2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

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2014年高考全国2卷文科数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人

得分

一、选择题（题型注释）

1．设集合2

{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}-

2．

131i

i

+=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --

3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件

B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ

ρ，则=?b a ρρ（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ．

(1)2n n + D ．(1)

2

n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件

由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ）

A ．

2717 B ．95 C ．2710 D ．3

1

7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为

（A ）3 （B ）

3

2

（C ）1 （D 3

D 1

1

A

B 1

8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

9．设x ，y 满足约束条件10,

10,330,x y x y x y +-≥??

--≤??-+≥?

则2z x y =+的最大值为（ ）

（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1

10．设F 为抛物线2

:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30?的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）

（A ）

30

3

（B ）6 （C ）12 （D ）311．若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞

12．设点()0,1M x ，若在圆2

2

:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=?，则0x 的取值范围是（ ）

（A ）[]1,1-- （B ）11,22??-

???? （C ）2,2?-? （D ）22????

第II 卷（非选择题）

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二、填空题（题型注释）

13．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．

14．函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为________．

15．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________．

16．数列}{n a 满足2,11

81=-=

+a a a n

n ，则=1a ________． 评卷人 得分

三、解答题（题型注释）

17．四边形ABCD 的内角A 和C 互补，2,3,1====DA CD BC AB ． （1）求C 和BD ；

（

2）求四边形ABCD 的面积．

18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点． （1）证明：PB //平面AEC ；

（2）设1,3AP AD ==P ABD -的体积3

V =

A 到平面PBC 的距离． A C

P

E

19．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优．

20．设12,F F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 和x 轴垂直，

直线1MF 和C 的另一个交点为N ．

（1）若直线MN 的斜率为

3

4

，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN

F N =，求,a b ．

21．已知函数3

2

()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线和x 轴交点的横坐标

为2-．

（1）求a ； （2）证明：当1k

<时，曲线()y f x =和直线2y kx =-只有一个交点．

22．如图，P 是O e

外一点，PA 是切线，A 为切点，

割线PBC 和O e 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E ．证明：

（1）BE

EC =；

（2）22AD DE

PB ?=

B

O P

A

C

D

E

23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,

]2

π

ρθθ=∈．

（1）求C 得参数方程；

（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线和直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标． 24．设函数1

()||||(0)f x x x a a a

=+

+-> （1）证明：()2f x ≥；

（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．

参考答案

1．B 【分析】

试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =I ，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【分析】

试题分析：由已知得，

131i i

+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i

i ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算． 3．C 【分析】

试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'

0()0f x =，则0x x =不一

定是极值点，例如3

()f x x =，当0x =时，'

(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的

必要条件，但不是q 的充分条件，选C ． 考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【分析】

试题分析：由已知得，22210a a b b +?+=r r r r ，22

26a a b b -?+=r r r r ，两式相减得，44a b ?=r r ，

故1a b ?=r r

．

考点：向量的数量积运算． 5．A 【分析】

试题分析：由已知得，2

428a a a =?，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故

2222(2)(6)a d a a d +=?+，22(4)a +22(12)a a =?+，解得24a =，所以2(2)n a a n d

=+-2n =，故1()

(n 1)2

n n n a a S n +=

=+． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【分析】

试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ??+??=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ??=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为2010

5427

ππ=

． 考点：三视图． 7．C 【分析】

试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ?是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =I ，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111

33133

A B DC B DC V S AD -?=

?==． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【分析】

试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；

2,5,2M S k ===；

2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．

考点：程序框图．

【分析】

试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122

z

y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-

+的纵截距最大，故只需将直线1

2

y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．

10

330

x y x y --=??

-+=?，得(3,2)A ，所以max z 3227=+?=． x

y x-3y+3=0x+y-1=0

x-y-1=0–1–2–3–4123

4–1

–2–3–4

1

234A

O

考点：线性规划． 10．C 【分析】

试题分析：由题意，得3(,0)4

F ．又因为0

3

k tan 30==

，故直线AB 的方程为33

y )4

=

-，和抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=

1683

12162

+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D

试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x

≥，因为1x >，所以1

01x

<

<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性． 12．A 【分析】

试题分析：依题意，直线MN 和圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ?中，因为OMA ∠045=，故

02sin 452

OA OM ==

1≤，所以2OM ≤2

012x +≤，解得011x -≤≤． x

y

A

1

1

O

M

N

考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系． 13．

13

【分析】

试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为31

93

P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．

【分析】

试题分析：由已知得，

()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ???

=+-sin cos cos sin x x ??=-sin()x ?=-

1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为1．

考点：1、两角和和差的正弦公式；2、三角函数的性质． 15．3 【分析】

试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．

考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性． 16．

1

2

． 【分析】

试题分析：由已知得，1

11n n a a +=-

，82a =，所以781112a a =-

=，671

11a a =-=-，56

1

12a a =-

=， 451112a a =-

=，34111a a =-=-，23

112a a =-=，121112a a =-=． 考点：数列的递推公式． 17．（1）0C 60=，7BD =（2）23

【分析】

试题分析：（1）连接BD ．在ABD ?和CBD ?中，利用余弦定理列等式

2222BD BC CD BC =+-

cos CD C ?和2222cos BD AB DA AB DA A =+-?，且cos cos C A =-，代入数据得1312cos C -=

54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和BD 的值；

（2）由（1）知ABD ?和CBD ?的面积可求，故四边形ABCD 等于ABD ?和CBD ?的面积．

（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-?1312cos C =-．①

2222cos BD AB DA AB DA A =+-?54cosC =+．②

由①②得1

cosC 2

=

，故0C 60=，7BD = （2）四

边

形

ABCD 的面积11

sin sin 22

S AB DA A BC CD C =

?+?011

(1232)sin 6022S =??+??

23=．

考点：1、余弦定理；2、诱导公式；3、三角形的面积公式．

18．（1）详见分析；（2313

【分析】

试题分析：（1）证明直线和平面平行往往可以采取两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，即证明直线和平面内的一条直线平行；②利用面面平行的性质定理，即若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线和另外一个平面平行．本题设BD 和AC 交于点O ，连接EO ．则//EO PB ，进而证明PB //平面AEC ．（2）由三棱锥P ABD -的体积3

V =可求得3

=

2

AB ，易证明面PBC ⊥面PAB ，则在面PAB 内作AH PB ⊥交PB 于H ，由面面垂直的性质定理得AH ⊥平面PBC ．在PAB ?中求AH ．

（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以//EO PB ．且EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，所以PB //平面

AEC ．

（2）

13=66V PA AB AD AB ??=．由3V =可得3

=2AB ．作AH PB ⊥交PB 于H ．由题设知BC ⊥平面PAB ．所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ．又=

PA AB

AH PB

?313．所以A 到平面PBC 313

O

A

C

P

E

H

考点：1、直线和平面平行的判定；2、点到平面的距离．

19．（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）0.1,0.16；（3）详见分析．

【分析】试题分析：（1）把数从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数 ；正中间如果是两个数，那中位数是这两个数的平均数．本题有50位市民，故市民对甲、乙两部门评分正中间有两个数，求平均数即得中位数的估计值；（2）50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为

58

=0.1,=0.165050

，以样本的频率值估计总体的概率；

（3）样本平均数、众数、中位数、方差都是样本的数字特征，通过对这些样本数字特征的分析可以从各个方面对总体作出评价．

（1）由所给茎叶图知，50位市民对这甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75．50位市民对这乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为

66+68

=672

，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67． （2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为

58

=0.1,=0.165050，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16．

（3）由所给茎叶图知，该市的市民对甲部门评分的中位数高于对乙部门评分的中位数，而且由所给茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市的市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．（考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分） 考点：1、样本的数字特征；2、频率和概率的关系． 20．（1）1

2

；（2）7,7a b ==【分析】

试题分析：（1）由已知得2(c,)b M a ，故直线MN 的斜率为2

3(c)4

b a k

c ==--，结合222b a c =-得关于,a c 的方程，解方程得离心率的值；

（2）依题意，直线MN 和y 轴的交点是线段1MF 的中点．故2

4b a

=，① 又因为1||5||MN

F N =，得112F D F N =，从而得三个点1,,D F N 坐标的关系，将点N

的坐标表示出来代入椭圆方程的，得另一个关于,a b 的方程并联立方程①求,a b 即可．

（1）根据2

2

c a b -2

(c,)b M a

，22b 3ac =．将222b a c =-代入22b 3ac =，

解得

12

c a =， 2c a =-（舍去）

．故C 的离心率为1

2

． （2）由题意，原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 和y 轴的交点(0,2)D 是

线段1MF 的中点．故2

4b a

=，即2b 4a =．①由1||5||MN F N =得112F D F N =．设

11(x ,y )N ，由题意得，1y 0<，则112(c )c,2y 2,x --=??-=?即113,

21,x c y ?

=-???=-?代入C 的方程，得

2229114c a b

+=，②将①及22

c a b =- 22

9(a 4a)1

144a a

-+=．解得7a =，2428b a ==，故7,27a b == 考点：椭圆的标准方程和简单几何性质；2、中点坐标公式． 21．（1）1a =；（2）详见分析． 【分析】

试题分析：（1）2

'(x)3x 6x a f =-+，由导数的几何意义得'(0)k f a ==，故切线方程为y 2ax =+，将点-2,0（）代入求a ；（2）曲线()y f x =和直线2y kx =-只有一个交点转化为函数3

2

()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明和x 轴只有一个交点．本题首先入手点为1k

<，

当0x ≤时，'()0g x >，且g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．只需说明当0x >时无根即可，因为(1k)x 0->，故只需说明

32()340h x x x =-+>，进而转化为求函数()h x 的最小值问题处理．

（1）2

'(x)3x 6x a f =-+，'(0)f a =．曲线

()y f x =在点(0,2)处的切线方程为

y 2ax =+．由题设得，2

2a

-

=-，所以1a =． （2）由（1）得，3

2

()32f x x x x =-++．设3

2

()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+．由题设得1k 0->．当0x ≤时，2

'()3610g x x x k =-+->，g()x 单调递增，

g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．当0x >时，令

32()34h x x x =-+，则()()(1k)x ()g x h x h x =+->．2'()3x h x =-63(x 2)x x =-，()

h x 在(0,2)单调递减；在(2,)+∞单调递增．所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在

(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =和直线2

y kx =-只有一个交点．

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值． 22．（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】

试题分析：（1）要证明BE EC =，只需证明弦BE EC ，所对的圆周角相等，连接,AB AC ，故只需证明=DAC BAD ∠∠．由PA PD =得PAD PDA ∠=∠，为了和所求证的角建立联系=PDA DAC DCA ∠∠+∠，=PAD ∠BAD PAD ∠+∠，从而可证明=DAC BAD ∠∠，进而证明BE EC =；

（2）由结论很容易想到相交弦定理AD DE BD DC ?=?，故只需证明22PB BD DC =?，由切割线定理得2PA PB PC =?，且PA PD DC ==易证．

（1）连接,AB AC ．由题设知，PA PD =,故PAD PDA ∠=∠．因为

=PDA DAC DCA ∠∠+∠,=PAD ∠BAD PAD ∠+∠,=DCA PAB ∠∠,所以

=DAC BAD ∠∠，从而?BE

=?EC ．因此BE EC =． （2）由切割线定理得2PA PB PC =?．因为PA PD DC ==,所以2,DC PB BD PB ==，由相交弦定理得AD DE BD DC ?=?，所以22AD DE

PB ?=．

B

O P

A

C

D

E

考点：1、圆的切割线定理；2、相交弦定理．

23．（1）1cos ,sin ,x t y t =+??=?

（t 为参数，0t π≤≤）；（2）33

(2． 【分析】

试题分析：（1）由2cos ,[0,

]2

π

ρθθ=∈两边平方，且结合222x y ρ+=和cos x ρθ=得半

圆C 的直角坐标方程为2

2

(1)1(01)x y y -+=≤≤，进而写出C 的参数方程；（2）利用C 的参数方程设(1cost,sint)D +，由圆的切线的性质得//GD l ，故直线GD 和l 的斜率相同，根据斜率列方程得tan 3,3

t t π

==

，从而点D 的直角坐标可求．

（1）C 的普通方程为2

2

(1)1(01)x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos ,

sin ,x t y t =+??=?

（t

为参数，0t π≤≤）．

（2）设(1cost,sint)D +．由（1）知，C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线和l 垂直，所以直线GD 和l 的斜率相同．tan 3,3

t t π

==

．故D 的直角

坐标为(1cos

,sin )33

π

π

+，即33(2．

考点：1、圆的极坐标方程和参数方程；2、两条直线的位置关系．

24．（1）详见分析；（2）15521++． 【分析】

试题分析：（1）由绝对值三角不等式得11()()f x x x a x x a a a =+

+-≥+--1

a a

=+，由0a >结合基本不等式得

1

2a a

+≥，故()2f x ≥；

（2）由(3)5f <，得关于a 的不等式1

335a a

+

+-<(0)a >，去绝对号解不等式即可．

（1）由0a >，有11()()f x x x a x x a a a =+

+-≥+--1

2a a

=+≥，所以()2f x ≥． （2）1(3)33f a a =+

+-．当a 3>时，1

(3)f a a

=+，由(3)5f <得52132a +<<

． 当03a <≤时，1

(3)6f a a

=-+

，由(3)5f <153a +<≤．综上，a 的取值范围是15521

2

++．

考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法．