广东省广州市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题 (20) Word版含答案
高考数学三轮复习冲刺模拟试题20
三角变换与解三角形
一、选择题
1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－2
2 C.22
D ．1
解析：∵sin α－cos α＝2，∴1－2sin αcos α＝2， 即sin 2α＝－1. 答案：A
2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3
D.32
解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ， ∴AC ＝BC ·sin B
sin A ＝32×22
32＝2 3.
答案：B
3．若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝( ) A.14 B.34 C ．cos 2β
D ．sin 2α 解析：将β＝α＋30°代入sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β， 整理得
sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)
＝sin 2α＋(cos αcos 30°－sin αsin 30°)2＋ sin α(cos αcos 30°－sin αsin 30°)
＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α－1
2sin α＋sin α) ＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α＋1
2sin α) ＝sin 2α＋(32cos α)2－(1
2sin α)2 ＝sin 2
α＋34cos 2
α－14sin 2α
＝3
4(sin 2α＋cos 2α) ＝34. 答案：B
4．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝1
4(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( ) A.π4 B.π6 C.2π3
D.π12
解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2
－a 2)，所以sin A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc ＝cos A ，
故A ＝π4.
答案：A
5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62
D.
3＋ 394
解析：利用余弦定理及三角形面积公式求解． 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知
7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．
∴S
△ABC ＝
1
2AB·BC sin B＝
1
2×3×2×
3
2＝
33
2.
∴BC边上的高为2S△ABC
BC＝
33
2.
答案：B
二、填空题
6．已知α、β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin (α－β)，则α＝________.
解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．
∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，
∴α＝π4.
答案：π4
7．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π
6，c ＝23，则b＝________.
解析：利用余弦定理求解．
∵a＝2，B＝π
6，c＝23，∴b＝a2＋c2－2ac cos B
＝4＋12－2×2×23×
3
2＝2.
答案：2