江苏省徐州市建平中学高一数学《不等关系(1)》导学案
高中数学第三章不等式§31不等关系导学案苏教版必修
§3.1不等关系 第 21 课时一、学习目标 了解不等关系和不等式，掌握不等式的性质，会用不等式的性质解决一些简单的问题。
二、学法指导１．实数的运算性质与大小顺序关系是不等式这一章的理论基础；是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。
２．比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号。
3．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用。
三、课前预习1．现实世界中存在着相等关系，同时也存在着 关系，因此，我们需要研究下列问题：（１）如何用不等式表示不等关系？（２）不等式有哪些性质？２．实数a 与b 的大小顺序与实数的运算性质之间的关系： 设,,0a b R ∈⇔则a-b ＞ ；0⇔a-b=0⇔a-b ＜ 。
３．常用不等式的性质：（１）,a b b c ⇒＞＞ ； （２）a b a c ⇒+＞ b c +； （３）,0a b c ac ⇒＞＞ bc ：（４）,0a b c ac ⇒＞＜ bc ： （５）,a b c d a c ⇒+＞＞ b d +；（６）0,0a b c d ac ⇒＞＞＞＞ bd ；（７）0,,1n a b n N n a ∈⇒＞＞＞n b。
四、课堂探究书Ｐ６５引例表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系.五、例题分析例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．例3．比较大小：(1)(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；(2)a mb m ++与a b （其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．六、巩固训练（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．七、课堂回顾与作业。
《不等关系》导学案 2022年最新word版
2.1 不等关系学习目标：1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史开展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.学习重点：用不等关系解决实际问题.学习难点：正确理解题意列出不等式.预习作业：请同学们预习作业教材P2-4的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题：1.不等式的概念：一般地，用符号“＜〞〔或≤〕，“＞〞〔或≥〕连接的式子叫做______________ 2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________例1、用不等式表示〔1〕a是正数；〔2〕a是负数；〔3〕a与6的和小于5；〔4〕x与2的差小于－1；〔5〕x的4倍大于7；〔6〕y的一半小于3.变式训练：1、用适当的符号表示以下关系：(1) a是非负数；〔2〕直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；〔3〕 X与17的和比它的5倍小。
2.〔1〕当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？〔2〕当x=1.5时，成立吗？〔3〕当x=－1呢？活动与探究：a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜〞或“＞〞号填空：〔1〕a__________b;〔2〕|a|__________|b|;〔3〕a+b__________0;〔4〕a－b__________0;〔5〕a+b__________a－b;〔6〕ab__________a拓展训练：1.某校两名教师带假设干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
数学《不等关系》教案
一、教学目标1. 让学生理解不等关系的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等关系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 不等关系的概念：介绍大于、小于、大于等于、小于等于等基本不等关系。
2. 不等式的基本性质：介绍不等式的加减乘除运算规则，以及不等式两边加减乘除同一个数的性质。
3. 不等式的解法：介绍解一元一次不等式、一元二次不等式的方法。
4. 不等关系在实际问题中的应用：举例讲解如何用不等关系解决生活中的问题。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考问题，探索不等关系的本质。
2. 利用实例讲解，让学生直观地理解不等关系在实际问题中的应用。
3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4. 利用数形结合法，让学生直观地理解不等式的作用。
四、教学准备1. 准备相关教学PPT，包括不等关系的基本概念、不等式的基本性质、不等式的解法等。
2. 准备实际问题案例，用于讲解不等关系在实际问题中的应用。
3. 准备练习题，用于巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过讲解实际问题，引出不等关系的概念。
2. 讲解不等关系的概念：介绍大于、小于、大于等于、小于等于等基本不等关系。
3. 讲解不等式的基本性质：通过示例，讲解不等式的加减乘除运算规则，以及不等式两边加减乘除同一个数的性质。
4. 讲解不等式的解法：介绍解一元一次不等式、一元二次不等式的方法。
5. 应用不等关系解决实际问题：通过实例，讲解不等关系在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
7. 总结与反思：对本节课所学知识进行总结，引导学生思考不等关系在生活中的重要性。
8. 布置作业：布置相关练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对不等关系概念和基本性质的理解程度。
2. 课后作业：审阅学生提交的课后作业，评估他们对不等式解法的掌握情况。
高中数学 第3章 不等式 第一节 不等关系学案 苏教版必修5
不等关系二、重难点提示重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
考点一：不等关系概念：表达不等关系的式子叫做不等式，常用“<”“>”“≤”“ ≥” “ ≠”表示不等关系。
考点二：不等式的性质① 对称性：a b b a >⇔<② 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭ ③ 加法性质：a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭④ 同向相加：a b a c b d cd >⎫⇒+>+⎬>⎭⑤ 乘法性质：0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭；0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭⑥ 正数同向乘：00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⑦ 正数乘方：*0n na b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ ⑧ 正数开方：*0a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭【要点诠释】不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性。
运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。
如性质“0(,1)nna b a b n Z n >>⇒>∈>”成立的条件是“n 是大于1的整数，0a b >>”，假如去掉“0b >”这个条件，取3,4,2a b n ==-=，那么就会出现“223(4)>-”，即“916>”的错误结论，类似的反例不胜枚举。
考点三：比较两数（式）大小的方法——作差比较法（1）实数比较大小的依据是： ① a －b ＞0⇔a ＞b ； ② a －b ＝0⇔a ＝b ； ③ a －b ＜0⇔a ＜b 。
不等关系复习导学案
不等关系复习导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.●重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.●方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式ab≤2ba(a>0,b>0)和a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.§1等关系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“≥”、“≤”、“≠”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.对于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.3.不等关系与不等式的异同不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即a∈R⇔a2≥0.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.2.实数比较大小的依据在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a与b之间具有以下性质：如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b是负数，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b.反之也成立，就是a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.3.实数比较大小的方法（1）比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a-b的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理（配方，分解因式、分类讨论）→判断差的符号→得出结论.注意：（1）在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a 和b ，在a=b ， a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.四、不等式的性质1.不等式的性质 （1）a>b ⇔b<a . (2)a>b,b>c ⇔a>c . (3)a>b ⇔a+c>b+c .推论 a>b,c>d ⇔a+c>b +d .(4)a>b ,c >0⇔ac>bc ;a>b,c <0⇔ac<bc .推论1 a>b >0,c>d >0⇔ac>bd ;推论2 a>b,ab >0⇔a 1<b1;推论3 a>b >0⇔a n >b n (n ∈N ＋,且n >1). (5)a>b >0⇔n a >n b (n ∈N ＋,且n >1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用 表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,b ∈R ，则a-b >0⇔ ;a-b =0⇔ ;a-b <0⇔ .3.不等式的基本性质(1)a>b,b>c ⇒ ;(2)a>b,c >0⇒ ; (3)a>b,c <0⇒ ;(4)a>b,c>d ⇒ ;(5)a>b >0,c>d >0⇒ ;(6)a>b >0,n ∈N +,n >1⇒ . ［答案］ 1.不等号 2.a>b a=b a<b3.(1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc (4)a+c>b+d (5)ac>bd (6)a n >b n , n a >n b思路方法技巧命题方向 比较大小［例1］ 已知x <1,比较x3-1与2x 2-2x 的大小. ［分析］ 作差→因式分解变形→判断符号 ［解析］ x 3-1-(2x 2-2x )=x 3-2x 2+2x -1=(x 3-x 2)-(x 2-2x +1)=x 2(x -1)-(x -1) 2 =(x -1)(x 2-x +1) =(x -1)（x -21）2+43∵x <1,∴x -1<0.又∵（x -21）2+43>0,∴(x -1)［（x -21）2＋43］<0,∴x 3-1<2x 2-2x .［说明］ 1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分2.变形的方法对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论〖JB)〗变式应用1设p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件.［解析］P-Q＝a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2)2∵P>Q,∴(ab-1) 2+(a+2) 2>0∴ab≠1或a≠-2.故实数a、b应满足的条件是ab≠1或a≠-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系［例2］某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？［分析］ 利用提价后的价格x 表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.［解析］ 杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 （8-2.05.2-x ×0.2）x 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-2.05.2-x ×0.2）x ≥20.［说明］ 决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可. 变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g ，5g ，10g ，已知每天可用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.［解析］ 每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，则x 、y 应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g ； （2）咖啡的总使用量不大于2000g ；（3）糖的总使用量不大于3000g ； （4）x,y 为自然数.∴x,y 满足不等式组：9x +4y ≤3600, 4x +5y ≤2000,3x +10y ≤3000,x ∈N ,y ∈N .命题方向 不等式性质的简单应用［例3］ 对于实数a 、b 、c ，有下列命题①若a ＞b ,则ac ＜bc ; ②若ac 2>bc 2,则a>b ;③若a<b <0,则a 2>ab>b 2; ④若c>a>b >0;则a c a ->bc b -;⑤若a>b ,a 1>b1,则a >0,b <0.其中真命题的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5 ［答案］ C［解析］ ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac 2>bc 2知c ≠0, 所以c 2>0,所以a>b , 故该命题是真命题.a<ba<b③ a ２>ab, ab >b 2.所以a 2>ab>b 2故该命题为真命题.a <0b<0④a>b ⇒-a <-b ⇒c-a<c-b .因为c>a ,所以c-a >0.所以0<c-a<c-b .两边同乘以()()b c a c --1,得a c -1>bc -1>0.又因为a>b >0,所以a c a ->bc b -.故该命题为真命题. ⑤a>b ⇒a-b >0, a 1> b 1⇒a 1－b 1>０⇒ab ab ->０.因为a-b >0,所以b-a <0.所以ab <0. 又因为a>b ,所以a >0,b <0,故该命题为真命题.综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.［说明］ 通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定. 变式应用3判断下列各题的对错.（1）bca c <且c >0⇒a>b （ ） （2）a>b 且c>d ⇒ac>bd （ ） （3）a>b >0且c>d >0⇒cb b a >（ ） （4）⇒>22c bc a a>b （ ） ［答案］ × × √ √bc a c < ［解析］ （1） ⇒a 1<b1 ｃ>０当a <0,b >0时，此式成立， 推不出a>b ，∴(1)错；（2）当a =3,b =1,c =-2,d =-3时，命题显然不成立，∴（2）错；a>b>0 （3）c>d>0⇒d a >cb>0⇒c b d a >成立.∴(3)对；（4）显然c 2>0,∴两边同乘以c 2,得a>b .∴(4)对.探索延拓创新命题方向 应用不等式的性质讨论范围［例4］ 已知：-2π≤α<β≤2π，求2βα+，2βα-的范围.［分析］ 已知的不等式相当于-2π≤α≤2π-2π≤β≤2π α<β，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.［解析］ ∵-2π≤α<β≤2π， ∴-2π≤α<2π①, -2π<β≤2π②， ∴①+②得-π<α+β<π∴-2π<2βα+<2π.由②得-2π≤-β<2π， ④①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-2π≤2βα-<0.变式应用4已知12<a <60,15<b <36，求a-b 及ba的取值范围. ［解析］ 欲求a-b 的范围,应先求-b 的范围,欲求b a 的范围,应先求b1的范围,再利用不等式性质求解.∵15<b <36, ∴-36<-b <-15.∴12-36<a-b <60-15 ∴-24<a-b <45.又361<b 1<151, ∴15603612<<b a , ∴431<<ba. 名师辨误做答［例5］ 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a -2b 的范围. ［误解］ ∵1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3, ∴0≤a ≤4.又∵1≤a+b ≤5,-3≤-(a-b )≤1， ∴-1≤b ≤3.∵0≤a ≤4,-1≤b ≤3, ∴0≤3a ≤12,-6≤-2b ≤2,∴-6≤3a -2b ≤14.［辨析］ 在误解中，由已知条件推出不等式-6≤3a -2b ≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a+b ≤5与-1≤a-b ≤3,得到0≤a ≤4,-1≤b ≤3,但这并不意味着a 与b 可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a =4,b =3时，a+b =7，就已超出题设条件1≤a+b ≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.［正解］ 设a+b=u,a-b=v , 则a =2v u +,b=2vu -, 且1≤u ≤5,-1≤v ≤3.∴3a -2b =21u +25v , ∵21≤2u ≤25，-25≤25v ≤215,∴-2≤2u +25v≤10，即-2≤3a -2b ≤10.课堂巩固训练一、选择题 1.下列不等式： ①x 2+3>2x (x ∈R ); ②a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a,b ∈R );③a 2+b 2≥2（a-b -1）中正确的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］ 对于①，x 2+3-2x =(x -1) 2+2>0恒成立，对于②，a 3+b 3-a 2b -ab 2=a 2(a-b )+b 2(b-a )=(a-b )(a 2-b 2)=(a-b ) 2(a+b ), ∵a 、b ∈R ,∴(a-b ) 2≥0，而a+b >0,或a+b =0,或a+b <0,故②不正确,对于③，a 2+b 2-2a +2b +2=a 2-2a +1+b 2+2b +1=(a -1) 2+(b +1) 2≥0，∴③正确，故选C.2.设x<a <0，则下列各不等式一定成立的是（ ） A. x 2<ax <a 2B. x 2>ax >a 2C. x 2<a 2<axD. x 2>a 2>ax ［答案］ Bx ＜a ＜0 x 2＞ax［解析］ x ＜0 ⇒ ⇒ x 2＞ax ＞a 2.a ＜0 ax ＞a 23.若x>y 与x 1>y1同时成立，则（ ） A. x >0,y >0 B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <0 ［答案］ B［解析］ ∵由x ＞y 推出x 1>y1，需满足xy ＜0.又x ＞y ，∴x ＞0,y ＜0.二、填空题4.已知x ≤1，f (x )=3x 3,g (x )=3x 2-x +1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x ) g (x ).［答案］ ≤［解析］ f (x )-g (x )=3x 3-(3x 2-x +1) =(3x 3-3x 2)+(x -1) =3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1),∵x ≤1得x -1≤0，而3x 2+1>0,∴(3x 2+1)(x -1)≤0， ∴3x 3≤3x 2-x +1.∴f (x )≤g (x ).5.已知60<x <84,28<y <33,则x-y 的取值范围为 ，yx的取值范围为 .［答案］ (27,56) (1120,3) ［解析］ ∵28<y <33, ∴-33<-y <-28,又∵60<x <84, ∴27<x-y <56.由28<y <33得2811331<<y ,即31120<<yx. 三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？［解析］ 设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2=ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业一、选择题1.已知a,b,c,d 均为实数，有下列命题：（ ） ①若ab ＜0,bc-ad ＞0,则0>-bda c ;②若ab ＞0,0>-b da c ,则bc-ad ＞0; ③若bc-ad ＞0, 0>-b da c ，则ab ＞0.其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 ［答案］ C［解析］ ①∵ab ＜0,∴ab1＜0, 又∵bc-ab ＞0,∴ab 1·（bc-ad ）＜0即0<-bda c , ∴①错；②∵ab ＞0, 0>-bda c , ∴ab (bda c -)＞0,即：bc-ab ＞0, ∴②正确； ③∵0>-b d a c ,∴abadbc -＞0， 又∵bc-ad ＞0,∴ab ＞0,∴③正确.2.已知P ＝112++a a ,Q =a 2-a +1,则P 、Q 的大小关系为（ ） A.P>Q B.P<Q C.P ≤Q D.无法确定 ［答案］ C ［解析］ P-Q ＝112++a a -a 2+a -1=1112223234++---+++---a a a a a a a a a a=()111222224+++-=++--a a a a a a a a ,∵a 2+a +1=(a +21)2+43>0,-a 2(a 2+1)≤0， ∴()11222+++-a a a a ≤0，∴P ≤Q .3.(2011·陕西文，3)设0<a<b ,则下列不等式中正确的是（ ）A.a<b <ab <2ba + B.a <ab <2ba +<bC.a <ab <b <2ba +D. ab <a <2ba +<b［答案］ B ［解析］∵0<a<b , ∴a <2ba +<b , 故A 、C 错误；ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a =1,b =4,易知选B. 4.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则（ ）A.a 2>b 2B.a b<1 C.lg(a-b )>0 D.( 21)a <(21)b［答案］ D［解析］ a >b 并不保证a 、b 均为正数，从而不能保证A 、B 成立.又a>b ⇒a-b >0,但不能保证a-b >1,从而不能保证C 成立，显然只有D 成立.事实上，指数函数y =(21)x 在x ∈R 上是减函数，所以a>b ⇒(21)a <(21)b 成立.故选D. 5.已知a<b <｜a ｜，则以下不等式中恒成立的是（ ） A.｜b ｜<-a B.ab >0C.ab <0D.｜a ｜<｜b ｜ ［答案］ A［解析］ 特殊值法：令a =-1,b =0,满足a<b <|a |,ab =0,排除B 、C ，｜a ｜>|b |,排除D ，故选A.6.已知a 2+a <0,那么a,a 2,-a ,-a 2的大小关系是（ ） A.a 2>a >-a 2>-a B.-a >a 2>-a 2>aC.-a >a 2>a >-a 2D.a 2>-a >a >-a 2 ［答案］ B［解析］ 特殊值法：∵a 2+a <0,∴-1<a <0.令a =-21,则a 2=41,-a =21,-a 2=-41，故选B.一般解法：由a 2+a <0,得0<a 2<-a 且a <-a 2<0,故a <-a 2<a 2<-a ,选B.7.如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是（ ）A.a ＞4bB.(a +4)(b +4)=200a ＞4b C.(a +4)(b +4)=200 a ＞4b D.4ab =200 ［答案］ C8.如果a ＞0,且a ≠1,M =log a （a 3+1），N =log a （a 2+1），那么（ ） A.M ＞N B.M ＜NC.M=ND.M 、N 的大小无法确定 ［答案］ A［解析］ 当a ＞1时a 3+1＞a 2+1，y=log a x 单增， ∴log a (a 3+1)＞log a （a 2+1）.当0＜a ＜1时a 3+1＜a 2+1，y =log a x 单减.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1),或对a 取值检验. 二、填空题9.已知三个不等式：①ab >0;②bca c >;③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若③成立，则①成立∴②③⇒①；若①成立则③成立，∴①②⇒③.若③成立即bc ＞ad ,若①成立， 则ab ad ab bc >，∴a c ＞bd∴①③⇒②. 10.如果a>b ，那么下列不等式：①a 3>b 3; ②ba 11<;③3a >3b ; ④lg a >lg b .其中恒成立的是 . ［答案］ ①③［解析］ ①a 3-b 3=(a-b )(a 2+b 2+ab ) =(a-b )［(a +2b )2+43b 2］>0;③∵y =3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b当a >0,b <0时，②④不成立.11.设m =2a 2+2a +1,n =(a +1) 2,则m 、n 的大小关系是 . ［答案］ m ≥n［解析］ m-n =2a 2+2a +1-(a +1) 2＝a 2≥0.12.设a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0，则p =a b ,q =b a ,r =m a mb ++,s =nb na ++的大小顺序是 . ［答案］ p ＜r ＜s ＜q［解析］ 取a =4,b =2，m =3,n =1,则p =21,q =2,r =73,s =35则p ＜r ＜s ＜q （特值探路）.具体比较如下： p-r =a b -m a m b ++=()()m a a ma b +-＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0∴a+m ＞b+m ＞0.a+n ＞b+n ＞0，∴m a m b ++＜1, nb na ++＞1,∴r ＜s . 或r-s =m a mb ++-n b na ++=()()()()n b m a n m a b a b +++++-<0.∴r ＜s .s-q =n b n a ++-b a =()()n b b n a b +-·＜0，∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表：方案 类别基本费用 超时费用 甲 包月制（不限时） 120元 无 乙限时包月制（限60小时）80元2元/时问某用户每月上网时间在多少小时以内，选择乙方案比较合适？ ［解析］ 设用户每月上网时间为x 小时，则选择乙方案为 80(0≤x ≤60)y =2(x -60)+80(x >60),由2(x -60)+80≤120,得x ≤80,∴某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适. 14.(1)已知a>b,e>f,c >0.求证：f-ac<e-bc . (2)若bc-ad ≥0,bd >0.求证：b b a +≤d dc +. ［解析］ (1)∵a>b,c >0,∴ac>bc,∴-ac<-bc, ∵f <e ,∴f -ac <e -bc .(2)∵bc-ad ≥0,∴ad ≤bc ,又∵bc >0,∴b a ≤dc, ∴b a +1≤d c+1, ∴b b a +≤dd c +.15.已知a 、b 为正实数，试比较abb a +与a +b 的大小. ［解析］ 解法一：（ab b a +）－（a +b ）＝（b ba-）- （a ab -）=aa b b b a -+- =()()abba b a --=()()abba ba 2-+.∵a 、b 为正实数，∴a +b >0, ab >0,( a -b )2≥0.∴()()abba ba 2-+≥0，当且仅当a=b 时，等号成立.∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号.解法二：∵（ab b a +）2＝ab a b b a 222++,(a +b )2=a+b +2ab ,∴（ab b a +）2-(a +b )2=ab a b b a 222++-(a+b +2ab )=()abb a ab b a +-+33＝()()()abb a ab b ab a b a +-+-+22=()()abb a b a 2-+.∵a 、b 为正实数，∴()()abb a b a 2-+≥0，∴（a bb a +）2≥(a +b )2.又∵ab b a +>0，a +b >0， ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 16.已知0<a+b <2π,-2π<a-b <3π,求2a 和3a -3b的取值范围.［解析］∵0<a+b<2π -2π<a-b<3π, 两式相加得-2π<2a <65π.设3a -3b=m (a+b )+n (a-b ) =a (m+n )+b (m-n ),则有m+n =3m-n =-31,解得m =34,n =35.∴3a -3b =34 (a+b )+ 35(a-b ).0<34 (a+b )<32π -65π<35 (a-b )< 95π, 两式相加，得-65π<3a -3b <911π. 故2a ∈(-2π,65π),3a -3b ∈(-65π, 911π).。
高中数学导学案不等式关系
第三章不等式§3.1不等式与不等关系第1课时【授课类型】新授课【教学目标】1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学重点】同目标2【教学难点】同目标3【教学过程】1、情境导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
2、展示目标下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系。
3、检查预习（1）用不等式表示不等关系限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v404、合作探究（2）用不等式表示不等关系某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩5、交流展示引例：b 克糖水中有a 克糖（b ＞a ＞0），若再加入m 克糖（m ＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 。
6、精讲精练例题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
不等关系学案1苏教版必修5
学习
思路
1、
2、
3、
学法
指导
1、
2、
学习过程
一、提出问题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况。
你能举出一些实际中不等关系的例子吗？这些不等关系怎样用数学式子表示出来？
……
十、旅客每人携带品的体积和重量是，每件物品的外部尺寸长、宽高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……
设儿童身高为h米，物品外部尺寸长、宽、高之和为p厘米，请用数学符号“＞、＜、≠、≥、≤”表示上面横线标出的不等关系。
实例2、在平面直角坐标系中，点P（x，y）位于第三象限。
实例3、设点O是平面内一点，点P是平面内动点，且OP长不大于8，试用图表示此不等关系。
三、例题分析
例1．某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？
例2、某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册。要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
注意：不等关系与不等式之间的异同：不等关系强调的是关系，可用符号“＞、＜、≠、≥、≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b、a＜b、a≠b、a≥b、a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
二、应用示例
实例1、《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行的身高1.1—1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名的人数应买儿童票。
江苏省徐州市建平中学 必修5导学案 3.1《不等关系(2)》
3.1 不等关系（2）学习目标1．掌握不等式的基本性质，并能灵活利用解决相关问题．2．根据不等式的意义，掌握用比较法比较两个实数的大小关系，加深对不等关系的认识和理解．重点、难点 不等式的基本性质，比较法比较两个实数的大小关系学习过程一、课前准备1．在以下各题的横线上填上适当的不等号．⑴2 6+ ⑵2)21． 2． 比较大小：⑴22a 43a - ⑵11a + 1a -（1a ≠-）． 3．已知0,10a b <-<<，那么2,,a ab ab 三个数中的大小顺序为 ．二、例题选讲【例1】试利用不等式（组）表示下列实际问题中的不等关系．⑴沪宁高速公路全程限速120/km h ；⑵二次函数223y x x =+-的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的集合；⑶b 克糖水含有a 克糖（0b a >>），若再添上m 克糖（0m >），则糖水变甜了； ⑷某钢铁厂把长度为4000m 的钢管截成500m 和600m 两种规格，按要求生产600m 钢管的数量不能超过500m 钢管数量的3倍．【例2】①已知,a b R ∈，比较2222a ab b -+与23b -的大小．②已知0,0,a b >>比较a b a b 与b a a b 的大小．【例3】已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>． 变式：设a b c >>，求证：1110a b b c c a ++>---三、课堂练习：1．已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是2．,,a b c R ∈，满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+，则,,a b c 的大小关系为四、学习小结。
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江苏省徐州市建平中学高一数学《不等关系（1）》导学案
学习目标：
1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
2．经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法
重点、难点：丛具体情境中提炼出不等式（组）
学习过程：
一、 课前准备
1．已知,a R ∈则2
2a +与2a 的大小关系是 ． 2．当0a b >>时，12log a 与12log b 的大小关系是 ．
3．某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？列出其中的不等关系
【例1】1．例题．
（1）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，
那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？
（2）某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价
格每提高0.2元，则发行量就减少5000册，要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
（3）下表给出了X ，Y ，Z 三种食物的维生素含量及成本：
维生素A
（单位/kg ） 维生素B （单位/kg ）
成本 （元/k g ） X 300 700
5 Y 500 100
4 Z 300
300 3 某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食品中至少含35000
单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X ，Y ，这两种食物各取x kg ，y kg ，那么y x ,应满足怎样的关系？
三、课堂练习：P66页 1。
2 。
3
四、学习小结
五、课后作业：完成下一节导学案。