2014年全国高考理科数学试卷及答案(大纲卷)

2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析

函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
【答案】D
【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,
而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称,
所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称.
设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y),
62
是
.
【答案】(-∞,2]
4
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π,π
62
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1 2
<
t
<
1
,
由题意知2×(-2)
≤
1 ,∴a≤2,
2
∴a 的取值范围为(-∞,2].
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝17．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e＝，即c＝2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，∴解得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，||F1F2|＝2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，在Rt△BEF中，则BF＝2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，故展开式中x2y2的系数为＝70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1＝13、a2为整数可得d＝﹣4，进而可得结论；（2）通过a n＝13﹣3n，分离分母可得b n＝（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1＝13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d＝﹣4，∴{a n}的通项为：a n＝17﹣4n；（2）∵a n＝17﹣4n，∴b n＝＝＝﹣（﹣），于是T n＝b1+b2+……+b n＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]＝﹣（﹣）＝．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）＝0.06P（X＝1）＝0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）＝0.25P（X＝4）＝P（A2•B•C）＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06＝0.38．故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n＝1时，由已知，故结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即，则当n＝k+1时，a n+1＝ln（a n+1）＞ln（），a k+1＝ln（a k+1）＜ln（），即当n＝k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝17．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e＝，即c＝2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，∴解得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，||F1F2|＝2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，在Rt△BEF中，则BF＝2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，故展开式中x2y2的系数为＝70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1＝13、a2为整数可得d＝﹣4，进而可得结论；（2）通过a n＝13﹣3n，分离分母可得b n＝（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1＝13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d＝﹣4，∴{a n}的通项为：a n＝17﹣4n；（2）∵a n＝17﹣4n，∴b n＝＝＝﹣（﹣），于是T n＝b1+b2+……+b n＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]＝﹣（﹣）＝．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）＝0.06P（X＝1）＝0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）＝0.25P（X＝4）＝P（A2•B•C）＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06＝0.38．故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n＝1时，由已知，故结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即，则当n＝k+1时，a n+1＝ln（a n+1）＞ln（），a k+1＝ln（a k+1）＜ln（），即当n＝k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。

2014年高考理科数学大纲卷-答案

【提示】利用圆的切线及其交点坐标求得夹角正切值
【考点】两直线的夹角与到角问题
16.【答案】
【解析】，令，则原函数为
∵ 时分减函数，则在上是减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为 ∴ ，解得：，
所以a的取值范围是
【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围
【考点】三角函数，单调函数
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
21.【答案】（1）
（2）或
【解析】（1）设，代入由中得，所以，，由题设得，解得（舍去）或
所以C的方程为
（2）依题意知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为，代入中得，
设，，则，，故AB的中点为，
，有直线的斜率为，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得 .设，，
3.【答案】C
【解析】，故有故选C
【提示】给出三个三角函数比较大小
【考点】三角函数的单调性
4.【答案】B
【解析】因为，所以即因为即又因为所以，即因为，所以，
【提示】给出约束条件求向量
【考点】向量的基本运算.
5.【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有种不同选法，从5名女医生种选出1名有种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有种不同选法
【解析】约束条件的可行域如图所示当目标函数过点A（1，1）时，取最大值
【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值
【考点】简单线性规划
15.【答案】
【解析】已知圆的圆心，半径，则与的距离为．

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)学生版

2014 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分）1．（5 分）（2014?纲领版）设z=，则z 的共轭复数为（）A．﹣ 1+3i B．﹣ 1﹣3i 2．（5 分）（2014?纲领版）设会合C．1+3i D．1﹣3iM={ x| x2﹣3x﹣4＜0} ，N={ x| 0≤x≤5} ，则M∩N=（）A．（0，4]B．[ 0，4）C．[ ﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5 分）（2014?纲领版）设 a=sin33 ，°b=cos55 °，c=tan35 ，°则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞ a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（纲领版）若向量、知足：|| =1，（ + ）⊥ ，（2 +）⊥ ，则| |= 2014?（）A．2B．C．1D．5．（ 5 分）（2014?纲领版）有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、 1名女医生构成一个医疗小组，则不一样的选法共有（）A．60 种B．70 种C．75 种D．150 种．（分）（纲领版）已知椭圆：+（＞＞）的左、右焦点为1、6 52014?C=1 a b 0FF2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△ AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（）A．+=1．+y2=1BC． +=1D．+=17．（ 5 分）（2014?纲领版）曲线 y=xe x﹣1在点（ 1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（ 5 分）（ 2014?纲领版）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5 分）（2014?纲领版）已知双曲线C 的离心率为，焦点为1、F2，点A在2FC 上，若 | F1A| =2| F2A| ，则 cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．10．（ 5 分）（2014?纲领版）等比数列 { a n} 中， a4=2， a5=5，则数列 { lga n} 的前 8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（ 5 分）（2014?纲领版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD? β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．12．（ 5B．分）（2014?纲领版）函数C．y=f（ x）的图象与函数D．y=g（x）的图象对于直线 x+y=0 对称，则y=f（ x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣ x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣ x）二、填空题( 本大题共 4 小题，每题 5 分)13．（ 5 分）（2014?纲领版）的睁开式中x2y2的系数为．（用数字作答）、知足拘束条件，则 z=x+4y 的最大14．（5 分）（ 2014?纲领版）设 x y值为．15．（ 5 分）（ 2014?纲领版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（ 1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（ 5 分）（2014?纲领版）若函数数，则 a 的取值范围是．f（ x） =cos2x+asinx 在区间（，）是减函三、解答题17．（ 10 分）（ 2014?纲领版）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B．18．（ 12 分）（ 2014?纲领版）等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a1=13，a2为整数，且 S n≤S4．（ 1）求 { a n } 的通项公式；（ 2）设 b n=，求数列 { b n} 的前 n 项和 T n．19．（ 12 分）（ 2014?纲领版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1 C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，∠ ACB=90°，BC=1，AC=CC ．1=2（Ⅰ）证明： AC ⊥A ；11B（Ⅱ）设直线 AA与平面 BCC的距离为，求二面角 A ﹣AB﹣ C 的大小．11B1120．（ 12 分）（2014?纲领版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设施的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人能否需使用设施互相独立．（Ⅰ）求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．21．（ 12 分）（ 2014?纲领版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 | QF| = | PQ| ．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、B 两点，若 AB的垂直均分线l 与′ C 订交于 M 、N 两点，且 A、M 、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．．（12分）（纲领版）函数f（）（）﹣（a＞ 1）．222014?x=ln x+1（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设 a1=1， a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈ N*）．。

2014高考真题理科数学(全国大纲版)

2014高考真题理科数学（全国大纲版）设，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案解析】D设集合，，则（）A．B．C．D．【答案解析】B设则（）A．B．C．D．【答案解析】C若向量满足：则（）A．2 B．C．1 D．【答案解析】B有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【答案解析】C已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案解析】A曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．B．C．2 D．1【答案解析】C正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案解析】A已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（）A．B．C．D．【答案解析】A等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案解析】C已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案解析】B.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（）A．B．C．D．【答案解析】D第Ⅱ卷（共90分）的展开式中的系数为.（用数字作答）【答案解析】70.设满足约束条件，则的最大值为.【答案解析】5.直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于.【答案解析】．若函数在区间是减函数，则的取值范围是.【答案解析】．（本小题满分10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求B.【答案解析】解：由题设和正弦定理得又．（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.【答案解析】解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.【答案解析】解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，面．作为垂足，则平面．又直线Ⅱ平面，因而为直线与平面的距离，．Ⅱ为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，Ⅱ二面角的大小为．解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．（I）设，由题设有则由得，即（Ⅱ）．于是．（II）设平面的法向量则即．故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入Ⅱ解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，Ⅱ二面角的大小为．（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.【答案解析】解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I），又（II）的可能取值为0，1，2，3，4．，Ⅱ数学期望（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且. （I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.【答案解析】解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，ⅡC的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．（本小题满分12分）函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.【答案解析】解：（I）的定义域为．（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．（i）当时，由已知，故结论成立；（ii）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．。

[历年真题]2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1．（5分）设z=,则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（）A．（0,4]B．[0,4）C．[﹣1,0）D．（﹣1,0]3．（5分）设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）若向量、满足:||=1,（+）⊥,（2+）⊥,则||=（）A．2 B．C．1 D．5．（5分）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．10．（5分）等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．311．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（,）是减函数,则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=,求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望．21．（12分）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1,a n+1=ln（a n+1）,证明:＜a n≤．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z=,则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求．【解答】解:∵z==,∴．故选:D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（）A．（0,4]B．[0,4）C．[﹣1,0）D．（﹣1,0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解．【解答】解:由x2﹣3x﹣4＜0,得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4},又N={x|0≤x≤5},∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4）．故选:B．【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b=sin35°,易得b＞a,c=tan35°=＞sin35°,综合可得．【解答】解:由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°,由正弦函数的单调性可知b＞a,而c=tan35°=＞sin35°=b,∴c＞b＞a故选:C【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足:||=1,（+）⊥,（2+）⊥,则||=（）A．2 B．C．1 D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得（+）•=0,（2+）•=0,由此求得||．【解答】解:由题意可得,（+）•=+=1+=0,∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0,∴b2=2,则||=,故选:B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有15×5=75种；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程．【解答】解:∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C的方程为+=1．故选:A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解:函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1,当x=1时,f′（1）=2,即曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率k=f′（1）=2,故选:C．【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积．【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=（4﹣R）2+（）2,∴R=,∴球的表面积为4π•（）2=．故选:A．【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C 上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解:∵双曲线C的离心率为2,∴e=,即c=2a,点A在双曲线上,则|F1A|﹣|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选:A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解:∵数列{a n}是等比数列,a4=2,a5=5,∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选:C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD ⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案．【解答】解:如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中,设AE=a,则AB=2a,BE=a,在Rt△AEF中,则EF=a,AF=a,在Rt△BEF中,则BF=2a,∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,∴cos∠BAF===．故选:B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【分析】设P（x,y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′（y,x）一点在y=f（x）的图象上,P′（y,x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x,﹣y）在y=g（x）图象上,代入解析式变形可得．【解答】解:设P（x,y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′（y,x）一点在y=f（x）的图象上,又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,∴P′（y,x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x,﹣y）在y=g（x）图象上,∴必有﹣y=g（﹣x）,即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为:y=﹣g（﹣x）故选:D【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解:的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r••=•（﹣1）r••,令8﹣=﹣4=2,求得r=4,故展开式中x2y2的系数为=70,故答案为:70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C（1,1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得．由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为:5．【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ=,计算求得结果．【解答】解:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA==,圆的半径为r=,∴sinθ==,∴cosθ=,tanθ==,∴tan2θ===,故答案为:．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（,）是减函数,则a的取值范围是（﹣∞,2] ．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t=sinx换元,根据给出的x的范围求出t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解:由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1,令t=sinx,则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（,）时f（x）为减函数,则y=﹣2t2+at+1在t∈（,1）上为减函数,∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下,且对称轴方程为t=．∴,解得:a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞,2]．故答案为:（﹣∞,2]．【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．【解答】解:∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1,∵B∈（0,π）,∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=,求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由题意得a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,解得d=﹣3,即可写出通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列和即可．【解答】解:（Ⅰ）由a1=10,a2为整数,且S n≤S4得s3≤s4,s5≤s4,即s4﹣s3≥0,s5﹣s4≤0,∴a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,解得﹣≤d≤﹣,∴d=﹣3,∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）∵b n==（﹣）=﹣（﹣）,∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法,考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力,属中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,解三角形由反三角函数可得．【解答】解:（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,由AD==1可知D为AC中点,∴DF==,∴tan∠A1FD==,∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望．【分析】记A i表示事件:同一工作日乙丙需要使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需要设备,C表示事件,丁需要设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PX i,再利用数学期望公式计算即可．【解答】解:由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3,4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06,P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25,P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p的值,可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0）,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程．【解答】解:（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px （p＞0）,可得x0=,∵点P（0,4）,∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,∴+=×,求得p=2,或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F（1,0）,设l的方程为x=my+1（m≠0）,代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16＞0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1,2m）,弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3,）,∴|MN|=|y3﹣y4|=,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,∴+DE2=MN2,∴4（m2+1）2 ++=×,化简可得m2﹣1=0,∴m=±1,∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0,或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1,a n+1=ln（a n+1）,证明:＜a n≤．【分析】（Ⅰ）求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1,+∞）,f′（x）=,①当1＜a＜2时,若x∈（﹣1,a2﹣2a）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,a2﹣2a）上是增函数,若x∈（a2﹣2a,0）,则f′（x）＜0,此时函数f（x）在（a2﹣2a,0）上是减函数,若x∈（0,+∞）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（0,+∞）上是增函数．②当a=2时,f′（x）≥0,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,③当a＞2时,若x∈（﹣1,0）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,0）上是增函数,若x∈（0,a2﹣2a）,则f′（x）＜0,此时函数f（x）在（0,a2﹣2a）上是减函数,若x∈（a2﹣2a,+∞）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（a2﹣2a,+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当a=2时,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,当x∈（0,+∞）时,f（x）＞f（0）=0,即ln（x+1）＞,（x＞0）,又由（Ⅰ）知,当a=3时,f（x）在（0,3）上是减函数,当x∈（0,3）时,f（x）＜f（0）=0,ln（x+1）＜,下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立,①当n=1时,由已知,故结论成立．②假设当n=k时结论成立,即,=ln（a n+1）＞ln（）,则当n=k+1时,a n+1a n+1=ln（a n+1）＜ln（）,即当n=k+1时,成立,综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123；lincy；caoqz；danbo7801；刘长柏；maths；沂蒙松；whgcn；liu老师（排名不分先后）菁优网2017年3月24日。