一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线必平行于另一个平面进行判断． 【解答】解：由题意，m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面考察①选项，此命题正确，若m α⊥，则m 垂直于α中所有直线，由n α∥，知m n ⊥； 考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面； 考察④选项，此命题正确，因为αβ∥，βγ∥，所以αγ∥，再由m α⊥，得到m γ⊥． 故选C ．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系的判断，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据线线关系，线面关系，面面关系作出判断，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力．11．已知函数()3f x x x =+，[]2,2m ∀∈-，()()20f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,2-D ．()3,2-答案：A【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性的关系将不等式恒成立进行等价转化，即可得到结论． 【解答】解： ()3f x x x =+ ， ()f x ∴是奇函数，且在R 上单调递增，由()()20f mx f x -+<， 得()()()2f mx f x f x -<-=-， 此时应有220mx x xm x -<-⇒+-<， 对所有[]2,2m ∈-恒成立，令()2f m xm x =+-，此时只需()()2020f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，则20320x x --<⎧⎨-<⎩，即223x x >-⎧⎪⎨<⎪⎩，解得223x -<<． 故选：A ．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．12．对于函数()f x ，若a ∀，b ，c ∈R ，()f a ，()f b ，()f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．已知函数()e e 1x x tf x +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ． 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1 C ．[]1,2 D ．[)0,+∞答案：A【考点】指数函数综合题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】因对任意实数a 、b 、c ，都存在以()f a 、()f b 、()f c 为三边长的三角形，则()()()f a f b f c +>恒成立，将()f x 解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由1t -的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为()()f a f b +的最小值与()f c 的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 【解答】解：由题意可得()()()f a f b f c +>对于a ∀，b ，c ∈R 都恒成立，由于()()e 1111e 1e 1x x x t t f x ++--==+++，①当10t -=，()1f x =，此时，()f a ，()f b ，()f c 都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当10t ->，()f x 在R 上是减函数，()111f a t t <<+-=， 同理()1f b t <<，()1f c t <<，故()()2f a f b +>．再由()()()f a f b f c +>恒成立，可得2t ≥，结合大前提10t ->，解得12t <≤． ③当10t -<，()f x 在R 上是增函数，()1t f a <<， 同理()1t f b <<，()1t f c <<，由()()()f a f b f c +>，可得21t ≥，解得112t >≥． 综上可得，122t ≤≤， 故选：A ．【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题． 二、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P a ξ>=，a 为常数，则()10P ξ-=≤≤ ．答案：12a - 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】计算题；概率与统计．【分析】随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，得到曲线关于0x =对称，根据曲线的对称性及概率的性质得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，∴曲线关于0x =对称， ∴()()11P P a ξξ<-=>=， ∴则()1102P a ξ-=-≤≤． 故答案为： 12a -．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题． 14．已知π30sin a xdx =⎰，则61x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ．答案：160【考点】定积分．【专题】导数的综合应用；二项式定理．【分析】根据积分公式先求出a 的值，然后利用二项式定理的展开式即可得到结论． 【解答】解：ππ330011sin cos 122a xdx x ==-=-=⎰， 则6612x x ax x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则展开式的常数项为3333662C 8C 160x x ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故答案为：160【点评】本题主要考查积分的应用，以及二项式定理的应用，要求熟练掌握相应的计算公式． 15．三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面内，其中ABC △是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 ．答案：【考点】球的体积和表面积． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据已知结合棱锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的体积． 【解答】解：由已知PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，ABC △是正三角形，故平面ABC 截球所得圆的半径r AB == 球心到平面ABC 距离132d PA ==，故球的半径R ==故球的体积34π3V R ==；故答案为：【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．16．将a ，b ，c 三个字母填写到33⨯方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有 _______种．（用数值作答） 答案：12【考点】排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题．【分析】先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，在最左边一列里也是这种情况，根据分步计数原理得到结果．【解答】解： 由题意知要求每行、每列都没有重复数字，∴先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，同理最左上方的格子下面的格子有2种结果，再下面的只有一种结果，根据分步计数原理知共有32212⨯⨯=种结果， 故答案为：12【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{}n a 是公差大于0的等差数列，且12a =，23210a a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 是以函数()24sin πf x x =的最小正周期为首项，以13f ⎛⎫⎪⎝⎭为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等差数列的定义联立方程组求得d ，即得通项公式；（2）利用三角函数的周期定义求得n b 首项及q ，写出n b 通项公式，利用等差数列及等比数列的求和公式求出n S ．【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d =⎧⎪⎨+=+-⎪⎩， 解得2d =，或4d =-（舍去）． 所以2n a n =．（Ⅱ）因为()24sin π2cos2π2f x x x ==-+，最小正周期2π12πT ==，所以11b =，又133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故3q =，13n n b -=，123n n n a b n --=-．故()()012124623333n n S n -=++++-++++211322nn n =++-⋅． 【点评】本题主要考查学生对等差数列、等比数列的定义及通项公式，前n 项和公式的掌握运用情况，属基础题．18．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率为0.25，在B 处的命中率为q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投（2）求随机变量ξ的数学期望()E ξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】综合题． 【分析】（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，0ξ=时，对应事件ABB ，根据分布列，即可求得2q 的值；（2）明确2ξ=、3、4、5，对应的事件，求出相应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．【解答】解：（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且()0.25P A =，()0.75P A =()2P B q =，()21P B q =-．根据分布列知：0ξ=时，()()()()()220.7510.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以210.2q -=，20.8q =．（2）当2ξ=时，()()()122220.7512 1.510.24P P ABB ABB q q q q =+=-⨯=-=当3ξ=时，()()2220.2510.01P P ABB q ==-= 当4ξ=时，()2220.750.48P P ABB q ===当5ξ=时，()()42220.2510.250.24P P ABB AB q q q=+=-+=所以随机变量ξ的分布列为50.24 3.63⨯=．【点评】本题考查随机变量的分布列与数学期望，明确变量的含义，求出概率是解题的关键．19．如图，在几何体ABCDEF 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． （Ⅰ）求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）若M 为线段EF 的中点，设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值．CABFME D【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定． 【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离． 【分析】（1）证明BC AC ⊥，从而证明BC ⊥平面ACFE ，可证平面ACFE ⊥平面FBC ；（2）以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量完成． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在四边形ABCD 中， AB CD ∥，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，2AB ∴=，2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 222AB AC BC∴=+，BC AC ∴⊥．平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC=，BC ⊂平面ABCD ， BC ∴⊥平面ACFE ． 又BC ⊂ 平面FBC ，∴平面ACFE ⊥平面FBC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)0,0A，()0,1,0B ，,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，()1,0AB ∴=，,1,1BM ⎫=-⎪⎪⎝⎭， 设()1,,n x y z = 为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，00y y z ⎧+=-+= 取1x =，则11,n ⎛= ⎝⎭，()21,0,0n = 是平面FCB 的一个法向量，1212cos n n n n θ⋅∴==. 所以平面MAB 与平面FCB【点评】本题第（1）小题要注意图形分解，找到突破口，第2问用空间直角坐标系求解，注意空间向量．属于中档题．20．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为椭圆上一点，当12AF F △的面积最大时， 12AF F △为等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点()1,0M ，使得0PM QM ⋅=，求椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆性质可知当点A 为椭圆短轴端点时12AF F △的面试最大，得到a ，c 的关系，则答案可求；（Ⅱ）由椭圆离心率设出椭圆方程2234120x y t +-=，和直线方程联立得到关于x 的一元二次方程，由判别式等于0得到m ，k ，t 的关系，用m ，k 表示P 的坐标，结合x 轴上存在一定点()1,0M ，使得0PM QM ⋅=求得t 的值，则椭圆方程可求．【解答】解：（Ⅰ）当点A 为椭圆短轴端点时12AF F △的面试最大．此时2a c =，离心率1e 2=；（Ⅱ）1e 2c a == ，2222214c a b a a -∴==,2234b a =，可设2234b ta t ==，∴椭圆的方程为2234120x y t +-=．由2234120x y t y kx m⎧+-=⎨=+⎩，得()223484120k x kmx m t 2+++-=． 动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ， 0∴∆=，即()()2222644344120k m m m t -+-=．整理得2234m t k t =+．设()11,P x y ，则有()1228434234km km x k k =-=-++，112334m y kx m k =+=+， 2243,3434km m P kk ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭． 又()1,0M ，()4,4Q k m +，若x 轴上存在一定点()1,0M ，使得PM QM ⊥，()()22431,3,403434km m k m kk ⎛⎫∴+-⋅--+= ⎪++⎝⎭恒成立． 整理得2234k m +=，223434k t k t ∴+=+恒成立，故1t =， 所求椭圆方程为22143x y +=． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．21．已知函数()()ln f x x a x =+的图象在点()()e ,e f （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k 为整数时，()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得()'e 3f =，从而可求实数a 的值；（Ⅱ）构造()()ln 11f x x x xg x x x +==--，求导函数，令()()ln 21h x x x x =-->，确定()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈，进而可得()()ln 11f x x x xg x x x +==--在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，求出最小值，即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）求导数可得()'ln 1f x a x =++，函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3，()'e 3f ∴=，ln e 13a ∴++=，1a ∴=（Ⅱ）()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，()1f x k x ∴<-对任意1x >恒成立， 由（1）知， ()ln f x x x x =+，令()()ln 11f x x x x g x x x +==--，则()()2ln 2'1x x g x x --=-， 令()()ln 21h x x x x =-->，则()1'0x h x x-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()31ln30h =-<，()422ln 20h =->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01x x <<时，()0h x <，即()'0g x <，当0x x >时，()0h x >，即()'0g x >，所以函数()()ln 11f x x x xg x x x +==--在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 所以()()00ming x g x x ==． 因为03x >，所以1x >时，3k <恒成立故整数k 的最大值是3．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014级高三三诊数学参考答案及评分标准(理)_看图王
������������������������５ 分 ２ ( ) ( ) 显然 h １ ＞ h e ． ２ ]上存在极值 , 结合函数图象可知 , 若 g( x )在 [ １, e )ȡ０ )＞０ h( １ h( e ������������������������７ 分 则 或 ． ２ )＜０ h( １ h( e )＜０ )＞０ h( e e ( , 当 即 １＜ a ＜ 时, ⅰ) )＜０ ２ h( １ ２ ２ ], 则必定 ∃x１ , 使得 h( 且 １＜ x１ ＜e＜ x２ ＜e x２ ɪ [ １, e x１) x２) ． ＝h( ＝０, ( ) , ( ) , ( ) : 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 hx g ᶄx g x
{
������������������������９ 分
������������������������１ ２分
年龄不低于 ３ ５岁 ５
合计 ４ ０ １ ０ ５ ０ ������������������������２ 分
根据 ２ˑ２ 列联表中的数据 , 得到 K 的观测值为
k＝
( )的 ５ 个受访人中 , 由题意 , 年龄在 [ 有 ４ 人支持发展共享单车 ; 年龄在 Ⅱ) １ ５, ２ ０ [ )的 ６ 个受访人中 , 有 ５ 人支持发展共享单车 ． ２ ０, ２ ５ ������������������������７ 分 随机变量 的所有可能取值为 ʑ X ２, ３, ４．
高三数学 ( 理科 ) 三诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) ２ 页(
2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
2014年河南省郑州市、长葛市高考数学三模试卷(理科)
2014年河南省郑州市、长葛市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：1．复数24i1iz +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．()3,3 B ．()1,3- C ．()3,1- D ．()2,4答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简后求得答案． 【解答】解：()()()()24i 1i 24i 26i13i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+ ， ∴复数z 在复平面内对应点的坐标是()1,3-．故选：B ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．已知集合()2650A x x x =-+≤和{}22xB y y ==+，则A B （ ） A ．ϕ B ．[)1,2C ．[]1,5D ．(]2,5答案：D【考点】交集及其运算． 【专题】集合．【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中y 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：由A 中的不等式变形得：()()150x x --≤， 解得：15x ≤≤，即[]1,5A =；由B 中222x y =+>，得到()2,B =+∞， 则(]2,5A B = ．故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为（ ）A ．2log y x =B ．cos 2y x =C ．222x xy --= D ．22log 2x y x -=+答案：A【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可得到结论．【解答】解：A ．2log y x =为偶函数，当0x >，22log log y x y x ===单调递增，满足条件． B ．cos 2y x =为偶函数，但在()1,2上不单调，不满足条件．C ．()()222222x x x xf x f x -----==-=-为奇函数，不满足条件． D ．()()1222222log log log 222x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭为奇函数．不满足条件． 故选：A ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．已知双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（ ）A．2 BCD答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为2，求出a ，c ，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意， 双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为2，1a ∴=，1b = ，c ∴=e=ca∴=故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．如图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面111A B C ，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）C 1A 1B 1BAC正视图C 1A 1B 1BCA 俯视图AB．．4 D．答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据俯视图为边长为2的等边三角形，求出三角形的高即为侧视图的宽，再根据正视图为边长为2的正方形，可知侧视图的高为2，计算可求侧视图的面积．【解答】解：三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，∴由题意知左视图是一个高为2∴三棱柱的侧视图的面积为故选：B ．【点评】本题考查三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．设函数()f x 定义为如下数表，且对任意自然数n 均有()1n n x f x +=，若06x =，则2014x 的值为答案：D【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】数列{}n x 满足06x =，且对任意自然数n 均有()1n n x f x +=，利用表格可得：1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ， ，于是得到6n n x x +=，进而得出答案．【解答】解： 数列{}n x 满足06x =，且对任意自然数n 均有()1n n x f x +=，利用表格可得：()()1064x f x f ∴===，()()2142x f x f ===，()()3221x f x f ===，()()4315x f x f ===，()()5456x f x f ===，… 6n n x x +∴=，20143356445x x x ⨯+∴===．故选：D ．【点评】本题考查了数列的周期性，数列的递推关系式的应用，属于中档题． 7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若点(),a b 在直线()sin sin sin sin x A B y B c C ++=上，则角C 的值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值．【分析】将(),a b 代入直线解析式，再利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cos C ，将得出的关系式代入求出cos C 的值，即可确定出C 的度数．【解答】解：将(),a b 代入直线解析式得：()sin sin sin sin a A B b B c C ++=， 利用正弦定理化简得：()22a a b b c ++=，即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，则2π3C =．故选：C ．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．若两非零向量a 与b 的夹角为θ，定义向量运算sin a b a b θ⊗=⋅⋅ ，已知向量π ，n 满足π=4n =，π6n ⋅=- ，则πn ⊗= （ ）答案：CA ．2B ．-C ．D ．3 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算可得cos θ，进而得到sin θ，即可得出．【解答】解： 向量π ，n 满足π= 4n =，6m n ⋅=- ，64θ∴-=，解得cos 2θ=-， []0,πθ∈ ，1sin 2θ∴=． 1πsin 42n m n θ∴⊗==⨯=故选：C ．【点评】本题考查了数量积运算和新定义运算，属于基础题．9．若实数x 、y 满足条件211y x y x ⎧-⎪⎨+⎪⎩≥≤，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．9B ．11C ．12D ．16答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由3z x y =+，得133z y x =-+， 平移直线133z y x =-+，由图象可知当1+33zy x =-，经过点C 时，直线截距最大，此时z 最大． 由211y x y x =-⎧⎨=+⎩得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ， 此时323311z x y =+=+⨯=，故选：B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2y x =围成的封闭区域面积为（ ） A ．223 B ．12 C ．323D ．36 答案：C【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】先确定n 的值，再求出直线y nx =与曲线2y x =交点坐标，利用定积分求得直线y nx =与曲线2y x =围成图形的面积．【解答】解：2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，4n ∴=，由直线4y x =与曲线2y x =，可得交点坐标为()0,0，()4,16，∴直线y nx =与曲线2y x =围成的封闭区域面积为()42234001324233x x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题．11．已知圆22:4P x y y +=及抛物线2:8S x y =，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A ，B ，C ，D ，如果线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l 斜率为（ ） A．BC．D答案：A【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定圆P 的标准方程，求出圆心与直径长，设出l 的方程，代入抛物线方程，求出AD ，利用线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，可得3AD BC =，求出k 的值，可得直线l 的斜率的值．【解答】解：圆P 的方程为()2224x y +-=，则其直径长4BC =，圆心为()0,2P ，AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列， 28AB CD BC ∴+==，即312AD AB BC CD BC =++==，设直线l 的方程为2y kx =+，代入抛物线方程28x y =得：28160x kx --=， 设()11,A x y ，()22,D x y ， 有2121264640816k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，()281AD k ∴=+，()28112k ∴+=，即212k =， 解得k =， ∴直线l 的斜率为， 故选：A ．【点评】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定AD 是关键，综合性较强，运算量较大．12．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则成()f x 为“倍缩函数”，若函数()()2log 2xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦答案：A【考点】函数的值域． 【专题】新定义．【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t 的取值范围．【解答】解： 函数()()22log x t f x +=为“倍缩函数”， 且满足存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x ∴在[],a b 上是增函数；()()2222log 2log 2a b t t a b ++⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即222222a a bb t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， ∴方程2220x xt -+=有两个不等的实根，且两根都大于0； ()2140t t ⎧-->⎪∴⎨>⎪⎩，解得：104t <<， ∴满足条件t 的范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案选：A ．【点评】本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．二、填空题：13．已知等差数列{}n a 满足34a =，4922a a +=，则其前11项之和11S = ．答案：110【考点】等差数列的前n 项和．【专题】导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n 项和公式即可得到结论． 【解答】解： 数列{}n a 是等差数列，且34a =，4922a a +=，112421122a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得10a =，2d =， 则数列{}n a 的前11项和为1111110111011211022S a d ⨯⨯=+=⨯=，故答案为：110．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算，求出首项和公差是解决本题的关键，比较基础． 14．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2210x y +=内有 个．答案：3【考点】程序框图．【专题】动点型．【分析】由程序框图知，得出打印的点，判定出各点与圆的位置关系． 【解答】解：由程序框图知，6i =时，打印第一个点()3,6-，在圆外， 5i =时，打印第二个点()2,5-，在圆外， 4i =时，打印第三个点()1,4-，在圆外，3i =时，打印第四个点()0,3，在圆内， 2i =时，打印第五个点()1,2，在圆内， 1i =时，打印第六个点()2,1，在圆内，∴打印的点在圆210x y 2+=内有3个 故答案为：3【点评】本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，不满足条件算法结束，属于基础题． 15．正三角形ABC的边长为，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C此时四面体ABCD 的外接球的体积为 ．【考点】球的体积和表面积． 【专题】球．【分析】三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD ⊥、DC DA ⊥，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD ⊥、DC DA ⊥，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且3AD ==，正三棱柱111ABC A B C -由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，球心到底面的距离为32，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：213 ∴球的半径为r 四面体ABCD外接球体积为：334π4π33r =⨯=⎝⎭．AD CD BA【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．16．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，则不等式()()()220142014420x f x f ++-->的解集为 ． 答案：(),2016-∞-【考点】导数的运算．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】先确定函数()2y x f x =在(),0-∞上是减函数，再根据()()()220142014420x f x f ++-->，可得()()()()222014201422x f x f ++>--，即可得出结论．【解答】解： 函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，()()22'f x xf x x +>，()()22'0xf x x f x ∴+<，()2'0x f x ⎡⎤∴<⎣⎦， ∴函数()2y x f x =在(),0-∞上是减函数，()()()220142014420x f x f ++-->()()()()222014201422x f x f ∴++>--，20142x ∴+<-， 2016x ∴<-，∴不等式的解集为(),2016-∞-．故答案为： (),2016-∞-．【点评】本题考查函数的单调性，考查解不等式，正确确定函数()2y x f x =在(),0-∞上是减函数是关键．三、解答题：．17．（12分）已知函数()()πsin 06f x A x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足，π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（I ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在钝角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，sin B C =，2a =，()1f A =，求ABC △的面积．【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）根据题意求得函数的最小周期，进而利用周期公式求得ω，根据π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，进而可得函数()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质求得其单调递减区间．（Ⅱ）利用正弦定理把已知等式的角转化成边，进而求得πsin 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得A ，最后利用余弦定理求得b 和c ，利用面积公式求得三角形面积． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知周期πT =，2π2T ω∴==，π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2A ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，ππ3π2π22π262k x k +-+ ≤≤,()k ∈Z 时，函数单调减， 即π5πππ36k x k ++≤≤,()k ∈Z 时，函数单调减， 所以f （x ）的单调递减区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,()k ∈Z ．（Ⅱ）sin B C ，∴由正弦定理知b ，()π2sin 216f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，π1sin 262A ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，ππ11π2666A -<-<， π6A ∴=或π2，因为ABC △为钝角三角形，所以π2舍去，故π6A =，2222cos a b c bc A =+- ，222243c c c ∴=+-=，2c ∴=，b =11222ABC S =⨯⨯△【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角函数图象和性质．考查了基础知识综合运用． 18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率； （Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．____频率【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【专题】综合题；概率与统计． 【分析】（I ）根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，即可求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）确定第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A ，第三组人数为1000.06530⨯⨯=，第四组人数为1000.04520⨯⨯=，第五组人数为1000.02510⨯⨯=， 根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：()11218220C C 137C 190P A ⋅+==． （Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3．且()()i 3-i 333C C i i 0C P ξ===、1、2、3，则随机变量ξ的分布列为：率是关键．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，24AB AD ==，BD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若二面角P BC D --大小为π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．CD AP【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定． 【专题】空间角． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC BD ⊥，PD BC ⊥，从而得到BC ⊥平面PBD ，由此能证明平面PBC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PBD ，从而得到PBD ∠即为二面角P BC D --的平面角，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：222CD BC BD =+ ．BC BD ∴⊥． 又PD ⊥ 底面ABCD ．PD BC ∴⊥． 又PD BD D = ．BC ∴⊥平面PBD ．而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PBD ，所以PBD ∠即为二面角P BC D --的平面角，即π4PBD ∠=．而BD =，所以PD =底面ABCD 为平行四边形，DA DB ∴⊥，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则()2,0,0A，()0,0B，()2,0C -，(0,0,P ，所以，(2,0,AP =- ，()2,0,0BC =-，(0,BP =- ，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =，则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200a -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1b =则()0,1,1n =，AP ∴与平面PBC 所成角的正弦值为：sin AP n AP n θ⋅=== ．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知圆1C 的圆心在坐标原点O，且恰好与直线1:20l x y -+相切，设点A 为圆上一动点，AM x ⊥轴于点M ，且动点N满足1ON OM ⎛== ⎝⎭，设动点N 的轨迹为曲线C ． （I ）求曲线C 的方程，（Ⅱ）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求OBD △面积的最大值． 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）()00,A x y ，先求出圆1C 的方程，再根据动点N满足1ON OM ⎛+ ⎝⎭，得到关于0x ，0y 的方程组，解得即可．（Ⅱ）设直线l 与椭圆22193x y +=交于()11,B x y ，()22,D x y ，联立方程组求出1x ，2x ，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可． 【解答】解：（Ⅰ）设动点(),N x y ，()00,A x y ，因为AM x ⊥轴于M ，所以()0,0M x ，设圆1C 的方程为222x y r +=，由题意得3r ==，所以圆1C 的方程为229x y +=．由题意，1ON OM ⎛+ ⎝⎭，所以 ())()000,,1,0x y x y x ⎛+ ⎝⎭，所以00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩即00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩将(),A x 代入圆229x y +=，得动点N 的轨迹方程22193x y +=．（Ⅱ）由题意可设直线:20l x y m ++=，设直线l 与椭圆22193x y +=交于()11,B x y ，()22,D x y ，联立方程22239y x mx y =--⎧⎨+=⎩得221312390x mx m ++-=，()22144134390m m ∆=-⨯->，解得239m <，1,2x =又因为点O 到直线l的距离d =12BD x x =-=12OBD S ==△（当且仅当2239m m =-即2392m =时取到最大值） OBD ∴△．【点评】本题考查了向量，圆的方程，椭圆的方程，点到直线的距离，基本不等式，是一道综合题，难度有些大，需要认真仔细．21．已知函数()()22e ,1ln 11,1x bx c x f x a x x x x ⎧-++⎪=⎨-++>⎪⎩≤，函数()f x 在0x =处取得极值1． （I ）求实数b ，c 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,2-上的最大值．【考点】分段函数的应用；利用导数研究函数的极值． 【专题】计算题；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由题意得，()01f =，()'00f =，求出b ，c ；（Ⅱ）当0a <时，()()'2ln 10f x a x x x =+-<，()f x 在(]1,2单调递减，()1f 取最小；当0a =时，在(]1,2上()1f x =；当0a >时，在(]1,2上()'0f x >，()f x 在(]1,2最大值为()4ln 211a -+． 【解答】解：（I ）由题意当0x =时，()011f c =-=，2c ∴=， 当1x <时，()2'2e x f x b =-+，依题意得()0'02e 0f b =-+=，2b ∴=， 经检验22b c =⎧⎨=⎩符合条件．（Ⅱ）由（I ）知，()()22e 22,1ln 11,1xx x f x a x x x x ⎧-++⎪=⎨-++>⎪⎩≤①当21x -≤≤时，()2e 22xf x x =-++，()2'2e 2x f x =-+，令()'0f x =得0x =，当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：②当12x <≤时，()()2ln 11f x a x x x =-++，()()'2ln 1f x a x x x =+-， 令()2ln 1g x x x x =+-，当12x <≤时，显然()0g x >恒成立，当0a <时，()()'2ln 10f x a x x x =+-<，()f x 在(]1,2单调递减， ()()11f x f ∴<=恒成立．此时函数在[]2,2-上的最大值为1； 当0a =时，在(]1,2上()1f x =，当0a >时，在(]1,2上()()'2ln 10f x a x x x =+->，∴在(]1,2上，函数()f x 为单调递增函数．()f x ∴在(]1,2最大值为()4ln 211a -+，()4ln 2111a -+> ，∴函数()f x 在[]2,2-上最大值为()4ln 211a -+．综上：当0a ≤时，()f x 在[]2,2-上的最大值为1； 当0a >时，()f x 在[]2,2-最大值为()4ln 211a -+．【点评】本题考查导数的综合运用：求函数的极值，求函数的最值，考查分类讨论的思想方法，以及函数的单调性及运用，属于中档题． 四、选做题。
2014郑州市高三三模理科数学
郑州市2014年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在大题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题.每小题5分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的． 1.复数iiz -+=142（i 是虚数单位），在复平面内对应的点的坐标是 A.)3,3( B. )3,1(- C. )1,3(- D. )4,2(2.已知集合{}056|2≤+-=x x x A 和{}22|+==x y y B ，且B A ⋂= A.∅ B. )2,1[ C. )5,1[ D.]5,2(3.下列函数中，既是偶函数又在区间)2,1(上单调递减的是 A.||log 2x y = B.x y 2cos = C. 222x x y --= D.xxy +-=22log 24.已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为A.22 B. 25 C. 5 D. 25.如图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面111C B A ，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为 A. 3 B. 32 C. 4 D. 346.设函数)(x f 定义如下数表，且对任意自然数n 均有)(1n n x f x =+，若60=x ，则2014x 的值为x 1 2 3 4 5 6 )(x f513264A. 1B. 2C. 4D. 57.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若点),(b a 在直线C c B y B A x s i n s i n )s i n (s i n =++上，则角C 的值为 A. 6πB.65π C. 3π D. 32π8.若两非零向量a ，b 的夹角为θ，定义向量运算θsin ||||⋅⋅=⊗b a b a ，已知向量m 满足3||=m ，4||=n ，6-=⋅n m ，=⊗n m A. 2 B. 32- C. 32 D. 39. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧+≤-≥,1,1||2x y x y ，则y x z 3+=的最大值为 A. 9 B. 11 C. 12 D. 1610.若n xx )2(-的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线nx y =与曲线2x y =围成的封闭区域面积为 A.322 B. 12 C. 332 D. 36 11.已知圆P ：y y x 422=+及抛物线S ：y x 82=，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A 、B 、C 、D ，如果线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l 的斜率为A.22±B. 22C. 2±D. 212. 设函数)(x f 的定义域为D ，若)(x f 满足条件：存在],[b a ⊆D ，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[ba ，则称)(x f 为“倍缩函数”.若函数)2(log )(22t x f +=为“倍缩函数”，则t 的范围是A. )41,0(B. )1,0(C. ]21,0(D. ),41(+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分．13.已知等差数列{}n a 满足43=a ，2294=+a a ，则其前11项之和11S = .14.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆1022=+y x 内 有 个.15.正三角形ABC 的边长为32，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球的体积为 .16.设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有2)()(2x x f x x f >'+，则不等式0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分(12+12+12+12+12+10=70分)解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数)6sin()(πω-=x A x f （0>ω）相邻两个对称轴之间的距离是2π，且满足3)4(=πf . （Ⅰ）求)(x f 的单调递减区间；（Ⅱ）在钝角三角形ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，C B sin 3sin =，2=a ，1)(=A f ，求△ABC 的面积.18.（本小题满分12分）某市教育局为了了解高速学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100)得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（Ⅰ）已知学生甲盒学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，42==AD AB ，32=BD ，PD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若二面角D BC P --的大小为4π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线1l ：0532=+-x y x 相切，设点A 为圆上已动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )331(33-+=，设动点N 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数⎩⎨⎧>++-≤++-=1,1)1ln (,1,)(22x x x x a x c bx e x f x，函数)(x f 在0=x 处取得极值1.（Ⅰ）求实数b ，c 的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间]2,2[-上的最大值.本题10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACD 的角平分线，△ADC 的外接圆交BC 于点E ，AC AB 2=（Ⅰ）求证：AD BE 2=；（Ⅱ）当3=AC ，6=EC 时，求AD 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 233212（t 为参数）.（Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点)3,2(--P ，求||||PB PA ⋅的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数|3|)(a x x f -=（a ∈R ）.（Ⅰ）当1=a 时，解不等式|12|5)(-->x x f ；（Ⅱ）若存在0x ∈R ，使6)(00<+x x f 成立，求a 的取值范围.。
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2014年河南省郑州市高考理科数学三模试题及答案解析数学（理）试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一个符合题目要求． 1．复数24(1iz i i+=-为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A ．（3，3）B ．（一1，3）C （3，一1）D ．（2，4）2．已知集合A ．φB ．[1，2）C ．[1，5]D ．（2，5] 3．下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是4．5．如右图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面 A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三 角形，则该三棱柱的侧视图的面积为6．设函数()f x ）定义为如下数表，且对任意自然数n 均有x n+1=02014(),6,n f x x x =若则的值为A ．1B ．2C ．4D ．5A ．9B ．11C ．12D ．1610．若（2)nx x-的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx 与曲线y=x 2围成的封闭区域面积为A ．223B ．12C ．323D ．3611．已知圆P ：x 2+y 2=4y 及抛物线S ：x 2=8y ，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A ，B ，C ，D ，如果线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l 的斜率为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13--21题为必考题。
每个试题考生都必须作答．第22—24题为选考题。
考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
共20分． 13．已知等差数列{}n a 满足3494,22,a a a =+=则其前11项 之和S 11= ．14．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印 的点在圆x 2+y 2=10内有 个．15．正三角形ABC 的边长为AD 翻折，使点B与点C ABCD 的外接球的体积为 。
16．设函数()f x ）是定义在（一∞，0）上的可导函数，其导函数三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0)6f x A x πωω=->相邻两个对称轴之间的距离是号，且满足，()4f π=（I ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在钝角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，,2,()1C a f A ==,求△ABC 的面积。
18．（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l 组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有三名学生接受篮球项目的考核，求暑的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分12分）（I ）求曲线C 的方程， （Ⅱ）直线l 与直线l ，垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值． 21．（本小题满分12分）（I ）求实数b ，c 的值；（11）求()f x 在区间[-2，2]上的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ADC 的外 接圆交BC 于点E ，AB=2AC （I ）求证：BE=2AD ； （Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程（I ）写出直线l 和曲线C 的普通方程； （II ）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P （—2，—3），求|PA|·|PB|的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．已知函数()|3|,()f x x a a R =-∈（I ）当a=1时，解不等式()5|21|;f x x >--（1I ）若存在000,()6,x R f x x +<使成立，求a 的取值范围．2014年高中毕业年级第三次质量预测理科数学参考答案二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 110 14.3 15.61313π16. (),2016-∞- 三、解答题：本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （Ⅰ）由题意知周期π=T ，,2=∴ω 因为3)4(=πf ，所以2=A ， )62sin(2)(π-=x x f ，…………………3分由3222,(),262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ )(,653Z k k x k ∈+≤≤+∴ππππ，所以()f x 的单调递减区间为5[,],().36k k k Z ππππ++∈…………………6分 （Ⅱ）由题意c b 3=，1)62sin(2)(=-=πA A f , ,21)62sin(=-∴πA,26,611626πππππ或=∴<-<-A A因为△ABC 为钝角三角形，所以2π舍去，故6π=A ,…………………8分,233234,cos 22222222c c c c A bc c b a =⨯-+=∴-+= 所以,32,2==b c 32123221=⨯⨯⨯=∆ABC S .…………………12分 18. （Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A,第三组人数为30506.0100=⨯⨯，第四组人数为20504.0100=⨯⨯，第五组人数为10502.0100=⨯⨯， 根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…………………2分 第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则:11218220137().190C C P A C ⋅+== …………………5分 （Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0,1,2，3．且)3210()(36333、、、===-i C C C i P i i ξ，则随机变量ξ的分布列为:2203202201200=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .…………………12分 19.（Ⅰ）∵222.CD BC BD =+ ∴.BC BD ⊥又∵PD ⊥底面.ABCD ∴.PD BC ⊥又∵.PD BD D ⋂= ∴⊥BC 平面.PBD而⊂BC 平面,PBC ∴平面⊥PBC 平面.PBD …………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）所证，⊥BC 平面PBD ,所以∠PBD 即为二面角D BC P --的平面角，即∠PBD .4π=而32=BD，所以PD =因为底面ABCD 为平行四边形，所以DB DA ⊥,分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,32,2(-C ， )32,0,0(P , 所以，)32,0,2(-=，)0,0,2(-=，)32,32,0(-=,设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则0,0,n BC n BP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即20,0.a -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1=b 则(0,1,1),n =∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为.462432sin =⨯==θ…………………12分 20.（Ⅰ）设动点),(y x N ，),,(00y x A 因为x AM ⊥轴于M ，所以)0,(0x M ， 设圆1C 的方程为222r y x =+，由题意得34153=+=r ， 所以圆1C 的程为922=+y x . 由题意, )331(3-=，所以)0,)(331(),(33),(000x y x y x -+=，所以⎪⎩⎪⎨⎧==,33,00y y x x即00,.x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 将)3,(y x A 代入圆922=+y x ,得动点N 的轨迹方程221.93x y += （Ⅱ）由题意可设直线02:=++m y x l ，设直线l 与椭圆13922=+y x 交于),(),,(2211y x D y x B ， 联立方程222,39y x m x y =--⎧⎨+=⎩得093121322=-++m mx x ， 0)93(41314422>-⨯-=∆m m ，解得392<m ， 1331176261246812222,1m m m m x -±-=-±-=，又因为点O 到直线l 的距离5md =，12BD x x =-=13)39(313)3117(1331172552122222m m m m m m S OBD-=-=-⋅⋅=∆233≤.（当且仅当2239m m -=即 2392=m 时取到最大值） OBD ∆∴面积的最大值为233. 21. （I ）由题意当0=x 时，2,11)0(=∴=-=c c f ， 当1<x 时， b e x f x +-='22)(， 依题意得2,02)0(0=∴=+-='b b e f ， 经检验2,2b c =⎧⎨=⎩符合条件. ………………………………4分（Ⅱ）由（I ）知，2222,1,()(ln 1)1,1,x e x x f x a x x x x ⎧-++≤⎪=⎨-++>⎪⎩ ① 当12≤≤-x 时，2()22x f x e x =-++，22)(2+-='xe xf ， 令()0f x '=得0,x =当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：由上表可知()f x 在]1,2[-上的最大值为1. ………………………………7分② 当21≤<x 时,1)1ln ()(2++-=x x x a x f .)1ln 2()(-+='x x x a x f ， 令1ln 2)(-+=x x x x g ，当21≤<x 时，显然0)(>x g 恒成立， 当0<a 时，,0)1ln 2()(<-+='x x x a x f )(x f 在]2,1(单调递减， 所以1)1()(=<f x f 恒成立.此时函数在]2,2[-上的最大值为1； 当0=a 时，在]2,1(上1)(=x f ，当0a >时, 在]2,1(上,0)1ln 2()(>-+='x x x a x f 所以在]2,1(上，函数)(x f 为单调递增函数. ∴()f x 在]2,1(最大值为1)12ln 4(+-a ，11)12ln 4(>+-a ，故函数)(x f 在]2,2[-上最大值为1)12ln 4(+-a .综上：当0a ≤时，()f x 在]2,2[-上的最大值为1；当0a >时, ()f x 在]2,2[-最大值为1)12ln 4(+-a .………………………………12分 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（Ⅰ）连接DE ,因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠ 又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆,即有,CADEBA BE = 又因为AC AB 2=，可得,2DE BE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以DE AD =, 从而AD BE 2=；………………………………5分（Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =，则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅, 即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ， 解得23=t 或6-（舍去），则.23=AD ………………………10分23.（Ⅰ）θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=，所以θρθρρcos 4sin 42+=，所以04422=--+y x y x ，即8)2()2(22=-+-y x ；直线l 30.y -+=………………………………5分 （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入到圆C ：04422=--+y x y x ， 得033)354(2=++-t t ， 33,241340354,2121=∴-±+=∴t t t .因为点)3,2(--P 显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知PB PA =,3321=t t 所以33=PB PA .………………10分24、【解】（Ⅰ）当1=a 时，不等式()>x f 125--x 可化为5123>-+-x x ， 当21<x 时，不等式即,31,5213-<∴>-+-x x x 当321≤≤x 时，不等式即,3,5123>∴>-+-x x x 所以φ∈x ， 当3>x 时，不等式即3,5123>∴>-+-x x x ，综上所述不等式的解集为13.3x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或………………………………5分（Ⅱ）令23,3,()()33,3,x a x a g x f x x x a x a x a -≥⎧=+=-+=⎨<⎩所以函数x x f x g +=)()(最小值为a 3，根据题意可得63<a ，即2<a ，所以a 的取值范围为)2,(-∞.…… ………………10分。